結(jié)構(gòu)力學(xué)——靜定結(jié)構(gòu)位移計算

1、學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容 實功和虛功、廣義力和廣義位移，變形體虛功原理，功的實功和虛功、廣義力和廣義位移，變形體虛功原理，功的 互等定理、位移互等定理、反力互等定理。靜定結(jié)構(gòu)在荷載作互等定理、位移互等定理、反力互等定理。靜定結(jié)構(gòu)在荷載作 用下產(chǎn)生的位移計算。剛架和梁的位移計算圖乘法。用下產(chǎn)生的位移計算。剛架和梁的位移計算圖乘法。 學(xué)習(xí)目的和要求學(xué)習(xí)目的和要求 目的：目的：靜定結(jié)構(gòu)位移計算是驗算結(jié)構(gòu)剛度和計算超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)位移計算是驗算結(jié)構(gòu)剛度和計算超靜定結(jié)構(gòu) 所必需的。變形體虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要理論，位所必需的。變形體虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要理論，位 移計算公式就是在此原理上得到的，對于進

2、一步學(xué)習(xí)也起移計算公式就是在此原理上得到的，對于進一步學(xué)習(xí)也起 到重要作用。到重要作用。 要求：要求： 領(lǐng)會變形體虛功原理和互等定理。領(lǐng)會變形體虛功原理和互等定理。 掌握實功、虛功、廣義力、廣義位移的概念。掌握實功、虛功、廣義力、廣義位移的概念。 熟練荷載產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)位移計算。熟練荷載產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)位移計算。 熟練掌握圖乘法求位移。熟練掌握圖乘法求位移。 第四章第四章虛位移原理與靜定結(jié)構(gòu)的位移計算虛位移原理與靜定結(jié)構(gòu)的位移計算 第一節(jié)第一節(jié) 位移計算概述位移計算概述 1、結(jié)構(gòu)的位移、結(jié)構(gòu)的位移 桿系結(jié)構(gòu)在外界因素作用下會產(chǎn)生變形和位移。桿系結(jié)構(gòu)在外界因素作用下會產(chǎn)生變形和位移。 變形變形是指結(jié)構(gòu)原有

3、形狀和尺寸的改變；是指結(jié)構(gòu)原有形狀和尺寸的改變； 位移位移是指結(jié)構(gòu)上各點位置產(chǎn)生的變化是指結(jié)構(gòu)上各點位置產(chǎn)生的變化 線位移（位置移動）線位移（位置移動） 角位移（截面轉(zhuǎn)動）。角位移（截面轉(zhuǎn)動）。 思考：變形與位移的差別？思考：變形與位移的差別？ 第一節(jié)第一節(jié) 位移計算概述位移計算概述 形狀的改變稱變形；位置的改變稱位移形狀的改變稱變形；位置的改變稱位移 Ay Ax A A AB Ax Bx AB= Ax+ Bx A AB 無論是線位移還是角位移，無論絕對位移還無論是線位移還是角位移，無論絕對位移還 是相對位移統(tǒng)稱是相對位移統(tǒng)稱廣義位移廣義位移 絕對位移絕對位移相對位移相對位移 FP 第一節(jié)第一

4、節(jié) 位移計算概述位移計算概述 2、結(jié)構(gòu)位移計算的目的、結(jié)構(gòu)位移計算的目的 (1) (1) 結(jié)構(gòu)剛度驗算的要求。結(jié)構(gòu)剛度驗算的要求。 吊車梁允許的撓度吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度； 高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。最大層間位高度。最大層間位 移移 1/800層高層高 (3) (3) 為分析超靜定結(jié)構(gòu)計算、動力計算和穩(wěn)定計算打基礎(chǔ)為分析超靜定結(jié)構(gòu)計算、動力計算和穩(wěn)定計算打基礎(chǔ). . (2) (2) 施工要求：結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護過程中往往需要施工要求：結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護過程中往往需要 預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取施工措施預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采

5、取施工措施; ; 第一節(jié)第一節(jié) 位移計算概述位移計算概述 如屋架在豎向荷如屋架在豎向荷 載作用下，下弦載作用下，下弦 各結(jié)點產(chǎn)生虛線各結(jié)點產(chǎn)生虛線 所示位移。所示位移。 將各下弦桿做得將各下弦桿做得 比實際長度短些，比實際長度短些， 拼裝后下弦向上拼裝后下弦向上 起拱。起拱。 在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。 建筑起拱 第一節(jié)第一節(jié) 位移計算概述位移計算概述 3、產(chǎn)生位移的主要原因、產(chǎn)生位移的主要原因 各種因素對靜定結(jié)構(gòu)的影響各種因素對靜定結(jié)構(gòu)的影響 內(nèi)力內(nèi)力變形變形位移位移 荷載荷載 溫度改變或溫度改變或 材料脹縮材料脹縮 支座

6、移動或支座移動或 制造誤差制造誤差 產(chǎn)生位移的主要原因主要三種：荷載作用、溫度改變和材料脹縮、產(chǎn)生位移的主要原因主要三種：荷載作用、溫度改變和材料脹縮、 支座移動和制造誤差。支座移動和制造誤差。 4 4 體系特征假定體系特征假定 (3) (3) 理想聯(lián)結(jié)理想聯(lián)結(jié) (1) (1) 線彈性線彈性 (2) (2) 小變形小變形 可以利用虛功概念計算結(jié)構(gòu)的位移 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 1、功的概念、功的概念 功功：是能量變化的度量。用定量形式表述了力在其作是能量變化的度量。用定量形式表述了力在其作 用點的運動路程上對物體作用的效果。用點的運動路程上對物體作用的效果。 功功 = =

7、力力力作用點沿力方向上的位移力作用點沿力方向上的位移 FW P 理解為廣義力理解為廣義力 P F 廣義力與廣義位移的乘積具有功的量綱。廣義力與廣義位移的乘積具有功的量綱。 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。 (1) 常力作功常力作功 S FP cosSFW P (2) 變力作功變力作功 FP yFyFFWdddd PPP )( PP 2 1 dFWW y （力與位移有因果關(guān)系）（力與位移有因果關(guān)系） yd O 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 虛功虛功：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。：力在非自身所產(chǎn)生的位移

8、上所作的功。 （力與位移相互獨立）（力與位移相互獨立） 121P12 FW FP1 11 12 FP2 22 （此過程力保持為常量）（此過程力保持為常量） 虛功具體有兩種情況：虛功具體有兩種情況： 1 作功雙方其一是虛設(shè)的；作功雙方其一是虛設(shè)的； 2 作功雙方均是實際存在的，但彼此無關(guān)。作功雙方均是實際存在的，但彼此無關(guān)。 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 注意： 定義定義“功功”時對產(chǎn)生位移的原因沒有給予限制，作功時對產(chǎn)生位移的原因沒有給予限制，作功 的兩個要素中，若力在其自身引起的位移上作功，則的兩個要素中，若力在其自身引起的位移上作功，則 稱稱實功實功；若力在由其他原因引起的位

9、移上作功，則稱；若力在由其他原因引起的位移上作功，則稱 虛功虛功； 為便于功的計算，引入廣義力和廣義位移的概念：為便于功的計算，引入廣義力和廣義位移的概念： 凡與力相關(guān)的因子均稱凡與力相關(guān)的因子均稱廣義力廣義力（如集中力、分布（如集中力、分布 力，力偶等）力，力偶等） 凡與位移相關(guān)的因子均稱凡與位移相關(guān)的因子均稱廣義位移廣義位移（如線位移、（如線位移、 角位移等）角位移等） ：結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、 角位移、相對線位移、相對角位移或者是一組位移等角位移、相對線位移、相對角位移或者是一組位移等 等都可泛稱為廣義位移。等都可泛稱為廣義位移。 廣

10、義位移廣義位移 ：與廣義位移對應(yīng)的就是廣義力，可以是與廣義位移對應(yīng)的就是廣義力，可以是 一個集中力，集中力偶或一對大小相等方向相反一個集中力，集中力偶或一對大小相等方向相反 的力或力偶，也可以是一組力系的力或力偶，也可以是一組力系。 注意：廣義位移與廣義力的對應(yīng)關(guān)系，注意：廣義位移與廣義力的對應(yīng)關(guān)系， 能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才 稱為與這組廣義位移對應(yīng)的廣義力。稱為與這組廣義位移對應(yīng)的廣義力。 廣義力廣義力 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 作功的廣義力可以是單個力，也可以是一組力；作功的廣義力可以是單個力，也可以是一組力； 未必發(fā)生但能

11、滿足物體連續(xù)變化和約束條件的微小變未必發(fā)生但能滿足物體連續(xù)變化和約束條件的微小變 形稱形稱虛變形虛變形。虛變形是合理的，但不一定是真實的。虛變形是合理的，但不一定是真實的。 虛變形各種各樣，但在某一原因作用下的真實變形卻虛變形各種各樣，但在某一原因作用下的真實變形卻 是確定的，真實變形是虛變形中的一個。是確定的，真實變形是虛變形中的一個。 廣義力和廣義位移均可有不同的量綱，但其乘積必廣義力和廣義位移均可有不同的量綱，但其乘積必 須具有功的量綱。須具有功的量綱。 回顧 （1）質(zhì)點系的虛功原理 具有理想約束的質(zhì)點系，在某一位具有理想約束的質(zhì)點系，在某一位 置處于平衡的必要和充分條件是：置處于平衡的

12、必要和充分條件是： 1P F 2N F 1N F 2P F 1 m 2 m fi ri=0 對于任何對于任何可能可能的虛位移，作用于質(zhì)的虛位移，作用于質(zhì) 點系的主動力所做虛功之和為點系的主動力所做虛功之和為零零。也。也 即即 （2）剛體系的虛功原理 去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。 則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是： 對于任何對于任何可能可能的虛位移，的虛位移， 作用于剛體系的所有外力所做作用于剛體系的所有外力所做 虛功之和為零。虛功之和為零。 FP Ax F B F Ay F P B -

13、FPP+FBB=0 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 2 2 虛功原理虛功原理 （1 1）剛體系的虛功原理）剛體系的虛功原理 剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對于任何可能的剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對于任何可能的 虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。 （2 2）變形體的虛功原理）變形體的虛功原理 任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個虛位移任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個虛位移 時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功 We恒等恒等 于變形體各于變形體各微段

14、外力微段外力在在微段變形微段變形上作的虛功之和上作的虛功之和 Wi i。 也即恒有如下虛功方程成立：也即恒有如下虛功方程成立： We = Wi 變形體虛功原理的必要性證明變形體虛功原理的必要性證明: : FN M+dM M q d d 剛體位移變形 力狀態(tài)力狀態(tài) （滿足平衡條件）（滿足平衡條件） 位移狀態(tài)位移狀態(tài) （滿足約束條件）（滿足約束條件） FN dFN FSFS dFS 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 d 按外力虛功和內(nèi)力虛功計算按外力虛功和內(nèi)力虛功計算 微段虛功總和微段虛功總和 = = 微段外力虛功微段外力虛功 + + 微段內(nèi)力虛功微段內(nèi)力虛功 所以所以 由于變形連續(xù)及相

15、鄰截面內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)系由于變形連續(xù)及相鄰截面內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)系 d Wz=d We+d Wi Wz= We+ Wi Wz= We Wi = 0 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 按剛體虛功和變形虛功計算按剛體虛功和變形虛功計算 微段虛功總和微段虛功總和 = = 微段剛體虛功微段剛體虛功 + + 微段變形虛功微段變形虛功 所以所以 基于平衡狀態(tài)的剛體虛功原理基于平衡狀態(tài)的剛體虛功原理 d Wz= d Wg+d Wi d WZ = d Wi d Wg = 0 Wz = Wi 故有故有 Wz= We Wi 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 對于直桿體系，由于

16、變形互不耦連，有對于直桿體系，由于變形互不耦連，有: 虛功方程虛功方程 ddd SN FFM 內(nèi)力總虛功內(nèi)力總虛功 ddd SNi FFMW sqPW i i ji i i d qP e外力總虛功外力總虛功 sqP i i ji i i d qP ie WW 力狀態(tài)的外力和內(nèi)力都是不變的常力；力狀態(tài)的外力和內(nèi)力都是不變的常力； “虛虛”僅僅表明作功雙方是相互獨立的。當(dāng)一僅僅表明作功雙方是相互獨立的。當(dāng)一 方是真實的時候，另一方即可按要求假設(shè)。方是真實的時候，另一方即可按要求假設(shè)。 當(dāng)體系沒有變形時當(dāng)體系沒有變形時Wi= 0 ,即即 We= 0。說說 明剛體虛功原理是變形體虛功原理的特例明剛體虛

17、功原理是變形體虛功原理的特例; ; 原理說明： 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 從變形類型看從變形類型看：即可以考慮彎曲變形，也可考慮拉伸和剪：即可以考慮彎曲變形，也可考慮拉伸和剪 切變形；切變形； 虛功原理的虛功原理的結(jié)論具有普遍性。表現(xiàn)在：結(jié)論具有普遍性。表現(xiàn)在： 從變形因素看從變形因素看：即可以考慮荷載作用引起的位移，也可考：即可以考慮荷載作用引起的位移，也可考 慮溫度改變和支座移動引起的位移；慮溫度改變和支座移動引起的位移； 從結(jié)構(gòu)類型看從結(jié)構(gòu)類型看：即可用于靜定結(jié)構(gòu)，又可用于超靜定結(jié)構(gòu)；：即可用于靜定結(jié)構(gòu)，又可用于超靜定結(jié)構(gòu)； 從材料性質(zhì)看從材料性質(zhì)看：即可用于線彈性結(jié)構(gòu)

18、，又可用于非彈性結(jié)構(gòu)。：即可用于線彈性結(jié)構(gòu)，又可用于非彈性結(jié)構(gòu)。 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 由于作功雙方地位平等，所以可虛擬任何一方，由此原理由于作功雙方地位平等，所以可虛擬任何一方，由此原理 可有兩個方面的應(yīng)用：可有兩個方面的應(yīng)用： 虛功方程同時應(yīng)用了平衡條件和變形連續(xù)條件，虛功方程同時應(yīng)用了平衡條件和變形連續(xù)條件， 因此方程是即可用來代替幾何方程，又可代替平因此方程是即可用來代替幾何方程，又可代替平 衡方程的綜合方程。衡方程的綜合方程。 實際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，實際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)， 將將位移分析化為平衡問題來求解位移分析化為平衡

19、問題來求解。 虛力原理虛力原理 實際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，實際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)， 將將平衡問題化為幾何問題來求解平衡問題化為幾何問題來求解。 虛位移原理虛位移原理 第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 第三節(jié)第三節(jié) 位移計算公式位移計算公式 單位荷載法單位荷載法 (Dummy-UnitLoadMethod) 是是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874 1874提出，故也稱為提出，故也稱為Maxwell-Mohr Method。 用虛功原理，位移狀態(tài)即實際狀態(tài)，另虛設(shè)一個力狀態(tài)用虛功原理，位移狀態(tài)即實際狀態(tài)，另虛設(shè)一個力狀態(tài) （稱力虛設(shè)

20、狀態(tài)），要（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要使虛擬力的虛功正好等于所求位移使虛擬力的虛功正好等于所求位移， 故稱為單位荷載法故稱為單位荷載法。 1 1、一般位移計算公式、一般位移計算公式 協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài) 平衡的力平衡的力 狀狀 態(tài)態(tài) AB k 1 P F By F Ay F Ax F c1c2 k k FP q(x) AB 考察同一結(jié)構(gòu)的兩個狀態(tài)，欲求考察同一結(jié)構(gòu)的兩個狀態(tài)，欲求 k 點位移點位移 k 實際狀態(tài) 虛設(shè)狀態(tài) iNQ dddWMFF iik cFW Re 1 iik cFFFM RSN ddd 外力虛功外力虛功 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 由虛功方程由虛功方程 ei WW 此式即為平面結(jié)構(gòu)位

21、移計算一般公式。此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計算一般公式。 若結(jié)果為正，表明的實際位移方向與虛設(shè)力的方向相同。若若結(jié)果為正，表明的實際位移方向與虛設(shè)力的方向相同。若 結(jié)果為負，表明的實際位移方向與虛設(shè)力的方向相反結(jié)果為負，表明的實際位移方向與虛設(shè)力的方向相反 (1)(1)在擬求位移點沿位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載；在擬求位移點沿位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載； (2)(2)在單位荷載作用下，由平衡條件求虛內(nèi)力和虛在單位荷載作用下，由平衡條件求虛內(nèi)力和虛 反力；反力； (3)(3)由位移計算公式求相應(yīng)位移。由位移計算公式求相應(yīng)位移。 第三節(jié)第三節(jié) 位移計算公式位移計算公式 求求1點豎向點豎向 線位移線位移 求求1

22、點絕對點絕對 角位移角位移 求求1、2點的點的 相對線位移相對線位移 廣義力與廣義位移對應(yīng)關(guān)系：廣義力與廣義位移對應(yīng)關(guān)系： 1 11 2 1 P F 1 M 1 P F 1 P F 第三節(jié)第三節(jié) 位移計算公式位移計算公式 求求1、2兩截面的兩截面的 相對角位移相對角位移 求求12桿件的桿件的 轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)角位移 廣義力與廣義位移對應(yīng)關(guān)系：廣義力與廣義位移對應(yīng)關(guān)系： 1 2aF/ 1 P 12a aF/ 1 P 1 M 1 M 第三節(jié)第三節(jié) 位移計算公式位移計算公式 線彈性、小變形假設(shè)下，荷載作用引起的位移：線彈性、小變形假設(shè)下，荷載作用引起的位移： ddd SN FFMk 真實變形真實變形 虛擬

23、內(nèi)力虛擬內(nèi)力 2 2、荷載作用下的位移計算公式、荷載作用下的位移計算公式 第三節(jié)第三節(jié) 位移計算公式位移計算公式 s GA FF ks EA FF s EI MM k ddd SPSNPNP P 例題例題：求結(jié)構(gòu)求結(jié)構(gòu)A A點豎向位移點豎向位移 AB C q x x AB C 1 2 2 1 qxM P 0 N P F qxF P S xM 0 N F 1 S F 2 2 1 qlM P AB段內(nèi)力函數(shù)段內(nèi)力函數(shù) BC段內(nèi)力函數(shù)段內(nèi)力函數(shù) lM x x 1 N FqlF P N 0 S P F0 S F 第三節(jié)第三節(jié) 位移計算公式位移計算公式 ll AV EI x qll EI x qxx 0

24、 2 2 1 0 2 2 1 dd )()( ll GA x qxk EA x ql 00 d 1 d 1)()( )( 22 4 5 4 5 8 1 8 5 GAl EI k Al I EI ql 設(shè)桿件截面形狀為矩形：設(shè)桿件截面形狀為矩形：bhA 3 12 1 bhI 5 6 k 則：則： 10 1 l h 土木工程中桿件一般：土木工程中桿件一般： EG40. 150 1 750 1 1 8 5 4 EI ql AV 可見對以彎曲為主的細長桿可見對以彎曲為主的細長桿 結(jié)構(gòu)的位移計算可忽略軸向結(jié)構(gòu)的位移計算可忽略軸向 變形和剪切變形的影響變形和剪切變形的影響 第三節(jié)第三節(jié) 位移計算公式位移計

25、算公式 各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式 1、梁和剛架：、梁和剛架： EI sMM i d P P 2、桁、桁 架：架： EA lFF EA sFF i NPNNPN P d 3、組合結(jié)構(gòu)：、組合結(jié)構(gòu)： s EA FF s EI MM k dd NPNP P 4、拱結(jié)構(gòu)：、拱結(jié)構(gòu)： 拱內(nèi)彎矩較小時：拱內(nèi)彎矩較小時： 拱內(nèi)彎矩較大時：拱內(nèi)彎矩較大時： s EI MM k d P P 荷載引起的位 移與桿件的絕 對剛度值有關(guān) s EA FF s EI MM k dd NPNP P 第三節(jié)第三節(jié) 位移計算公式位移計算公式 例6-1圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截 面慣性矩I 均為常數(shù)，

26、試求B點的豎向位移BV， 水平位移BH,和位移B。 q a a A C B x E I=常 數(shù) 解解: ( (1) ) 作出荷載作用下作出荷載作用下 的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。 橫梁橫梁BC 2 P 2 1 )(qxxM)0(ax 豎柱豎柱CA 2 P 2 1 )(qaxMA C B ql 2 MP 0.5 )0(ax (2)求B 點的豎向位移BV A C a B M a 1 寫出各桿單位力作用下的寫出各桿單位力作用下的 彎矩方程彎矩方程式，式，畫出彎矩圖畫出彎矩圖 橫梁BC 豎柱CA xxM)( axM)( a o B x EI MM d P V EI x

27、qaa EI x qxx a o a o d 2 1d 2 1 22 )( 8 5 2 1 2 1 4 1 4 34 EI qa xax EI q a o )0(ax )0(ax (3)求求B點的水平位移點的水平位移BH 在在B點加單位水平力。畫出點加單位水平力。畫出 彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程 B C M=a x x A a a-x 1 橫梁BC 0)(xM 豎柱CA xxM)( a B x EI MM 0 P H d EI x qax a d 2 1 )( 0 2 )( 4 1 4 EI qa 注意：負號表示位移 的方向與假設(shè)的單位 力的方向相反。 )0(ax )

28、0(ax （4）求B點的線位移B 2 U 2 VBBB EI qa 4 8 29 在桿件數(shù)量多或荷載較復(fù)雜的情況下，不方在桿件數(shù)量多或荷載較復(fù)雜的情況下，不方 便。下面尋求一種簡單的計算位移的法。便。下面尋求一種簡單的計算位移的法。 s EI MM i d P P 受彎為主的構(gòu)件位移計算常遇到積分公式：受彎為主的構(gòu)件位移計算常遇到積分公式： 利用圖形的靜矩原理將利用圖形的靜矩原理將圖形積分圖形積分變?yōu)樽優(yōu)閳D形相乘圖形相乘 稱莫爾積分 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用 s EI MM d P sMM EI d 1 P xxM EI d tan P cc Ay EI xA EI 1tan

29、 xMM EI d 1 P 對于直桿對于直桿 xsdd tanxM 對直線彎矩圖對直線彎矩圖 EI Ay c iP 對于等剛度桿對于等剛度桿 constEI Ax EI d tan xc x yc x y C AB MP M 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用 方法使用條件方法使用條件 注意事項 1 1、等剛直桿、等剛直桿 2 2、至少有一直線圖、至少有一直線圖 和和 yc為代數(shù)量，若它們在桿軸線同側(cè)，則乘積為正；為代數(shù)量，若它們在桿軸線同側(cè)，則乘積為正； 反之為負；反之為負； 拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過積分的拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過積分的 方式求解；方式求解

30、； 應(yīng)用圖乘法首先熟練掌握常用圖形面積及形心位置。應(yīng)用圖乘法首先熟練掌握常用圖形面積及形心位置。 這也是圖乘法的亮點這也是圖乘法的亮點 3 3、yc 應(yīng)取自直線圖中應(yīng)取自直線圖中 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用 EI Ay c iP 常見圖形面積和形心常見圖形面積和形心 矩矩 形形al lxc 2 1 三角形三角形 al 2 1 lxc 3 1 拋物形拋物形 al 3 1 lxc 4 1 al 3 2 lxc 8 3 al 3 2 lxc 2 1 l a l a l a a l 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用 a l 當(dāng)圖形的面積或形心位置不便確定時，可把它們分解為當(dāng)圖

31、形的面積或形心位置不便確定時，可把它們分解為 幾個簡單圖形的疊加（分解方法不唯一）幾個簡單圖形的疊加（分解方法不唯一） l a b l a b 1 y 2 y 1 y 2 y cdy 3 1 3 2 1 cdy 3 2 3 1 2 cdy 3 1 3 2 1 cdy 3 2 3 1 2 al 2 1 1 bl 2 1 2 d c 2 1 1 2 d c i，yi是是 代數(shù)量代數(shù)量 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用 l a b l a b )22( 6 acbdadbc EI l d c d c )2-2- ( 6 acbdadbc EI l 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 例題例題. .

32、已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求B點的轉(zhuǎn)角位移點的轉(zhuǎn)角位移 l/2 AB l/2 EI FP 1M AB 4 /lF P 1 43 2 2 1 22 11 Pl Fl EI B ( EI lFlFl 1643 1 2 1 22 1 2 PP ) 42 1 2 1 2 Pl Fl EI lFlF l EI B 162 1 42 11 2 PP )( MP圖圖 M圖圖 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 ql2/2 EI ql ll ql EI B 84 3 23 11 42 例題：例題：求梁求梁B 點豎向位移。點豎向位移。 3l/4 解題步驟：解題步驟： 虛擬力狀態(tài)；虛擬力狀態(tài)； 分別作荷載彎矩圖和

33、單位彎矩圖；分別作荷載彎矩圖和單位彎矩圖； 計算位移。計算位移。 l q A B MP圖圖 P=1 l M圖圖 ql l EI B 1 EI qllqlll l ql EI BV 24 11 283 2 3 2 2 3 2 11 422 ql2/8 3ql2/2 MP l M 求求B點豎向位移。點豎向位移。 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 PP aaa 例題例題：求圖示梁中點的撓度。求圖示梁中點的撓度。 PaPa P=1 EI Pa Pa aaaPa EI aa 24 23 2 22 2 23 2 2 1 3 4 3 2 a/2 a/2 Paa a EI 3 4 3 2 11 ？ 兩個圖形均非直線

34、性 MP圖圖 M圖圖 4 3 a 例題：例題：求圖示梁求圖示梁C點的撓度。點的撓度。 l/2 l/6 l 6EI Pl 12 3 Pl EI C 2 1 2 EI Pl 48 5 3 Pl 6 5 ll EI y C 222 1 0 5Pl/6 ？ 豎標(biāo)不是取在直線圖形中 P l/2l/2 C Pl MP圖圖 C P=1 M圖圖 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 對折線段要分對折線段要分 成直線段做成直線段做。 )( 332211 1 yyy EI 1 y 2 y 3 y l 1 y 2 y 3 y 對剛度不同的對剛度不同的 區(qū)段要分段做區(qū)段要分段做 1 2 3 l 1 2 3 3 33 2 22

35、1 11 EI y EI y EI y 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 取取 yc的圖形必須是直線，不能是曲線或折線。的圖形必須是直線，不能是曲線或折線。 不同的圖乘方式，其難易程度不同。不同的圖乘方式，其難易程度不同。 當(dāng)兩個圖形均為直線圖形時，取那個圖形的面當(dāng)兩個圖形均為直線圖形時，取那個圖形的面 積均可。積均可。 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 練習(xí)練習(xí).已知已知 EI 為常數(shù)，求中點為常數(shù)，求中點C點的豎向位移點的豎向位移 l/2 AB EIC q l/2 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)，求距右支座為常數(shù)，求距右支座l/3處處C點的豎向位移。點的豎向位移。 2l

36、/3 AB EIC q l/3 9/ 2 ql MP圖圖 9/2l M圖圖 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 求求C截面豎向位移截面豎向位移 C 9 2 3 2 9 1 3 2 2 1 9 2 2 1 3 2 8 1 3 2 3 21 2 2 l ql lll q l EI B ( ) 9 2 3 2 9 1 32 1 9 2 2 1 38 1 33 2 2 2 l ql lll q l )( 972 11 4 EI ql 9/ 2 ql MP圖圖 9/2lM圖圖 1. 1. 圖乘法的應(yīng)用條件：圖乘法的應(yīng)用條件： （1 1）等剛度直桿；）等剛度直桿； （2 2）兩個內(nèi)力圖中應(yīng)有一個是直線）兩個內(nèi)力圖

37、中應(yīng)有一個是直線； （3 3）yc 應(yīng)取自直線圖中。應(yīng)取自直線圖中。 2. 2. 若若 與與yc 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)， yc 取正值；反之，取正值；反之， 取負值。取負值。 3. 3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形. . 圖乘法小結(jié)圖乘法小結(jié) 練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求A、B兩點的相對位移兩點的相對位移 AB l h AB CD q 求求AB兩點的相對水平位移。兩點的相對水平位移。 36 18 9 MPP=1 P=1 6 3 M EI -756 3 3 2 2 318 EI 6 4 3 636 3 11 2 63 96 3 2 EI

38、 61833631826362 6 61 6kN 2kN/m 2kN/m 6m 3m3m A B EI=常數(shù)常數(shù) 9 9 9 9 9 9 9 練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)為常數(shù),求求C鉸兩側(cè)相對轉(zhuǎn)角位移鉸兩側(cè)相對轉(zhuǎn)角位移 q ll l AB D C 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 練習(xí)練習(xí). 已知已知 EA 為常數(shù)為常數(shù),求求D點水平位移點水平位移 D以及以及EC桿的轉(zhuǎn)角位桿的轉(zhuǎn)角位 移移 EC A B C DEF FP 2a a 只需求出都為非零桿內(nèi)力 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 練習(xí)練習(xí). . 已知已知 EI 為常數(shù)，試問當(dāng)為常數(shù)，試問當(dāng)FP為何值時，為何值時，B點豎向位點豎向位 移移

39、B0. A B l q FP 彈性支座處理：彈性支座處理： 方法方法1. 將彈簧看成是結(jié)將彈簧看成是結(jié) 構(gòu)中的一個可變形的構(gòu)件構(gòu)中的一個可變形的構(gòu)件 （拉壓桿）（拉壓桿） 方法方法2. 將彈簧支座的變將彈簧支座的變 形看成是主體結(jié)構(gòu)的支形看成是主體結(jié)構(gòu)的支 座位移。座位移。 k F FdFc N NN )( k F FcFc R RiRi k FP l a A BC EI 第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 第五節(jié)第五節(jié) 非荷載因素作用下位移計算非荷載因素作用下位移計算 1 1、溫度的改變雖不產(chǎn)生內(nèi)力，但產(chǎn)生位移、溫度的改變雖不產(chǎn)生內(nèi)力，但產(chǎn)生位移 1 t 2 t 溫度改變引起的微段變形溫度改變引起的

40、微段變形 中性軸中性軸 h xd xt d 2 xt d 1 x tt d 2 12 stsd d d 0 s h t s h tt sdddd 12 )( 當(dāng)溫度變形與虛內(nèi)力變形當(dāng)溫度變形與虛內(nèi)力變形 方向一致時，乘積為正方向一致時，乘積為正 溫度改變不產(chǎn)生剪切變形溫度改變不產(chǎn)生剪切變形0d stFs h t M k dd 0Nt N 0 FM AtA h t 1 t 2 t A BC 單位彎矩單位彎矩 圖面積圖面積 單位軸力單位軸力 圖面積圖面積 第五節(jié)第五節(jié) 非荷載因素作用下位移計算非荷載因素作用下位移計算 由溫度變化引起的位移與剛度系數(shù)無關(guān)，由溫度變化引起的位移與剛度系數(shù)無關(guān)， 所以不

41、能通過增加剛度的方法控制位移。所以不能通過增加剛度的方法控制位移。 溫度改變引起的軸向變形已不能忽略。溫度改變引起的軸向變形已不能忽略。 注：注： 第五節(jié)第五節(jié) 非荷載因素作用下位移計算非荷載因素作用下位移計算 2 2下料誤差處理下料誤差處理 將桿件加長看成桿件變形。將桿件加長看成桿件變形。 只須求出下料有誤的桿只須求出下料有誤的桿 件內(nèi)力件內(nèi)力 020 2 1 2 C .)( C 例題例題. . 桁架上弦桿每桿按設(shè)計長出桁架上弦桿每桿按設(shè)計長出0.02米，求由此引起的米，求由此引起的 C點豎向位移點豎向位移 C ？ A B C DEF 2 6 m 6 m lF kNC m 020. 第五節(jié)第

42、五節(jié) 非荷載因素作用下位移計算非荷載因素作用下位移計算 3 3支座移動引起的位移支座移動引起的位移 利用剛體虛功原理利用剛體虛功原理 例題例題. . 由于由于固端固端支座發(fā)生偏轉(zhuǎn)，求引起支座發(fā)生偏轉(zhuǎn)，求引起k 點的豎向位移。點的豎向位移。 iik cF R k 1 M = l k k l/2ll/2 iik cF R )( l 第五節(jié)第五節(jié) 非荷載因素作用下位移計算非荷載因素作用下位移計算 第五節(jié)第五節(jié) 其它因素產(chǎn)生的位移其它因素產(chǎn)生的位移 例題：例題：求圖示結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的位移。求圖示結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的位移。 a b l/2l/2 h 1 1 0 A Y 1 B h X 0 B Y

43、 1 A h X 弧度 h a cR 解：虛擬單位荷載，由平衡條件，求支座反力。解：虛擬單位荷載，由平衡條件，求支座反力。 代入公式求位移。代入公式求位移。 第五節(jié)第五節(jié) 其它因素產(chǎn)生的位移其它因素產(chǎn)生的位移 例題：例題：求圖示剛架求圖示剛架C C點的豎向位移。各桿截面為矩形。點的豎向位移。各桿截面為矩形。 a a 0 10 10 C P1 P1 1 a 100105 2 010 0 tt ）（ a a h t h t NMc 5 2 310 2 h a a 3 15 FN圖圖 M圖圖 材料滿足線彈性，小變形的假設(shè)材料滿足線彈性，小變形的假設(shè) AB FP q 2 AB M q 1 考察同一結(jié)構(gòu)

44、的兩種受力和變形狀態(tài)?？疾焱唤Y(jié)構(gòu)的兩種受力和變形狀態(tài)。 兩種狀態(tài)均滿足受力平衡和變形協(xié)調(diào)。兩種狀態(tài)均滿足受力平衡和變形協(xié)調(diào)。 第六節(jié)第六節(jié) 線彈性體系的互等定理線彈性體系的互等定理 s EA FF GA FF k EI MM W i l )d( NN QQ 21 0 21 21 12 s EA FF GA FF k EI MM W i l )d( NN QQ 12 0 12 12 21 2112 WW 功的互等定理功的互等定理：處于平衡且滿足協(xié)調(diào)的兩處于平衡且滿足協(xié)調(diào)的兩 個狀態(tài)個狀態(tài)1 1、2 2，狀態(tài)，狀態(tài)1 1 的外力在狀態(tài)的外力在狀態(tài)2 2 的位移的位移 上所作的總虛功等于狀態(tài)上所作的總虛功等于狀態(tài)2 2 的外力在狀態(tài)的外力在狀態(tài)1 1 的位移上所作的總虛功。的位移上所作的總虛功。 第六節(jié)第六節(jié) 線彈性體系的互等定理線彈性體系的互等定理 12 21 2121212112 WFFW PP 21 1P 21 P2 12 12 F F AB FP2 2 AB FP1 1 第六節(jié)第六節(jié) 線彈性體系的互等定理線彈性體系的互等定理 2112 位移互等定理位移互等定理：同一結(jié)構(gòu)，在位置同一結(jié)構(gòu)，在位置1 1 作用作用 單位力引起位置單位力引起位置2 2 處的位移，等于在位置處的位移，等于在位置2 2 作用單位力引起位置作用單位力引起位置1 1 處