重修高等數(shù)學(xué) 第九章 曲線積分與曲面積分 (1)

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 曲線積分曲線積分 第九章第九章 習(xí)題課習(xí)題課 *、曲線積分、曲線積分 *、格林公式及其應(yīng)用、格林公式及其應(yīng)用 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2 * *、曲線積分曲線積分 一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 （或第一類曲線積分）（或第一類曲線積分） 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3 ,),( ), 2 , 1(),(, ),(, ., .),( , 1 121 n i iiiiii iii n sfnisf is inLMMM LLyxfxoyL 并并作作和和作作乘乘

2、積積點(diǎn)點(diǎn) 個(gè)個(gè)小小段段上上任任意意取取定定的的一一為為第第又又個(gè)個(gè)小小段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為 設(shè)設(shè)第第個(gè)個(gè)小小段段分分成成把把上上任任意意插插入入一一點(diǎn)點(diǎn)列列 在在上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)面面內(nèi)內(nèi)一一條條光光滑滑曲曲線線弧弧為為設(shè)設(shè) 1.【定義定義】 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),( ii L .),(lim),( ,),(, ),(, ,0 1 0 n i iii L L sfdsyxf dsyxf L yxf 即即記作記作曲線積分曲線積分 第一類第一類曲線積分或曲線積分或上對(duì)弧長(zhǎng)的上對(duì)弧長(zhǎng)的在曲線弧在曲線弧 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存

3、在這和的極限存在 時(shí)時(shí)長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的 被積函數(shù)被積函數(shù) 積分弧段積分弧段(路徑路徑) 積分和式積分和式 （一）、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念（一）、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4 2. 【存在條件存在條件】 .),( ,),( 必必定定存存在在對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分 上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)在在光光滑滑曲曲線線弧弧當(dāng)當(dāng) L dsyxf Lyxf 3. 【推廣推廣】 曲曲線線積積分分為為 上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的在在空空間間曲曲線線弧弧函函數(shù)數(shù) ),(zyxf .),(lim),( 1 0 i n i ii

4、i sfdszyxf （充分條件）（充分條件） 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( L dsyxM 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5 【注意】【注意】 )(,)(. 1 21 LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若 .),(),(),( 2121 LLLL dsyxfdsyxfdsyxf .),( ),(. 2 L dsyxf Lyxf 記記為為 上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分在在閉閉曲曲線線函函數(shù)數(shù) 規(guī)定規(guī)定 【思考思考】 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表表示示什什么么問(wèn)問(wèn) L s 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返

5、回 結(jié)束結(jié)束 6 4. 【性質(zhì)性質(zhì)】 .),(),(),(),()1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf ).(),(),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkf LL .),(),(),()3( 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf ).( 21 分分段段光光滑滑LLL 由弧長(zhǎng)的曲線積分定義可知有如下性質(zhì)由弧長(zhǎng)的曲線積分定義可知有如下性質(zhì) (4)與積分路徑的方向無(wú)關(guān)，即與起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān)與積分路徑的方向無(wú)關(guān)，即與起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān). . （補(bǔ)充）（補(bǔ)充） BAAB dsyxfdsyxf),(),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7 (5)比較

6、性質(zhì)比較性質(zhì)則則上上設(shè)設(shè)在在),(),( yxgyxfL LL dsyxgdsyxf),(),( 特別地，有特別地，有 LL dsyxfdsyxf),(),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8 (二)、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 平面曲線的弧長(zhǎng)公式平面曲線的弧長(zhǎng)公式 1.直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)： ,),(baxxfy b a dxys 2 1 dxyds 2 1 弧微分（弧長(zhǎng)元素）弧微分（弧長(zhǎng)元素） 即即 22 )()(dydxds 弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素 其中其中 3.極坐標(biāo)：極坐標(biāo)： dtttds)()( 22 2.參數(shù)方程：參數(shù)方程：)( )(

7、)( t ty tx dttts)()( 22 弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素 sin)( cos)( ry rx )( )(: rrL drrs)()( 22 弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)公式 drrds)()( 22 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9 【定理】【定理】 )( )()()(),(),( ,),( ,)(),( )( ),( ),( ,),( 22 dtttttfdsyxf dsyxf tt t ty tx L Lyxf L L 且且存在存在曲線積分曲線積分 則則上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在 其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 上有

8、定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) “三代一定三代一定”法、與方向無(wú)關(guān)法、與方向無(wú)關(guān) 對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算化為定積分計(jì)算化為定積分計(jì)算 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 10 【注意注意】 ; . 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限 2. 注意到注意到 22 )(d)(ddyxs tttd)()( 22 因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. 【特殊情形特殊情形】 bxaxyL ),(:)1( .)(1)(,),( 2 dxxxxfdsyxf b aL )(ba )(xy xx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄

9、目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11 .)(:)2(dycyxL .)(1),(),( 2 dyyyyfdsyxf d cL )(dc 【推廣推廣】 )().(),(),(: ttztytx )( )()()()(),(),( ),( 222 dtttttttf dszyxf為空間曲線為空間曲線 “四代一定四代一定” sin)( cos)( ry rx )( )(:)3( rrL .)()(sin)(,cos)(),( 22 drrrrfdsyxf L 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12 【例例1】 【解解】 .)1 , 1( )0 , 0(:, 2

10、 之間的一段弧之間的一段弧與點(diǎn)與點(diǎn) 上點(diǎn)上點(diǎn)其中其中計(jì)算計(jì)算 B OxyLdsy L 為積分變量為積分變量取取x)10( : 2 xxyL 1 0 222 )(1dxxxdsy L )155( 12 1 【解解】 為為積積分分變變量量取取y)10( : yyxL 1 0 2 )(1dyyydsy L )155( 12 1 1 0 4 1dy y （三）、典型例題（三）、典型例題 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 13 【例例2】 .)2, 1( )2 , 1( ,4:, 2 一一段段到到 從從其其中中求求 xyLydsI L 【解解】dy y yI 2 2 2 ) 2

11、 (1 . 0 xy4 2 【解解】 1 0 4 dsxI 1 0 )4(dsx dxxds 2 )4(1 其中其中 【例例3】 )20(. ,sin,cos:, 的的一一段段 其其中中求求 kz ayaxxyzdsI 【解解】 . 2 1 222 kaka dkaka 222 sincos 2 0 I 為螺旋線為螺旋線 “四代一定四代一定” 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14 【例例4】 . 0 , , 2222 2 zyx azyx dsxI為為圓圓周周其其中中求求 【解解】 由對(duì)稱性由對(duì)稱性, , 知知. 222 dszdsydsx dszyxI)( 3 1

12、 222 故故 ds a 3 2 . 3 2 3 a ), 2(球面大圓周長(zhǎng)球面大圓周長(zhǎng) dsa 為空間曲線為空間曲線 【解【解】 分析分析 . )( )( , 的的形形式式，再再用用公公式式計(jì)計(jì)算算參參數(shù)數(shù)方方程程 表表為為可可先先將將為為空空間間曲曲線線的的一一般般方方程程 xzz xyy xx z o y x 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 15 【例例5】 , 222 22 ，直線，直線為圓周為圓周其中其中求曲線積分求曲線積分ayxLdse L yx .的的扇扇形形的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界軸軸在在第第一一象象限限內(nèi)內(nèi)所所圍圍成成及及xxy 【解解】 L yx d

13、se 22 4 0 2 0 2 0 2 adtedxedxe a a x a x 參數(shù)方程參數(shù)方程 4 2 0 2 0 a a xax aeee 4 )1(2 aa aee a a a dxye 2 2 )(1 a a a dx xa a e 2 22 ABOBOA 【作業(yè)【作業(yè):p217;同濟(jì)同濟(jì)p190】（也可用幾何意義來(lái)處理） （也可用幾何意義來(lái)處理） 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16 （一）、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念 ,0 . ),(,). ,;, 2 , 1( ),(,),(),( .),(),(, 1 11 01 111222111 時(shí)時(shí)最大值最大值

14、如果當(dāng)各小弧段長(zhǎng)度的如果當(dāng)各小弧段長(zhǎng)度的上任意取定的點(diǎn)上任意取定的點(diǎn)為為 點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè) 個(gè)有向小弧段個(gè)有向小弧段成成 分分把把點(diǎn)點(diǎn) 上的上的用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)曲線弧曲線弧 的一條有向光滑的一條有向光滑到點(diǎn)到點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)為為設(shè)設(shè) ii iiiiiiiin ii nnn MM yyyxxxBM AMniMMn LyxMyxMyxM LLyxQyxP BAxoyL 1. 【定義定義】 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 （或第二類曲線積分）（或第二類曲線積分） 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17 .),(lim),( ,( ),( ,),( 1 0 1

15、 ii n i i L n i iii xPdxyxP xLyxP xP 記記作作或或稱稱第第二二類類曲曲線線積積分分）分分 的的曲曲線線積積上上對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)在在有有向向曲曲線線弧弧數(shù)數(shù) 則則稱稱此此極極限限為為函函的的極極限限總總存存在在 類似地定義類似地定義 .),(lim),( 1 0 ii n i i L yQdyyxQ ,),(),(叫叫做做被被積積函函數(shù)數(shù)其其中中yxQyxP.叫叫積積分分弧弧段段L 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 18 2.【存在條件存在條件】 ., ),(),( 第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí) 在光滑曲線弧在光滑

16、曲線弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP 3.【組合形式組合形式】 L LL dyyxQdxyxP dyyxQdxyxP ),(),( ),(),( .,jdyidxdrjQiPF 其其中中 . L drF （充分性）（充分性） 4.【推廣推廣】 空間有向曲線弧空間有向曲線弧 .),(lim),( 1 0 iii n i i xPdxzyxP . RdzQdyPdx .),(lim),( 1 0 iii n i i yQdyzyxQ .),(lim),( 1 0 iii n i i zRdzzyxR 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 19 5. 【性質(zhì)性質(zhì)】(1) . , 21 21

17、 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx LLL則則和和分成分成如果把如果把 則則有向曲線弧有向曲線弧 方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設(shè)設(shè) , , LLL LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),( 主要的區(qū)別主要的區(qū)別 (2) 【注意】【注意】 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 ! 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分無(wú)比較性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分無(wú)比較性質(zhì)! 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20 （二）、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 , ),(),( , 0)()( , )(),( ,),(

18、, ),( ),( ,),(),( 22 存在存在 則曲線積分則曲線積分 且且一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及在以在以 運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn) 時(shí)時(shí)變到變到單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) L dyyxQdxyxP tt ttBLALyxM t ty tx L LyxQyxP 【定理】【定理】 【方法方法】化為定積分計(jì)算化為定積分計(jì)算 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21 L dyyxQdxyxP),(),(且且 dttttQtttP)()

19、(),()()(),( 【注注】1. “ “二代一定二代一定”法法 ，與方向有關(guān)，與方向有關(guān) . 2的起點(diǎn)，的起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于下限下限L 的終點(diǎn)的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于上限上限 L 不一定小于不一定小于 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22 特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdx b aL 則則 .)(:)2(dcyyxxL，終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdx d cL 則則 ., )( )( )( :)3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣t

20、tz ty tx dtttttRttttQ ttttPRdzQdyPdx )()(),(),()()(),(),( )()(),(),( “三代一定三代一定” 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 23 【例1】計(jì)算,d L xyx 其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線xy 2 【解法【解法1】 取取 x 為參數(shù)為參數(shù), 則則 OBAOL : 01:,: xxyAO 10:,: xxyOB OBAOL xyxxyxxyxddd xxxd)( 0 1 5 4 d2 1 0 2 3 xx yyyyxyx L d)(d 2 1 1 2 xy xy 【解法【解法2】 取取 y 為參數(shù)

21、為參數(shù), 則則11:,: 2 yyxL 5 4 d2 1 1 4 yy 從點(diǎn)從點(diǎn) xxxd 1 0 的一段的一段. )1,1()1,1(BA到到 )1 ,1(B )1,1( A o y x （三）、典型例題（三）、典型例題 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 24 【例2】計(jì)算其中其中 L 為為 ,:, 0aaxy y BA oaa x (1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的圓心在原點(diǎn)的 上半圓周上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蚍较驗(yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较? (2) 從點(diǎn)從點(diǎn) A ( a , 0 )沿沿 x 軸到點(diǎn)軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 【解】【解】 (1) 取取L的參數(shù)方程

22、為的參數(shù)方程為 ,d 2 xy L 0:,sin,costtaytax xy L d 2 ttadsin2 2 0 33 3 2a (2) 取取 L 的方程為的方程為 xy L d 2 ta 2 0 2 sin ttad)sin( 1 3 2 3 3 4 a a a xd00 則則 則則 【問(wèn)題問(wèn)題】被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但 路路 徑不同積分結(jié)果不同徑不同積分結(jié)果不同. 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 25 y x o 【例3】計(jì)算,dd2 2 yxxyx L (1) 拋物線拋物線 ;10:,: 2 xxyL (2) 拋物

23、線拋物線 ;10:,: 2 yyxL (3) 有向折線有向折線 .:ABOAL 【解】【解】(1) 原式原式 2 2xx xx d4 1 0 3 (2) 原式原式y(tǒng)yy22 2 yy d5 1 0 4 (3) 原式原式 yxxyx OA dd2 2 1 0 2 d)002(xxx1 )0, 1(A )1 , 1(B 2 yx 2 xy 1 0 (xxxd)2 2 1 0 (yyd) 4 yxxyx AB dd2 2 1 0 d)102(yy 1 1 【問(wèn)題問(wèn)題】被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但 路徑不同而積分結(jié)果相同路徑不同而積分結(jié)果相同. . 其中其中L為

24、為 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 26 【例例4】 ydzxdyzydxx 223 3 計(jì)計(jì)算算 ABBA )0 , 0 , 0( )1 , 2 , 3( 的直線段的直線段到點(diǎn)到點(diǎn)是從點(diǎn)是從點(diǎn) 【解解】 的的方方程程是是直直線線 AB 123 zyx 化為參數(shù)方程得化為參數(shù)方程得 01 , , 2 , 3 ：ttztytx 故故 ydzxdyzydxx 223 3 0 1 223 2)3(2)2(33)3(dtttttt 4 87 【作業(yè)【作業(yè):p218;同濟(jì)同濟(jì)p200】 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 27 * *、格林公式及其應(yīng)用

25、格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式一、格林公式 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 28 L D 區(qū)域區(qū)域 D 分類分類 單單連通區(qū)域連通區(qū)域 ( 無(wú)無(wú)“洞洞”區(qū)域區(qū)域 ) 多多(復(fù)復(fù))連通區(qū)域連通區(qū)域 ( 有有“洞洞”區(qū)區(qū) 域域 ) 域域 D 邊界邊界L 的的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左 【定理定理1】 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑是由分段光滑正向曲線正向曲線 L 圍成圍成, 則有則有, ),(yxP),(yxQ L D yQxPyx y P x Q dddd( 格林公式格林公式 ) 函數(shù)函數(shù) 在在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), （一）、（一）

26、、 格林公式格林公式 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 29 【應(yīng)用格林公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用格林公式時(shí)應(yīng)注意】 1. .積分曲線積分曲線L 必須是必須是封閉封閉曲線，取曲線，取D 的的正向正向邊界邊界. . 2. . . ,續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及其其邊邊界界上上具具有有一一階階連連在在區(qū)區(qū)域域DQP （三條缺一不可）（三條缺一不可） 3. .D可為可為單單連通域，也可為連通域，也可為復(fù)復(fù)連通域連通域. . ( (當(dāng)當(dāng)D 為復(fù)連通域時(shí)，為復(fù)連通域時(shí)，L 包括包括D 的所有正向邊界的所有正向邊界) ) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 30 （二）、格

27、林公式簡(jiǎn)單應(yīng)用 【例【例1】設(shè)設(shè) L 是分段光滑的閉曲線是分段光滑的閉曲線, 證明證明0dd2 2 yxxyx L 【證證】 令令 ,2 2 xQyxP 則則 y P x Q 利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyx L dd2 2 022 xx D yxdd00 1. . 簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分 BOABOAL x y o L A B D L D xdydxdy , 0, 0 BOOA xdyxdy由由于于 【例【例2】 . , 的的圓圓在在第第一一象象限限部部分分 是是半半徑徑為為其其中中曲曲線線計(jì)計(jì)算算 r ABxdy AB 【解】【解】引入輔助曲線使得引入輔助曲線使得 , BOA

28、BOA xdyxdyxdy . 4 1 2 rdxdyxdy D AB 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 31 ,d)(d)3( 22 yxyxyx L 其中其中L 為上半為上半 2 4xxy 從從 O (0, 0) 到到 A (4, 0). 【解解】 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,AO它與它與L 所圍所圍 圓周圓周 區(qū)域?yàn)閰^(qū)域?yàn)镈 , 則則 【例【例3】計(jì)算計(jì)算 y Axo L D 原式原式y(tǒng)xyxyx AOL d)(d)3( 22 D yxdd4 OA yxyxyxd)(d)3( 22 4 0 2 dxx 3 64 8 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目

29、錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 32 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件 1 L QdyPdx 2 L QdyPdx 【定義】【定義】如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 G y x o 1 L 2 L B A 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 33 【定理定理2】 設(shè)設(shè)D 是是單單連通域連通域 ,),(),(yxQyxP 在在D 內(nèi)內(nèi) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), (1) 沿沿D 中中任意光滑閉曲線任意光滑閉曲線 L , 有有.0dd L yQxP (2) 對(duì)對(duì)D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分 (3) yQxP

30、dd ),(yxu .dd),(dyQxPyxu (4) 在在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有. x Q y P L yQxPdd 與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函數(shù) 則以下四個(gè)條件等價(jià)則以下四個(gè)條件等價(jià): 在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分, 即即 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 34 根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi)若在某區(qū)域內(nèi), x Q y P 則則 2) 求曲線積分時(shí)求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算, 3) 可用積分法求可用積分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù): Dyx ),( 00 及動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn),),(Dyx yyxQxyxPyxu yx yx d),(d),(),( ),( ),( 00 x x xyxP 0 d),( 0 或或 y y yyxQyxu 0 d),()