水力學(xué)-第十四章相似理論

1、12.1 概述概述 v水力模型試驗(yàn)水力模型試驗(yàn)：是將原形實(shí)物按照相似原理縮制（或放大）：是將原形實(shí)物按照相似原理縮制（或放大） 為模型，在模型中預(yù)演或重演與原型相似的自然現(xiàn)象并進(jìn)行觀為模型，在模型中預(yù)演或重演與原型相似的自然現(xiàn)象并進(jìn)行觀 測，然后將觀測結(jié)果再按相似原理引申于原型并作出判斷。測，然后將觀測結(jié)果再按相似原理引申于原型并作出判斷。 v 量綱分析法：量綱分析法：是用于尋求一定物理過程中，相關(guān)物理量之間是用于尋求一定物理過程中，相關(guān)物理量之間 規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對于正確地分析、科學(xué)地表達(dá)物理規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對于正確地分析、科學(xué)地表達(dá)物理 過程是十分有益的。過程是十分有益的。

2、 v本章在量綱分析法的基礎(chǔ)上探討流動(dòng)的相似理論，對流體力本章在量綱分析法的基礎(chǔ)上探討流動(dòng)的相似理論，對流體力 學(xué)試驗(yàn)研究有重要的指導(dǎo)意義。學(xué)試驗(yàn)研究有重要的指導(dǎo)意義。 第第1212章章 水力模型試驗(yàn)基本原理水力模型試驗(yàn)基本原理 水力模型試驗(yàn)水力模型試驗(yàn):在模型中重演（或預(yù)演）與原型相似的水在模型中重演（或預(yù)演）與原型相似的水 流現(xiàn)象以觀測分析研究水流運(yùn)動(dòng)規(guī)律的手段流現(xiàn)象以觀測分析研究水流運(yùn)動(dòng)規(guī)律的手段 湖北均縣丹江口水利樞紐閘墩振動(dòng)試驗(yàn)湖北均縣丹江口水利樞紐閘墩振動(dòng)試驗(yàn) 長江三峽水利樞紐總體布置模型長江三峽水利樞紐總體布置模型 長江三峽水庫變動(dòng)回水區(qū)銅鑼?shí){河段泥沙模型長江三峽水庫變動(dòng)回水區(qū)銅鑼

3、峽河段泥沙模型 12.1 概述概述 12.2 12.2 量綱分析法量綱分析法 12.3 12.3 水力相似基本原理水力相似基本原理 122 量綱分析法 1. 1. 量綱、無量綱量量綱、無量綱量 在量度物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)（單位）確定之后，一個(gè)具體在量度物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)（單位）確定之后，一個(gè)具體 的物理量就對應(yīng)于一個(gè)數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物的物理量就對應(yīng)于一個(gè)數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物 理量的量的特征。理量的量的特征。 量綱是指物理量所包含的基本物理要素及其結(jié)合形式，表示量綱是指物理量所包含的基本物理要素及其結(jié)合形式，表示 物理量的類別，是物理量的質(zhì)的特征。物理量的類別，是

4、物理量的質(zhì)的特征。 基本量綱具有獨(dú)立性，比基本量綱具有獨(dú)立性，比 如與溫度無關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題如與溫度無關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題 可選取長度可選取長度L、時(shí)間、時(shí)間T和質(zhì)和質(zhì) 量量M為基本量綱。為基本量綱。 , 基本量綱基本量綱 誘導(dǎo)量綱誘導(dǎo)量綱 量綱量綱 誘導(dǎo)量綱可由量綱公式通過基本量綱導(dǎo)出誘導(dǎo)量綱可由量綱公式通過基本量綱導(dǎo)出 稱為量綱指數(shù)稱為量綱指數(shù) 0,0,0 0,0,0 0,0,0 則則 x 為幾何學(xué)的量為幾何學(xué)的量 則則 x 為動(dòng)力學(xué)的量為動(dòng)力學(xué)的量 則則 x 為運(yùn)動(dòng)學(xué)的量為運(yùn)動(dòng)學(xué)的量 MTLx 如如 12 TL 運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù) 11 MTL 動(dòng)力粘性系數(shù)動(dòng)力粘性系數(shù) 2 2 1 U p

5、p C p 無量綱（量綱為一）量無量綱（量綱為一）量 相同量綱量的比值相同量綱量的比值 幾個(gè)有量綱量通過乘除組合而成幾個(gè)有量綱量通過乘除組合而成 如角度，三角函數(shù)如角度，三角函數(shù) 定義：定義： 物理量物理量 的所有的所有 量綱指量綱指 數(shù)為零數(shù)為零 如壓力系數(shù)如壓力系數(shù) 正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，其各項(xiàng)的量正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，其各項(xiàng)的量 綱指數(shù)都分別相同。綱指數(shù)都分別相同。 2.2.量綱和諧原理量綱和諧原理 任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，其數(shù)學(xué)形式不隨單位任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，其數(shù)學(xué)形式不隨單位 制變換而改變形式。制變換而改變形式。 客觀物

6、理規(guī)律必定可以通過無量綱量之間的關(guān)系式來表達(dá)?？陀^物理規(guī)律必定可以通過無量綱量之間的關(guān)系式來表達(dá)。 瑞利法瑞利法 適用于影響因素（自變量）間的關(guān)系為單項(xiàng)指數(shù)形式適用于影響因素（自變量）間的關(guān)系為單項(xiàng)指數(shù)形式 3. 3. 量綱分析法量綱分析法 0),( 321 n xxxxfy 圖為理想液體孔口出流，試用瑞利法導(dǎo)出以液體密圖為理想液體孔口出流，試用瑞利法導(dǎo)出以液體密 度度 ，孔口直徑，孔口直徑d d及壓強(qiáng)差及壓強(qiáng)差 表示的孔口流量表示的孔口流量Q Q 的表達(dá)式的表達(dá)式 解：解： ghp cba pdk pdfQ ),( cba TMLLMLTL 21313 2 1 , 2, 2 1 cba gh

7、kd gh kd p kdpdkQ 22 2 2 1 2 2 1 ghAghdQ k 22 4 4 2 2 則 令 例 物理過程的有量綱表達(dá)形式為物理過程的有量綱表達(dá)形式為 ，其中，其中 m 個(gè)物個(gè)物 理量的量綱被選為基本量綱，余下理量的量綱被選為基本量綱，余下 n-m 個(gè)物理量可各自與這個(gè)物理量可各自與這m 個(gè)物理量組合成無量綱量個(gè)物理量組合成無量綱量 ， 定理的結(jié)論是：物理定理的結(jié)論是：物理 過程的無量綱表達(dá)形式為過程的無量綱表達(dá)形式為 0),( 21 n xxxf mn , 21 0),( 21 mn F . . 定理定理 物理過程涉及物理過程涉及 n 個(gè)物理量，其中有個(gè)物理量，其中有

8、m 個(gè)物理量的量綱是互個(gè)物理量的量綱是互 相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成 n-m 個(gè)無量綱量，個(gè)無量綱量， 物理過程則可由這物理過程則可由這 n-m 個(gè)無量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反個(gè)無量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反 了量綱和諧原理。了量綱和諧原理。 從無量綱表達(dá)看，似乎物理過程涉及的因素減少了，其實(shí)涉從無量綱表達(dá)看，似乎物理過程涉及的因素減少了，其實(shí)涉 及的物理量并未減少，只是這些物理量組合成了若干無量綱量相及的物理量并未減少，只是這些物理量組合成了若干無量綱量相 互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)來，無量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)來

9、，無量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之 間規(guī)律性聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，也更具普遍性。間規(guī)律性聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，也更具普遍性。 應(yīng)用應(yīng)用 定理要點(diǎn)（也是難點(diǎn)）在于：確定物理過程涉及的物定理要點(diǎn)（也是難點(diǎn)）在于：確定物理過程涉及的物 理量時(shí)，既不能遺漏，也不要多列。理量時(shí)，既不能遺漏，也不要多列。 用用 定理推求水平等直徑定理推求水平等直徑有壓管內(nèi)壓強(qiáng)差有壓管內(nèi)壓強(qiáng)差 的表達(dá)式。已知影響壓強(qiáng)差的物理量有管長的表達(dá)式。已知影響壓強(qiáng)差的物理量有管長l、管徑、管徑d d、 管壁絕對粗糙度管壁絕對粗糙度 、流速、流速v v、液體密度、液體密度 、動(dòng)力粘滯系、動(dòng)力粘滯系 數(shù)數(shù) 及重力加速度及重力加速度g g。 解：解： 例 p

10、0),(plvdF 103 011 001 333 222 111 MTLMTL MTLMTLv MTLMTLd 01 103 011 001 n-m=7-3=4個(gè) 數(shù)數(shù) 以以 為例 為例 444333 222111 43 21 cbacba cbacba vd p vd vdvd l d l cba MLLTLL cba 1 111 31 001 111 則 1 2 432 v p ddv 0),(),( 2 24321 v p ddvd l ff 0),( 2 1 v p d dv d l f g v d l d f g p d dv d l f v p 2 )(Re, ) ,( 2 3

11、2 2 g v d l h d fh g p f f 2 )(Re, 2 3 令 123 水力相似基本原理 12.3.1 12.3.1 流動(dòng)相似流動(dòng)相似 在自然界中有些流動(dòng)規(guī)律還不能用完整的理論去描在自然界中有些流動(dòng)規(guī)律還不能用完整的理論去描 述，必須通過實(shí)驗(yàn)去尋找這些規(guī)律。而實(shí)驗(yàn)所需的述，必須通過實(shí)驗(yàn)去尋找這些規(guī)律。而實(shí)驗(yàn)所需的 模型與實(shí)型不一定相同，需按一定的規(guī)律制作模型，模型與實(shí)型不一定相同，需按一定的規(guī)律制作模型， 才能將實(shí)驗(yàn)得到的規(guī)律換算到實(shí)型上。這些規(guī)律稱才能將實(shí)驗(yàn)得到的規(guī)律換算到實(shí)型上。這些規(guī)律稱 為相似要求。為相似要求。 17 水流運(yùn)動(dòng)是在一定時(shí)間和空間中進(jìn)行的，它遵循水流運(yùn)動(dòng)

12、學(xué)和動(dòng)水流運(yùn)動(dòng)是在一定時(shí)間和空間中進(jìn)行的，它遵循水流運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng) 力學(xué)的規(guī)律。力學(xué)的規(guī)律。 表征液體運(yùn)動(dòng)有三種不同性質(zhì)的物理量：表征流場幾何形狀的、表征液體運(yùn)動(dòng)有三種不同性質(zhì)的物理量：表征流場幾何形狀的、 表征運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的以及表征動(dòng)力特性的物理量。表征運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的以及表征動(dòng)力特性的物理量。 即描述水流運(yùn)動(dòng)即描述水流運(yùn)動(dòng) 的物理量可以分為三個(gè)類型：幾何量、運(yùn)動(dòng)量、動(dòng)力量。的物理量可以分為三個(gè)類型：幾何量、運(yùn)動(dòng)量、動(dòng)力量。 因此，兩個(gè)系統(tǒng)的流動(dòng)相似必須做到幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力因此，兩個(gè)系統(tǒng)的流動(dòng)相似必須做到幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力 相似。即兩個(gè)流動(dòng)系統(tǒng)的相似可用幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似及動(dòng)力相相似。即兩個(gè)

13、流動(dòng)系統(tǒng)的相似可用幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似及動(dòng)力相 似來描述。似來描述。 18 原型：原型：Prototype Prototype 模型：模型：ModelModel 為便于討論，規(guī)定：為便于討論，規(guī)定： 以以 表示其原型量和模型量的比尺，而表示其原型量和模型量的比尺，而 物理物理 量下標(biāo)量下標(biāo) P P、M M 則分別表示原型量和模型量。則分別表示原型量和模型量。 流動(dòng)相似流動(dòng)相似 幾何相似幾何相似 運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似 動(dòng)力相似動(dòng)力相似 、幾何相似、幾何相似 幾何相似是指原型與模型保持幾何形狀和幾何尺寸相幾何相似是指原型與模型保持幾何形狀和幾何尺寸相 似，也就是原型和模型的任何一個(gè)相應(yīng)線性長度保持一定的

14、比似，也就是原型和模型的任何一個(gè)相應(yīng)線性長度保持一定的比 例關(guān)系。例關(guān)系。 式中式中 為長度比尺。為長度比尺。 面積比尺面積比尺 體積比尺體積比尺 m p L L L L 3 3 3 L m p M p V L L V V 2 2 2 L m p M p A L L A A 21 、 運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似 運(yùn)動(dòng)相似是指原型與模型兩個(gè)流動(dòng)中任何對應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的跡線運(yùn)動(dòng)相似是指原型與模型兩個(gè)流動(dòng)中任何對應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的跡線 是幾何相似的，而且任何對應(yīng)質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)線段所需的時(shí)間又是幾何相似的，而且任何對應(yīng)質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)線段所需的時(shí)間又 是具有同一比例的?；蛘哒f兩個(gè)流動(dòng)的速度場是具有同一比例的?；蛘哒f兩個(gè)流動(dòng)的速度場(

15、(或加速度場或加速度場) )是是 幾何相似的。幾何相似的。 設(shè)時(shí)間比尺：設(shè)時(shí)間比尺： 則速度比尺則速度比尺 加速度比尺加速度比尺 m p t t t t L MM Pp M p v tL tL v v / / 22 2 / / t L MM Pp M p a tL tL a a 運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似：以幾何相似為前：以幾何相似為前 提。流體質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)的位移提。流體質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)的位移 所用時(shí)間成比例。所用時(shí)間成比例。 在對應(yīng)瞬時(shí)，在對應(yīng)瞬時(shí)， 流場速度圖相流場速度圖相 似，即相應(yīng)點(diǎn)似，即相應(yīng)點(diǎn) 速度大小成比速度大小成比 例，方向相同。例，方向相同。 長度比尺長度比尺 mpl ll /時(shí)間比尺時(shí)間比

16、尺 mpt tt / 23 、動(dòng)力相似、動(dòng)力相似 動(dòng)力相似：動(dòng)力相似： 模型與原型中相應(yīng)點(diǎn)上作用的各同名力模型與原型中相應(yīng)點(diǎn)上作用的各同名力 矢量互相平行均具有同一比值。矢量互相平行均具有同一比值。 例如：原型流動(dòng)中作用有：重力、阻力、表面例如：原型流動(dòng)中作用有：重力、阻力、表面 張力，則模型流動(dòng)中相應(yīng)點(diǎn)上也應(yīng)存在這三種力，張力，則模型流動(dòng)中相應(yīng)點(diǎn)上也應(yīng)存在這三種力， 并且各同名力的方向互相平行、比值保持相等。并且各同名力的方向互相平行、比值保持相等。 24 一般作用在水流中的力有：重力G、粘滯力 T、壓力P、表面張力S、彈性力E，如果作用于 質(zhì)點(diǎn)的合外力F 0，將此力視為慣性力I，則所 有的

17、力構(gòu)成一個(gè)平衡力系，并組成一封閉的力多 邊形。 25 動(dòng)力相似：原型與模型中相應(yīng)點(diǎn)上作用的各同名力 矢量互相平行，且均具有同一比值。 動(dòng)力相似：模型與原型中任意相應(yīng)點(diǎn)的力多邊形相似， 相應(yīng)邊（即同名力）成比例。 模 型 原 型 長度比尺長度比尺 mpl ll / 時(shí)間比尺時(shí)間比尺 mpt tt / 動(dòng)力相似動(dòng)力相似：在對應(yīng)位置和對應(yīng)瞬時(shí)，流場中各種成分的力：在對應(yīng)位置和對應(yīng)瞬時(shí)，流場中各種成分的力 （時(shí)變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量（時(shí)變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量 圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例，方向相同。并且五種成圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例，

18、方向相同。并且五種成 分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。 作用力比尺作用力比尺 mpF FF / 27 4、邊界條件和初始條件相似、邊界條件和初始條件相似 邊界條件和初始條件相似邊界條件和初始條件相似 水流運(yùn)動(dòng)受到邊界條件和初始條件的影響水流運(yùn)動(dòng)受到邊界條件和初始條件的影響 和制約，要做到其流動(dòng)相似，必須使兩個(gè)系統(tǒng)的邊和制約，要做到其流動(dòng)相似，必須使兩個(gè)系統(tǒng)的邊 界條件和初始條件相似。界條件和初始條件相似。 例如，原型：自由表面例如，原型：自由表面 模型：自由表面模型：自由表面 固體邊壁固體邊壁 固體邊壁固體邊壁 給定瞬時(shí)給定瞬時(shí)t tP P的流速

19、的流速v vP P 對應(yīng)瞬時(shí) 對應(yīng)瞬時(shí)t tP P的流速的流速v vM M 幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似，動(dòng)力相似是流動(dòng)相似的重要特征 它們互相聯(lián)系、互為條件 幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似、動(dòng)力相似的前提條件 動(dòng)力相似是是決定流動(dòng)相似的主導(dǎo)因素 運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)形式 它們是一個(gè)統(tǒng)一的整體，缺一不可。 29 12.3.2 12.3.2 相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則牛頓數(shù)及相似判據(jù)牛頓數(shù)及相似判據(jù) 相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法有：相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法有： 物理法則法；物理法則法； 方程分析法；方程分析法； 量綱分析法。量綱分析法。 30 1.1.牛頓數(shù)牛頓數(shù) 慣性力總是企圖保持原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而其它的非慣慣性力總是企圖保持

20、原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而其它的非慣 性物理力總是力圖改變液體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。液體的運(yùn)動(dòng)性物理力總是力圖改變液體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。液體的運(yùn)動(dòng) 就是慣性力和其它非慣性物理力共同作用的結(jié)果。就是慣性力和其它非慣性物理力共同作用的結(jié)果。 慣性力：慣性力： 非慣性力：非慣性力：F F 根據(jù)動(dòng)力相似條件：根據(jù)動(dòng)力相似條件： 223 vL t v LmaI 2222 MMM M PPP P M M P P M P M P F vL F vL F I F I F I I F F 上式表明：相似系統(tǒng)中，原型中非慣性物理力與慣性上式表明：相似系統(tǒng)中，原型中非慣性物理力與慣性 力之比應(yīng)等于模型中非慣性物理力與慣性力之比。力之比應(yīng)等

21、于模型中非慣性物理力與慣性力之比。 31 顯然，兩個(gè)流動(dòng)相似，原型與模型的牛頓數(shù)一定相等。顯然，兩個(gè)流動(dòng)相似，原型與模型的牛頓數(shù)一定相等。 這是標(biāo)志兩個(gè)流動(dòng)相似的一般準(zhǔn)則，稱為這是標(biāo)志兩個(gè)流動(dòng)相似的一般準(zhǔn)則，稱為牛頓相似準(zhǔn)則牛頓相似準(zhǔn)則。 將上式改寫為比尺表示的關(guān)系式，就得到相似判據(jù)將上式改寫為比尺表示的關(guān)系式，就得到相似判據(jù) 習(xí)慣上，將非慣性物理力習(xí)慣上，將非慣性物理力F F與慣性力與慣性力I I之比稱為牛頓數(shù)，以之比稱為牛頓數(shù)，以 NeNe表示，即表示，即 MP NeNe vL F Ne 22 2 2 相似判據(jù)相似判據(jù) 相似系統(tǒng)中各物理量的比尺是不能任意選定的相似系統(tǒng)中各物理量的比尺是不能

22、任意選定的 而要受描述該運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的物理方程的制約的。機(jī)械運(yùn)動(dòng)而要受描述該運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的物理方程的制約的。機(jī)械運(yùn)動(dòng) 相似的兩個(gè)系統(tǒng)都應(yīng)受牛頓第二定律約束，即有相似的兩個(gè)系統(tǒng)都應(yīng)受牛頓第二定律約束，即有 這是流動(dòng)相似的重要判據(jù)，稱為這是流動(dòng)相似的重要判據(jù)，稱為相似判據(jù)相似判據(jù)。 因因 L MM PP M p m V V m m 3 111 22 2 3 vL F t L v L F v L tF 1 um tF dt du mF 1.1.雷諾相似準(zhǔn)則雷諾相似準(zhǔn)則 當(dāng)流場中主要是當(dāng)流場中主要是粘性力和慣性力粘性力和慣性力起主要作用起主要作用 (1) m m ff ff 慣p慣 粘p粘 2 duV fAL

23、 dyL 粘 代入（1） 322 2 L fmaLV L t 慣 3 3 單項(xiàng)力作用下的相似準(zhǔn)則單項(xiàng)力作用下的相似準(zhǔn)則 3 3 2 2 2 2 p m pp mm p m mp mm pp m p L L L L t t VV L L L L 化簡 即：兩流場 要保證粘性力相似，則雷諾數(shù)必須相等。反之成立。要保證粘性力相似，則雷諾數(shù)必須相等。反之成立。 ppp mmm mp emep L V L VLV RR 2.2.弗汝德準(zhǔn)則（重力相似準(zhǔn)則）弗汝德準(zhǔn)則（重力相似準(zhǔn)則） 當(dāng)兩流場的慣性力與重力起主要作用，同名力的比為當(dāng)兩流場的慣性力與重力起主要作用，同名力的比為 322 2 3 (2) p m

24、 mp ff GG L fmaLLV t GmgL g 慣 慣 慣 代入（2） 22 3 2 2 2 2 3 ppp mmm mmpp p m r mp V V F L L V L V L gL g g L g 兩重力相似的流場，弗汝德數(shù)兩重力相似的流場，弗汝德數(shù)FrFr必須相等。反之，必須相等。反之， 弗汝德數(shù)弗汝德數(shù)FrFr相等的流場必是重力相似流場。相等的流場必是重力相似流場。 3. 3. 斯特羅哈數(shù)準(zhǔn)則斯特羅哈數(shù)準(zhǔn)則 StSt 對于非定常運(yùn)動(dòng)，必須滿足斯特羅哈數(shù)相等對于非定常運(yùn)動(dòng)，必須滿足斯特羅哈數(shù)相等. . 3 22 t V L L t S LVVt 局部慣性力 慣性力 p m m

25、mp p L L V tV t 4.4.馬赫準(zhǔn)則馬赫準(zhǔn)則 M M 數(shù)數(shù) 當(dāng)兩流場的慣性力和彈性力成當(dāng)兩流場的慣性力和彈性力成 比例時(shí)，應(yīng)滿足馬赫數(shù)相等比例時(shí)，應(yīng)滿足馬赫數(shù)相等 222 2 222 p m mp c c M VV Fc Lc M fV LV 彈性力 慣性力 22 vvv dp FE AE LEc d 彈性力 可壓縮流動(dòng)應(yīng)考可壓縮流動(dòng)應(yīng)考 慮馬赫數(shù)相等慮馬赫數(shù)相等 5.5.歐拉準(zhǔn)則數(shù)歐拉準(zhǔn)則數(shù) EuEu 當(dāng)兩流場的慣性力與壓力成比例時(shí)，應(yīng)滿足歐拉當(dāng)兩流場的慣性力與壓力成比例時(shí)，應(yīng)滿足歐拉 數(shù)相等。數(shù)相等。 2 222 u pLp E V LV 壓力 慣性力 2222 pp mm m

26、mppmmpp pp pp VVVV 或 此準(zhǔn)則不是決定性準(zhǔn)則，一旦與速度有關(guān)的此準(zhǔn)則不是決定性準(zhǔn)則，一旦與速度有關(guān)的 準(zhǔn)則數(shù)滿足后，準(zhǔn)則數(shù)滿足后，EuEu數(shù)自動(dòng)滿足。數(shù)自動(dòng)滿足。 在實(shí)際情況中，兩流場不可能所有相似準(zhǔn)則在實(shí)際情況中，兩流場不可能所有相似準(zhǔn)則 數(shù)全部滿足，只可能讓起主導(dǎo)作用的相似準(zhǔn)則數(shù)全部滿足，只可能讓起主導(dǎo)作用的相似準(zhǔn)則 數(shù)滿足。數(shù)滿足。 例如：在幾何相似前提下，既要滿足例如：在幾何相似前提下，既要滿足 ReRe數(shù)又要滿足數(shù)又要滿足 FrFr數(shù)，就有數(shù)，就有 pp mm mp V L V L 2 2 p m mmpp V V g Lg L 和 在同一地點(diǎn)，用同一種流體做實(shí)驗(yàn)在

27、同一地點(diǎn)，用同一種流體做實(shí)驗(yàn) mpmp pp mm pmpm gg LL VV VLVL 則有則有和和 要同時(shí)滿足兩種準(zhǔn)則數(shù)，對原型和模型的幾何尺寸要要同時(shí)滿足兩種準(zhǔn)則數(shù)，對原型和模型的幾何尺寸要 求不同。若采用不同介質(zhì)的流體，可使兩準(zhǔn)則同時(shí)滿求不同。若采用不同介質(zhì)的流體，可使兩準(zhǔn)則同時(shí)滿 足。如?。鹤?。如?。?1031.6 pp mm L L 則則 即即 即使配方得到，實(shí)驗(yàn)成本很高。因此，要分析什么即使配方得到，實(shí)驗(yàn)成本很高。因此，要分析什么 力起主導(dǎo)作用，保證其相似準(zhǔn)則相等，其次略去。力起主導(dǎo)作用，保證其相似準(zhǔn)則相等，其次略去。 31.6 p m 實(shí)驗(yàn)用流體很難得到實(shí)驗(yàn)用流體很難得到 怎樣

28、判別哪些是決定性準(zhǔn)則呢？可用怎樣判別哪些是決定性準(zhǔn)則呢？可用 定理來確定。定理來確定。 或由經(jīng)驗(yàn)決定?；蛴山?jīng)驗(yàn)決定。 有壓管流、液壓油流、低速繞流有壓管流、液壓油流、低速繞流 Re Re 數(shù)為主。數(shù)為主。 明渠、水上飛行器、船舶阻力實(shí)驗(yàn)以明渠、水上飛行器、船舶阻力實(shí)驗(yàn)以 FrFr數(shù)為主。數(shù)為主。 44 現(xiàn)將各種物理量的比尺與模型比尺 的關(guān)系推導(dǎo)如下： (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 時(shí)間比尺 (4) 力的比尺 L 5 . 0 L M P M P v L L v v 5 . 25 . 02 LLLvA PM PP M P Q vA vA Q Q 5 . 0 5 . 2 3 L L L

29、 Q V t 3 L M MM P PP MM PP F dt dv V dt dv V aM aM 45 (5) 壓強(qiáng)比尺 (6) 功的比尺 （7）功率的比尺 L F L A F p 3 4 LLFW 5 . 3 5 . 0 4 L L L t W P 46 二、二、 阻力相似準(zhǔn)則阻力相似準(zhǔn)則 TL 0 R A gRJ, 0 111 11 2222 3 222222 0 Lg v J v LJg vL L Jg vL LJRg vL L vL F 47 阻力相似準(zhǔn)則： 由上式可以看出：阻力相似除保證重力相似所 要求的佛汝得數(shù)相等外，還必須保證原型和 模型的水力坡度相等。即 也就是說，如果 ，

30、則可以用重力相似 準(zhǔn)則設(shè)計(jì)阻力相似模型。但在什么情況下才 能滿足上式，最根據(jù)水流的流態(tài)來研究 MP MP FrFr JJ MMM M PPP P JLg v JLg v 22 M M P P J Fr J Fr MP JJ 48 （1）若要求 ，則 即 （2）若按佛汝得準(zhǔn)則設(shè)計(jì)模型 （一）水流在阻力平均方區(qū) 阻力平方區(qū)，可用謝齊公式計(jì)算水力坡度J值 RC v J 2 2 MP JJ MM M PP P RC v RC v 2 2 2 2 RCv RC v 22 2 2 1 Lv M M P P MP MM M PP P MP L v L v gg Lg v Lg v FrFr 2 2222 ,

31、 49 阻力相似，上兩式同時(shí)成立。聯(lián)立可得 又因 故 在阻力平方區(qū)， 所以 MP CC g C 8 MP M M P P RR R f 1 2 122 CLgRCv LRg 50 水流在阻力平方區(qū)時(shí)，只要模型與原型的 相對粗糙度相等，就可以做到模型與原型流 動(dòng)的阻力相似，就可以用佛汝得準(zhǔn)則進(jìn)行阻 力作用相似模型的設(shè)計(jì)。 如用曼寧公式則 (二) 水流在層流區(qū) 層流時(shí)，阻力主要由水流的粘滯力引起， 可按牛頓內(nèi)摩擦定律計(jì)算。 6/1 Ln dy du gRgR dy du J dy du gRJ 0 51 （1）若要求 ，則 （2）若按佛汝得準(zhǔn)則設(shè)計(jì)模型 MP JJ Lgv MM M PP P MM

32、 M PP P MP Lg v Lg v Lg v Lg v FrFr 2 2222 L v g L g v L v LgM M MM M P P PP P dy du Rgdy du Rg 22 1 1 52 阻力相似，上兩式同時(shí)成立。聯(lián)立可得 上式表明，水流為層流時(shí)，如模型按照佛汝得 準(zhǔn)則設(shè)計(jì)，要滿足阻力相似，還必須要求模型與 原型的雷諾數(shù)相等。實(shí)際上，受物理常數(shù)和材料 特性的限制，是不可能實(shí)現(xiàn)的。 若作用于液體上的力只有粘滯力，則阻力相 似就等價(jià)于粘滯力相似，要求雷諾數(shù)相等即可。 上述結(jié)論稱為粘滯力相似準(zhǔn)則或雷諾準(zhǔn)則。 MP Lv L v L v g ReRe1 2 2 53 要粘滯力作

33、用相似，則模型與原型的雷諾數(shù)必須相等，這叫 雷諾準(zhǔn)則。由雷諾準(zhǔn)則推導(dǎo)模型與原型各物理量的比尺與模型比 尺 的關(guān)系如下： (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 時(shí)間比尺 (4) 力的比尺 當(dāng) 時(shí) L L v 1 L L L AvQ 2 2 3 L L L Q V t M P PMM MPP M MM P PP MMM PPP MM PP F LL LL dt dv L dt dv L aV aV am am 33 33 3 3 1 1 F 54 (5) 壓強(qiáng)比尺 當(dāng) 時(shí) (6) 功的比尺 當(dāng) 時(shí) 7.功率比尺 當(dāng) 時(shí) 1 2 2 L L A F p 2 L 1 1 LLFW LW 1 2

34、L L L t LF P 1 LP 55 三、 慣性力相似準(zhǔn)則 要使兩個(gè)流動(dòng)的當(dāng)?shù)貞T性力 作用相似，則它們的斯特勞哈爾數(shù) 必須相等，這稱為慣性力相似準(zhǔn)則， 也稱為斯特勞哈爾準(zhǔn)則。 四、 彈性力準(zhǔn)則 要使兩個(gè)流動(dòng)的彈性力作用 相似，它們的柯西數(shù)必須相等，這 稱為彈性力相似準(zhǔn)則，或稱柯西數(shù) 準(zhǔn)則。 M MM P PP L tv L tv M MM P PP K v K v 22 56 五、 表面張力相似準(zhǔn)則 要使兩個(gè)流動(dòng)的表面 張力作用相似，則它們的韋 伯?dāng)?shù)必須相等，這稱為表面 張力準(zhǔn)則，也稱韋伯準(zhǔn)則。 六、 壓力相似準(zhǔn)則 要使兩個(gè)流動(dòng)的壓力作 用相似，則它們的歐拉數(shù)必 須相等，這稱為壓力準(zhǔn)則，

35、也稱歐拉準(zhǔn)則。 M MMM P PPP vLvL 22 22 MM M PP P v p v p 57 歐拉數(shù)中的動(dòng)水壓強(qiáng)p也可用壓差p代替，這樣歐拉數(shù)具 有下列形式 在研究氣穴現(xiàn)象時(shí)，歐拉數(shù)具有重要的意義，通常p用某 處的絕對壓強(qiáng)與汽化壓強(qiáng)的差來表示，并用歐拉數(shù)的2倍作為 衡量氣穴的指標(biāo) K就是氣穴指數(shù)。 2 v p Eu P 2 2 1 2 v p EuK 本節(jié)在量綱分析基礎(chǔ)上，討論兩個(gè)規(guī)模不同的不可壓流體流動(dòng)本節(jié)在量綱分析基礎(chǔ)上，討論兩個(gè)規(guī)模不同的不可壓流體流動(dòng) 的相似問題。這是進(jìn)行有關(guān)流體力學(xué)模型試驗(yàn)時(shí)必須面對的問的相似問題。這是進(jìn)行有關(guān)流體力學(xué)模型試驗(yàn)時(shí)必須面對的問 題。題。 123

36、 水力相似基本原理 1. 1. 流動(dòng)相似概念流動(dòng)相似概念 幾何相似幾何相似：流場幾何形狀相似，相應(yīng)長度成比例，相應(yīng)角度：流場幾何形狀相似，相應(yīng)長度成比例，相應(yīng)角度 相等。幾何相似還可認(rèn)為包括流場相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體相等。幾何相似還可認(rèn)為包括流場相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體 壁面，自由液面等。壁面，自由液面等。 長度比尺長度比尺 mpl ll / 運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似：以幾何相似為前：以幾何相似為前 提。流體質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)的位移提。流體質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)的位移 所用時(shí)間成比例。所用時(shí)間成比例。 在對應(yīng)瞬時(shí)，在對應(yīng)瞬時(shí)， 流場速度圖相流場速度圖相 似，即相應(yīng)點(diǎn)似，即相應(yīng)點(diǎn) 速度大小成比速度大小成比 例，方向相

37、同。例，方向相同。 長度比尺長度比尺 mpl ll /時(shí)間比尺時(shí)間比尺 mpt tt / 長度比尺長度比尺 mpl ll / 時(shí)間比尺時(shí)間比尺 mpt tt / 動(dòng)力相似動(dòng)力相似：在對應(yīng)位置和對應(yīng)瞬時(shí)，流場中各種成分的力：在對應(yīng)位置和對應(yīng)瞬時(shí)，流場中各種成分的力 （時(shí)變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量（時(shí)變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量 圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例，方向相同。并且五種成圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例，方向相同。并且五種成 分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。 作用力比尺作用力比尺 mpF FF

38、 / 在兩個(gè)相似在兩個(gè)相似 流動(dòng)中，對應(yīng)流動(dòng)中，對應(yīng) 的無量綱量是的無量綱量是 相同的。相同的。 不可壓流體的流動(dòng)都受不可壓流體的流動(dòng)都受N-S方程的控制，那么方程的控制，那么 我們怎樣來保證兩個(gè)不同規(guī)模的流動(dòng)是相似的我們怎樣來保證兩個(gè)不同規(guī)模的流動(dòng)是相似的 呢？呢？兩個(gè)相似的不可壓流體流動(dòng)的無量綱解應(yīng)兩個(gè)相似的不可壓流體流動(dòng)的無量綱解應(yīng) 是相等的是相等的，這意味著控制流動(dòng)的無量綱方程和，這意味著控制流動(dòng)的無量綱方程和 無量綱邊界條件和初始條件應(yīng)是完全一樣的。無量綱邊界條件和初始條件應(yīng)是完全一樣的。 2. 2. 相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則 用流動(dòng)的時(shí)間、用流動(dòng)的時(shí)間、 長度、流速和壓強(qiáng)長度、流速和壓強(qiáng)

39、特征量特征量 ， 將方程的自變量和將方程的自變量和 應(yīng)變量無量綱化：應(yīng)變量無量綱化： 帶帶的的 量成為無量綱量成為無量綱 量。量。 T LU P, , , 將無量綱變量代入將無量綱變量代入 連續(xù)方程連續(xù)方程 N-S方程方程 得到無量綱方程得到無量綱方程 和和 其中其中 另一方面，也要將定解條件無量綱化，即給出在無量綱邊另一方面，也要將定解條件無量綱化，即給出在無量綱邊 界上的邊界條件及在無量綱時(shí)間初值時(shí)的初始條件。接著再界上的邊界條件及在無量綱時(shí)間初值時(shí)的初始條件。接著再 將無量綱將無量綱 N-S 方程對流項(xiàng)前的系數(shù)歸一，得到方程對流項(xiàng)前的系數(shù)歸一，得到 必須相等。它們都是無量綱量，分別反映了

40、時(shí)變慣性力、重必須相等。它們都是無量綱量，分別反映了時(shí)變慣性力、重 力、壓差力和粘性力在流動(dòng)的動(dòng)力平衡中相對于位變慣性力力、壓差力和粘性力在流動(dòng)的動(dòng)力平衡中相對于位變慣性力 的重要性。的重要性。 相似流動(dòng)的無量綱方程和邊界條件、初始條件應(yīng)該完全一相似流動(dòng)的無量綱方程和邊界條件、初始條件應(yīng)該完全一 樣，所以兩個(gè)相似流動(dòng)對應(yīng)的樣，所以兩個(gè)相似流動(dòng)對應(yīng)的 根據(jù)上面得到的四個(gè)無量綱量（有的作了取倒數(shù)、開方等改根據(jù)上面得到的四個(gè)無量綱量（有的作了取倒數(shù)、開方等改 形）得到流動(dòng)的相似準(zhǔn)數(shù)：形）得到流動(dòng)的相似準(zhǔn)數(shù)： L UT St 斯特勞哈爾數(shù)斯特勞哈爾數(shù) gL U Fr 弗勞德數(shù)弗勞德數(shù) 2 U P En 歐拉數(shù)歐拉數(shù) UL Re 雷諾數(shù)雷諾數(shù) 它們分別是時(shí)變慣性力、重力、壓差力、粘性力相似的準(zhǔn)數(shù)。它們分別是時(shí)變慣性力、重力、壓差力、粘性力相似的準(zhǔn)數(shù)。 時(shí)變慣性力時(shí)變慣性力 位變慣性力位變慣性力 表征表征 L UT St 斯特勞哈爾數(shù)斯特勞哈爾數(shù) gL U Fr 弗勞德數(shù)弗勞德數(shù) 2 U P En 歐拉數(shù)歐拉數(shù) U