不動點理論,吸引

1、某個集值不動點理論及應(yīng)用 姓姓 名名 羅賢強羅賢強 指指導(dǎo)教師導(dǎo)教師 石忠銳石忠銳 背景 處理非線性問題有很多種方法，不動點是 其中之一，不動點理論是非線性泛函分析 的重要組成部分，它與近代數(shù)學(xué)的許多分 支有著緊密的聯(lián)系。特別是在建立各類方 程(其中包括各類線性或非線性的，確定的 或非確定型的微分方程，積分方程以及各 類算子方程)解的存在唯一性問題中起著重 要的作用。 自上世紀(jì)初Brouwer和Banach分別證明了 Brouwer不動點定理和Banach壓縮映象原理以 來，不動點理論得到了大量的研究。 目前， 不動點理論己經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域，并被 廣泛應(yīng)用于各種問題的研究中。不動點理論與

2、 變分不等式理論密切相關(guān)。事實上，某些廣義 混合變分不等式問題，實質(zhì)上就是不動點問題， 如Takahashi【1】。Banach壓縮映象原理是最 為人熟知的不動點定理之一，自誕生以來得到 了許多學(xué)者的研究，提出了大量的偽或擬壓縮 映象的不動點定理 近幾年，作為不動點理論的延伸和推廣，映射對(或映 射族)的公共不動點受到廣泛重視，并成為十分活躍的 領(lǐng)域。在廣義度量空間上的不動點也成為研究的熱點。 關(guān)于不動點(或公共不動點)最佳逼近的研究也成為備受 關(guān)注的課題，并得到了許多結(jié)果【1-78】。在近兩年， 吸引點（attractive point）理論也主要被Wataru Takahashi,Lin

3、Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，他們 主要把 推廣到不同的非膨脹映射。并應(yīng)用 來獲得不同的不動點定理以及證明更一般的遍歷定理。 目前國內(nèi)活躍在這方面研究的代表主要有張石生，丁協(xié) 平，陳光亞，Lin laijiu, Cho Jenchih.黃南京等，國外有 AgarwalR.R，Donal oRegan，wataru Takahashi，Sehie Park等，這些人的文章量比較大。 :T CC 我要研究的內(nèi)容 在更一般的拓?fù)渚€性空間，把KakutaniFan Glicksberg不動點定理中的“局部凸”條件改為“具 有豐滿的對偶空間 ”即“對任意 的 ”， 并用

4、來研究廣義 擬變分不等式，隱變分不等式等。這兩個條件中， 后者是更弱的，參考文獻(xiàn)中的拓?fù)渚€性空間 （蘭州大學(xué)出版）對此做了較詳盡的說明。 2. 把壓縮（偽壓縮）集值映射應(yīng)用到一般的拓?fù)渚€ 性空間，得出新的不動點定理，在Banach空間引入 正規(guī)映射，并應(yīng)用到吸引點（attractive point）理論。 3. 在orlicz空間找到某些不動點的應(yīng)用 * , . ( )( )x y E p E st p xp y 考慮博弈問題:有N個參與者，Kn表示第n個 人的可能策略集合（非空緊凸集）。第n個 人的目標(biāo)函數(shù) 假設(shè)是 連續(xù)的。 是所有博弈者 的策略集，計 在別人已定策略后，每個參與者最大化自

5、己的利益： . 定義 是集值映射: 稱為Nash均衡點，若 定義 則 。在什么情況下有Nash均衡點？ 12 : NN UKKKR 12 , Nii xx xxxK 111 n nnN KKKKK 111111 , nn nnNnnnnN xxxxxz xxxz xx *, max, nn nn NnNn zK UxxUzxn :2 n K n n T K max, nn nnnn nNn z K T xArgU z xxK * 1 , N xxxK nn n xTx 1122 :2 :, K NN T KT xT xTxTx * xT x 1968年，Browder應(yīng)用KyFan極小極大原理

6、證 明了Browder不動點定理【6】： 設(shè)E為Hausdorff拓?fù)渚€性空間，X為E的緊凸 集，設(shè)S：X ,滿足下列條件之一: 對任意的 , 是非空的凸集，且對任 一 , 是X中的開集； 對任一 ， 是X中的開集，且對任 一 ， 是X中非空的凸集。 則 S在X中存在不動點。 2 X xX ()Sx yX 1( ) ,( )S yx X y Sx xX ( )S x yX 1( ) ,( )S yx X y Sx 1989年Tarafdar對Browder集值不動點定理作了一些 推廣，應(yīng)用的是“緊集的有限開覆蓋的單位分解 法，”以及“緊集中的閉集族具有有限交性質(zhì)”等。 后來張石生，S.Park

7、等在賦范線性空間中證明內(nèi)向 集與外向集定理【6】。1988年上海交大的陳志強 應(yīng)用幾乎下半連續(xù)，證明了一個集值映射的連續(xù)選 擇定理，并得到了不動點定理，推廣了brouwer不動 點定理【6】。2000年浙大的向淑文證明了上半連 續(xù)集值映射的連續(xù)選擇逼近定理。【6】 Kakutani,Fan,Glicksberg等在局部凸Hausdorff拓?fù)渚€ 性空間證明了KakutaniFan Glicksberg不動點定理 【6】： 設(shè)E為局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間，X為E的非空 緊凸集，設(shè)T：X ，是具非空閉凸值的上半連 續(xù)映射。則T在X中存在不動點。 2 X 1991年張石生等在廣義擬變分不

8、等式時， 推廣了KakutaniFan Glicksberg不動點定 理【6】： 設(shè)E為局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間，X為E 的非空緊凸集，設(shè)T：X 是具非空閉凸 值的映射，而且對每一 ， 關(guān)于x 是上半連續(xù)的。則T在X中存在不動點。 并且應(yīng)用在廣義擬變分不等式，隱變分不 等式等的研究中。 2 X * pE ( ) sup, y T x p y 問題是當(dāng)參與者有無窮多，比如 ， 它不是Hilbert空間，也不是局部凸拓?fù)渚€性 空間,它是賦擬范空間： ， 擬范為 。它的對偶空間為 ， 是豐滿的（ ）。 在什么情況下有Nash均衡點： 值得 探討。 又當(dāng)策略集K非凸時，結(jié)果有如何？ * x

9、T x 0 p 1 p l 1 p p nn n laa 1 1 p p nn n aa l ,0, . .0 p xlxfls t fx 我預(yù)想得出的結(jié)果： 1. 設(shè)E為拓?fù)渚€性空間，對偶空間 是豐滿的，X為E 的非空緊凸子集， T：X 是非空緊凸值的集值 映射，而且對每一 ， 關(guān)于x是上半連 續(xù)的。則T在X中存在不動點。并用來研究廣義擬變 分不等式，隱變分不等式等。 2.廣義擬設(shè)變分不等式：E是Hausdorff拓?fù)渚€性空間， 對偶空間 是豐滿的，X是E中的緊凸集設(shè) ， 且 滿足:對每一個 關(guān)于x下半連續(xù)； 關(guān)于y是 對角凹的； ； F：X 是具非空閉凸值的映射，對每一 ， 關(guān)于x是上半連

10、續(xù)的,且 是X中的閉集則存在 ，使得 。 2 X * pE () sup, y Tx p y * E * E ,:X XR :2 X F X ,yXx y , x y ,x yx yx yX 2 X* pE () sup, yFx p y ( ) : sup, yFx xXx y xX ( ) , sup, y F x xF xx y 3.隱變分不等式：E是Hausdorff拓?fù)渚€性空 間，對偶空間豐滿，E中的緊凸集， ， 設(shè) ，任意 ，存在 ，使 得 。 ，任意 ， 任意 ， 。存在 ，使 得隱變分不等式 成 立 。 0 ,X X 0 XX 0 :,g XX 0 zX xX ,g z x 0

11、 :,XX XR 0 zX xX:, ,0z x xxX , ,g x yx x yg x xyX 3. 設(shè)E為拓?fù)渚€性空間，對偶空間 是豐 滿的，X為E的非空緊子集， T：X 是非 空閉值的集值映射，滿足：對每一 ， 是下半連續(xù)的；存 在 ，使得對每 一 ， 。 則T在X中存在不動點。 * E 2 X * pE inf( )( ( )p xp T x 01 , n rxX * pE 11 inf ( )( ( )inf ()( () nnnn pxpTxrpxpTx 第二個問題 1965年Browder,kirk證明X為Hilbert或一致凸 空間或有正規(guī)結(jié)構(gòu)，C是X的有界閉凸集， 則映C到

12、自身的非擴張映射T有不動點。 問題是： C不是有界閉凸集，或非擴張映射 T映C到X呢？ 在近幾年，吸引點（attractive point）理論 也主要被Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，并應(yīng)用來獲得不 同的不動點定理. 設(shè)H是Hilbert空間，C是H的非空子集， 。 分別用 ，表示不動點集，吸引點集， 即 ， :T C H ( )F T( )A T ( ):FTz CTz z ( ):,ATz H Tx zx zx C 2011年，Wataru Takahashi, Yao Jen-Chih利用 Banach極限【10

13、】證明不動點定理【84】： 設(shè)H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集， 若存在 使得 有界，且存在 Banach極限 ，使得 。 則 在C中有不動點。 xCxC :T CCx C n T x 22 , nn nn T xTyT xyyC T 2012年Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu證明吸收 點存在定理【84】： 設(shè)H是Hilbert空間，C是H的非空子集， 。 若存在 ，使得 有界，且存在 上的 Banach極限 ，使得 。 則 是非空。另外若C是閉凸的，則 非空。 :T CC xC n T xl 22 , nn nn T xTyT xyyC ( )A T( )

14、F T 在Hilbert空間，內(nèi)積起到重要的作用，而在 Banach空間中無內(nèi)積概念，引入：正規(guī)對 偶映射 。當(dāng) Banach空間是光滑，嚴(yán)格凸，自反的空間 時，J是單值的。設(shè)E是光滑Banach空間， 定義函數(shù) 為： 定義吸引點 為： 則 有界。 * 22 * :2, X J XJ xfXf xxf :,EE 22 ,2,x yxx Jyyx yE ( )A T ( ):,A TzHz Txz xxC , n A TxC T x 4.吸引點理論的研究才剛剛起步，只有初步 的構(gòu)想。 設(shè)E是光滑，嚴(yán)格凸，自反Banach空間，C 是E的非空子集，設(shè)T:C C廣義非擴張映射。 即若 非空， 若存在

15、C中的某個x，使得 有界，則吸 引點 非空。 又若C是閉凸集，則T有不動點。 n T x ( ):,A TzHz Txz xxC ,Tx yx yx C y F T F T 5. 關(guān)于在orlicz空間找到某個不動點的應(yīng)用 研究，還在進(jìn)一步探索中。 爭取一兩年內(nèi)在SCI刊物上發(fā)表2-3篇學(xué)術(shù)論 文。 研究方法。 根據(jù)參考文獻(xiàn)orlicz空間幾何理論， 拓?fù)渚€性空間（蘭州大學(xué)出版），以 及張石生教授著的變分不等式和相補問 題理論及應(yīng)用的研究思路和證明方法。 并且大量閱讀最近的發(fā)表的相關(guān)的研究論 文，注意并掌握新的研究動態(tài)和研究方法， 豐富知識并拓寬自己的視野。并應(yīng)用他們 的方法來研究推廣已有的結(jié)論。 預(yù)期困難和對策 把“局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間”，改為“設(shè)E為拓?fù)渚€性空間， 對偶空間 是豐滿的”的，需要對這兩個拓?fù)渚€性空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)作深 入的研究，并且深入研究KFG不動點定理的證明過程，證明方法作詳 細(xì)的理解，尋找證明中用到的關(guān)鍵理論，并與“設(shè)E為拓?fù)渚€性空間， 對偶空間 是豐滿的”的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對照，找到證明關(guān)鍵理論的方法或 者要增加的條件，并研究參考文獻(xiàn)中證明該不動點的其他方法，并加 于應(yīng)用的。是否能找到該突