3324419679復變函數期末復習改

1、復變函數期末復習一 知識點1第一章主要掌握復數的四則運算，復數的代數形式、三角形式、指數形式及其運算。2 第二章主要掌握函數的解析性，會判斷函數是否是解析函數，會求解析函數的導數。3第三章掌握復變函數積分的計算，掌握柯西積分公式。4 第四章掌握復數項級數的有關性質，會把一個函數展開成泰勒級數。5 第五章掌握將函數展開為洛朗級數，掌握孤立奇點的分類及判斷。6第六章掌握留數的計算，掌握用留數計算積分，掌握利用留數計算三類實積分。二 例題選講1 解方程。知識點：復數方程的解法解 因此方程的根為2求的三次方根。知識點：利用復數的三角形式。解 =，所以它的三次方根為當時，它的根為當時，它的根為=當時，它

2、的根為。3設，試證明：。知識點： 利用證明：，又因為，所以。4 證明。知識點：復數模的計算，復數模共軛復數的關系。證明：=。5 三點適合條件，試證明三點是一個內接于單位圓周的正三角形的頂點。知識點：利用平行四邊形公式。解：由得 = 所以，同理，所以三點是一個內接于單位圓周的正三角形的頂點。6 試證明：。知識點：利用證明：對于兩個復數，我們有 = =.7 試證在復平面上解析，并求其導數。知識點：利用柯西黎曼條件。解：設，則，.這四個偏導數都連續(xù)，且滿足柯西黎曼條件，所以在復平面上解析，其導數為。8 函數在區(qū)域d內解析，并且在d內為常數，試證明在d內必為常數。知識點：利用柯西黎曼條件，利用導數恒為

3、0，則函數應該為常數。解：設，則因為在d內為常數，可以設，即，兩邊關于求導數得而，所以上式可以化為如果，則在d為常數0，如果，則方程組的系數行列是不為0，齊次方程只有零解，所以 ，在d為常數。9 設函數在區(qū)域d內解析，并且也在區(qū)域d內解析，試證明在d 內必為常數。 知識點：利用柯西黎曼條件，利用導數恒為0，則函數應該為常數。解：設，則函數在區(qū)域d內解析，所以也在區(qū)域d內解析，所以所以 ，在d為常數。10證明函數在平面上解析，并求其導數。知識點：利用柯西黎曼條件，利用雙曲函數的定義。解：，以上四個偏導數在復平面上連續(xù)，且滿足柯西黎曼條件在平面上解析，其導數為。11 指明滿足條件的z所構成的點集。

4、用復數方程表示曲線解：原式即為，記得，表示一個圓周的外部或內部。12求極限。知識點：這是型，用洛必達法則。解 =3。13 極限。知識點：復變函數的極限的計算解 =。14 將在內展開成冪級數。知識點：利用，以及逐項求導，將分式寫成部分分式的和。解 設=， 去分母得 取，得 取，得取，得 所以= =。15 將函數在內展開成洛朗級數。知識點： 利用。注意要求展開成什么形式。解 = =16設函數，求函數在無窮遠點處的留數。知識點：函數在無窮遠點處留數的定義和計算。解：因為而= 所以是它的一階極點， 17計算積分。知識點：利用留數定理。解 被積函數在圓周內只有一級極點和二級極點，所以=18分。知識點：利

5、用留數定理或柯西積分公式。解：被積函數有兩個極點，這兩個極點都在圓周內因此= 而=5而，所以=。19計算積分。知識點：利用留數定理或柯西積分公式。解；由得，這些點都是函數的一階極點，而只有時奇點才在內。= 而，所以。20計算積分。知識點：利用柯西積分公式或者利用留數定理.解 被積函數有兩個極點，這兩個極點都在圓周內因此=而=同理，所以=21計算積分解 在上半平面內只有一個奇點，它是二階極點。所以=，=因此=22計算積分，其中。知識點；令，則,然后化成復變函數沿閉曲線的積分，用留數定理來計算。解 令，則，被積函數有兩個一級極點 因為只有，所以只有在單位圓內，所以=23 計算積分。知識點：利用留數

6、定理計算實的積分。解：被積函數有四個極點，只有極點在上半平面內所以=。24證明：對于復數，當時，。證明 因為 。 有因為 。 25設函數在解析,并且它不恒為常數.證明：若為的m階零點的充要條件是為的m階極點. 證明：必要性：若為的m階零點，則其中在點的某個鄰域內解析且，所以， 在點的某個鄰域內解析且，所以為的m階極點. 充分性：若為的m階極點.，則可以表示為 ，且在點的某個鄰域內解析且，從而所以為的m階零點。 26 設為整函數且存在正整數以及正數，使得任意復數有，則函數是一個次數至多為次得多項式或常數證明：在復平面上任取一點，則在上解析由柯西不等式得，其中，所以令得到由的任意性，得到所以函數是

7、一個次數至多為次得多項式或常數。27計算積分解 令，則，被積函數有兩個一級極點 因為只有，所以只有在單位圓內，所以=28 設為整函數且存在正整數以及正數，使得任意復數有，則函數是一個次數至多為次得多項式或常數證明：在復平面上任取一點，則在上解析由柯西不等式得，其中，所以令得到由的任意性，得到所以函數是一個次數至多為次得多項式或常數。29 函數在半圓上連續(xù)，且在上一致成立，證明：其中。證明：因為在上一致成立，所以，當時候對一切，有當時候所以30 設函數在區(qū)域內解析，試證。解：設函數，則，而解析函數的實部與虛部是調和函數，所以有。31 設分別是函數的階零點,問在有何性質? 解: 證若為的階零點.則在的某個鄰域內,其中在的某個鄰域內解析,當時,.因此為可去奇點.當時, 因此為階零點.當時, 因此為階極點.32 設為整函數且存在正數，使得任意復數有