第六章 參數(shù)估計(jì)(2)

1、1 第五節(jié)第五節(jié) 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) v一一. . 總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì) v二二. . 總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì) v三樣本容量的確定三樣本容量的確定 一、總體均值的區(qū)間估計(jì)一、總體均值的區(qū)間估計(jì) v 在對總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，需要考慮總體是否為正態(tài)分布、總體 方差是否已知、用于估計(jì)的樣本是大樣本（n30）還是小樣本（n30 ）等幾種情況。 v 但不管哪種情況，總體均值的置信區(qū)間都是由樣本均值加減估計(jì)誤差 得到的。其中，估計(jì)誤差由兩部分組成：一是樣本均值抽樣分布的標(biāo) 準(zhǔn)誤差；二是估計(jì)時(shí)要求置信水平為1-時(shí)，統(tǒng)計(jì)量分布兩側(cè)面積各 為2時(shí)的分位

2、數(shù)值。 v 因此總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間可一般性的表達(dá)為： ()xx分位數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差 1.1.大樣本總體均值大樣本總體均值 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) v 假定條件n30或者n 50 ，總體均值為,方差為 ，分布不 限，由中心極限定理知，樣本均值的抽樣分布為正態(tài)分布，并 且均值的期望值等于，方差等于 ，那么可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分布： 總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為： )1 ,0( N n x z )( 22 未知或 n s zx n zx 2 n 大樣本總體均值的區(qū)間估計(jì)大樣本總體均值的區(qū)間估計(jì)（實(shí)例（實(shí)例1 1） 例例 設(shè)某工廠婦女從事家務(wù)勞動(dòng)服從正態(tài)分布設(shè)某工廠婦女從事家務(wù)

3、勞動(dòng)服從正態(tài)分布 ，0.660.662 2 ，根據(jù) ，根據(jù)3636人人 的隨機(jī)抽樣調(diào)查，樣本每天平均從事家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間為的隨機(jī)抽樣調(diào)查，樣本每天平均從事家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間為2.652.65小時(shí)，求小時(shí)，求 的置信區(qū)間（置信度的置信區(qū)間（置信度 1-1- =0.95=0.95）。）。 解解 按題意，此為大樣本，且總體方差已知，又按題意，此為大樣本，且總體方差已知，又n n3636， 2.65, 2.65, 0.660.66，1-1- 0.950.95。 查表得查表得 1.961.96，代入公式有，代入公式有 2.65 2.65 1.96 1.96 2.65 2.65 0.22 0.22 因此，我們有

4、因此，我們有9595的把握，該廠婦女的平均從事家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間的把握，該廠婦女的平均從事家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間 在在2.87 2.432.87 2.43小時(shí)之間。小時(shí)之間。 x 2 z 2 xz n 0.66 36 36 66. 0 36 66. 0 5 大樣本總體均值的區(qū)間估計(jì)大樣本總體均值的區(qū)間估計(jì)（實(shí)例（實(shí)例2 2） 解：已知 x26, s=6，n=100, 1- = 0.95，/2=1.96，總體的置信區(qū) 間為： 22 ss , 66 261.96,261.96 100100 24.824,27.176 xZxZ nn 我們可以95的概率保證平均每天 參加鍛煉的時(shí)間在24.82427.176 分

5、鐘之間 【例例】某大學(xué)從該 校學(xué)生中隨機(jī)抽取 100人，調(diào)查到他 們平均每天參加體 育鍛煉的時(shí)間為26 分鐘。試以95的 置信水平估計(jì)該大 學(xué)全體學(xué)生平均每 天參加體育鍛煉的 時(shí)間（已知樣本方 差s2為36分鐘）。 6 2.2.小樣本正態(tài)總體均值的置信區(qū)間小樣本正態(tài)總體均值的置信區(qū)間( ( 2 2 已知已知) ) 總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為 /2/2 (0,1) P()1 x ZN n x ZZ n n Zx n Zx 22 , 假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（）已知， 7 小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (實(shí)例）實(shí)例） 已知N(，0.152)，x

6、2.14, n=9, 1- = 0.95，/2=1.96 總體均值的置信區(qū)間為 498.21,302.21 9 15.0 96.14 .21, 9 15.0 96.14 .21 , 22 n Zx n Zx 我們可以95的概率保證該種零件的平 均長度在21.30221.498 mm之間 【例例】某種零件 長度服從正態(tài)分 布，從該批產(chǎn)品 中隨機(jī)抽取件 ，測得其平均長 度為21.4 mm。 已知總體標(biāo)準(zhǔn)差 =0.15mm，試 建立該種零件平 均長度的置信區(qū) 間，給定置信水 平為0.95。 8 3.3.小樣本正態(tài)總體均值的置信區(qū)間小樣本正態(tài)總體均值的置信區(qū)間( ( 2 2 未知未知) ) n假定條件

7、 總體必須服從正態(tài)分布正態(tài)分布 總體方差（）未知 樣本統(tǒng)計(jì)量滿足自由度為K=n-1的t分布 n使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量 /2/2 (1) P() 1 x tt n sn x tt sn n總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為 22 , ss xtxt nn t 分布分布 t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比 正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之 為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸 趨于正態(tài)分布 t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較 t 分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 不同自由度的t分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 10 小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)（實(shí)例）（實(shí)例） 已知N

8、(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。 22 , 88 502.0639,502.0639 2525 46.69,53.3 ss xtxt nn 我們可以95的概率保證總體均值 在46.6953.30 之間 從一個(gè) 正態(tài)總體中抽 取一個(gè)隨機(jī)樣 本， n = 25 ，其均值x = 50 ，標(biāo)準(zhǔn)差 s = 8。 建立 總體均值 的 95%的置信區(qū) 間 11 二、總體成數(shù)（比例）的置信區(qū)間二、總體成數(shù)（比例）的置信區(qū)間 n假定條件 總體變量只有兩個(gè)取值 總體服從二點(diǎn)分布 n50，并且np5時(shí)可以由正態(tài)分布來近似 n使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 n總體比例在1-置

9、信水平下的置信區(qū)間為 ) 1 , 0( )1 ( N n p z n pp zp )-1 ( 2 總體成數(shù)（比例）的置信區(qū)間總體成數(shù)（比例）的置信區(qū)間（實(shí)例（實(shí)例1 1） 【例】某城市想 要估計(jì)下崗職工 中女性所占的比 例，隨機(jī)地抽取 了100名下崗職 工，其中65人為 女性職工。試以 95%的置信水平 估計(jì)該城市下崗 職工中女性比例 的置信區(qū)間 解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%， z/2=1.96 %35.74%,65.55 %35.9%65 100 %)651%(65 96.1%65 )1 ( 2 n pp zp 該城市下崗職工中女性比例的置信 區(qū)間為55.65%74.

10、35% 13 總體成數(shù)（比例）的置信區(qū)間總體成數(shù)（比例）的置信區(qū)間（實(shí)例（實(shí)例2 2） 已知 n=200 ， 0.7 , n =1405, n(1- )=605，= 0.95，/2=1.96 p p p 2 (1) 0.7(10.7) 0.71.96 200 0.636,0.764 pp pZ n 我們可以95的概率保證該企業(yè)職工由 于同管理人員不能融洽相處而離開的比 例在63.6%76.4%之間 某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職 工流動(dòng)原因的研究中，從該 企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)選 取了200人組成一個(gè)樣本。 在對其進(jìn)行訪問時(shí)，有140 人說他們離開該企業(yè)是由于 同管理人員不能融洽相處。 試對由于這種原因而

11、離開該 企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造 95%的置信區(qū)間。 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)( (小結(jié)小結(jié)) ) 15 n根據(jù)均值區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為 估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定 n樣本容量n與總體方差2、允許誤差E、置信水平 之間的關(guān)系為 與總體方差成正比 與允許誤差成反比 與置信水平成正比 因?yàn)椋?22 2 2 Z n E 2 EZ n 估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定（例題）（例題） 【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生 年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì) 年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400 元，應(yīng)抽取

12、多大的樣本容量？ 估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定（例題）（例題） 解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 應(yīng)抽取的樣本容量為 即應(yīng)抽取97人作為樣本 9704.96 400 2000)96. 1 ( )( 2 22 2 22 2 E z n 1.根據(jù)比例區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為 估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定 E的取值一般小于0.1 未知時(shí)，可用樣本比例p來代替 其中 2 2 2 )1 ()( E z n n zE )1 ( 2 估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定( (例題例題) )

13、【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng) 計(jì)，某種產(chǎn)品的合格率約 為90%，現(xiàn)要求邊際誤差 為5%，在求95%的置信 區(qū)間時(shí)，應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn) 品作為樣本？ 解:已知= 9 0 %=0.05 z/2=1.96，E=5% 應(yīng)抽取的樣本容量為 1393 .138 05. 0 )9 . 01 (9 . 0)96. 1 ( )1 ()( 2 2 2 2 2 E z n 應(yīng)抽取139個(gè)產(chǎn)品作為樣本 思考思考 v1.1.區(qū)間估計(jì)的含義。區(qū)間估計(jì)的含義。 v2.2.解釋置信區(qū)間、置信水平的含義解釋置信區(qū)間、置信水平的含義 v3.3.簡述樣本容量與置信水平、總體方差、估計(jì)誤簡述樣本容量與置信水平、總體方差、估計(jì)誤 差的關(guān)系差的關(guān)系 練習(xí)練習(xí) 1 1、根據(jù)某大學(xué)、根據(jù)某大學(xué)100100名學(xué)生的抽樣調(diào)查，每月平均用于購買書籍的名學(xué)生的抽樣調(diào)查，每月平均用于購買書籍的 費(fèi)用為費(fèi)用為4545元，標(biāo)準(zhǔn)差為元，標(biāo)準(zhǔn)差為5 5元，求大學(xué)生每月用于購買書籍費(fèi)用元，求大學(xué)生每月用于購買書籍費(fèi)用 的區(qū)間估計(jì)（置信度為的區(qū)間估計(jì)（置信度為95%9