機(jī)械振動學(xué)課件2

1、 振動概念（vibration）物體經(jīng)過它的靜 平衡位置所做的往復(fù)運動?；蛘哒f某一物 理量在其平衡位置或平衡值附近來回的變 動。 振動首先是一種運動。比如：地殼的運動、 交流電、電磁波、潮水的漲落等。 2 機(jī)械振動的研究對象和分類機(jī)械振動的研究對象和分類 2.1 2.1 研究對象研究對象“振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)” 第一章第一章 緒緒 論論 系統(tǒng)的定義：系統(tǒng)的定義： 由若干個元素構(gòu)成 的有機(jī)組合，個元 素間存在著相互作 用、互相影響的關(guān) 系。 機(jī)械系統(tǒng)的定義：機(jī)械系統(tǒng)的定義： 由若干個機(jī)械元件 組成的系統(tǒng)。具體 的講，是由運動副 連接的一些構(gòu)件所 組成的能完成一定 運動的機(jī)械裝置。 第一章第一章 緒緒

2、 論論 2.2 2.2 機(jī)械系統(tǒng)研究內(nèi)容機(jī)械系統(tǒng)研究內(nèi)容 系統(tǒng)（系統(tǒng)（S） 輸入（X） 輸出（Y） 激勵響應(yīng)響應(yīng) 第一章第一章 緒緒 論論 系統(tǒng)的研究內(nèi)容包括三個方面：系統(tǒng)的研究內(nèi)容包括三個方面： 1.已知系統(tǒng)的輸入（X）和系統(tǒng)（S）,求輸出 (Y)系統(tǒng)的動力響應(yīng)分析，或叫動態(tài)分析。 2.已知系統(tǒng)的輸入（X）和輸出(Y)，求系統(tǒng) （S）系統(tǒng)設(shè)計；系統(tǒng)識別或系統(tǒng)辨識。 3.已知系統(tǒng)的系統(tǒng)（S）和輸出(Y)，求輸入 （X）環(huán)境預(yù)測。 自由振動：給圖中質(zhì)量塊 一個激勵，給一個初始位 移后，質(zhì)量塊就開始振下 去。 強(qiáng)迫振動：用一個電機(jī)作 元件，給系統(tǒng)一個持續(xù)激 勵，系統(tǒng)會在電機(jī)的強(qiáng)制 激勵下振動。 自

3、激振動：揚聲器的鳴叫 聲。 3 3 機(jī)械振動的分類機(jī)械振動的分類 3.1 3.1 按輸入分按輸入分 m k 第一章第一章 緒緒 論論 簡諧振動：符合正弦（預(yù)選）規(guī)律的振動。 周期振動：x（t）x（t+kT）， 瞬態(tài)振動：風(fēng)鈴隨風(fēng)而動；地震 隨機(jī)振動：不能用當(dāng)前的現(xiàn)象預(yù)測未來，但是 符合統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，可以用統(tǒng)計的方法來研究。 如，煙的運動；紅旗的飄動。 3.2 3.2 按輸出分按輸出分 第一章第一章 緒緒 論論 自由度：用來描述一個物體確定運動的獨立坐標(biāo)。 單自由度系統(tǒng)： 多自由度系統(tǒng)： 可以是兩個、三個甚至是n個自由度系統(tǒng)，n個獨立 坐標(biāo)，n維空間。 連續(xù)系統(tǒng)：用偏微分方程描述 3.3 3.3

4、按自由度劃分按自由度劃分 ),.,(vdxtHH 可用微分方程描述 第一章第一章 緒緒 論論 線性振動 非線性振動: 二階常系數(shù)線性齊次）(0kxx m 3.4 3.4 按微分方程分按微分方程分 單擺振動方程）(0sinxkx m 第一章第一章 緒緒 論論 4 4 主要參考文獻(xiàn)主要參考文獻(xiàn) 書書+期刊期刊 書：張策、張維平、邵韌平、聞邦春、書：張策、張維平、邵韌平、聞邦春、 李有堂、張義民等李有堂、張義民等 期刊：期刊：噪聲與振動噪聲與振動 （sound and vibration） 第一章第一章 緒緒 論論 2.1 一些基本概念、無阻尼單自由度振動系統(tǒng)一些基本概念、無阻尼單自由度振動系統(tǒng) 2

5、.3 有線性阻尼有線性阻尼自由振動自由振動 2.4 簡諧激勵力作用下簡諧激勵力作用下的的強(qiáng)迫振動強(qiáng)迫振動 2.8 隔振原理隔振原理 2.5 周期激勵下的響應(yīng)周期激勵下的響應(yīng) 2.6 任意激勵下的響應(yīng)任意激勵下的響應(yīng) 2.7 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼 2.2 固有頻率的計算固有頻率的計算 當(dāng)物體沿當(dāng)物體沿x x軸作直線運動時，慣性的大小可用質(zhì)量來表軸作直線運動時，慣性的大小可用質(zhì)量來表 示。根據(jù)牛頓第二定律，作用在物體上的外力示。根據(jù)牛頓第二定律，作用在物體上的外力F F，物體由此，物體由此 產(chǎn)生的加速度和物體質(zhì)量產(chǎn)生的加速度和物體質(zhì)量m m之間有下述關(guān)系：之間有下述關(guān)系： )

6、1-(1 2 2 dt xd mF 構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。 慣性就是能使物體當(dāng)前運動持續(xù)下去的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能慣性就是能使物體當(dāng)前運動持續(xù)下去的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能 使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運動使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運動 的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復(fù)性的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復(fù)性 是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)的基本元素 質(zhì)量的單

7、位為質(zhì)量的單位為kgkg。 阻尼力阻尼力Fd反映阻尼的強(qiáng)弱，通常是速度反映阻尼的強(qiáng)弱，通常是速度x的函數(shù)，阻尼力的函數(shù)，阻尼力 可表示為可表示為 這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數(shù)這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系稱為粘性阻尼系 數(shù)，單位數(shù)，單位N.s/m。 )31 ( xcFd 典型恢復(fù)性元件是彈簧，彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力是該元件位典型恢復(fù)性元件是彈簧，彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力是該元件位 移的函數(shù)，即移的函數(shù)，即Fs=Fs（x）。當(dāng)。當(dāng)Fs（x）是線性函數(shù)時，有：是線性函數(shù)時，有： Fs=kx (1-2) k稱為彈簧常數(shù)或彈簧的剛度系數(shù)。單位為稱為彈簧常數(shù)或彈簧的剛度系數(shù)。單位為N/m。 質(zhì)量、彈

8、簧和阻尼器質(zhì)量、彈簧和阻尼器是構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)是構(gòu)成機(jī)械振動系統(tǒng)物理模型物理模型的的 三個基本元件。三個基本元件。 自由度與廣義坐標(biāo)自由度與廣義坐標(biāo) 自由度數(shù)自由度數(shù): 完全確定系統(tǒng)運動所需的獨立坐標(biāo)數(shù)目稱為自由度數(shù)。完全確定系統(tǒng)運動所需的獨立坐標(biāo)數(shù)目稱為自由度數(shù)。 剛體在空間有剛體在空間有6個自由度：三個方向的移動和繞三個方向的轉(zhuǎn)動，個自由度：三個方向的移動和繞三個方向的轉(zhuǎn)動， 如飛機(jī)、輪船；如飛機(jī)、輪船； 質(zhì)點在空間有質(zhì)點在空間有3個自由度：三個方向的移動，如高爾夫球；個自由度：三個方向的移動，如高爾夫球； 質(zhì)點在平面有質(zhì)點在平面有2個自由度：兩個方向的移動，加上約束則成為單個自由度：兩個

9、方向的移動，加上約束則成為單 自由度。自由度。 質(zhì)量元件質(zhì)量元件 無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件 xmF m 平動：平動： 力、質(zhì)量和加速度的單位分別力、質(zhì)量和加速度的單位分別 為為N、kg和和m / s 2。 JTm 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動： 力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的 單位分別為單位分別為Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成 2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成 彈性元件彈性元件 無質(zhì)量、不耗能，儲存勢能的元件無質(zhì)量、不耗能，儲存勢能的元件 xkF s 平動：平動： 力、剛度和位移的單位分別為

10、力、剛度和位移的單位分別為 N、N / m和和m 。 ts kT 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動： 力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單 位分別為位分別為Nm、 Nm / rad和和 rad 阻尼元件阻尼元件 無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件 xcF d 平動：平動： 力、阻尼系數(shù)和速度的單位分力、阻尼系數(shù)和速度的單位分 別為別為N、N s/ m和和m/s。 td cT 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動： 力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度 的單位分別為的單位分別為Nm、 Nms / rad 和和rad/s 2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成 等效彈簧剛度等效彈簧剛度 斜向布

11、置的彈簧斜向布置的彈簧 2 e cos/kxFk xx 串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧 并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧 n i i kk 1 e n i i kk 1 e 11 n i i cc 1 e n ii cc 1e 11 并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng) 等效阻尼系數(shù)等效阻尼系數(shù) 傳動系統(tǒng)的等效剛度傳動系統(tǒng)的等效剛度 2 1 t e 1 t /ikk 傳動系統(tǒng)的等效阻尼傳動系統(tǒng)的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 2 2 1e1 /iJJ 等效質(zhì)量等效質(zhì)量 傳動系統(tǒng)的等效慣量傳動系統(tǒng)的等效慣量 單自由度系統(tǒng)的類型 tQkxxrxm tQkxxm kxxrxm kxxm sin sin 0 0 0 0 單自由度

12、無阻尼自由振動單自由度無阻尼自由振動 單自由度有粘性阻尼的自由振動單自由度有粘性阻尼的自由振動 單自由度無阻尼受迫振動單自由度無阻尼受迫振動 單自由度有粘性阻尼的受迫振動單自由度有粘性阻尼的受迫振動 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 例：如右圖，舍振動體的例：如右圖，舍振動體的 質(zhì)量為質(zhì)量為m m，它所受的重，它所受的重 力為力為W W，彈簧剛度為，彈簧剛度為k,k, 彈簧掛上質(zhì)量塊的靜伸彈簧掛上質(zhì)量塊的靜伸 成量為成量為j j，此時系統(tǒng)，此時系統(tǒng) 處于靜平衡狀態(tài)，平衡處于靜平衡狀態(tài)，平衡 位置為位置為0-00-0，求給系統(tǒng)，求給系統(tǒng) 一個初始擾動后系統(tǒng)的一個初始擾動后系統(tǒng)的 振動方程。振動方程。

13、 模型的建立模型的建立 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 無阻尼自由振動：無阻尼自由振動： 振動系統(tǒng)受到初始擾動后，不再受到振動系統(tǒng)受到初始擾動后，不再受到 外力作用，也不受阻尼的影響所作的振動。外力作用，也不受阻尼的影響所作的振動。 靜平衡 振動 系統(tǒng)產(chǎn)生 彈性恢復(fù)力 彈力重力 靜平衡破壞 初始擾動 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 解：解：取靜平衡位置為坐取靜平衡位置為坐 標(biāo)原點，以標(biāo)原點，以X軸為系統(tǒng)軸為系統(tǒng) 的坐標(biāo)軸，向下為正的坐標(biāo)軸，向下為正 方向建立坐標(biāo)系。方向建立坐標(biāo)系。 以以x

14、x表示質(zhì)量塊的受擾表示質(zhì)量塊的受擾 后的位移，當(dāng)質(zhì)量塊后的位移，當(dāng)質(zhì)量塊 離開平衡位置時，在離開平衡位置時，在 質(zhì)量塊上作用的力有質(zhì)量塊上作用的力有 ： XT W mg kxkT j W重力 彈性恢復(fù)力 x 由于受力不平衡，質(zhì)量塊產(chǎn)生加速度由于受力不平衡，質(zhì)量塊產(chǎn)生加速度 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 根據(jù)牛頓第二定律建立振動微分方程： xmxkw j )( 0 , 0 2 2 xx m k kxxm n n ：則上式可寫成令 即 叫做系統(tǒng)的固有頻率 2 n 二階齊次常系數(shù)微分方程， st ex 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼

15、自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 扭轉(zhuǎn)振動問題扭轉(zhuǎn)振動問題 例1-2： 右圖所示，垂直軸的下端右圖所示，垂直軸的下端 固定一個水平圓盤。已知固定一個水平圓盤。已知 軸長為軸長為l ,l ,直徑為直徑為d,d,剪切剪切 彈性模量為彈性模量為G,G,圓盤的轉(zhuǎn)動圓盤的轉(zhuǎn)動 慣量為慣量為I I，在盤上施加初，在盤上施加初 始擾動后（如力偶），系始擾動后（如力偶），系 統(tǒng)做自由扭轉(zhuǎn)振動。若不統(tǒng)做自由扭轉(zhuǎn)振動。若不 計阻尼影響，振動將永遠(yuǎn)計阻尼影響，振動將永遠(yuǎn) 持續(xù)下去。求系統(tǒng)的振動持續(xù)下去。求系統(tǒng)的振動 方程。方程。 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系

16、統(tǒng) 由材料力學(xué)知：扭轉(zhuǎn)剛度為： 32 4G d k )/( J 0JI srad k kk n 系統(tǒng)固有角頻率令 即 扭轉(zhuǎn)振動微分方程為：建立如圖所示坐標(biāo)系， 0 ) 1 ( 2 1 2 nn s Hz I k f 代入微分方程得到：將 系統(tǒng)振動的固有頻率： 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 典型的單自由度自由振動單擺 例1-3：如左圖所示， 求t時刻剛體的角度 是多少？ 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 解： 以靜平衡位置為原點，以以靜平衡位置為原點，以角增角增 加的方向為正方向建立坐標(biāo)系。加

17、的方向為正方向建立坐標(biāo)系。 隔離物體，進(jìn)行受力分析。隔離物體，進(jìn)行受力分析。 使用牛頓定律建立振動模型：使用牛頓定律建立振動模型： a)力矩形式：力矩形式： 0 sin 0sin sin mglJ mglJ Jmgl 作為擺動時， 即 b)力形式：力形式： ？ 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) txt x tx xb x b bbx bbx t nn n n nnnn nn cossin)( 0sin0cos 0cos0sin 0 0 0 02 0 1 210 210 時有：代入初始條件： 1-2 無阻尼單自由度系統(tǒng)的 自由振動規(guī)律 為：高等數(shù)

18、學(xué)知方程的通解 度和初位移均為零。此初始條件亦即：初速 預(yù)先給定初始條件： 考慮 0000 2 , 0 xxxx xx tt n )sin( cossin)( 21 tA tbtbtx n nn . ; ;A 2 1 1 2 2 2 1 為頻率 三要素： n b b tg bb 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 結(jié)結(jié) 論論 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的方程是一樣的單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的方程是一樣的, 規(guī)律是相同的，具有以下特點：規(guī)律是相同的，具有以下特點： 1.1.單自由度無阻尼振動是簡諧的。單自由度無阻尼振動是簡諧的。 2.2.振幅決定

19、于初始條件：振幅決定于初始條件： )(; 2 2 2 1 2 0 2 2 0 bbAx x A n 圖中系統(tǒng)，用手把圖中系統(tǒng)，用手把m m移到移到X X0 0位置，初始位移的大小決位置，初始位移的大小決 定于定于m m的振幅，如果放手的同時，給的振幅，如果放手的同時，給m m一個右向的初一個右向的初 速度，可以通過上式計算出其最大振幅。速度，可以通過上式計算出其最大振幅。 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 3.3. 固有頻率與初始條件無關(guān)。系統(tǒng)一定，固有固有頻率與初始條件無關(guān)。系統(tǒng)一定，固有 頻率一定。頻率一定。 f Tf m k n n 1

20、; 2 ; 的特點，座鐘。應(yīng)用：利用“等時性” 思考：鐘表的鐘擺的擺角大是準(zhǔn)確還是小準(zhǔn)確？思考：鐘表的鐘擺的擺角大是準(zhǔn)確還是小準(zhǔn)確？ 結(jié)結(jié) 論論 機(jī)機(jī) 械械 振振 動動 學(xué)學(xué) 單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng) 在振動研究中，計算振動系統(tǒng)的固有頻率有很重要的意義 ，除 用定義法（牛頓法）外，通常還有以下幾種常用的方法，即靜 變形法、能量法和瑞利法，現(xiàn)分別加以介紹。 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 1、靜變形法（、靜變形法（Static Deformation Method） Wk j 當(dāng)單振子處于靜平衡狀態(tài)時，彈簧的彈性力與振動質(zhì) 量的重力互相平

21、衡，即存在關(guān)系式： 由上式可得： jj mgW k 故系統(tǒng)的固有頻率為：) 1 ( 2 1 2 1 j n g m k f 由此可見，只要知道質(zhì)量塊處的彈性靜變形，就可以計 算出系統(tǒng)的固有頻率。在有些實際問題中，不能直接給 出系統(tǒng)的彈簧剛度時，利用此法計算固有頻率比較方便。 例例1 1 設(shè)一懸臂梁長度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質(zhì)量。設(shè)一懸臂梁長度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質(zhì)量。 梁本身重量忽略不計。試求這一系統(tǒng)的固有頻率（見下圖）。梁本身重量忽略不計。試求這一系統(tǒng)的固有頻率（見下圖）。 自由端有集中質(zhì)量的懸臂梁 解：懸臂梁在自由端由集中力mg 所引起的靜撓度為： EJ mgl j 3

22、3 ) 1 ( 3 2 1 3 ml EJ fn 當(dāng)不易用計算方法求出靜撓度時，也可用實測方法得到靜撓 度，然后按（1）式計算系統(tǒng)固有頻率。 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 2 2、能量法（、能量法（Energy MethodEnergy Method） 在無阻尼自由振動系統(tǒng)中，由于沒有能量的損失，所以振幅在無阻尼自由振動系統(tǒng)中，由于沒有能量的損失，所以振幅 始終保持為一常數(shù)，即在振動過程中振幅始終不衰減。我們始終保持為一常數(shù)，即在振動過程中振幅始終不衰減。我們 將這樣的系統(tǒng)稱為將這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)。 在保守系統(tǒng)中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個振動過程的

23、在保守系統(tǒng)中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個振動過程的 任一瞬時機(jī)械能應(yīng)保持不變。任一瞬時機(jī)械能應(yīng)保持不變。 式中：式中： T T系統(tǒng)中運動質(zhì)量所具有的動能；系統(tǒng)中運動質(zhì)量所具有的動能； U U系統(tǒng)由于彈性變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功系統(tǒng)由于彈性變形而儲存的彈性勢能，或由于重力作功 而產(chǎn)生的重力勢能。而產(chǎn)生的重力勢能。 0UT dt d 即： T+U=常數(shù) 或 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 x kxmgxkxdxmgx 0 2 2 1 22 2 1 2 1 kxkxmgxmgxU 2 2 1 xmT 對于單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的動能為： 1.

24、重力勢能：當(dāng)質(zhì)量塊m低于靜平衡位置時，重力勢能為-mgx。 2. 彈性勢能：當(dāng)質(zhì)量塊m運動至離靜平衡位置距離+x時，彈簧的 彈性力對質(zhì)量塊所作的功即為系統(tǒng)此時的彈性勢能。如下圖所示， 系統(tǒng)的彈性勢能為： 故系統(tǒng)的勢能為故系統(tǒng)的勢能為： )2()( 2 1 2 1 22 常數(shù)Ekxxm 所以：所以： 系統(tǒng)的勢能則由以下兩部分組成： 2 2 x m mgx 單自由度振動系統(tǒng)的彈性勢能 這就是單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量方程。這就是單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量方程。 這一方程說明，這一方程說明，無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量關(guān)系無阻尼自由振動系統(tǒng)的能量關(guān)系 是振動質(zhì)體的能量與彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化過程

25、是振動質(zhì)體的能量與彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化過程， 而無能量的消耗。而無能量的消耗。但在振動系統(tǒng)中存在阻尼時，但在振動系統(tǒng)中存在阻尼時， 則在振動質(zhì)體的動能與彈性勢能的互相轉(zhuǎn)化過程則在振動質(zhì)體的動能與彈性勢能的互相轉(zhuǎn)化過程 中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉(zhuǎn)化為中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉(zhuǎn)化為 熱能，故系統(tǒng)的振幅將逐漸減小，直至完全消失。熱能，故系統(tǒng)的振幅將逐漸減小，直至完全消失。 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 tAx n sin EtkAtAm nnn 22222 sin 2 1 cos 2 1 EAmT n 22 max 2 1 0T25232，時，、

26、或、當(dāng) nnn ttt EkAU 2 max 2 1 maxmax UT )3( 2 1 2 1 222 kAAm n m k n 若將無阻尼自由振動的時間歷程若將無阻尼自由振動的時間歷程 代入系統(tǒng)的能量方程（代入系統(tǒng)的能量方程（2）式可得：）式可得： 這說明系統(tǒng)的最大動能或最大勢能均等于系統(tǒng)的總能量，且動能與勢能的這說明系統(tǒng)的最大動能或最大勢能均等于系統(tǒng)的總能量，且動能與勢能的 最大值相等，即：最大值相等，即： 0U20時，、或、當(dāng) nn ttt 根據(jù)上式即可算出系統(tǒng)的固有頻率：根據(jù)上式即可算出系統(tǒng)的固有頻率： 對彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（單振子）對彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（單振子） 用上述能量法意義不大。但用上述

27、能量法意義不大。但 是復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)用能是復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)用能 量法計算固有頻率比較方便。量法計算固有頻率比較方便。 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 例1：一根矩形截面梁，上面承 受質(zhì)量為m 的物體（如圖所示）。 若忽略梁的質(zhì)量，試用能量法求 該系統(tǒng)的固有頻率。 承受質(zhì)量的矩形截面梁 解：梁的剛度可用靜變形法求出：解：梁的剛度可用靜變形法求出： j mg k 而梁的靜擾度可根據(jù)材料力學(xué)公而梁的靜擾度可根據(jù)材料力學(xué)公 式計算：式計算： EJl bmga j 3 22 22 3 ba EJl k 故 代入（代入（3 3）式即可求出該系統(tǒng)的固有圓頻率：）式即可求出

28、該系統(tǒng)的固有圓頻率： 22 3 bma EJl n 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 例例2:2:下圖所示為測量低頻振幅用的傳感器的一個元件下圖所示為測量低頻振幅用的傳感器的一個元件無定無定 向擺。已知向擺。已知a=3.54cma=3.54cm，mg=0.856Nmg=0.856N，k=0.3N/cmk=0.3N/cm。且整個系統(tǒng)對。且整個系統(tǒng)對 轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動軸o o的轉(zhuǎn)動慣量。試求系統(tǒng)的固有頻率。的轉(zhuǎn)動慣量。試求系統(tǒng)的固有頻率。 無定向擺 解：解：取搖桿偏離平衡位置的角位移取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣為廣 義坐標(biāo)，并設(shè)義坐標(biāo)，并設(shè) 則則 對簡諧振動來說，搖桿正經(jīng)

29、過平衡位置時的速度對簡諧振動來說，搖桿正經(jīng)過平衡位置時的速度 最大，故此時系統(tǒng)動能最大，而勢能為零。即：最大，故此時系統(tǒng)動能最大，而勢能為零。即： tA n sin )cos(tA nn n AA maxmax 22 0 2 max0max 2 1 2 1 n AIIT 當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系 統(tǒng)動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分：統(tǒng)動能為零，而勢能最大，它包括以下兩個部分： 1 1）彈簧變形后儲存的彈性勢能：）彈簧變形后儲存的彈性勢能： 2) 2) 質(zhì)量塊質(zhì)量塊m m的重心下降的重心下降 后的重力勢能：后的重力勢能： A

30、kakaU 22 max 2 max1 2 1 2 22 maxmaxmax2 2 1 2 1 cos1mglAmglmglmgU 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 解：取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣義坐標(biāo)，并設(shè) 則 故 對簡諧振動來說，搖桿正經(jīng)過平衡位置時的速度最大，故此時系統(tǒng)動能最 大，而勢能為零。即： 當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時，速度為零，故此時系統(tǒng)動能為零，而勢能最大， 它包括以下兩個部分： 1）彈簧變形后儲存的彈性勢能： 2) 質(zhì)量塊m的重心下降 后的重力勢能： tA n sin )cos(tA nn A max n A max 22 0 2 max0ma

31、x 2 1 2 1 n AIIT AkakaU 22 max 2 max1 2 1 2 22 maxmaxmax2 2 1 2 1 cos1mglAmglmglmgU 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 0 2 2 I mglka n Hz I mglka f n 77. 0 106 .17 4856. 054. 33 . 02 2 12 2 1 2 2 0 2 maxmax UT因為 22222 0 2 1 2 1 mglAAkaAI n 故 得 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 前面介紹的幾種計算系統(tǒng)固有頻率的方法，都是將系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)

32、量 忽略不計。但是在有些系統(tǒng)中，彈簧本身的質(zhì)量在系統(tǒng)總質(zhì)量中占有 一定的比例，此時若再忽略彈簧的質(zhì)量，就將會使得計算出來的系統(tǒng) 固有頻率偏高。瑞利法則將彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)振動頻率的影響考慮了進(jìn) 去，從而能得到相當(dāng)準(zhǔn)確的固有頻率值。 3.瑞利法（瑞利法（Rayleigh Method） 應(yīng)用瑞利法時，必須先假定一個系統(tǒng)的振動形式。而且所假定的振動 形式越接近實際的振動形式，則計算出來的固有頻率的近似值就越接 近準(zhǔn)確值。實踐證明，以系統(tǒng)的靜態(tài)變形曲線作為假定的振動形式， 則所求得的固有頻率的近似值與準(zhǔn)確值相比較，一般來說誤差是很小 的。 現(xiàn)以最簡單的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例來說明瑞利法的應(yīng)用。在下圖的系 統(tǒng)中

33、，若彈簧的質(zhì)量與質(zhì)量塊的質(zhì)量相比是很小的，則系統(tǒng)的振動形 式就不會顯著地受到彈簧質(zhì)量的影響。在這種情況下，假設(shè)彈簧在振 動過程中的變形（各截面的瞬時位移）與彈簧在受軸向靜載荷作用下 的變形相同是足夠精確的。 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 彈簧質(zhì)量系統(tǒng) l x x 解:假設(shè)彈簧上距固定端距離為 處的位移為： x 式中：l處于平衡位置時彈簧的長度； x 彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊一端的位移。 令令表示彈簧單位長度的質(zhì)量，則表示彈簧單位長度的質(zhì)量，則 彈簧微段彈簧微段dd的質(zhì)量為的質(zhì)量為d.d.其最其最 大動能則為大

34、動能則為: : d l x 2 max 2 1 l x x 彈簧在彈簧在處的微段處的微段dd的速度應(yīng)為的速度應(yīng)為: : 當(dāng)質(zhì)量塊在某一瞬時的速度為當(dāng)質(zhì)量塊在某一瞬時的速度為 時，時， 所以彈簧的全部動能為：所以彈簧的全部動能為： 322 1 2 max 2 0 max lx d l x T l s 322 1 2 max 2 0 max lx d l x T l s ) 1 ( 32322 1 2 max 2 max 2 maxmax l m xlx xmT )2( 2 2 max max kx U 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 顯然，系統(tǒng)的全部動能應(yīng)該是質(zhì)量塊

35、顯然，系統(tǒng)的全部動能應(yīng)該是質(zhì)量塊m m的最大動能與彈簧的最大的最大動能與彈簧的最大 動能之和，即動能之和，即 系統(tǒng)的最大勢能仍與無質(zhì)量彈簧的情況相同，即：系統(tǒng)的最大勢能仍與無質(zhì)量彈簧的情況相同，即： 所以彈簧的全部動能為：所以彈簧的全部動能為： 由動能和勢能相等原理得：由動能和勢能相等原理得： 232 2 max 2 max kxl m x 對簡諧振動來說，上式即成為：對簡諧振動來說，上式即成為： 232 222 kAl m A n 由此可以得出系統(tǒng)固有頻率的計算公式為：由此可以得出系統(tǒng)固有頻率的計算公式為： 3 l m k n 結(jié)論：結(jié)論：為了考慮彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要將為了考

36、慮彈簧質(zhì)量對系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要將 1/3的彈簧質(zhì)量當(dāng)作一個集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上去即可。的彈簧質(zhì)量當(dāng)作一個集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上去即可。 一般將上式中的 稱為“彈簧的等效質(zhì)量”“effective mass of spring”,以ms表示。但是不同的振動系統(tǒng)，其彈簧的等效質(zhì)量不同，需具 體加以計算。 因為 所以 因此只要先算出系統(tǒng)彈性元件的動能，即可根據(jù)上式計算出系統(tǒng)彈性 元件的等效質(zhì)量。根據(jù)系統(tǒng)中的彈簧質(zhì)量與質(zhì)量塊質(zhì)量相比很小，從而 在振動過程中彈簧各截面的瞬時位移按線性變化這一假設(shè)而得出的。但 是，即使彈簧的質(zhì)量較大，用原式計算系統(tǒng)固有頻率也具有足夠的精確 度。例如,當(dāng) 時，固有頻率

37、的計算誤差約為0.5；當(dāng) 時，計算 誤差約為0.8；當(dāng) 時，計算誤差約為3。 3 l 2 2 1 xmT ss 2 2 x T m s s ml5 . 0ml ml2 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 例如圖所示的等截面簡支梁上有一集中質(zhì)量m，若將梁本身的重量W考 慮在內(nèi)，計算此系統(tǒng)的固有頻率。 圖承受集中質(zhì)量的等截面梁 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 解：假設(shè)梁在振動時撓度曲線與梁在圖示載荷作用下的靜撓度曲線 一致。 梁上物體左側(cè)距A點為處的靜撓度為： 梁上物體右側(cè)距B點為處的靜撓度為： 在物體m處梁的靜撓度為： 設(shè)物體m在振動狀態(tài)下

38、的最大速度為 ，則在物體左右兩側(cè)梁的所有 點的最大速度 、 與振動位移y1、y2之間存在以下關(guān)系： 2 1 6 bla EJl mgb y 2 2 6 alb EJl mga y EJl bmga ym 3 22 m y 1 y 2 y n m m y y y y 1 1 n m m y y y y 2 2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 所以梁的左右兩部分的最大速度為： 因而梁的左右兩部分的最大動能為： 式中：w梁的單位長度的質(zhì)量； 2 2 1 1 2 bla ba y y y yy m m m 2 2 2 2 2 alb ab y y y yy m m m dbla

39、bag yw T a m s 2 0 2 24 22 1 42 22 2 2 2 2 15 8 105 23 32b al b a b l g wa ym g wa ym 2 2 b m s dalb bag yw T 0 2 2 42 22 2 42 22 2 2 2 2 1028122a alb a b a al g wb ym g wb ym 2 2 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 22 2 2 2 15 8 105 23 3b al b a b l 22 2 2 2 102812a alb a b a al 梁的全部動能為： 根據(jù)上式可算出梁的等效質(zhì)量為：

40、 所以系統(tǒng)的固有圓頻率為： 式中： ，為梁的剛度。 2 21 2 msss y g wbwa TTT g wbwa ms s n mm k 22 3 babwawmg gEJl 22 3 ba EJl k 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 4 632. 0 2 wl EJg n 4 637. 0 2 wl EJl n 2.2 計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 從上式可以看出當(dāng)忽略梁的質(zhì)量時所計算出的系統(tǒng)固有頻率比從上式可以看出當(dāng)忽略梁的質(zhì)量時所計算出的系統(tǒng)固有頻率比 用瑞利法計算出的數(shù)值要小，因而誤差較大。應(yīng)用瑞利法也可用瑞利法計算出的數(shù)值要小，

41、因而誤差較大。應(yīng)用瑞利法也可 求得無載荷的固有頻率的相當(dāng)準(zhǔn)確的數(shù)值。由于無載荷的變形求得無載荷的固有頻率的相當(dāng)準(zhǔn)確的數(shù)值。由于無載荷的變形 曲線是對稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載曲線是對稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載 荷為零（荷為零（m m0 0），即可求出無載荷梁的固有圓頻率為：），即可求出無載荷梁的固有圓頻率為： 而這一固有圓頻率的精確值為：而這一固有圓頻率的精確值為： 可見，近似值與理論精確值之差小于可見，近似值與理論精確值之差小于1 1。 內(nèi)容參考2.3。 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度 振動微分方程振動微分方程 振動微分方程振動微分方程

42、)(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()( 21 txtxtx 其中，其中， tx1 為相應(yīng)齊次方程的解為相應(yīng)齊次方程的解 瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng) tx2 為方程的特解為方程的特解 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)或或零零初始條件初始條件的的解解 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng) 自由振動自由振動 振動微分方程振動微分方程 設(shè)設(shè) 0 xkxcxm ts Atxe)( 0 2 kscsm 特征方程特征方程 22 2, 1n nns有有 臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù) kmc2 c 阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 km c c c 2c 定義定義 1 2 nn2, 1 s m k m c

43、n n n n 2 ;2; 令阻尼比或阻尼因子令阻尼比或阻尼因子 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng) 討論討論 (1)系統(tǒng)無阻尼即,0,0n 方程的解方程的解 1 2 nn2, 1 s 特征值特征值 系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng) ）（tRtx n cos)( 2 n0 2 0 )/(xxR 0tanarc 0tanarc 0 n0 0 0 n0 0 x x x x x x 1 1 10 0 ，特征值取決于 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng) 討論討論 (2) 1 2 nn2, 1 s 特征值特征值 系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)

44、 方程的解方程的解 個不等的虛數(shù)根。為2,10 2, 1 Sn n )(cose)( r n tRtx t 2 d 0n0 2 0 2 2 2 1 xx xR DDR 0tanarc 0tanarc 0 0d 0n0 0 0d 0n0 x x xx x x xx 則令, 22 r n n )sincos( sincos r2r1 rr r2, 1 r tDtDex tite ins nt i 2 2 1 1 22 nr n r r T 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng) 討論討論 (3) 方程的解方程的解 1 2 nn2, 1 s特征值特征值 系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)系統(tǒng)對初

45、始擾動的響應(yīng) nssn n 21 ,1 nt tCCtx e )( 21 )(e)( 000 txnxxtx tn 0 0 xx）（ 0 0 xx ）（ 初始條件：初始條件： 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng) 討論討論 (4) 1 2 nn2, 1 s特征值特征值 系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng)系統(tǒng)對初始擾動的響應(yīng) tsts xsxsxx ss tx 21 e)(e)( 1 )( 010200 21 tsts CCtx 21 ee)( 21 0 0 xx）（ 0 0 xx ）（ 1 方程的解方程的解 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng) 振動特性振動特性 無阻

46、尼無阻尼 0 0： 簡諧運動簡諧運動 弱阻尼弱阻尼 0 1： 衰減運動衰減運動 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng) 小阻尼小阻尼 振動對數(shù)衰減率振動對數(shù)衰減率 2 1 1 2 ln n n x x 2 22 4 單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動系統(tǒng) 簡諧激勵簡諧激勵 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼) tFxkxcxmsin 0 M M 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 求解過程求解過程 運動方程的解可以用它對應(yīng)的齊次方程的通解運動方程的解可以用它對應(yīng)的齊次方程的通解 和方程（和方程（2）的特解）的特解 來表示來表示 )

47、2(sin2,2 ) 1 (sinsin 2 0 n 0 0 tfxnx m F f m k m c n t m F m k x m c xtFxkxcxm n 則，令 可化為 2 x )()( 21 txtxx 1 x )sin()( 1 tAetx r nt 在小阻尼情況下，在小阻尼情況下， 是個衰減振動，只在開始振動是個衰減振動，只在開始振動 后的某一段時間內(nèi)有意義。研究受迫振動中持續(xù)等幅振動時可忽略之。后的某一段時間內(nèi)有意義。研究受迫振動中持續(xù)等幅振動時可忽略之。 表示系統(tǒng)的受迫振動，稱為系統(tǒng)的表示系統(tǒng)的受迫振動，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解，設(shè)，設(shè) 2 x )sin()( 2 tBtx 將

48、將 代入到方程（代入到方程（2）中可解出）中可解出B與與 2 x 22 22222 2 arctan; 4)( n n n n f B 2 222 0 1 2 arctan; )2()1 ( 1 k F B n n ; n 令 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 求解過程求解過程 進(jìn)一步討論：進(jìn)一步討論： k F Bs 0 s B B 令：令： 則：則： 222 )2()1 ( 1 s B B 2 222 0 1 2 arctan; )2()1 ( 1 k F B 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 解的討論解的討論 二、討論二、討論:

49、圖給出了以圖給出了以為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，在不同阻尼比為縱坐標(biāo)，在不同阻尼比 下的一組曲線簇。不難理解，在簡諧激振力作用下，線性下的一組曲線簇。不難理解，在簡諧激振力作用下，線性 系統(tǒng)的受迫振動也是簡諧振動，振動的頻率等于激勵力的系統(tǒng)的受迫振動也是簡諧振動，振動的頻率等于激勵力的 頻率，受迫振動的振幅取決于系統(tǒng)本身的物理特性、激勵頻率，受迫振動的振幅取決于系統(tǒng)本身的物理特性、激勵 力的大小及頻率值，但與初始條件無關(guān)。力的大小及頻率值，但與初始條件無關(guān)。 受迫振動的振幅與頻率比及阻尼比有關(guān)受迫振動的振幅與頻率比及阻尼比有關(guān) (1) 當(dāng)頻率比當(dāng)頻率比0.2時，即激振頻率時，即激振頻率遠(yuǎn)小于

50、系統(tǒng)的固有頻遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻 率率n時，無論阻尼的大小如何，時，無論阻尼的大小如何，1，稱為準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)。即，稱為準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)。即 振幅近似等于激勵力幅作用下的靜變形。故在低頻區(qū)振幅振幅近似等于激勵力幅作用下的靜變形。故在低頻區(qū)振幅 主要由彈簧剛度控制。主要由彈簧剛度控制。 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 解的討論解的討論 （2）頻率比很大頻率比很大(5) , 0，激振頻率，激振頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的固有遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的固有 頻率頻率n ，因激勵力方向改變太快，振動物體由于慣性來不，因激勵力方向改變太快，振動物體由于慣性來不 及跟隨，幾乎停著不動。故在及跟隨，幾乎停著不動。故在

51、高頻區(qū)受迫振動的振幅主要取高頻區(qū)受迫振動的振幅主要取 決于系統(tǒng)的慣性，決于系統(tǒng)的慣性，稱為慣性區(qū)，這一特性正是隔振和慣性傳稱為慣性區(qū)，這一特性正是隔振和慣性傳 感器的理論依據(jù)。感器的理論依據(jù)。 （3）當(dāng)頻率比當(dāng)頻率比 =1，激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，這時阻尼值越小，激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，這時阻尼值越小， 則越大。當(dāng)阻尼為零時，振動為無限大。習(xí)慣上把幅值則越大。當(dāng)阻尼為零時，振動為無限大。習(xí)慣上把幅值 的頻率的頻率 區(qū)間稱為共振區(qū)。區(qū)間稱為共振區(qū)。 將（將（6）對求導(dǎo)，并令）對求導(dǎo)，并令d/d=0 ，可解得，可解得 處有最大幅值，處有最大幅值， 把把 稱為共振頻率。稱為共振頻率。 2 2

52、 21 2 21 n 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 解的討論解的討論 相位相位 與頻率比的關(guān)系曲線表明與頻率比的關(guān)系曲線表明 =1時，振動位時，振動位 移總是滯后激振力移總是滯后激振力/2 ，頻率比，頻率比 1；當(dāng)；當(dāng) =-/2 -，共振點前后相位差，共振點前后相位差 恰好為恰好為。 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 簡諧激勵簡諧激勵 全響應(yīng)全響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin 0 2 22 0 1 2 arctansin )2()1 ( 1 )cos(Re)( t k F ttx r t n 2. 5 簡諧激勵力作用

53、下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 簡諧激勵簡諧激勵 全響應(yīng)全響應(yīng)(無無阻尼阻尼)：)1 (sin 0 tFxkxm 設(shè)其特解為：設(shè)其特解為：tBtxsin)( 22 n f B 代入到上式得：代入到上式得： )2(sinsincos 22 21 t f tCtCx n nn 方程方程（1）的通解解為：的通解解為： 00 00 xxxx設(shè)初始條件為：設(shè)初始條件為： 22 0 201 / n n fx CxC 代入到方程（代入到方程（2）中得：）中得： )3()sin(sinsincos 22 0 0 tt f t x txx n nn n n n 則：則： )4()sin(sin)sin(

54、 22 0 tt f tAx n nn n 即：即： 初始條件產(chǎn)生的自由振動初始條件產(chǎn)生的自由振動 簡諧激勵力產(chǎn)生的受迫振動簡諧激勵力產(chǎn)生的受迫振動 伴隨受迫振動產(chǎn)生的自由振動伴隨受迫振動產(chǎn)生的自由振動 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 tt k F tx n n 2 0 sinsin 1 )( n 000 xx若初始條件為：若初始條件為： 則：則： 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 2. 5 簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動簡諧激勵力作用下的強(qiáng)迫振動 簡諧激勵簡諧激勵 全響應(yīng)全響應(yīng)(無無阻尼阻尼)tFxkxmsin 0 000 xx tt

55、 k F tx n n 2 0 sinsin 1 )( n n n 2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼 簡諧力的功簡諧力的功 簡諧力簡諧力tFtFsin)( 0 dtxtFFdxdWsin 0 Q= )sin()(tBtx振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為 則激振力在微小位移則激振力在微小位移dxdx上所作的微元功應(yīng)為：上所作的微元功應(yīng)為： 在一個周期內(nèi)（在一個周期內(nèi)（t=0t=02/w2/w）所作的功，也就是）所作的功，也就是F(t)F(t)輸入輸入 系統(tǒng)的能量，即為系統(tǒng)的能量，即為 dtxtFW 2 0 )( dtttBF)cos(sin 2 0 0 tdttBF )cos

56、(sin 2 0 0 sin 0B F 可見，簡諧激振力在一個周期內(nèi)所作功的大小，不僅可見，簡諧激振力在一個周期內(nèi)所作功的大小，不僅 決定于激振力幅決定于激振力幅F F0 0 及振幅及振幅 B B 的大小，還決定于兩者的大小，還決定于兩者 之間的相位角之間的相位角 。 當(dāng)當(dāng)00即外力超前位移時，作正功；即外力超前位移時，作正功； 當(dāng)當(dāng)00即外力落后于位移時，作負(fù)功；即外力落后于位移時，作負(fù)功； 而當(dāng)而當(dāng) =0=0或或 =時，即外力在一個周期內(nèi)作功之和時，即外力在一個周期內(nèi)作功之和 等于零。等于零。 激振力在一個周期內(nèi)所作的功激振力在一個周期內(nèi)所作的功W W ，可以看成是激振，可以看成是激振 力

57、的兩個分量作功的和，即與位移同相的分量力的兩個分量作功的和，即與位移同相的分量F = F F = F coscos和與速度同相的分量和與速度同相的分量F = F sinF = F sin所作功之和。所作功之和。 sin 0 BFW 2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼 0 )cos()sin(cos )cos()sin(cos )sin( 2 0 0 2 0 0 2 0 1 tdttBF dttBtF dtxtFWF )sin(cos 0 tF與位移相同的力：與位移相同的力： 在一個周期內(nèi)所作的功為：在一個周期內(nèi)所作的功為： 2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼 簡諧力

58、簡諧力tFtFsin)( 0 激振力在一個周期內(nèi)所作的功為分量作功之和，即為激振力在一個周期內(nèi)所作的功為分量作功之和，即為 W =W +W = F Bsin 因此，激振力在一個周期內(nèi)所作的功，就是其超前位移因此，激振力在一個周期內(nèi)所作的功，就是其超前位移 /2 的分量所作的功。的分量所作的功。 sin )(cossin )cos( 0 2 2 0 0 2 0 2 BF tdtBF dtxtFWF 與速度同向的力與速度同向的力F sincos（t-）在一個周期內(nèi)所作的功為：在一個周期內(nèi)所作的功為： 2.6 簡諧力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼 簡諧力簡諧力tFtFsin)( 0 2.6 簡諧

59、力的功和等效阻尼簡諧力的功和等效阻尼 時，粘性阻尼力時，粘性阻尼力 在一個振動周期中所做的功：在一個振動周期中所做的功： xcF c 2 2 0 222 0 )(sinXcdttcXdtxFD T cc 在單自由度受迫振動方程中，阻尼力被設(shè)為在單自由度受迫振動方程中，阻尼力被設(shè)為 。 實際物理模實際物理模 型與振動位移一階導(dǎo)數(shù)成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為型與振動位移一階導(dǎo)數(shù)成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為粘性粘性 阻尼阻尼。這種阻尼是。這種阻尼是線性線性的，數(shù)學(xué)上易于處理，故常把非線性阻的，數(shù)學(xué)上易于處理，故常把非線性阻 尼用等效粘性阻尼來代替。尼用等效粘性阻尼來代替。 等效原則：一個振動周期

60、中，兩種阻尼耗散的能量相等。等效原則：一個振動周期中，兩種阻尼耗散的能量相等。 xc 等效阻尼力等效阻尼力 在一個振動周期中所作的功：在一個振動周期中所作的功： 所以有：所以有： xce 2 XcDD ec ) 1 ( 2 X D ce )cos(tXx當(dāng)受迫振動的位移響應(yīng)為：當(dāng)受迫振動的位移響應(yīng)為： 干摩擦阻尼：干摩擦阻尼：干摩擦阻尼力干摩擦阻尼力F可視為一個常力，在整個受迫可視為一個常力，在整個受迫 振動中力的幅值不變，方向始終與運動方向相反。振動中力的幅值不變，方向始終與運動方向相反。 當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動到最大偏離位置當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動到最大偏離位置X，即在周期內(nèi)，摩，即在周期內(nèi)，摩