高中數(shù)學(xué) 考點29 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)（含2016高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點29 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1、 選擇題1.（2016浙江高考文科t2)已知互相垂直的平面, 交于直線l.若直線m，n滿足m，n,則（）a.mlb。mnc。nld。mn【解題指南】根據(jù)線、面垂直的定義判斷.【解析】選c.由題意知，=l,所以l，因為n,所以nl.2、 填空題2。（2016全國卷理科t14）,是兩個平面，m,n是兩條直線，有下列四個命題:如果mn，m,n，那么，如果m，n，那么mn；如果，m,那么m；如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等。其中正確的命題有。(填寫所有正確命題的編號)【解題指南】借助正方體模型分析、論證?！窘馕觥繉τ?aa

2、（m）平面abcd(），aa（m）ad(n)，ad(n)平面abcd()，顯然平面abcd（）平面abcd（)，故錯誤；對于，n，由線面平行的性質(zhì)定理,可知n與內(nèi)的一條直線l平行，因為m，所以ml,所以mn,故正確;對于，設(shè)過m的平面交于直線l，因為，m，由面面平行的性質(zhì)定理可知ml，由線面平行的判定定理,可知m,故正確；對于，若m，n分別與平面,平行(或垂直)，結(jié)論顯然成立,若m,n分別與平面,不平行，也不垂直,可以分別作出m,n在平面,內(nèi)的射影,由等角定理,可知結(jié)論也成立,故正確.答案:三、解答題3.（2016全國卷高考文科t18）如圖，已知正三棱錐p-abc的側(cè)面是直角三角形，pa=6,

3、頂點p在平面abc內(nèi)的正投影為點d,d在平面pab內(nèi)的正投影為點e,連接pe并延長交ab于點g。(1）證明:g是ab的中點.（2）在圖中作出點e在平面pac內(nèi)的正投影f(說明作法及理由）,并求四面體pdef的體積.【解題指南】(1）證明abpg.由pa=pb可得g是ab的中點。（2)在平面pab內(nèi)，過點e作pb的平行線交pa于點f，f即為e在平面pac內(nèi)的正投影。根據(jù)正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且pa=6,可得de=2,pe=2.在等腰直角三角形efp中,可得ef=pf=2.四面體pdef的體積v=222=.【解析】(1）因為p在平面abc內(nèi)的正投影為d，所以abpd。因為d在平面pab內(nèi)的正投

4、影為e，所以abde。因為pdde=d，所以ab平面pde,故abpg.又由已知可得，pa=pb，從而g為ab的中點。（2)在平面pab內(nèi),過點e作pb的平行線交pa于點f，f即為e在平面pac內(nèi)的正投影.理由如下:由已知可得pbpa，pbpc，又efpb，所以efpa,efpc。又papc=p，因此ef平面pac,即點f為e在平面pac內(nèi)的正投影.連接cg,因為p在平面abc內(nèi)的正投影為d，所以d是正三角形abc的中心。由（1)知,g是ab的中點,所以d在cg上，故cd=cg。由題設(shè)可得pc平面pab,de平面pab,所以depc，因此pe=pg,de=pc。由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角

5、形且pa=6，可得de=2,pe=2.在等腰直角三角形efp中，可得ef=pf=2。所以四面體pdef的體積v=222=。4.(2016全國卷文科t19）如圖,菱形abcd的對角線ac與bd交于點o，點e,f分別在ad，cd上,ae=cf，ef交bd于點h，將def沿ef折到def的位置.（1）證明：achd.(2）若ab=5，ac=6,ae=,od=2,求五棱錐d-abcfe的體積?！窘忸}指南】（1)先證acef，再證efhd，即可證cd。(2）利用勾股定理,先證d,進(jìn)而可證d平面c，d就是五棱錐的高.再計算底面的面積，進(jìn)而可得五棱錐d-abcfe的體積.【解析】（1）由已知得acbd，ad

6、=cd。又由ae=cf，得,故acef。由此得efhd，故efhd,又acef，所以achd.（2)由acef，得。由ab=5，ac=6，得do=bo=4.所以oh=1,dh=dh=3。于是od2+oh2=(2）2+1=9=dh2,故odoh.由(1）知,achd，又acbd,bdhd=h,所以ac平面bdh。于是acod.又由odoh,acoh=o,所以od平面abc.又由,得ef=。五邊形abcfe的面積s=683=。所以五棱錐dabcfe的體積v=2=.5.(2016浙江高考文科t18）如圖,在三棱臺abc-def中,平面bcfe平面abc，acb=90,be=ef=fc=1,bc=2，

7、ac=3.（1）求證：bf平面acfd。(2）求直線bd與平面acfd所成角的余弦值?！窘馕觥浚?）延長ad,be,cf相交于一點k,如圖所示，因為平面bcfe平面abc,平面bcfe平面abc=bc，ac平面abc，且acbc,所以ac平面bck,所以bfac，又因為efbc,be=ef=fc=1,bc=2，所以bck為等邊三角形,且f為ck的中點，則bfck,acck=c，所以bf平面acfd。(2）因為bf平面ack，所以bdf是直線bd與平面acfd所成的角,在rtbfd中，bf=,df=得cosbdf=,所以直線bd與平面acfd所成角的余弦值為.6.（2016四川高考理科t18)如

8、圖,在四棱錐pabcd中,adbc，adc=pab=90，bc=cd=ad。e為棱ad的中點，異面直線pa與cd所成的角為90.(1)在平面pab內(nèi)找一點m,使得直線cm平面pbe，并說明理由。（2)若二面角p-cd-a的大小為45，求直線pa與平面pce所成角的正弦值.【解題指南】(1）在平面abcd中,找出ab的延長線cm，從而找出點m.(2)根據(jù)題知找出線段之間的關(guān)系，過點a作afec交ec于點f,從而找出線面角，進(jìn)而求出直線pa與平面pce所成角的正弦值?！窘馕觥浚?）延長ab，交直線cd于點m,因為e為ad中點,所以ae=ed=ad，因為bc=cd=ad,所以ed=bc，因為adbc

9、即edbc，所以四邊形bcde為平行四邊形，所以becd，因為abcd=m,所以mcd，所以cmbe,因為be平面pbe,所以cm平面pbe，因為mab,ab平面pab，所以m平面pab，故在平面pab上可找到一點m使得cm平面pbe。(2）過a作afec交ec于點f，連接pf，過a作agpf交pf于點g,因為pab=90，pa與cd所成角為90，所以pacd，paab,因為abcd=m,所以pa平面abcd，因為ec平面abcd，所以paec,因為ecaf且afap=a,所以ce平面paf，因為ag平面paf,所以agce，因為agpf且pfce=f，所以ag平面pfc,所以apf為所求pa

10、與平面pce所成的角，因為pa平面abcd,adc=90,即addc.所以pda為二面角pcd-a所成的平面角，由題意可得pda=45,而pad=90，所以pa=ad,因為bc=cd,四邊形bcde是平行四邊形,adc=90，所以四邊形bcde是正方形，所以bec=45,所以aef=bec=45,因為afe=90，所以af=ae，所以tanapf=，所以sinapf=。7。(2016四川高考文科t17)如圖,在四棱錐pabcd中，pacd,adbc,adc=pab=90,bc=cd=ad。(1）在平面pad內(nèi)找一點m，使得直線cm平面pab，并說明理由.（2）證明:平面pab平面pbd。【解析

11、】(1）取棱ad的中點m(m平面pad),點m即為所求的一個點，理由如下：因為adbc,bc=ad，所以bcam,且bc=am，所以四邊形amcb是平行四邊形,所以cmab。又ab平面pab,cm平面pab,所以cm平面pab。(說明：取棱pd的中點n，則所找的點可以是直線mn上任意一點)（2)由已知，paab,pacd，因為adbc,bc=ad,所以直線ab與cd相交，所以pa平面abcd，所以pabd。因為adbc,bc=ad,m為ad的中點，連接bm,所以bcmd，且bc=md,所以四邊形bcdm是平行四邊形,所以bm=cd=ad,所以bdab，又abap=a,所以bd平面pab,又bd

12、平面pbd，所以平面pab平面pbd.8。(2016江蘇高考t16)（本小題滿分14分）如圖,在直三棱柱abca1b1c1中,d,e分別為ab,bc的中點，點f在側(cè)棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1。求證：(1）直線de平面a1c1f。（2）平面b1de平面a1c1f。【解題指南】根據(jù)三角形的中位線及直三棱柱的性質(zhì),應(yīng)用線面平行，面面垂直的判定定理證明.【證明】(1）因為d，e是中點，所以deac，又aca1c1,所以dea1c1，又因為a1c1平面a1c1f，且de平面a1c1f,所以de平面a1c1f。（2）因為abc-a1b1c1是直三棱柱,所以aa1平面a1b1c1,所以aa1a1c1。又因為a1c1a1b1，且aa1a1b1=a1