第五章平均指標(biāo)

1、第五章第五章 平均指標(biāo)平均指標(biāo) 第一節(jié)第一節(jié) 平均指標(biāo)的意義和特點(diǎn)平均指標(biāo)的意義和特點(diǎn) n一、平均指標(biāo)的概念一、平均指標(biāo)的概念 n 同質(zhì)總體某一標(biāo)志在一定時間、地點(diǎn)、條同質(zhì)總體某一標(biāo)志在一定時間、地點(diǎn)、條 件下所達(dá)到的一般水平，是總體的代表值，件下所達(dá)到的一般水平，是總體的代表值， 它描述分布數(shù)列的集中趨勢。它描述分布數(shù)列的集中趨勢。 n二、平均指標(biāo)的特點(diǎn)二、平均指標(biāo)的特點(diǎn) n1、同質(zhì)性、同質(zhì)性 n2、代表性、代表性 n3、抽象性、抽象性 n三、平均指標(biāo)的作用三、平均指標(biāo)的作用 n1、可以比較同類現(xiàn)象在不同單位、不同地區(qū)、可以比較同類現(xiàn)象在不同單位、不同地區(qū) 間的平均水平。間的平均水平。 n2

2、、可以比較同類現(xiàn)象在不同時期的平均水平。、可以比較同類現(xiàn)象在不同時期的平均水平。 n3、可用于研究事物之間的依存關(guān)系。、可用于研究事物之間的依存關(guān)系。 n4、利用平均數(shù)還可以進(jìn)行推算和預(yù)測。、利用平均數(shù)還可以進(jìn)行推算和預(yù)測。 四、平均指標(biāo)的種類四、平均指標(biāo)的種類 n算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) n調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) 數(shù)值平均數(shù)數(shù)值平均數(shù) n幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) n眾數(shù)眾數(shù) 位置平均數(shù)位置平均數(shù) n中位數(shù)中位數(shù) 第二節(jié)第二節(jié) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) n一、算術(shù)平均數(shù)的概念一、算術(shù)平均數(shù)的概念 n 算術(shù)平均數(shù)是總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)是總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的平均數(shù)。 n 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)

3、平均數(shù)=標(biāo)志總量標(biāo)志總量總體總量總體總量 n二、算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù)的比較二、算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù)的比較 n1、概念不同。強(qiáng)度相對數(shù)是兩個有聯(lián)系而性質(zhì)不同的總體對比、概念不同。強(qiáng)度相對數(shù)是兩個有聯(lián)系而性質(zhì)不同的總體對比 而形成相對數(shù)指標(biāo)。算術(shù)平均數(shù)是反映同質(zhì)總體單位標(biāo)志值一而形成相對數(shù)指標(biāo)。算術(shù)平均數(shù)是反映同質(zhì)總體單位標(biāo)志值一 般水平的指標(biāo)。般水平的指標(biāo)。 n2、主要作用不同。強(qiáng)度相對數(shù)反映兩不同總體現(xiàn)象形成的密度、主要作用不同。強(qiáng)度相對數(shù)反映兩不同總體現(xiàn)象形成的密度、 強(qiáng)度。算術(shù)平均數(shù)反映同一現(xiàn)象在同一總體中的一般水平。強(qiáng)度。算術(shù)平均數(shù)反映同一現(xiàn)象在同一總體中的一般水平。 n3、計算公式

4、及內(nèi)容不同。算術(shù)平均數(shù)分子、分母分別是同一總、計算公式及內(nèi)容不同。算術(shù)平均數(shù)分子、分母分別是同一總 體的標(biāo)志總量和總體單位數(shù)，分子、分母的元素具有一體的標(biāo)志總量和總體單位數(shù)，分子、分母的元素具有一 一對應(yīng)一對應(yīng) 的關(guān)系，即分母每一個總體單位都在分子可找到與之對應(yīng)的標(biāo)的關(guān)系，即分母每一個總體單位都在分子可找到與之對應(yīng)的標(biāo) 志值，反之，分子每一個標(biāo)志值都可以在分母中找到與之對應(yīng)志值，反之，分子每一個標(biāo)志值都可以在分母中找到與之對應(yīng) 的總體單位。而強(qiáng)度相對數(shù)是兩個總體現(xiàn)象之比，分子分母沒的總體單位。而強(qiáng)度相對數(shù)是兩個總體現(xiàn)象之比，分子分母沒 有一有一 一對應(yīng)關(guān)系。一對應(yīng)關(guān)系。 三、算術(shù)平均數(shù)由于掌握

5、的資料不同和計算上的三、算術(shù)平均數(shù)由于掌握的資料不同和計算上的 復(fù)雜程度不同，可分為簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算復(fù)雜程度不同，可分為簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算 術(shù)平均數(shù)。術(shù)平均數(shù)。 n1、簡單算術(shù)平均法、簡單算術(shù)平均法 n 計算公式：計算公式： n 其中：其中： 代表算術(shù)平均數(shù)，代表算術(shù)平均數(shù)，xi代表各單位標(biāo)志值代表各單位標(biāo)志值 （變量值），（變量值），n代表總體單位數(shù)（項數(shù)）。代表總體單位數(shù)（項數(shù)）。 n采用條件：當(dāng)統(tǒng)計資料未分組時可用簡單算術(shù)平均法采用條件：當(dāng)統(tǒng)計資料未分組時可用簡單算術(shù)平均法 計算；如果是組距式資料計算；如果是組距式資料,則要計算組中值作為代表標(biāo)則要計算組中值作為代表標(biāo) 志值進(jìn)行

6、計算。志值進(jìn)行計算。 n x x n 1 n x.xx X n 1i i n21 X 例：某公司下屬各店職工按工齡分組情況例：某公司下屬各店職工按工齡分組情況 工齡 組中值 x 人 數(shù) f 一店二店三店四店五店 02年 2 5年 5 10年 10 20年 1.0 3.5 7.5 15.0 1 1 1 1 7 7 7 7 25 25 25 25 1 3 6 10 10 6 3 1 合計4281002020 平均工齡6.756.756.7510.3253.425 n2、加權(quán)算術(shù)平均法、加權(quán)算術(shù)平均法 n計算公式：計算公式： n其中：其中： 代表算術(shù)平均數(shù)，代表算術(shù)平均數(shù)，x 代表各單位標(biāo)志值（變代

7、表各單位標(biāo)志值（變 量值），量值），f 代表各組單位數(shù)（項數(shù)）。代表各組單位數(shù)（項數(shù)）。 75. 6 4 155 . 75 . 31 n x 一店平均工齡 f xf f.ff fx.fxfx X n21 nn2211 X n一、二、三店人數(shù)相差很遠(yuǎn)，但平均工齡相等。一、二、三店人數(shù)相差很遠(yuǎn)，但平均工齡相等。 n四、五店人數(shù)相等，但平均工齡相差很大。四、五店人數(shù)相等，但平均工齡相差很大。 n結(jié)論：平均數(shù)水平高低受兩個因素的影響：結(jié)論：平均數(shù)水平高低受兩個因素的影響： n （1）變量）變量 x n （2）權(quán)數(shù)）權(quán)數(shù) f，絕對權(quán)數(shù)表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)，相對，絕對權(quán)數(shù)表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)，相對 n 權(quán)數(shù)表現(xiàn)為

8、頻率。權(quán)數(shù)表現(xiàn)為頻率。 )(425. 3 20 5 .68 13610 11535 . 765 . 3101 f xf 年五店平均工齡 四、算術(shù)平均數(shù)的若干數(shù)學(xué)性質(zhì)四、算術(shù)平均數(shù)的若干數(shù)學(xué)性質(zhì) n1、平均數(shù)與總體單位數(shù)的積等于標(biāo)志總量、平均數(shù)與總體單位數(shù)的積等于標(biāo)志總量 n2、若每個變量值、若每個變量值 X 加減一任意常數(shù)加減一任意常數(shù) ，則平均數(shù)也增減一個，則平均數(shù)也增減一個 。 n3、若每個變量值、若每個變量值 X乘以一任意常數(shù)乘以一任意常數(shù) ，則平均數(shù)也乘以一個，則平均數(shù)也乘以一個 。 n4、若每個變量值、若每個變量值 X除以一任意常數(shù)除以一任意常數(shù) ，則平均數(shù)也除以一個，則平均數(shù)也除以

9、一個 。 n5、各個變量值、各個變量值X與算術(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù) 的離差和為零。的離差和為零。 n6、各個變量值、各個變量值X與算術(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù) 的離差平方和為最小值。的離差平方和為最小值。 xnX n x X X X 交替標(biāo)志平均數(shù)交替標(biāo)志平均數(shù) n1、概念：交替標(biāo)志又稱是非標(biāo)志，它是一個只有兩、概念：交替標(biāo)志又稱是非標(biāo)志，它是一個只有兩 種答案的標(biāo)志。如：性別只有男、女；一批產(chǎn)品只有種答案的標(biāo)志。如：性別只有男、女；一批產(chǎn)品只有 合格品、不合格品等就可用是非標(biāo)志來反映。合格品、不合格品等就可用是非標(biāo)志來反映。 n2、表示形式：、表示形式： n1：具有某種屬性的單位標(biāo)志值。：具有某種屬

10、性的單位標(biāo)志值。 n0：不具有某種屬性的單位標(biāo)志值。：不具有某種屬性的單位標(biāo)志值。 nN：全部總體單位數(shù)。：全部總體單位數(shù)。 nN1：具有某種屬性的總體單位數(shù)。：具有某種屬性的總體單位數(shù)。 nN2：不具有某種屬性的總體單位數(shù)。：不具有某種屬性的總體單位數(shù)。 nP= N1 /N：具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。：具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。 nQ= N2 /N：不具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。：不具有某種屬性的單位數(shù)所占的比重。 n其中：其中：P+Q=1 n3、平均數(shù)、平均數(shù) P N N NN N0N1 f xf X 1 21 21 第三節(jié)第三節(jié) 調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) n一、調(diào)和平均數(shù)的概

11、念及計算方法一、調(diào)和平均數(shù)的概念及計算方法 n調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是變量倒數(shù)的算術(shù)平均調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是變量倒數(shù)的算術(shù)平均 數(shù)的倒數(shù)。數(shù)的倒數(shù)。 )( f x 1 f f f x 1 1 H )( x 1 n n x 1 1 H 加權(quán)平均式 簡單平均式 n二、調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的比較二、調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的比較 n變量不同：算術(shù)平均數(shù)是變量不同：算術(shù)平均數(shù)是x，調(diào)和平均數(shù)是，調(diào)和平均數(shù)是 1/x 。 n權(quán)數(shù)不同：算術(shù)平均數(shù)是權(quán)數(shù)不同：算術(shù)平均數(shù)是f或或n，代表次數(shù)（單位數(shù)），代表次數(shù)（單位數(shù)）， 調(diào)和平均數(shù)是調(diào)和平均數(shù)是xf或或M，代表標(biāo)志總量。，代表標(biāo)志總量。 n聯(lián)系

12、：調(diào)和平均數(shù)作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用：聯(lián)系：調(diào)和平均數(shù)作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用： x 1 H M x 1 M x xfM xf x 1 xf x xf xf f xf x x xf f 則 令 三、應(yīng)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意問題三、應(yīng)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意問題 n1、變量、變量x的值不能為的值不能為0。 n2、調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響。、調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響。 n3、要注意其運(yùn)用的條件。、要注意其運(yùn)用的條件。 例題例題 n例一水果甲級每元例一水果甲級每元1 1公斤，乙級每元公斤，乙級每元1 1。5 5公斤，公斤， 丙級每元丙級每元2 2公斤。問：公斤。問： n（1 1）若各買）若各買1 1公斤，

13、平均每元可買多少公斤？公斤，平均每元可買多少公斤？ n（2 2）各買）各買6.56.5公斤，平均每元可買多少公斤？公斤，平均每元可買多少公斤？ n（3 3）甲級）甲級3 3公斤，乙級公斤，乙級2 2公斤，丙級公斤，丙級1 1公斤，平均公斤，平均 每元可買幾公斤？每元可買幾公斤？ n（4 4）甲乙丙三級各買）甲乙丙三級各買1 1元，每元可買幾公斤？元，每元可買幾公斤？ n解：例一 n（1） n（2） n（3） n（4） )/(38. 1 1667. 2 3 2 1 5 . 1 1 1 1 3 n 1 n H元公斤 )/(38. 1 0833.14 5 .19 5 . 6 2 1 5 . 6 5

14、. 1 1 5 . 6 1 1 5 . 65 . 65 . 6 f x 1 f H元公斤 )/(24. 1 83. 4 6 1 2 1 2 5 . 1 1 3 1 1 123 f x 1 f H元公斤 元）（公斤/5 . 1 3 25 . 11 n x x n例二例二 自行車賽時速：甲自行車賽時速：甲30公里，乙公里，乙28 公里，丙公里，丙20公里，全程公里，全程200公里，問三公里，問三 人平均時速是多少？若甲乙丙三人各騎人平均時速是多少？若甲乙丙三人各騎 車車2小時，平均時速是多少？小時，平均時速是多少？ n例二 )/(2 .25 81.23 600 200 20 1 200 28 1

15、200 30 1 200200200 f x 1 f H小時公里 )/(26 6 156 222 220228230 f xf x小時公里 第四節(jié)第四節(jié) 幾何平均法幾何平均法 n一、什么是幾何平均法？一、什么是幾何平均法？ n幾何平均法是幾何平均法是n個變量連乘積的個變量連乘積的n次根。次根。 n幾何平均法一般適用于各變量值之間存在環(huán)比關(guān)系的幾何平均法一般適用于各變量值之間存在環(huán)比關(guān)系的 事物。如：銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產(chǎn)品事物。如：銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產(chǎn)品 平均合格率等的計算就采用幾何平均法。平均合格率等的計算就采用幾何平均法。 n1、簡單幾何平均法、簡單幾何平均法 n

16、2、加權(quán)幾何平均法、加權(quán)幾何平均法 n n 1i i n n21 XXXXG n 1i in21 f n 1i f i f f n f 2 f 1 xxxxG 二、應(yīng)注意的問題二、應(yīng)注意的問題 n1、變量數(shù)列中任何一個變量值不能為、變量數(shù)列中任何一個變量值不能為0，一個為，一個為0， 則幾何平均數(shù)為則幾何平均數(shù)為0。 n2、用環(huán)比指數(shù)計算的幾何平均易受最初水平和最末、用環(huán)比指數(shù)計算的幾何平均易受最初水平和最末 水平的影響。水平的影響。 n3、幾何平均法主要用于動態(tài)平均數(shù)的計算。、幾何平均法主要用于動態(tài)平均數(shù)的計算。 例題：例題： n 假定某地儲蓄年利率（按復(fù)利計算）：假定某地儲蓄年利率（按復(fù)利

17、計算）： 5%持續(xù)持續(xù)1.5年，年，3%持續(xù)持續(xù)2.5年，年，2.2%持續(xù)持續(xù)1 年。請問此年。請問此5年內(nèi)該地平均儲蓄年利率。年內(nèi)該地平均儲蓄年利率。 %43.103%100183935. 1 %100022. 103. 105. 1G 5 15 . 25 . 115 . 25 . 1 該地平均儲蓄年利率 第五節(jié)第五節(jié) 眾數(shù)和中位數(shù)眾數(shù)和中位數(shù) n一、眾數(shù)一、眾數(shù) n1、眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多、眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多 或頻率最大的變量值。或頻率最大的變量值。 n2、適用條件：只有集中趨勢明顯時，、適用條件：只有集中趨勢明顯時， 才能用眾數(shù)作為總體的代表值。才能用眾數(shù)作為總體的

18、代表值。 M0 M0M0 M0M0 若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。 只只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢 時才存在眾數(shù)。時才存在眾數(shù)。 下三圖無眾數(shù)：下三圖無眾數(shù)： 在在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時，單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時， 計算眾數(shù)是沒有意義的。計算眾數(shù)是沒有意義的。 根根據(jù)單項數(shù)列確定眾數(shù)據(jù)單項數(shù)列確定眾數(shù)； 價格 (元)銷售數(shù)量 (千克) 2.00 20 2.40 60 3.00140 4.00 80 合計300 某種商品的價格情況 眾數(shù)M0=3.00(元) 3

19、.3.眾眾數(shù)的計算方法數(shù)的計算方法 例例 根根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù) 利利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。 由由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組；最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組； 按日產(chǎn)量分組(千克)工人人數(shù) (人) 60以下10 60 - 7019 70 - 8050 80 - 9036 90-10027 100-11014 110以上 8 表中70-80，即眾數(shù)所在組。 例例 計計算眾數(shù)的近似值算眾數(shù)的近似值： dXM L 21 1 0 下限公式： 上限公式：dXM U 21 2 0 由下限公式，日產(chǎn)量眾數(shù))(. )()( 千克897610 36501950 1

20、950 70 由上限公式，日產(chǎn)量眾數(shù))(. )()( 千克897610 36501950 3650 80 眾眾數(shù)的特點(diǎn)數(shù)的特點(diǎn) 眾眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布 中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標(biāo)志值的中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標(biāo)志值的 影響，從而增強(qiáng)了對變量數(shù)列一般水平的代表性。影響，從而增強(qiáng)了對變量數(shù)列一般水平的代表性。 不受極端值和開口組數(shù)列的影響。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。 眾眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布數(shù)是一個不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布 數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時

21、，則無 眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的 位置也不好確定。位置也不好確定。 由由未分組資料確定中位數(shù)未分組資料確定中位數(shù) 1 () 2 中中位位數(shù)數(shù)的的位位置置為為總總體體單單位位數(shù)數(shù) n n 2.2.中中位數(shù)的計算方法位數(shù)的計算方法 1.1.概概念：將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，念：將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列， 居于中間位置的那個標(biāo)志值就是中位數(shù)。居于中間位置的那個標(biāo)志值就是中位數(shù)。 二、中位數(shù)二、中位數(shù) M Me e n n為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標(biāo)志值為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標(biāo)志值 就是中位數(shù)。就是中位數(shù)。 )

22、(26263 3 2 15 2 1 3029262320 件件產(chǎn)品為中位數(shù)：位工人日產(chǎn)即，第 中位數(shù)位置 ， 件數(shù)，按序排列如下：有五個工人生產(chǎn)某產(chǎn)品 e M n 例例 n n為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標(biāo)志值的算術(shù)為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標(biāo)志值的算術(shù) 平均數(shù)為中位數(shù)。平均數(shù)為中位數(shù)。 )(5 .27 2 2926 5 . 3 2 16 2 1 323029262320 件 至第四人的平均數(shù)：這表明中位數(shù)是第三、 中位數(shù)位置 ， 序排列如下：人生產(chǎn)某產(chǎn)品件數(shù)，按上例中，假如有六個工 e M n 由由單項數(shù)列確定中位數(shù)單項數(shù)列確定中位數(shù) 某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下： 按日產(chǎn)零件分組 （件） 工人數(shù)

23、 （人） 較小制累計較大制累計 26 3 380 31101377 32142767 34275453 36187226 41 880 8 合計80- )(34 40 2 80 2 件即 中位數(shù)位置 e M f 例例 由由組距數(shù)列確定中位數(shù)組距數(shù)列確定中位數(shù) 按日產(chǎn)量分組 (千克) 工人數(shù) (人) 較小制累計較大制累計 50 60 10 10164 60 70 19 29154 70 80 50 79135 80 90 36115 85 90100 27142 49 100-110 14156 22 110以上 8164 8 合計164- 組距內(nèi)。即中位數(shù)在 中位數(shù)位置 9080 82 2 164 2 f d f S f XM m m Le 1 2 下限公式下限公式（較小制累計時用）： )(.千克838010 36 79 2 164 80 上限公式上限公式（較大制累計時用）： )(.千克838010 36 49 2 164 90 d f S f XM m m Ue 1 2 中中位數(shù)不受極端值及開口組的影響，位數(shù)不受極端值及開口組的影響， 具有穩(wěn)健性具有穩(wěn)健性。 各各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和 是個最小值。是個最小值。 對對某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能用數(shù)字測定的某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能