2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第一節(jié)一元二次不等式及其解法教案文（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一節(jié) 一元二次不等式及其解法“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0）的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0）的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0 （a0)的解集xxx1或xx2r一元二次不等式ax2bxc0 （a0)的解集xx1xx2小題體驗(yàn)1不等式3x2x40的解集是_解析:由3x2x40,得（3x4)(x1)0，解得1x。答案:2（2018南京、鹽城二模）已知函數(shù)f（x)則不等式f（x）1的解集是_解析:不等式f(x）1或解得4x0或0x2,故不等式f（x)1的解集是4

2、,2答案：4,23已知不等式ax2bx10的解集是，則不等式x2bxa0的解集是_解析:由題意知，是方程ax2bx10的根，所以解得不等式x2bxa0，即為x25x60，解得2x3.答案：x|2x31對(duì)于不等式ax2bxc0,求解時(shí)不要忘記討論a0時(shí)的情形2當(dāng)0時(shí)，ax2bxc0（a0)的解集為r還是，要注意區(qū)別3含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論小題糾偏1已知不等式x22xk230的解集為r，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：由44（k23）0，解得k2或k2.答案:（，2)(2，)2若不等式(a2）x22(a2）x40對(duì)xr恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a20，即a2時(shí),原不

3、等式為40，所以a2時(shí)成立,當(dāng)a20，即a2時(shí),由題意得即解得2a2。綜上所述，2a2。答案：(2,2題組練透1（2018南通中學(xué)檢測(cè))不等式3x26x2的解集為_(kāi)解析：將不等式3x26x2轉(zhuǎn)化為3x26x20，所以不等式的解集是答案:2（2019東湖中學(xué)檢測(cè))已知函數(shù)f(x）則不等式f（f(x)3的解集為_(kāi)解析：當(dāng)x0時(shí)，f(f(x)f(x2)(x2)22x23，即(x23)(x21)0,解得0x；當(dāng)2x0時(shí)，f(f（x）f（x22x)（x22x）22（x22x）3，即（x22x1）(x22x3）0,即2x0；當(dāng)x2時(shí),f（f（x）f（x22x)(x22x）23，解得x 2.綜上,不等式的解

4、集為x|x 答案：x|x3解下列不等式：（1)（易錯(cuò)題)3x22x80；(2)0x2x24。解:（1）原不等式可化為3x22x80，即(3x4)（x2）0.解得2x，所以原不等式的解集為。(2）原不等式等價(jià)于借助于數(shù)軸，如圖所示，所以原不等式的解集為.謹(jǐn)記通法解一元二次不等式的4個(gè)步驟典例引領(lǐng)（2019天一中學(xué)檢測(cè)）解關(guān)于x的不等式：ax2（a2)x20.解:當(dāng)a0時(shí),原不等式化為x10，解得x1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為(x1)0，解得x或x1.當(dāng)a0時(shí),原不等式化為（x1）0.當(dāng)1,即a2時(shí),解得1x;當(dāng)1，即a2時(shí),解得x1；當(dāng)1，即a2時(shí)，解得x1.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為xx

5、1;當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)2a0時(shí),不等式的解集為；當(dāng)a2時(shí),不等式的解集為x|x1;當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為。由題悟法解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式與0的關(guān)系(3）確定無(wú)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式提醒當(dāng)不等式中二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí),不要忘記討論其等于0的情況即時(shí)應(yīng)用1(2019蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè)）已知x2pxq0的解集為,則不等式qx2px10的解集為_(kāi)解析：x2p

6、xq0的解集為,，是方程x2pxq0的兩實(shí)數(shù)根，則解得不等式qx2px10可化為x2x10，即x2x60,解得2x3，不等式qx2px10的解集為x|2x3答案：x|2x32求不等式12x2axa2(ar)的解集解：原不等式可化為12x2axa20，即(4xa）（3xa）0，令(4xa）（3xa)0，解得x1，x2。當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為（,0)(0，)；當(dāng)a0時(shí),不等式的解集為.鎖定考向一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題,常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸

7、的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍常見(jiàn)的命題角度有：(1）形如f（x）0（f（x）0）(xr）確定參數(shù)范圍;（2）形如f（x）0（xa,b）確定參數(shù)范圍；(3）形如f（x）0（參數(shù)ma,b)確定x的范圍 題點(diǎn)全練角度一：形如f（x）0（f（x）0）（xr)確定參數(shù)范圍1(2019南通中學(xué)測(cè)試）已知函數(shù)f(x）ax2bxc(a，b，cr且a0），若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式2xf（x）(x1）2恒成立(1）求f（1)的值；（2)求a的取值范圍解：(1）令x1，由2xf(x）(x1)2，可得2f(1)2，所以f（1)2。（2）由f（1)2，可得abc2,即b2（ac）,因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，

8、f（x）2x0恒成立，所以ax2（b2)xc0(a0)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以即可得(ac)20，但（ac)20,即有ac0,則f(x）ax2bxa，f（x）（x1)2恒成立,即x2（b1）x0恒成立,所以a0，且（b1）2420,由b112a,即有0成立綜上可得a的取值范圍是。角度二:形如f(x)0（xa，b）確定參數(shù)范圍2已知函數(shù)f（x)x2axb2b1（ar，br），對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1x)f（1x)成立，若當(dāng)x1，1時(shí),f(x）0恒成立,求b的取值范圍解：由f(1x)f（1x)知f（x）的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，即1，解得a2。又因?yàn)閒（x)開(kāi)口向下，所以當(dāng)x1，1時(shí),f(x)為增函數(shù)

9、，所以f（x）minf（1)12b2b1b2b2,f(x）0恒成立,即b2b20恒成立，解得b1或b2.所以b的取值范圍為（，1）（2，）角度三：形如f(x)0（參數(shù)ma,b)確定x的范圍3對(duì)任意m1,1,函數(shù)f（x)x2(m4）x42m的值恒大于零，求x的取值 范圍解：由f(x）x2（m4)x42m（x2)mx24x4，令g（m)（x2)mx24x4.由題意知在1,1上，g（m)的值恒大于零，所以解得x1或x3.故當(dāng)x(,1）(3，)時(shí)，對(duì)任意的m1,1，函數(shù)f(x）的值恒大于零通法在握一元二次型不等式恒成立問(wèn)題的3大破解方法方法解讀適合題型判別式法(1)ax2bxc0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條

10、件是(2)ax2bxc0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是二次不等式在r上恒成立分離參數(shù)法如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”,分離后其系數(shù)與0能比較大小，便可將參數(shù)分離出來(lái)，利用下面的結(jié)論求解：af(x）恒成立等價(jià)于af（x)max；af（x)恒成立等價(jià)于af(x)min適合參數(shù)與變量能分離且f(x）的最值易求主參換位法把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),根據(jù)原變量的取值范圍列式求解常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f（x)axb(a0)在m,n恒成立問(wèn)題,若f（x）0恒成立若f(x)0恒成立若在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到討論參數(shù)與變量，使求函數(shù)的最值比較麻煩,或者即使能容易分離出卻難以求出時(shí)演練沖關(guān)1（2018盱眙

11、二模)若對(duì)于任意的a，br，存在r使不等式a2mb2b（ab)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)解析：a2mb2b(ab)對(duì)于任意的a,br恒成立，a2mb2b（ab）0對(duì)于任意的a，br恒成立，即a2(b）a（m）b20恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，2b24(m)b20，即244m0，又存在r使得上述不等式恒成立，1616m0，解得m1。答案：1，）2設(shè)函數(shù)f(x）mx2mx1(m0），若對(duì)于x1，3，f（x）m5恒成立，求m的取值范圍解：要使f(x)m5在1，3上恒成立，則mx2mxm60,即m2m60在x1，3上恒成立因?yàn)閤2x120，又因?yàn)閙(x2x1）60，所以m。因?yàn)楹瘮?shù)y在1，3上的

12、最小值為,所以只需m即可因?yàn)閙0,所以m的取值范圍是(，0).一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2019揚(yáng)州模擬)不等式2x2x10的解集為_(kāi)解析:不等式2x2x10可化為（2x1）(x1)0，解得x1或x，則原不等式的解集為(1，）答案：（1，）2(2018靖江中學(xué)期末)若集合axax2ax10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析:由題意知a0時(shí)，滿足條件a0時(shí)，由得0a4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,4答案：0，43（2019昆明模擬）不等式x22x5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：x22x5（x1）24的最小值為4，所以x22x5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a23a4，

13、解得1a4.答案：1,44不等式|x（x2)x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x（x2）的解集即x(x2)0的解集，解得0x2。答案：（0,2)5(2019南通月考）關(guān)于x的不等式x2x10（a1）的解集為_(kāi)解析：不等式x2x10可化為（xa）0，又a1,a，不等式的解集為.答案：6(2018如東中學(xué)測(cè)試）已知函數(shù)f(x)則不等式f（x)x2的解集為_(kāi)解析:當(dāng)x0時(shí)，x2x2，解得1x0；當(dāng)x0時(shí)，x2x2，解得0x1。 由得原不等式的解集為x1x1答案：1，1 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2019常州檢測(cè))若關(guān)于x的不等式x23ax20的解集為xx1或xm，則am_.解析：

14、關(guān)于x的不等式x23ax20的解集為x|x1或xm,則1與m是對(duì)應(yīng)方程x23ax20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，把x1代入方程得13a20,解得a1，不等式化為x23x20，其解集為x|x1或x2，m2，am3。答案：32(2018清河中學(xué)檢測(cè))不等式（x2）0的解集為_(kāi)解析：由題意或x290，即或x3，即x3或x3。答案：(,333(2019鄭州調(diào)研）規(guī)定記號(hào)“”表示一種運(yùn)算，定義abab(a，b為正實(shí)數(shù))，若1k23，則k的取值范圍是_解析：因?yàn)槎xabab(a，b為正實(shí)數(shù)),1k23，所以1k23，化為（|k2）(|k|1）0，所以|k|1，所以1k1.答案：（1，1)4如果關(guān)于x的不等式5x2a0的

15、正整數(shù)解是1,2，3，4，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由5x2a0，得x，而正整數(shù)解是1，2,3,4，則4 5，所以80a125。答案：80,125)5(2019南通調(diào)研)已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集為（1,5),其中a，b，c為常數(shù)則不等式cx2bxa0的解集為_(kāi)解析:因?yàn)椴坏仁絘x2bxc0的解集為(1,5），所以a（x1）(x5)0，且a0，即ax24ax5a0,則b4a，c5a，故cx2bxa0，即為5ax24axa0，從而5x24x10,故不等式cx2bxa0的解集為.答案:6（2018江陰期中)若關(guān)于x的不等式mx2mx10的解集為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析:

16、當(dāng)m0時(shí),原不等式化為10，其解集是空集；當(dāng)m0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式mx2mx10的解集為，則解得4m0.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，0答案：（4,07（2018海門檢測(cè)）已知一元二次不等式f(x)0的解集為，則f（ex）0的解集為_(kāi)解析:由題意f（x)0的解集為，不等式f（ex）0可化為1ex，解得xln 3,即f（ex)0的解集為（，ln 3)答案：(，ln 3）8（2019金陵中學(xué)檢測(cè))如果關(guān)于x的不等式(1m2）x2(1m)x10的解集是r,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析:令1m20，解得m1；當(dāng)m1，不等式化為2x10，不滿足題意;當(dāng)m1時(shí)，不等式化為10，滿足條件；當(dāng)m1時(shí)，則有解

17、得即m1或m,綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1.答案：（，19已知f（x)3x2a(6a)x6.(1）解關(guān)于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f（x)b的解集為（1，3），求實(shí)數(shù)a，b的值解：(1）因?yàn)閒(x)3x2a(6a）x6,所以f（1）3a(6a）6a26a3，所以原不等式可化為a26a30,解得32a32。所以原不等式的解集為a32a32（2)f（x）b的解集為（1,3)等價(jià)于方程3x2a（6a）x6b0的兩根為1，3,等價(jià)于解得10(2018北京朝陽(yáng)統(tǒng)一考試）已知函數(shù)f（x）x22ax1a,ar。（1)若a2，試求函數(shù)y(x0)的最小值；(2）對(duì)于任意的x0,2，不等式f(x)a成

18、立，試求a的取值范圍解：(1)依題意得yx4。因?yàn)閤0,所以x2。當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，即x1時(shí)，等號(hào)成立所以y2.所以當(dāng)x1時(shí)，y的最小值為2.（2)因?yàn)閒(x）ax22ax1，所以要使得“x0,2,不等式f(x）a成立,只要“x22ax10在0,2恒成立”不妨設(shè)g（x）x22ax1，則只要g(x）0在0,2上恒成立即可所以即解得a.則a的取值范圍為。三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2019宿遷調(diào)研)若關(guān)于x的不等式ax26xa20的解集是(,1）（m，)，則實(shí)數(shù)m_。解析：ax26xa20的解集是(，1)(m,），a0,且1和m是方程ax26xa20的兩個(gè)根，a6a20，即a2a60，解得a2或a3(舍去)不等式化為2x26x40，即x23x20,解得x1或x2,m2。答案:22（2018揚(yáng)州中學(xué)檢測(cè))已知二次函數(shù)f（x)ax2（a2)x1（az），且函數(shù)f(x）在(2，1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則不等式f（x）1的解集為_(kāi)解析：因?yàn)閒（x)ax2（a2）x1(a0)，（a2)24aa240，所以函數(shù)f(x）ax2(a2)x1必有兩個(gè)不同