第六章 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算

1、第六章第六章 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算 61 61 內(nèi)力內(nèi)力 截面法截面法 62 62 軸向拉壓桿的內(nèi)力軸向拉壓桿的內(nèi)力 63 63 梁的內(nèi)力剪力和彎矩梁的內(nèi)力剪力和彎矩 6-4 6-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 6-5 6-5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖 6-6 6-6 靜定平面桁架內(nèi)力靜定平面桁架內(nèi)力 6-1 6-1 內(nèi)力內(nèi)力 截面法截面法 一、內(nèi)力的概念一、內(nèi)力的概念 對于所研究的物系受到其它物系給予的作用力稱之為對于所研究的物系受到其它物系給予的作用力稱之為外力外力， 而將此物系內(nèi)部各物體之間的相互作用力稱為而將此物系內(nèi)部各物體之間的相互作用力稱為內(nèi)力內(nèi)力。 當(dāng)我

2、們討論構(gòu)件的強度和剛度等問題時，一般總是以當(dāng)我們討論構(gòu)件的強度和剛度等問題時，一般總是以 某一構(gòu)件（不能再拆的結(jié)構(gòu)元件）作為研究對象，因此，其某一構(gòu)件（不能再拆的結(jié)構(gòu)元件）作為研究對象，因此，其 它構(gòu)件對此構(gòu)件的作用力，就稱為它所受到的外力。而它構(gòu)件對此構(gòu)件的作用力，就稱為它所受到的外力。而內(nèi)力內(nèi)力 則指的是此構(gòu)件內(nèi)部之間或各質(zhì)點之間的相互作用力。則指的是此構(gòu)件內(nèi)部之間或各質(zhì)點之間的相互作用力。 當(dāng)構(gòu)件受到外力作用時，其形狀和尺寸都將發(fā)生變化。當(dāng)構(gòu)件受到外力作用時，其形狀和尺寸都將發(fā)生變化。 構(gòu)件內(nèi)力也將隨之改變，這一因外力作用而引起構(gòu)件內(nèi)力構(gòu)件內(nèi)力也將隨之改變，這一因外力作用而引起構(gòu)件內(nèi)力

3、的改變量，稱為的改變量，稱為附加內(nèi)力附加內(nèi)力。其作用趨勢是力圖使構(gòu)件保持。其作用趨勢是力圖使構(gòu)件保持 其原有形狀與尺寸。其原有形狀與尺寸。 研究構(gòu)件的變形和破壞問題，離不開討論附加內(nèi)力與外研究構(gòu)件的變形和破壞問題，離不開討論附加內(nèi)力與外 力的關(guān)系以及附加內(nèi)力的限度。因為我們的討論只涉及附加內(nèi)力的關(guān)系以及附加內(nèi)力的限度。因為我們的討論只涉及附加內(nèi) 力。力。故以后即把附加內(nèi)力簡稱為內(nèi)力。故以后即把附加內(nèi)力簡稱為內(nèi)力。 二、內(nèi)力的求法截面法二、內(nèi)力的求法截面法 為顯示和計算內(nèi)力，通常運用截面法，其一般步驟如下：為顯示和計算內(nèi)力，通常運用截面法，其一般步驟如下： 1 1）截開）截開 在需求內(nèi)力的截面處

4、，將構(gòu)件假想截成兩部分。在需求內(nèi)力的截面處，將構(gòu)件假想截成兩部分。 2 2）代替）代替 留下一部分，棄去另一部分，并用內(nèi)力代替棄留下一部分，棄去另一部分，并用內(nèi)力代替棄 去部分對留下部分的作用。去部分對留下部分的作用。 3 3）平衡）平衡 根據(jù)留下部分的平衡條件求出該截面的內(nèi)力。根據(jù)留下部分的平衡條件求出該截面的內(nèi)力。 6-2 6-2 軸向拉壓桿的內(nèi)力軸向拉壓桿的內(nèi)力 受力特征受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的縱向力，力的作：桿受一對大小相等、方向相反的縱向力，力的作 用線與桿軸線重合。如用線與桿軸線重合。如6 61 1圖圖 變形特征變形特征：沿軸線方向伸長或縮短，橫截面沿軸線平行移動。：

5、沿軸線方向伸長或縮短，橫截面沿軸線平行移動。 產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮的桿件稱為軸向拉桿或壓桿。產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮的桿件稱為軸向拉桿或壓桿。 如圖如圖6-26-2所示的屋架，上弦桿是壓桿，下弦桿是拉桿。所示的屋架，上弦桿是壓桿，下弦桿是拉桿。 圖圖6 61 1圖圖6 62 2 運用截面法確定桿件內(nèi)任一截面上的內(nèi)力運用截面法確定桿件內(nèi)任一截面上的內(nèi)力 ，將沿桿軸，將沿桿軸 線方向的內(nèi)力合力稱為軸力。線方向的內(nèi)力合力稱為軸力。 軸力拉伸為正，壓縮為負軸力拉伸為正，壓縮為負 如果直桿承受多于兩個的外力時，直桿的不同段上將有不如果直桿承受多于兩個的外力時，直桿的不同段上將有不 同的軸力。應(yīng)分段使用截面法，計

6、算各段的軸力。同的軸力。應(yīng)分段使用截面法，計算各段的軸力。 為了形象地表示軸力沿桿件軸線的變化情況，可繪出軸力隨橫為了形象地表示軸力沿桿件軸線的變化情況，可繪出軸力隨橫 截面變化的圖線，這一圖線稱為截面變化的圖線，這一圖線稱為軸力圖軸力圖。 例：求圖示桿例：求圖示桿1-11-1、2-22-2、3-33-3截面上的軸力截面上的軸力 解：解：1 1）計算軸力）計算軸力 kN10F N1 kN5F N2 kN20F N3 由軸力圖知kN20F max 2）畫軸力圖 6-3 6-3 梁的內(nèi)力剪力和彎矩梁的內(nèi)力剪力和彎矩 一、梁承受荷載的特點一、梁承受荷載的特點 以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。以彎曲變

7、形為主的桿件通常稱為梁。 受力特征：受力特征：作用在直桿上的外力與桿軸線垂直作用在直桿上的外力與桿軸線垂直 變形特征：變形特征：直桿的軸線將由原來的直線彎成曲線直桿的軸線將由原來的直線彎成曲線 縱向?qū)ΨQ面：縱向?qū)ΨQ面：梁的橫截面的對稱軸與梁的軸線所組成的梁的橫截面的對稱軸與梁的軸線所組成的 平面稱為縱向?qū)ΨQ面。平面稱為縱向?qū)ΨQ面。 平面彎曲平面彎曲：如果作用于梁上的外力（包括荷載和支座反：如果作用于梁上的外力（包括荷載和支座反 力）都位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且垂直于軸線，梁變形后的力）都位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且垂直于軸線，梁變形后的 軸線將變成為縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲軸線將變成為縱向?qū)ΨQ面

8、內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲 變形稱為平面彎曲。變形稱為平面彎曲。 本節(jié)只討論平面彎曲時橫截面上的內(nèi)力。本節(jié)只討論平面彎曲時橫截面上的內(nèi)力。 工程中常見的梁按支座情況分為下列三種典型形式：工程中常見的梁按支座情況分為下列三種典型形式： 1)1)簡支梁簡支梁端鉸支座，另一端為滾軸支座的梁，如圖端鉸支座，另一端為滾軸支座的梁，如圖 簡支梁簡支梁 外伸梁外伸梁 懸臂梁懸臂梁 工程中常見的梁按支座情況分為下列三種典型形式：工程中常見的梁按支座情況分為下列三種典型形式： ) )外伸梁外伸梁梁身的一端或兩端伸出支座的簡支梁，如圖。梁身的一端或兩端伸出支座的簡支梁，如圖。 ) )懸臂梁懸臂梁端為固定支座，另一

9、端自由的梁，如圖。端為固定支座，另一端自由的梁，如圖。 以簡支梁為例以簡支梁為例 二、梁的內(nèi)力剪力和彎矩二、梁的內(nèi)力剪力和彎矩 梁內(nèi)力的性質(zhì)梁內(nèi)力的性質(zhì) 為了計算梁的應(yīng)力和為了計算梁的應(yīng)力和 變形，需首先確定其變形，需首先確定其 內(nèi)力。分析梁內(nèi)力的內(nèi)力。分析梁內(nèi)力的 方法仍然是截面法。方法仍然是截面法。 支座反力：支座反力： 2 P RBRA F FF 求梁任一求梁任一 橫截面橫截面1-11-1 上的內(nèi)力上的內(nèi)力 梁橫截面上的內(nèi)力有兩種：平行于橫截面的內(nèi)力梁橫截面上的內(nèi)力有兩種：平行于橫截面的內(nèi)力Q Q和位于和位于 梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的內(nèi)力偶梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的內(nèi)力偶M M。我們將。我們將Q Q稱為剪

10、力，將稱為剪力，將M M稱為稱為 彎矩。取左段為研究對象由平衡條件：彎矩。取左段為研究對象由平衡條件： 0 y F0 QRA FF 2 P RAQ F FF 0m 0MxFRA x F M P 2 若取右段為研究對象，若取右段為研究對象，1 11 1截面也同時存在內(nèi)力截面也同時存在內(nèi)力 和內(nèi)力和內(nèi)力 偶偶 ， （作用與反作用關(guān)系）。（作用與反作用關(guān)系）。 Q F MMMFF QQ ; 剪力限制截面錯動的變形，大小等于截面一側(cè)所有外剪力限制截面錯動的變形，大小等于截面一側(cè)所有外 力的和；彎矩限制了截面的轉(zhuǎn)動，大小等于截面一側(cè)所有外力的和；彎矩限制了截面的轉(zhuǎn)動，大小等于截面一側(cè)所有外 力對截面形心

11、矩的代數(shù)和。力對截面形心矩的代數(shù)和。 2.2.剪力、彎矩的符號確定剪力、彎矩的符號確定 例：求圖示梁例：求圖示梁1-11-1、 2-22-2、3-33-3、4-44-4截截 面上的剪力和彎面上的剪力和彎 矩。矩。 解：解：1 1）求支座反力）求支座反力 得得 4 5qa FRA 由由0 A m 得得 4 7qa FRB 0 B m 由由 2 2）求各截面的內(nèi)力）求各截面的內(nèi)力 各截面的內(nèi)力均假設(shè)為正的，如圖所示各截面的內(nèi)力均假設(shè)為正的，如圖所示 4 5 1 qa FF RAQ 4 5 2 12 qa aFMM RA 4 23 qa qaFFF RAQQ 2 3 2 2 3 qa aqaaFM

12、RA 4 3 4 qa FqaF RBQ 4 5 2 4 qa M 計算結(jié)果為正說明假設(shè)的正負正確，計算結(jié)果為負計算結(jié)果為正說明假設(shè)的正負正確，計算結(jié)果為負 說明假設(shè)的正負正好相反。說明假設(shè)的正負正好相反。 通過上例得出求梁內(nèi)力的規(guī)律：通過上例得出求梁內(nèi)力的規(guī)律： 1)1)梁中任一截面的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有垂直于梁梁中任一截面的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有垂直于梁 軸線的外力的代數(shù)和。軸線的外力的代數(shù)和。符號確定方法是：外力使梁產(chǎn)生左上右下符號確定方法是：外力使梁產(chǎn)生左上右下 錯動趨勢時，外力為正，反之外力為負。錯動趨勢時，外力為正，反之外力為負。即截面以左向上的外力即截面以左向上

13、的外力 或截面以右向下的外力產(chǎn)生正剪力（簡稱左上右下生正剪），反或截面以右向下的外力產(chǎn)生正剪力（簡稱左上右下生正剪），反 之為負。之為負。 2)2)梁中任一截面的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力對該梁中任一截面的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力對該 截面形心的力矩的代數(shù)和。截面形心的力矩的代數(shù)和。符號確定方法是：力矩使梁下凸時為符號確定方法是：力矩使梁下凸時為 正，使梁上凸時為負。正，使梁上凸時為負。即向上的外力或截面以左順時針轉(zhuǎn)向的外即向上的外力或截面以左順時針轉(zhuǎn)向的外 力偶或截面以右逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶產(chǎn)生正的彎矩（簡稱左順右力偶或截面以右逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶產(chǎn)生正的彎矩（簡稱左順右 逆生

14、正彎矩），反之為負。逆生正彎矩），反之為負。 根據(jù)上述規(guī)律，求梁的剪力和彎矩時可以不必畫出各段梁的示力根據(jù)上述規(guī)律，求梁的剪力和彎矩時可以不必畫出各段梁的示力 圖，也不需要列出各段梁的平衡方程，可直接算出截面的彎矩和圖，也不需要列出各段梁的平衡方程，可直接算出截面的彎矩和 剪力。剪力。 例例 試求圖所示懸臂梁試求圖所示懸臂梁1-11-1、2-22-2截面上的內(nèi)力。截面上的內(nèi)力。 解：解：1 1）懸臂梁左端為自由端，在求內(nèi)力懸臂梁左端為自由端，在求內(nèi)力 時，若取左段為研究對象，則可省去求時，若取左段為研究對象，則可省去求 支座反力。支座反力。 2 2）求）求1-11-1截面的剪力和彎矩截面的剪力

15、和彎矩 對對1-11-1截面的左端梁運用上述規(guī)律：截面的左端梁運用上述規(guī)律： qL L qFQ 2 1 2 1 2 1 8 1 42 qL LL qM 計算結(jié)果均為負，說明該截面內(nèi)力是負剪力和負彎矩。計算結(jié)果均為負，說明該截面內(nèi)力是負剪力和負彎矩。 3）求求2-22-2截面的剪力和彎矩截面的剪力和彎矩 對對2-22-2截面的左段梁運用上述規(guī)律：截面的左段梁運用上述規(guī)律： LqLqFQ 2 2 2 2 1 2 qL L LqM 計算結(jié)果均為負，說明該截面內(nèi)力是負剪力和負彎矩。計算結(jié)果均為負，說明該截面內(nèi)力是負剪力和負彎矩。 6-4 6-4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 )(xFF QQ )(xM

16、M 這種內(nèi)力與截面位置這種內(nèi)力與截面位置x x的函數(shù)式分別稱為的函數(shù)式分別稱為剪力方程剪力方程和和彎矩方彎矩方 程程，統(tǒng)稱為，統(tǒng)稱為內(nèi)力方程內(nèi)力方程。 為了清楚地表示梁上各橫截面的剪力和彎矩的大小、正負為了清楚地表示梁上各橫截面的剪力和彎矩的大小、正負 以及最大值所在截面（危險截面）的位置，把剪力方程和彎以及最大值所在截面（危險截面）的位置，把剪力方程和彎 矩方程用函數(shù)圖象表示出來，分別稱為矩方程用函數(shù)圖象表示出來，分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖。 需注意的是土建工程中習(xí)慣上把正剪力畫在需注意的是土建工程中習(xí)慣上把正剪力畫在x x軸上方，負剪力軸上方，負剪力 畫在畫在x x軸下方；而彎矩

17、規(guī)定畫在梁受拉的一側(cè)。軸下方；而彎矩規(guī)定畫在梁受拉的一側(cè)。 繪制剪力圖和彎矩圖的一般步驟為：繪制剪力圖和彎矩圖的一般步驟為： 1 1）根據(jù)梁的支承情況和梁上作用的荷載，求出支座反力（對于根據(jù)梁的支承情況和梁上作用的荷載，求出支座反力（對于 懸臂梁，若選自由端一側(cè)為研究對象，可以不必求支座反力。）懸臂梁，若選自由端一側(cè)為研究對象，可以不必求支座反力。） 2 2）分段列出剪力方程和彎矩方程。根據(jù)荷載和支座反力，在集分段列出剪力方程和彎矩方程。根據(jù)荷載和支座反力，在集 中力（包括支座反力）和集中力偶作用處，以及分布荷載的分布中力（包括支座反力）和集中力偶作用處，以及分布荷載的分布 規(guī)律發(fā)生變化處將梁

18、分段，以梁的左端為坐標(biāo)原點，分別列出每規(guī)律發(fā)生變化處將梁分段，以梁的左端為坐標(biāo)原點，分別列出每 一段的內(nèi)力方程。一段的內(nèi)力方程。 3 3）根據(jù)剪力方程和彎矩方程所表示的曲線性質(zhì)，確定畫出這些根據(jù)剪力方程和彎矩方程所表示的曲線性質(zhì)，確定畫出這些 曲線所需要的控制點，即所謂的特征點，求出這些特征點的數(shù)值曲線所需要的控制點，即所謂的特征點，求出這些特征點的數(shù)值 （即求出若干截面的剪力和彎矩）。（即求出若干截面的剪力和彎矩）。 4 4）用與梁軸平行的直線為用與梁軸平行的直線為x x軸，取特征點相應(yīng)的剪力（或彎矩）軸，取特征點相應(yīng)的剪力（或彎矩） 值為豎距，根據(jù)剪力方程（或彎矩方程）所表示的曲線性質(zhì)繪出

19、值為豎距，根據(jù)剪力方程（或彎矩方程）所表示的曲線性質(zhì)繪出 剪力圖（或彎矩圖），并在圖中標(biāo)明各特征點的剪力（或彎矩）剪力圖（或彎矩圖），并在圖中標(biāo)明各特征點的剪力（或彎矩） 的數(shù)值。確定最大內(nèi)力的數(shù)值及位置。的數(shù)值。確定最大內(nèi)力的數(shù)值及位置。 max Q F max M 例例 懸臂梁受集中力作用，如圖懸臂梁受集中力作用，如圖a a）所示。試畫出此梁）所示。試畫出此梁 的彎矩圖和剪力圖，并確定的彎矩圖和剪力圖，并確定和和 。 解：解：1 1）列出剪力方程和彎矩方程）列出剪力方程和彎矩方程 將將x x坐標(biāo)原點取在梁左端，在距左坐標(biāo)原點取在梁左端，在距左 端端A A 為為x x處取一截面。處取一截面。

20、 PQ FxF)( )0(Lx xFxM P )()0(Lx 2)2)計算各特征點的剪力和彎矩值計算各特征點的剪力和彎矩值 因為因為 ，表，表 明梁內(nèi)各截面的剪力都相同。所以明梁內(nèi)各截面的剪力都相同。所以 剪力圖是一條平行于剪力圖是一條平行于x x軸的直線，且軸的直線，且 位于位于x x 軸下方。軸下方。 常數(shù) PQ FxF)( M M（x x）是）是x x 的一次函數(shù)，所以彎矩沿梁軸按直線規(guī)律變的一次函數(shù)，所以彎矩沿梁軸按直線規(guī)律變 化。由于是直線，故只需確定梁內(nèi)任意兩截面的彎矩，便可畫化。由于是直線，故只需確定梁內(nèi)任意兩截面的彎矩，便可畫 出彎矩圖。出彎矩圖。 0 x 0 A M Lx L

21、FM PB 3)3)繪制剪力圖和彎矩圖繪制剪力圖和彎矩圖 由圖可見，在梁右端的固定端面上，彎矩的絕對值最大，剪由圖可見，在梁右端的固定端面上，彎矩的絕對值最大，剪 力則在全梁各截面都相等。力則在全梁各截面都相等。 LFM P max PQ FF max 將靜定梁在常見單種荷載作用下的將靜定梁在常見單種荷載作用下的F FQ Q圖和圖和M M圖匯總于下圖圖匯總于下圖 。熟記這些內(nèi)力圖對以后學(xué)習(xí)有用。熟記這些內(nèi)力圖對以后學(xué)習(xí)有用。 )( )( xq dx xdFQ )( )( xF dx xdM Q )( )( )( 2 2 xq dx xdF dx xMd Q 以上三式就是以上三式就是F FQ Q

22、（x x）、）、M M（x x）、和）、和q q( (x x) )三者之間的微分關(guān)系即：三者之間的微分關(guān)系即： 1.1.剪力方程剪力方程F FQ Q（x x）對）對x x的一階導(dǎo)數(shù)等于荷載集度的一階導(dǎo)數(shù)等于荷載集度q q( (x x),),這一微分關(guān)這一微分關(guān) 系的幾何意義是：剪力圖上某點切線的斜率等于相應(yīng)截面處的分布系的幾何意義是：剪力圖上某點切線的斜率等于相應(yīng)截面處的分布 荷載的集度。荷載的集度。 2.2.彎矩方程彎矩方程M M（x x）對）對x x的一階導(dǎo)數(shù)等于剪力方程，這一微分關(guān)系的的一階導(dǎo)數(shù)等于剪力方程，這一微分關(guān)系的 幾何意義是：彎矩圖上某點切線的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。幾何意義是：彎矩圖上某點切線的斜率等于相應(yīng)