天津理工大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計同步練習冊答案詳解

1、第一章 隨機變量習題一1、寫出下列隨機試驗的樣本空間(1)同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數(shù)之和 = (2)生產產品直到有10件正品為止，記錄生產產品的總件數(shù) = (3)對某工廠出廠的產品進行檢驗，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出2個次品就停止，或檢查4個產品就停止檢查，記錄檢查的結果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 =(4)在單位圓內任意取一點，記錄它的坐標 = (5)將一尺長的木棍折成三段，觀察各段的長度 = 其中分別表示第一、二、三段的長度 (6 ) .10只產品中有3只次品 ，每次從其中取一只(取后不放回) ，直到將3只次品都取出 ， 寫出抽取次數(shù)的基本空間u

2、= “在 ( 6 ) 中 ，改寫有放回抽取” 寫出抽取次數(shù)的基本空間u =解: ( 1 ) u = e3 ， e4 ， e10 。其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 、 10 ( 2 ) u = e3 ， e4 ， 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件與對立事件的區(qū)別何在？說出下列各對事件的關系(1)與 互不相容 (2)與 對立事件(3)與 互不相容 (4)與 相容事件(5)20個產品全是合格品與20個產品中只有一個廢品 互不相容(6)20個產品全是合格品與20個產品中至少有一個廢品 對

3、立事件 解: 互不相容:;對立事件 : 且3、設a,b,c為三事件，用a,b,c的運算關系表示下列各事件(1)a發(fā)生，b與c不發(fā)生 - (2)a與b都發(fā)生，而c不發(fā)生 - (3)a,b,c中至少有一個發(fā)生 - (4)a,b,c都發(fā)生 -(5)a,b,c都不發(fā)生 - (6)a,b,c中不多于一個發(fā)生 -(7)a,b,c中不多于兩個發(fā)生-(8)a,b,c中至少有兩個發(fā)生-4、盒內裝有10個球，分別編有1- 10的號碼，現(xiàn)從中任取一球，設事件a表示“取到的球的號碼為偶數(shù)”，事件b表示“取到的球的號碼為奇數(shù)”，事件c表示“取到的球的號碼小于5”，試說明下列運算分別表示什么事件.(1) 必然事件 (2)

4、 不可能事件(3) 取到的球的號碼不小于5 (4) 1或2或3或4或6或8或10(5) 2或4 (6) 5或7或9(7) 6或8或10 (8) 2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命題中哪些成立，哪些不成立.(1)成立(2) 不成立(3)不成立(4) 成立(5)若，則成立(6)若，且，則 成立(7)若，則成立(8)若，則 成立7、設一個工人生產了四個零件，表示事件“他生產的第i個零件是正品”，用,的運算關系表達下列事件.(1)沒有一個產品是次品； (1) (2)至少有一個產品是次品；(2) (3)只有一個產品是次品；(3) (4)至少有三個產品不是次品4)8. 設 e、f、g是三個隨機

5、事件，試利用事件的運算性質化簡下列各式 ： (1)(2) （3） 解 :(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 9、設是兩事件且，問(1)在什么條件下取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么條件下取到最小值，最小值是多少？解: (1)(2)10. 設 事 件 a， b， c 分 別 表 示 開 關 a， b， c 閉 合 ， d 表 示 燈 亮 ， 則可用事件a，b，c 表示：(1) d = ；(2) = 。 11、設a,b,c是三事件，且， 求a,b,c至少有一個發(fā)生的概率.解: 12. (1)設事件a , b的概率分別為 與 ，且 a 與 b 互 斥，則 = . (2).一個盒中有8只紅

6、球，3只白球，9只藍球 ，如果隨機地無放回地摸3只球 ，則取到的3 只 都 是 紅 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _。 (3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 從每只袋中各摸一只球 ，則摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 _。 (4) .設 a1 , a2 , a3 是隨機試驗e的三個相互獨立的事件， 已知p(a1) = a , p(a2) = b，p(a3) = g ，則a1 , a2 , a3 至少有一個 發(fā)生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) . (5) 一個盒中有8只紅球，3只白球，9只藍球，如果隨機地無放回地摸3只球， 則摸

7、到的沒有一只是白球的事件的概率等于 _。13、在1500個產品中有400個次品，1100個正品，任取200個，求(1)恰有90個次品的概率；(2)至少有2個次品的概率. 解: 14、兩射手同時射擊同一目標，甲擊中的概率為0.9，乙擊中的概率為0.8，兩射手同時擊中的概率為0.72，二人各擊中一槍，只要有一人擊中即認為“中”的， 求“中”的概率.解:“甲中”“乙中”15、8封信隨機地投入8個信箱(有的信箱可能沒有信)，問每個信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解: 16、房間里有4個人，問至少有兩個人的生日在同一個月的概率是多少？解：設所求事件“至少有兩個人的生日在同一個月的”“任何兩個人的生日都不

8、在同一個月”17、將3個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別為1,2,3的概 率各是多少？解：3個球放入4個杯子中去共有種放法，設表示杯子中球的最大個數(shù)為n的事件,表示每只杯子最多只能放一個球，共有種方法，故;表示有一只杯子中放2個球，先在3個球中任取2只放入4個杯子中的任意一只，共有種方法，剩下的一個球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3種放法，故包含的基本事件數(shù)為，于是 ;表示有一只杯子中放3個球，共有4種方法，故.18. 設 一 個 質 點 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 d 內 ( 其 中 d 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y

9、 = 2所 圍 成 的 ) ， 設 事 件 a 為： 質 點 落 在 直 線 y = 1 的 下 側 ， 求 p(a) 。 19、(1)已知，求(2)已知，求 解: (1)(2)20、一批產品共100個,其中有次品5個，每次從中任取一個，取后不放回, 設( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求： ， ， ， ，21、市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70%，乙廠占30%，甲廠產品的合格率為95%，乙廠的合格率是80%。若用事件、分別表示甲、乙兩廠產品，b表示合格品。 試寫出有關事件的概率. (1) 70%(2) 30% (3) 95%(4) 80% (5) 5% (6) 20%22、袋中

10、有10個球，9個是白球，1個是紅球，10個人依次從袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，問第一人，第二人，最后一人取得紅球的概率各是多少？解: 解：設第i個人取得紅球的事件,則為第i個人取得白球的事件，顯然 , 同理23、某種動物由出生活到20年以上的概率為0.8，活25年以上的概率為0.4，問現(xiàn) 年20歲的這種動物活支25歲以上的概率是多少？ 解：設為由出生活到20歲的事件，為由出生活到25歲的事件則所求事件的概率為24、十個考簽中四個難的，三人參加抽簽，(不放回)甲先、乙次、丙最后，記事件 a,b,c分別表示甲、乙、丙各抽到難簽，求.解：25. 設 0 p(c) 1 ，試 證 ：對 于

11、 兩 個 互 不 相 容 的 事 件 a，b，恒 有 p ( a b )c = pac + pbc證: 26、設事件a與b互斥，且，證明.證明：由于，故27、一批零件為100個，次品率為10%，每次從中任取一個，不再放回，求第三次才 能取得正品的概率是多少？解：設為第i次取到正品，由于次品率為10%，故100個零件約有90個正品，次品10個，設為第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，則由一般乘法公式得28、設每100個男人中有5個色盲者，而每10000個女人中有25個色盲者，今在3000 個男人和 2000個女人中任意抽查一人， 求 這 個 人 是 色 盲 者 的 概 率

12、。解: a ：“ 抽到的一人為男人”；b ： “ 抽到的一人為色盲者” 則 29、設有甲、乙兩袋，甲袋裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有n只白球，m只紅球，今從甲袋中任取一只球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球，問取到白球的概率是多少？ 解：設表示從甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示從甲袋中任取一只紅球放入乙袋中的事件，表示從甲袋中任取一只球放入乙袋后再從乙袋中取一只白球的事件，所求事件由全概率公式：易知：于是30、某工廠由甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，它們的產品占全廠產品的比例 分別為25%,35%,40%；并且它們的廢品率分別是5%,4%,2% (1)今從該廠產品中任取一件問是廢

13、品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件產品是廢品，問它最大可能是哪個車間生產的？解：設“所取出的一件產品是廢品”，“產品系甲車間生產”，“產品系乙車間生產”， “產品系丙車間生產”已知(1)由全概率公式：(2)由貝葉斯公式：所以，所取出的一件廢品最大可能是乙車間生產的.31、如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點。假設每一繼電器接點閉合的概率為，且設 各繼電器接點閉合與否相互獨立，求至是通路的概率.13245lr解: 設為第i只繼電器閉合的事件，為有電流從l流向r的事件，已知顯然故 32、在18盒同類電子元件中有5盒是甲廠生產的，7 盒是乙廠生產的，4盒是丙廠生產的，其余是丁廠生產的，該四廠

14、的產品合格品率依次為0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 現(xiàn)任意從某一盒中任取一個元件，經測試發(fā)現(xiàn)是不合格品， 試問該盒產品屬于 哪一個廠生產的可能性最大 ？解: ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒產品屬于甲，乙 ，丙 ，丁廠生產 ” b ： “ 所 取 一 個 元 件 為 不 合 格 品 ” 則 ， ， ， ， ， ， 由 全 概 率 公 式 : = 由 貝 葉 斯 公 式 :故 該 盒 產 品 由 乙 廠 生 產 的 可 能 性 最 大33、甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4, 0.5, 0.7。飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊

15、落的概率為0.6。若三人都擊中，飛機必定被擊落，求飛機被擊落的概率.解：設表示“恰有i人擊中飛機”，為飛機被擊落， 同理 易知，由全概率公式 34、袋中裝有只白球，一只紅球，每次從袋中隨機地摸出一球，并換入一只白 球，這樣繼續(xù)摸下去，問第次摸球時摸到白球的概率是多少？解：設事件表示第次摸到白球，則事件表示第次摸到紅球。因為袋中只有1只紅球，而每次摸出一球總換入一只白球，故為了第k次摸到紅球，前k-1次一定不能摸到紅球，因此等價于下列事件: 在前k-1次摸球時都摸到白球而第k次摸出紅球，所以 因此第2章一維隨機變量 習題2一. 填空題：1.設 離 散 型 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù)

16、是 ， 則 用 f (x) 表 示 概 = _。 解：2.設 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 為 則 p 0x1 = _。 解： p 0x0， 則 c 的 值 應 是 _ e-l_。解： 5 設 隨 機 變 量 x 的 分 布 律 是 則 = 0.8 。解： 令 得 6.若 定 義 分 布 函 數(shù) ， 則 函 數(shù) f(x)是 某 一 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是 f ( x ) 單 調 不 減 ， 函 數(shù) f (x) 右 連 續(xù) ， 且 f ( ) = 0 ， f ( + ) = 17. 隨機變量，記， 則隨著的增大，之值 保 持 不 變 。8. 設

17、x n ( 1， 1 )，記x 的概率密度為 j( x ) ，分布函數(shù)為 f ( x )，則 0.5。9、分別用隨機變量表示下列事件(1)觀察某電話總機每分鐘內收到的呼喚次數(shù)，試用隨機變量表示事件.“收到呼喚3次” ，“收到呼喚次數(shù)不多于6次”(2)抽查一批產品，任取一件檢查其長度，試用隨機變量表示事件.“長度等于10cm” = ；“長度在10cm到10.1cm之間” = (3)檢查產品5件，設a為至少有一件次品，b為次品不少于兩件，試用隨機變量表示事件.解: 10 、一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時取3只，以x表示取出的3只球中的最x345 大號碼，則x的分布律為: 二

18、. 計算題：1、將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以表示兩次中得到的小的點數(shù)，試分別寫出的分布律.234567891011122、設在15只同類型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽樣，以x表示取出次品的只數(shù).求x的分布律；.x0123、(1)設隨機變量x的分布律為：為常數(shù)，試確定常數(shù).解: 因 , 故 (2)設隨機變量x的分布律為：，試確定常數(shù). 4、飛機上載有3枚對空導彈，若每枚導彈命中率為0.6，發(fā)射一枚導彈如果擊中敵機則停止，如果未擊中則再發(fā)射第二枚，再未擊中再發(fā)射第三枚，求發(fā)射導彈數(shù)的分布律.x1230.60.240.165、汽車需要通過有4盞紅綠信號

19、燈的道路才能到達目的地。設汽車在每盞紅綠燈前通過(即遇到綠燈)的概率都是0.6；停止前進(即遇到紅燈)的概率為0.4，求汽車首次停止前進(即遇到紅燈，或到達目的地)時，已通過的信號燈的分布律.解：汽車在停止前進時已通過的信號燈數(shù)是一個隨機變量，用x表示x可取值為0,1,2,3,4，又設a的表示事件：汽車將通過時第i盞信號燈開綠燈，由題意表示已通過的信號燈數(shù)是0(即第一盞信號燈是紅燈),故表示已通過的信號燈數(shù)是1(即第一盞信號燈是綠燈，而第二盞是紅燈),故.同理于是x的分布律為即x012340.40.240.1440.08640.12966、自動生產線調整以后出現(xiàn)廢品的機率為，生產過程中出現(xiàn)廢品

20、時立即重新進行調整，求兩次調整之間生產的合格品數(shù)的分布律.x012k7、一大樓內裝有5個同類型的供水設備。調查表明在任一時刻t每個設備被使用的概率為0.1，問在同一時刻：(1)恰有兩個設備被使用的概率是多少？ (2)至少有3個設備被使用的概率是多少？(3)至多有3個設備被使用的概率是多少？(4)至少有1個設備被使用的概率是多少？8、設事件a在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當a發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，(1)進行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率.(2)進行7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率.解：(1)5次獨立試驗,指示燈發(fā)出信號=(2)7次獨立試驗,指示燈發(fā)出信號 9、設某批電

21、子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對這批電子管進行測試，只要測得一個正品，管子就不再繼續(xù)測試，試求測試次數(shù)的分布律.解：解：設測試次數(shù)為x，則隨機變量x的可能取值為：，當時，相當于前 次測得的都是次品管子，而第k次測得的是正品管子的事件，10、每次射擊命中率為0.2，必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：已知n次獨立射擊中至少擊中一次的概率為；(1)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次.(2)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次11、電話站為300個用戶服務，在一小時內每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，試用泊松定理近似計算，在一小時內有4

22、個用戶使用電話的概率.解：由二項分布得現(xiàn)用泊松定理近似計算，,故12、某一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設每輛汽車在一天的某段時間內出事故的概率為0.0001，在某天的該段時間內有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？ (利用泊松定理計算)解：設x為發(fā)生事故的次數(shù)，則用泊松定理計算，13設x服從泊松分布，且已知，求解：，由，得，14、. 求離 散 型 隨 機 變 量 x 的 分 布 律 為 ， ( k = 1， 2， )， 的 充 分 必 要 條 件。解：由且 且 b 015 設x服從參數(shù)l = 1的指數(shù)分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0無實根的概

23、率 。 解： 知 故 16. 已 知 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 x 的 概 率 密 度 為 且 知 x 在 區(qū) 間 ( 2，3 )內 取 值 的 概 率 是 在 區(qū) 間 ( 1，2 ) 內 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，試 確 定 常 數(shù) a ，b 。解：由 條 件 即 知 有 又 由 即 解 得 a = ，b = 17、設有函數(shù) 試說明能否是某隨機變量的分布函數(shù).解：不 能 因 為 當 時 ， j ( x ) = sin x 0 故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非 負 。18、設某人計算一連續(xù)型隨機變量x的分布函數(shù)為： 試問他的計算結果是否正確？ 答：不正確19

24、、在區(qū)間上任意投擲一個質點，以x表示這個質點的坐標，這個質點落在中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求x的分布函數(shù).解：p 0 0 )解: 正 方 體 體 積 h = x 3 函 數(shù) y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 數(shù) h 的 概 率 密 度 為 31. 設 隨 機 變 量 x 的 概 率 密 度 為 求 隨 機 變 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 數(shù) y = l n x 的 反 函 數(shù) x = h ( y ) = e y ， 當 x 在 ( 0 ， + )上 變 化 時 ， y 在 ( ， + ) 上 變 化 ， 于 是 h 的 概

25、 率 密 度 為 32. 已 知 某 種 產 品 的 質 量 指 標 x 服 從 n(m , s2)， 并 規(guī) 定 | x m | m時 產 品 合 格 ， 問 m取 多 大 時 ， 才 能 使 產 品 的 合 格 率 達 到 95%。 已 知 標 準 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (1.65) = 0.05, (0.06) = 0.475 .解：p | x m | m = 0.95，此式等價于 pmm x m + m = 0.9因 為 x 服 從 n(m , s2 )， 故 pmm x m + m = 查 表 得 m = 1.96s 故 m 取