典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1、 5-2 典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制 一、典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標(biāo)圖）一、典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標(biāo)圖） 以角頻率為參變量，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性 和相頻特性 在復(fù)平面 上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率 特性的極坐標(biāo)圖。它是當(dāng)角頻率當(dāng)角頻率從從0 0到無(wú)窮變化時(shí)，矢量到無(wú)窮變化時(shí)，矢量 的矢的矢 端在端在 平面上描繪出的曲線。平面上描繪出的曲線。 自動(dòng)控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)構(gòu)成，根據(jù)它們的基本特性，可劃分 成幾種典型環(huán)節(jié)。本節(jié)介紹典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制方法（極坐標(biāo)圖和 伯德圖）。 )(jG )(jG)(jG j ejG)( )(jG （一）（一） 放大環(huán)節(jié)（比例

2、環(huán)節(jié)）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)） KjG)( KsG)(放大環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 其對(duì)應(yīng)的頻率特性是 KjG)( 0)(jG 其幅頻特性和相頻特性分別為 . 0 0 m I K e R 放大環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng) 頻率特性如圖所示。 放大環(huán)節(jié)的幅頻特性為常數(shù)K， 相頻特性等于零度，它們都與頻率 無(wú)關(guān)。理想的放大環(huán)節(jié)能夠無(wú)失真 和無(wú)滯后地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。 （二）（二） 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 其對(duì)應(yīng)的頻率特性是 幅頻特性和相頻特性分別為 s sG 1 )( j jG 1 )( 11 )( j jG 0 90 0 )( arctgjG 積分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng) e R m I 0 G 0 90 1 頻率特性

3、如圖所示。由圖可知，積分環(huán)節(jié)的相頻特性等于 -900 ， 與角頻率無(wú)關(guān)，表明積分環(huán)節(jié)對(duì)正弦輸入信號(hào)有900的滯后作用；其幅 頻特性等于 ，是的函數(shù)， 當(dāng)由零變到無(wú)窮大時(shí)，輸出幅值則由 無(wú)窮大衰減至零。 （三）（三） 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 頻率特性 幅頻特性和相頻特性分別是 1 1 )( Ts sG 1 1 )( jT jG 22 1 1 )( T jG arctgTjG)( 0 1)0(jG 0 0)0(jG T 1 707.0 2 1 ) 1 ( T jG 0 45) 1 ( T jG 0)(jG 0 90)(jG 當(dāng)由零至無(wú)窮大變化時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在 平面上是 正實(shí)

4、軸下方的半個(gè)圓周 )(jG 2222 11 1 1 1 )( T T j TjT jG )( 1 1 )(Re 22 u T jG 證明證明: )( 1 )(Im 22 v T T jG 22 22 2 22 2 2 2 1 12 1 1 1 )( 2 1 )( T T T vu 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓方程，其圓心坐標(biāo)是 ，半徑為 。且 當(dāng)由 時(shí)， 由 ，說(shuō)明慣性環(huán)節(jié)的頻率特 性在 平面上是實(shí)軸下方半個(gè)圓周，如圖所示。 0, 2 1 2 1 0)(jG 900 )(jG 慣性環(huán)節(jié)是一個(gè)低通濾波環(huán)節(jié)和相位滯后環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)是一個(gè)低通濾波環(huán)節(jié)和相位滯后環(huán)節(jié)。在低頻范圍內(nèi)，對(duì)輸 入信號(hào)的幅值衰減較小，滯后相移也

5、小，在高頻范圍內(nèi)，幅值衰減較大， 滯后相角也大，最大滯后相角為90 。 推廣：當(dāng)慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時(shí)，即 其頻率特性是圓心為 ，半徑為 的實(shí)軸下方半個(gè)圓周。 1 )( jT K jG 0, 2 K 2 K 慣性環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng) 0 45 0 1 0.5 T/1 m I G 0 e R ( (四）四） 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是 頻率特性 幅頻特性和相頻特性分別為 22 1 2 )( T T arctgjG 12 1 )( 22 TssT sG TjTTjT jG 2)1 ( 1 12 1 )( 2222 222222 4)1 ( 1 )( TT jG ) 1 ( 1 2

6、180)( 22 TT T arctgjG ) 1 0( 1 2 )( 22 TT T arctgjG 當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， ， 振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比有關(guān)，不同阻尼比的頻 率特性曲線如圖所示。 1)0(jG 2 1 ) 1 ( T jG 0 0 0)0(jG T 1 0 90) 1 ( T jG 0)(jG ()180G j 振蕩環(huán)節(jié)為相位滯后環(huán)節(jié)， 最大滯后相角是1800。 )(jG 當(dāng)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子 是常數(shù)K時(shí)， 對(duì)應(yīng)頻率特性 的起點(diǎn)為 12 )( 22 TssT K sG 0 0 0)0(,)0(jGKjG n r M 0 n n r 0 m I

7、 r 1 e R G 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng) n )1( rr MM r r )(jG r M 將 代入 得到諧振峰值 為 ) 2 1 0( 12 1 )( 2 r r jGM 2 0 2 1 arcsin90 21 )( arctgjG rr 將 代入 得到諧振相移r為 r )(jG 041)( 222 2 22 TT d d jG d d ) 2 1 0(2121 1 22 nr T 阻尼比較小時(shí)，會(huì)產(chǎn)生諧振阻尼比較小時(shí)，會(huì)產(chǎn)生諧振 諧振峰值 和諧振頻率 ，如何求？ 振蕩環(huán)節(jié)的幅值特性曲線如圖所示。在 的范圍內(nèi)，隨著 的增加， 緩慢增大；當(dāng) 時(shí)， 達(dá)到最大值 ；當(dāng) 時(shí)，輸出幅值衰減很快。 )(

8、M r )(M r M r 當(dāng)阻尼比 時(shí)，此時(shí)振蕩環(huán)節(jié)可等效成兩個(gè)不同時(shí)間常數(shù)的 慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)， 即 1 1 11 1 )( 21 sTsT sG T1，T2為一大一小兩個(gè)不同的時(shí)間常 數(shù)，小時(shí)間常數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)實(shí)極點(diǎn)離虛 軸較遠(yuǎn)，對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響較小。 1 )(M 0 r r M 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng) 1 r 0 （五）（五） 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) 典型一階微分環(huán)節(jié)的傳函數(shù)為 其中為微分時(shí)間常數(shù)、1為比例項(xiàng)因子，嚴(yán)格說(shuō)，上式表示的是 一階比例微分環(huán)節(jié)，由于實(shí)際的物理系統(tǒng)中理想微分環(huán)節(jié)（即不含比 例項(xiàng)）是不存在的，故用比例微分環(huán)節(jié)作為一階微分環(huán)節(jié)的典型形式。 1)(ssG 1)(jjG 幅頻特

9、性和相頻特性分別為 一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 1)( 22 jG arctgjG)( 01)0(jG 0 0)0(jG 1 2) 1 ( jG 0 45) 1 ( jG )( jG 0 90)(jG 頻率特性如圖所示。是一條過(guò)點(diǎn)（1，j0）與實(shí)軸垂直相交且位于 實(shí)軸上方的直線。純微分環(huán)節(jié)的頻率特性與正虛軸重合。 1 e R 0 m I G 0 G 一階微分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng) 當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， （六）（六） 二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié) 頻率特性 幅頻特性和相頻特性分別為 12)( 22 jjG 222 2 22 41)(jG ） （ 22 1 2 )(arctgjG 0 1)0(j

10、G 0 0)0(jG 1 2) 1 (jG 0 90) 1 ( jG )( jG 0 180)(jG 二階微分環(huán)節(jié)頻率特性圖 1 ) 1 (2 m I e R 00 G 二階微分環(huán)節(jié)是相位超前環(huán)節(jié)，最大超 前相角為180o。 ) 1 ( 1 2 180)( 22 arctgjG 1 1 )( Ts sG 1 1 )( jT jG （七）（七） 不穩(wěn)定環(huán)節(jié)不穩(wěn)定環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為 有一個(gè)正實(shí)極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的頻率特性是 幅頻特性和相頻特性 1 1 )( 22 T jG arctgT T arctgjG 0 180 1 )( 01)0(jG 0 180)0(jG T 1 2 1 ) 1 ( T jG 0

11、135) 1 ( T jG 0)(jG 0 90)(jG 0 Im Re 0 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 與慣性環(huán)節(jié)比較與慣性環(huán)節(jié)比較 其對(duì)應(yīng)的頻率特性是 j ejG )( 1)(jG s esG )( （八）（八） 滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 0 m I j 0 e R 1 1 j G 滯后環(huán)節(jié)頻率特性圖 （度）弧度）3 .57()(jG 滯后環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單位圓。 幅頻特性和相頻特性分別為 二、典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖二、典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖 伯德（Bode）圖又稱(chēng)對(duì)數(shù)頻率特性曲線，是將幅頻特 性和相頻特性分別繪制在兩個(gè)不同的坐標(biāo)

12、平面上，前者叫 對(duì)數(shù)幅頻特性，后者叫對(duì)數(shù)相頻特性。 兩個(gè)坐標(biāo)平面橫軸（軸）用對(duì)數(shù)分度，對(duì)數(shù)幅頻特 性的縱軸用線性分度，表示幅值的分貝數(shù) 對(duì)數(shù)相頻特性的縱軸也是線性分度，表示相角的度數(shù) )()(lg20)(dBjGL （度）)()(jG 0 20 40 -40 -20 )(L 0.010.1110100 0 45o 90o -90o -45o )( 0.010.1110100 dB 兩個(gè)圖形上下放置（幅 頻特性在上，相頻特性 在下），且將縱軸對(duì)齊， 便于求出同一頻率的幅 值和相角的大小，同時(shí) 為求取系統(tǒng)相角裕度帶 來(lái)方便。 （4） 橫軸（軸）用對(duì)數(shù)分度，擴(kuò)展了低頻段，同時(shí)兼顧 了中、高頻段，有利

13、于系統(tǒng)的分析與綜合。 用伯德圖分析系統(tǒng)有如下優(yōu)點(diǎn)： （1） 將幅頻特性和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)） 的幅值和相角與頻率之間的關(guān)系更清晰； )(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)( )()()()( )()()()( 21 21 21 jGjGjGjGL jGjGjGjG jGjGjGjG n n n （2） 幅值用分貝數(shù)表示，將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄?加，簡(jiǎn)化計(jì)算； （3） 用漸近線表示幅頻特性，使作圖簡(jiǎn)單方便； 放大環(huán)節(jié)的頻率特性為 其幅頻特性是 對(duì)數(shù)幅頻特性為 )0()(KKjG KjG)( KjGlg20)(lg20 K1，20lgK0，位于橫軸上方； K=1，20

14、lgK=0，與橫軸重合； K1，20lgK0，位于橫軸下方。 （一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）（一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)） 放大環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖， 是一條與角頻率無(wú)關(guān)且平行于橫 軸的直線，其縱坐標(biāo)為20lgK。 當(dāng)有n個(gè)放大環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，即 幅值的總分貝數(shù)為 1 0 10 10 20 Klog20 dB)(L 10 1001000 100 1000 0 0 0 90 0 90 0 180 度）（ 10 放大環(huán)節(jié)的Bode圖 n KKKjG.)( 21 n KKKjGlg20.lg20lg20)(lg20 21 放大環(huán)節(jié)的相頻特性是 如圖所示，它是一條與角頻率無(wú)關(guān)且與軸重合的直線。 0 0)(jG

15、（二）積分環(huán)節(jié)（二）積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的頻率特性是 其幅頻特性為 對(duì)數(shù)幅頻特性是 j jG 1 )( 1 )(jG lg20 1 lg20)(lg20jG 1 . 0)(201 .0lg20)1 .0(lg20dBjG 1)(01lg20) 1(lg20dBjG 10)(2010lg20)10(lg20dBjG 設(shè) ，則有 可見(jiàn)，其對(duì)數(shù)幅頻特性是一條在 =1（弧度/秒）處穿過(guò)零分貝線 （軸），且以每增加十倍頻降 低20分貝的速度（-20dB/dec ） 變化的直線。 10 lg202010lg20lg20 01. 01 . 01 10 0 0 0 90 0 90 0 180 度）（ 積分環(huán)節(jié)的

16、Bode圖 60 40 0 20 20 dB)(L 01. 01 . 01 decdB/20 10 是一條與無(wú)關(guān)，值為-900且平行于 軸的直線。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻 特性和相頻特性如圖所示。 0 90)(jG 積分環(huán)節(jié)的相頻特性是 n個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，即 對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性 n j jG )( 1 )( lg20 1 lg20)(lg20 n jG n 兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖 0 90 0 0 1 . 01 0 180 0 90 度）（ 01. 0 0 40 decdB/40 dB)(L 01. 01 . 0110 是斜率為-n20dB/dec，在=1 處過(guò)零分貝線（軸）的直線。

17、0 90)(njG 是一條與無(wú)關(guān)，值為-n900 且與軸平行的直線。 相頻特相頻特 性性 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 用兩條直線近似描述慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性， 22 22 1lg20 1 1 lg20)(lg20 T T jG T 1 T 1 )(01lg20)(lg20 22 dBTjG )(lg201lg20)(lg20 22 dBTTjG T 1 T 1 兩條直線在 處相交， 稱(chēng)為轉(zhuǎn)折頻率，由這兩條直線 構(gòu)成的折線稱(chēng)為對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。 （三）（三） 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是 其對(duì)數(shù)幅頻特性是 1 1 )( jT jG )(32lg201lg20 1 22 dBT T 顯然，

18、距離轉(zhuǎn)折頻率 愈 遠(yuǎn) ，愈能 滿足近似條件，用漸近線表示 對(duì)數(shù)幅頻特性的精度就愈高； 反之，距離轉(zhuǎn)折頻率愈近，漸 近線的誤差愈大。等于轉(zhuǎn)折頻 率 時(shí)，誤差最大，最大誤 差為 T 1 ) 11 ( TT 或 T 1 漸近特 性 decdB/20 精確特 性 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 )( )(Ldb 10 0 10 20 T 1 20 1 T 1 10 1 T 1 5 1 T 1 T 1 2 T 1 10 T 1 20 0 0 0 45 0 90 時(shí)的誤差是 時(shí)的誤差是 誤差曲線對(duì)稱(chēng)于轉(zhuǎn)折頻率 T 1 2 1 )(97. 0 2 5 lg201lg20 1 2 1 22 dBT T T 1 2 )(

19、97. 0 2lg205lg20)lg20(1lg20 1 2 1 2 22 dB TT TT T 1 db 0 1 2 3 4 T 1 10 1 T 1 5 1 T 1 2 1 T 1 T 1 2 T 1 5 T 1 10 誤差修正曲線 慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 相頻特性曲線如圖, 是一條由00至 -900范圍內(nèi)變化的反正切函數(shù)曲線， 且以 和 的交點(diǎn)為斜對(duì)稱(chēng)。 TarctgjG)( 0 0 0)0(jG T 1 0 45) 1 ( T jG 0 90)(jG T 1 0 45)(jG 漸近特 性 decdB/20 精確特 性 )(Ldb 10 0 10 20 T

20、1 20 1 T 1 10 1 T 1 5 1 T 1 T 1 2 T 1 10 T 1 20 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 )( 0 0 0 45 0 90 對(duì)數(shù)幅頻特性 如圖，漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為 ，此處漸近特性與精確特性的 誤差為 ，誤差范圍與慣性環(huán)節(jié)類(lèi)似。 1)(jjG 1lg20)(lg20 22 jG 1 )(01lg20 22 dB 1 )(lg201lg20 22 dB 1 arctgjG)( （四）（四） 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) 頻率特性為 dB32lg20 1 100 1 10 1 1 10 1 1 100 1 )( 度 0 90 0 45 0 0 一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖 20

21、10 0 db)(L 1 100 1 1 10 1 1 1 10 1 100 decdB/20 漸近特性 精確特性 一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性如 圖，相角變化范圍是 00 至 900，轉(zhuǎn)折頻率 處的相角為 450。與慣性環(huán)節(jié)Bode 圖相比， 一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的 對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性以 橫軸（軸）為對(duì)稱(chēng)。 1 90)( jG 45) 1 ( jG T 1 , 0 0)0( jG 相頻特性 TjT jG 2)1 ( 1 )( 22 222222 4)1 (lg20)(lg20TTjG T 1 )(04)1 (lg20 222222 dBTT T 1 )(lg404)1 (lg20 22222

22、2 dBTTT （五）（五） 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是 對(duì)數(shù)幅頻特性為 0 decdB/40 40 20 dB)(L 高頻漸近線 T 1 10 1 T 1 T 1 10 低頻漸近線 振蕩環(huán)節(jié)漸近線對(duì)數(shù)幅頻特性 誤差分析誤差分析： 當(dāng) 時(shí)， ，它是阻尼比的函數(shù)； 且以轉(zhuǎn)折頻率為對(duì)稱(chēng)，距離轉(zhuǎn)折頻率愈遠(yuǎn)誤差愈小。通常大于（或小于）十 倍轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，誤差可忽略不計(jì)。誤差曲線如圖所示。 T 1 2lg204)1 (lg20 1 222222 T TT 振蕩環(huán)節(jié)的誤差曲線 經(jīng)過(guò)修正后的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。 由圖可知，振蕩環(huán)節(jié) 的對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻 率 附近產(chǎn)生諧振峰，這 是該環(huán)節(jié)固有

23、振蕩性能在 頻率特性上的反映。前面 已經(jīng)分析過(guò)，諧振頻率r 和諧振峰Mr分別為 db)(L 20 0 40 T 1 10 1 T 1 T 1 10 05. 0 0 . 1 5 . 0 decdb/40 振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻率特性圖 T 1 ) 2 1 0(21 2 nr 2 12 1 )( rr jGM 阻尼比愈小，諧振頻率r愈接近無(wú)阻尼自然振蕩頻率n，當(dāng)=0時(shí)，r=n 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 振蕩環(huán)節(jié)相頻特性也是阻尼比的函數(shù)，隨阻尼比變化，相頻特性在 轉(zhuǎn)折頻率 附近的變化速率也發(fā)生變化，阻尼比越小，變化速率越大， 反之愈小。但這種變化不影響整個(gè)相頻特性的大致形狀。不同阻尼比的相 頻特性如圖所示。 0 0 0)0(jG T 1 0 90) 1 ( T jG 0 180)(jG 0 0 0 90 0 180 n 10 1 T n 1 n 10 05. 0 0 . 1 振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性