習(xí)題課7(無窮級數(shù))

1、7/3/2021 0 0 lim( )() xx f xf x 微積分講義微積分講義 設(shè)計制作設(shè)計制作 王新心王新心 7/3/2021 習(xí)題課習(xí)題課 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 一無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)一無窮級數(shù)的概念與性質(zhì) 二常數(shù)項級數(shù)的審斂法二常數(shù)項級數(shù)的審斂法 三冪級數(shù)三冪級數(shù) 四例題四例題 7/3/2021 一、無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)一、無窮級數(shù)的概念與性質(zhì) 1. 無窮級數(shù)的概念無窮級數(shù)的概念 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 12 1 nn n uuuu （數(shù)列所有項的和）稱為無窮級數(shù)（級數(shù)）無窮級數(shù)（級數(shù)）， n前項的和稱為部分和部分和。 n S 1 n n u 收斂收斂 lim n n S 存在

2、存在 7/3/2021 2. 無窮級數(shù)的性質(zhì)無窮級數(shù)的性質(zhì) 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和一定發(fā)散；一定發(fā)散； 兩個收斂級數(shù)的和兩個收斂級數(shù)的和一定收斂；一定收斂；性質(zhì)性質(zhì)1 兩個發(fā)散級數(shù)的和兩個發(fā)散級數(shù)的和可能收斂也可能發(fā)散。可能收斂也可能發(fā)散。 級數(shù)的級數(shù)的每一項同乘以不為每一項同乘以不為0的常數(shù)的常數(shù)性質(zhì)性質(zhì)2 后，后， 其斂散性不變。其斂散性不變。 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 斂散性。斂散性。 去掉或增加有限項去掉或增加有限項不影響級數(shù)的不影響級數(shù)的 lim0 n n u 性質(zhì)性質(zhì)3 收斂級數(shù)加括號后收

3、斂級數(shù)加括號后仍收斂，仍收斂，性質(zhì)性質(zhì)4 不變。不變。 其和其和 1 n n u 收斂收斂 性質(zhì)性質(zhì)5（收斂級數(shù)的必要條件）（收斂級數(shù)的必要條件） 7/3/2021 二、常數(shù)項級數(shù)的審斂法二、常數(shù)項級數(shù)的審斂法 1. 正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)的審斂法 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 正項級數(shù)收斂的充分必要條件正項級數(shù)收斂的充分必要條件 有界有界 n S正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂 1 n n u 7/3/2021 正項級數(shù)正項級數(shù) 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 審斂法審斂法 比較判別法比較判別法（極限形式極限形式） 比值判別法比值判別法（dAlembert） 根值判別法根值判別法（Cauchy）

4、 2. 交錯級數(shù)的審斂法交錯級數(shù)的審斂法（Leibniz定理）定理） 1 0 nn uu lim0 n n u 1 1 ( 1)n n n u 交錯級數(shù)收斂 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 3. 任意項級數(shù)的審斂法任意項級數(shù)的審斂法 1 n n u 絕對收斂 1 n n u 收斂 1 n n u 發(fā)散 1 n n u 發(fā)散 1 n n u 條件收斂 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 4. 常見級數(shù)的斂散性常見級數(shù)的斂散性 1 1 n n aq 1）幾何級數(shù)）幾何級數(shù) 收斂和 1 a q (1)q 發(fā)散(1)q 1 1 p n n 收斂(1)p 發(fā)散(1)p 1

5、 1 n n 2）調(diào)和級數(shù)）調(diào)和級數(shù)發(fā)散 3）級數(shù)）級數(shù) p 7/3/2021 三、冪級數(shù)三、冪級數(shù) 1. 冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 001020 0 ()()() n n n axxaa xxaxx 0 () n n axx 稱為的冪級數(shù)冪級數(shù) 0 ()xx 2 012 0 nn nn n a xaa xa xa x 稱為的冪級數(shù)冪級數(shù)x 7/3/2021 2. Abel定理定理 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 lim n n n a R a 2）再討論端點的情況（利用常數(shù)項級數(shù)） 3. 求冪級數(shù)的收斂域求冪級數(shù)的收斂域 a. 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)型冪

6、級數(shù) 0 (0) n nn n a xa 1）先求收斂半徑 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 直接用比值法或根值法比值法或根值法討論收斂區(qū)間討論收斂區(qū)間， 4. 求冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù) b. 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)（缺項或通項為 復(fù)合式） 或通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求。 利用逐項求導(dǎo)或逐項積分的方法， 為已知和函數(shù)的級數(shù)， 將其化 再去求和。 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 1 2! n x x exx n 4. 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) 直接展開法直接展開法 間接展開法間接展開法 討論余項 利用已知級數(shù) 5. 常見函數(shù)的冪級數(shù)

7、展開式常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式 0 () ! n n x x n 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 3521 sin( 1) 3!5!(21)! k k xxx xx k 21 0 ( 1)() (21)! k k k x x k 21 1 1 1 n xxx x 1 0 (1) n n i xx 7/3/2021 【例【例1】（P309第3題） 判斷級數(shù)的斂散性，若收斂求其和 3 (1)0.0010.0010.0010.001 n 解解（1） 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 111111 (5)()()() 2349827 3 1 1 () 10 n n 原級數(shù) 3 1 lim

8、()10 , 10 n n 而故原級數(shù)發(fā)散 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 111111 ()()() 2349827 1 1 2n n （5） 而 1 11 () 23 nn n 1 2 1 1 2 1, 1 1 3n n 1 3 1 1 3 1 2 故原級數(shù)收斂， 其和 13 1 22 S 7/3/2021 【例【例2】（P309第4題） 用比較判別法判定下列級數(shù)的斂散性 1 1 (4) ln(1) n n 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 23 23 222 (5) 1 33 35 3 1 (6)() 21 n n n n 1 1 1 (9) (1) n n n n n

9、7/3/2021 解解 1 1 (4) ln(1) n n 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 因為 11 ln(1)nn ln(1),nn 所以 又因為調(diào)和級數(shù)發(fā)散， 1 1 n n 故發(fā)散 1 1 ln(1) n n 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 23 23 222 (5) 1 33 35 3 因為 故原級數(shù)收斂。 1 2 (21) 3 n n n n 2 (21) 3 lim 2 ( ) 3 n n n n n 0 而幾何級數(shù)收斂， 1 2 ( ) 3 n n 解解 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 (6)() 21 n n n n 因為 故原級數(shù)收斂

10、。 ()() 212 nn nn nn 而幾何級數(shù)收斂， 1 1 ( ) 2 n n 說明說明此題利用根值判別法更方便此題利用根值判別法更方便 ？ 解解 1 ( ) 2 n 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 1 (9) (1) n n n n n 因為 故原級數(shù)收斂。 1 1 2 (1) lim 1 n n n n n n 1 1 lim (1) n n n n n 1 1 lim 1 (1) n n n 1 e 而級數(shù)收斂， 2 1 1 n n p 解解 7/3/2021 【例【例3】（P310第5題） 用比值判別法判定下列級數(shù)的斂散性 2 1 ( !) (7) (2

11、 )! n n n 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 23 555 (6)1 2!3!4! 234 2222 (8) 1 22 33 44 5 1 (9)2 sin 3 n n n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 23 555 (6)1 2!3!4! 1 1 5 ! n n n 由于 1 1 5 (1)! limlim 5 ! n n n nn n un u n 5 lim 1 n n 01 故原級數(shù)收斂。 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 ( !) (7) (2 )! n n n 由于 2 1 2 (1)! (22)! limlim ( !

12、) (2 )! n nn n n un nu n 1 1 4 故原級數(shù)收斂。 2 (1) lim (22)(21) n n nn 一般項中含有一般項中含有 階乘階乘時要用時要用比比 值判別法值判別法討論討論 級數(shù)的斂散性級數(shù)的斂散性 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 234 2222 (8) 1 22 33 44 5 1 2 (1) n n n n 由于 1 1 2 (1)(2) limlim 2 (1) n n n nn n unn u n n 2 lim 2 n n n 21 故原級數(shù)發(fā)散。 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 (9)2 sin

13、 3 n n n 由于 1 1 1 2sin 3 limlim 2 sin 3 n n n nn n n n u u 2 1 3 故原級數(shù)收斂。 1 2 3 lim 3 n n n 7/3/2021 【例【例4】（P310第6題） 用根值判別法判定下列級數(shù)的斂散性 1 3 (2) 2 (arctan ) nn n n 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 2 1 (4) 1 (1) n n n n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 3 (2) 2 (arctan ) nn n n 由于 3 limlim 2 (arctan ) n n n nn nn u n 1 1 故

14、原級數(shù)收斂。 3 lim 2arctan n n n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 2 1 (4) 1 (1) n n n n 由于 2 2 limlim 1 (1) n n nnn n n u n 1 1 e 故原級數(shù)收斂。 2 lim 1 (1) n n n n n 7/3/2021 【例【例5】（P310第8題） 判定下列級數(shù)哪些是絕對收斂，哪些是 2 1 sin (4) (1) n na n 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2233 131313 (5) 210210210 條件收斂 19254981121 (5) 248163264 (1)2 2 1 1

15、 1(21) ( 1) 22 n n n n n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 sin (4) (1) n na n 由于 故原級數(shù)絕對收斂。 22 sin1 (1)(1) na nn 而收斂 2 1 1 (1) n n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2233 131313 (5) 210210210 故原級數(shù)絕對收斂。 各項取絕對值得 2233 131313 210210210 1 13 () 210 nn n 由于都收斂， 11 13 , 210 nn nn 所以收斂 1 13 () 210 nn n 7/3/2021 解解 第七

16、章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 19254981121 (5) 248163264 故原級數(shù)絕對收斂。 各項取絕對值得級數(shù) (1)2 2 1 1 1(21) ( 1) 22 n n n n n 2 1 1 1(21) 22 n n n 由比值判別法知級數(shù)收斂 2 1 1 (21) 2n n n 所以收斂， 2 1 1 1(21) 22 n n n ？ 7/3/2021 【例【例6】（P311第9題） 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域 1 5( 3) (9) nn n n x n 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 234 234 24816 (7)1 5 5 9 513 517 5 xxxx 1 ( 1

17、) (10)3 2 n nnn n n xx 7/3/2021 2 1 (12)(1)2n n n nnx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 (23) (14)( 1) 21 n n n x n 2 1 (13)2 (3) nn n x 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 234 234 24816 (7)1 5 5 9 513 517 5 xxxx 0 2 (41) 5 nn n n x n 1 1 2 (41) 5 lim 2 (45) 5 n n n n n n R n 收斂半徑 5 2 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 故收斂域為 當(dāng)時， 5

18、2 x 級數(shù)發(fā)散； 0 1 41 nn 當(dāng)時， 5 2 x 級數(shù)收斂 0 ( 1) 41 n nn 55 ,) 22 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 5( 3) (9) nn n n x n 11 5( 3) lim 5( 3) 1 nn nn n n R n 收斂半徑 1 5 當(dāng)時， 1 5 x 發(fā)散， 1 1 n n 1 ( 3) 5 n n n n 收斂， 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 所以級數(shù)發(fā)散； 1 1( 3) 5 n n n nn 當(dāng)時， 1 5 x 收斂， 1 ( 1)n n n 1 3 5 n n n n 收斂， 1 ( 1)3

19、 5 nn n n nn 所以級數(shù)收斂 故收斂域為 1 1 , ) 5 5 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 ( 1) (10)3 2 n nnn n n xx 1 1 1 ( 1) 3 2 lim ( 1) 3 2 n n n n n n n R 收斂半徑 1 3 當(dāng)時， 1 3 x 收斂， 1 ( 1) 6 n n n 1 1 n 發(fā)散， 方法方法1 1 ( 1) 3 2 n nnn n n xx 1 ( 1) 3 2 n nn n n x 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 所以級數(shù)發(fā)散； 1 ( 1) 1 6 n n n 當(dāng)時， 1 3 x 收斂

20、， 1 1 6n n 1 ( 1)n n 發(fā)散， 1 1 ( 1) 6 n n n 所以級數(shù)發(fā)散 故收斂域為 1 1 (, ) 3 3 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 ( 1) (10)3 2 n nnn n n xx 1 1 ( 1) 2 lim ( 1) 2 n n n n n R 收斂半徑2 先討論級數(shù) 方法方法2利用冪級數(shù)的性質(zhì)討論 1 ( 1) 2 n n n n x 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 11 3 lim 3 nn nn n x R x 收斂半徑 1 3 再討論級數(shù) 1 3n n n x 1 ( 1) 3 2 n nnn n

21、n xx 所以級數(shù)收斂半徑 1 3 R 又因為在級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)， 1 3 x 1 ( 1) 2 n n n n x 所以級數(shù)收斂， 故只需討論級數(shù)即可， 1 3n n n x 方法同1。 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 (12)(1)2n n n nnx 1 lim n n n u u 利用比值判別法 級數(shù)收斂； 此級數(shù)缺奇數(shù)冪項，此級數(shù)缺奇數(shù)冪項， 不能直接用公式求半徑不能直接用公式求半徑 122 2 (21)2 lim (1)2 nn nn n nnx nnx 2 2x 當(dāng)即時， 2 21x 1 2 x 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 所

22、以收斂半徑為 級數(shù)發(fā)散當(dāng)即時， 2 21x 1 2 x 1 2 R 當(dāng)時， 1 2 x 1 (1) n nn 級數(shù)為發(fā)散 故級數(shù)的收斂域為 11 (,) 22 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 (13)2 (3) nn n x 1 lim n n n u u 利用比值判別法 此級數(shù)是非標(biāo)準(zhǔn)型級數(shù)且缺奇數(shù)冪項此級數(shù)是非標(biāo)準(zhǔn)型級數(shù)且缺奇數(shù)冪項 122 2 2 lim 2 nn nn n t t 2 2t 討論級數(shù)令，3tx 2 1 2n n n t 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 所以收斂半徑為 級數(shù)收斂；當(dāng)即時， 2 21t 1 2 t 1 2 R

23、 當(dāng)時， 1 2 t 1 1 n 級數(shù)為發(fā)散 11 (,) 22 級數(shù)發(fā)散當(dāng)即時， 2 21t 1 2 t 故級數(shù)的收斂域為 2 1 2n n n t 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 又因為 3tx 當(dāng)時， 11 3 22 x 原級數(shù)收斂， 故原級數(shù)的收斂域為 2 1 2 (3) nn n x 解得 11 33 22 x 11 ( 3, 3) 22 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 (23) (14)( 1) 21 n n n x n 1 1 ( 1)2 21 lim ( 1) 2 21 nn nn n n R n 收斂半徑 1 2 當(dāng)時， 1

24、2 t 收斂； 1 1 ( 1) 21 n n n 令， 3 2 tx討論級數(shù) 1 1 ( 1)2 21 nnn n t n 1 1 3 2 () 2 ( 1) 21 nn n n x n 注意：此處要令注意：此處要令 若令若令 則原級數(shù)的收斂半則原級數(shù)的收斂半 徑與新級數(shù)的收斂徑與新級數(shù)的收斂 半徑會不相同半徑會不相同 3 2 tx 23tx 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 故原級數(shù)的收斂域為 1 1 (, 2 2 當(dāng)時， 1 2 t 發(fā)散 1 1 21 n n 又， 3 2 tx 1 1 ( 1)2 21 nnn n t n 所以級數(shù)的收斂域為 當(dāng)時，原級數(shù)收斂 131

25、222 x 解得12x (1,2 7/3/2021 【例【例7】（P311第10題） 求下列級數(shù)的收斂域，并求和函數(shù) 1 (3)(1) n n n nx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 1 (4) 2 n n n x n 7/3/2021 解解 1 (3)(1) n n n nx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 (1) n n xn nx 令 1 1 ( )(1), n n f xn nx 兩邊積分 1 00 1 ( )(1) xx n n f x dxn nxdx 1 (1) n n nx 收斂半徑 (1) lim (1)(2) n n n R nn 1 當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，1x

26、 故收斂域為 ( 1,1) 1 (1) n n n nx 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 故 2 ( )() 1 x g x x 1 (1) n n n nx 2 2 2 (1) xx x 2 2 2 ( ) (1) xx f x x 3 2 (1)x ( )xf x 3 2 (1) x x 00 1 ( )(1) xx n n g x dxnxdx 1 1 n n x 2 1 x x 令 1 ( )(1) n n g xnx 兩邊積分 ( 1,1)x 7/3/2021 解解 1 1 1 (4) 2 n n n x n 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 11 ()(0) 2

27、 n n x x xn 收斂半徑 1 1 2 lim 1 (1)2 n n n n R n 2 當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；2x 當(dāng)時，級數(shù)收斂2x 收斂域為。 2,2) 1 1 1 2 n n n x n 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 還原變量，得x( )ln 1f tt 1 1 ()ln1 22 n n xx n ( )(0)f tf 00 1 ( ) 1 tt ft dtdt t ln 1t 1 1 ( ) n n ftt 再兩邊積分 1 1t 令, 2 x t 1 1 ( ) n n f tt n 兩邊求導(dǎo) (0)0f 7/3/2021 1 1 1 2 n n n x n 第七

28、章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 故 1 ln 1(0 , 2,2) ) 2 x xx x 1 (0) 2 x 1 ln(1)(0 , 2,2) ) 2 x xx x 1 (0) 2 x 7/3/2021 【例【例8】（P312第12題） 2 (2)( )cosf xx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 (6)( ) 23 x f x xx 級數(shù)，并確定收斂域 利用已知展開式把下列函數(shù)展開為的冪x 7/3/2021 解解 2 (2)( )cosf xx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 242 cos1( 1) 2!4!(2 )! k k xxx x k 又因為 1cos2 2 x cos2x 24

29、2 (2 )(2 )(2 ) 1( 1) 2!4!(2 )! k k xxx k 故 2 ( )cosf xx 2 1 (2 ) 1( 1) 2(2 )! k k k x k (,)x (,)x 7/3/2021 解解 2 (6)( ) 23 x f x xx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 1( 1) 1 kk xxx x 又因為 故 2 ( ) 23 x f x xx 1 11 ( 1) 43 kk k k x (1)x 111 () 4 1 1 3 x x 2 1 1()() 333 1 3 k xxx x (1) 3 x (1)x 7/3/2021 【例【例9】（P312第13

30、題） (2)( )lnf xx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 (6)( )ln 54 f x xx 冪級數(shù)，并確定收斂域 利用已知展開式把下列函數(shù)展開為的2x 7/3/2021 解解(2)( )lnf xx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 211 1 1( 1) 1 kk xxx x 又因為 ln(22)x ( 11)x 2 ln2(1) 2 x 2 ln2ln(1) 2 x 231 ( 1) ln(1) 23 kk xxx xx k ( 11)x 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 故 2 ( 11) 2 x 2 ln(1) 2 x 231 222 ()()( 1)(

31、) 2 222 223 kk xxx x k ( )lnf xx 231 23 2(2)(2)( 1)(2) ln2 222232 kk k xxxx k (04)x 7/3/2021 解解 2 1 (6)( )ln 54 f x xx 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 ( 1(2)1)x 2 ln1(2) x 46 2 (2)(2) (2) 23 xx x 2 ln(54)xx 2 ( 1) (2) kk x k (13)x 7/3/2021 【例【例10】證明下列級數(shù)收斂，并求和 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 (1) (32)(31) n nn 1 (2)(221) n nnn

32、 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 (1) (32)(31) n nn 1111 1 44 77 10(32)(31) n S nn 11111111 (1)()()() 34477103231nn 11 (1) 331n 11 limlim(1) 331 n nn S n 因為 1 3 故級數(shù)收斂，且和為。 1 3 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 (2)(221) n nnn ( 32 21)( 42 32)( 52 43) n S 1221nn 1 limlim(12) 21 n nn S nn 因為12 (221)nnn 1 12

33、 21nn 故級數(shù)收斂，且和為。12 7/3/2021 【例【例11】判定下列級數(shù)的斂散性 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 2! (1) n n n n n 1 3! (2) n n n n n 3521 1 (3)( 22)( 22)( 22) n n 2 1 (4) 1 (2) n n n n 1 1 (5) 1 () n n n n n n n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 2! (1) n n n n n 利用比值判別法 1 1 1 2(1)! (1) limlim 2! n n n n nn n n n un nu n 2lim() 1 n n n

34、n 1 2lim 1 (1) n n n 2 1 e 故級數(shù)收斂。 級數(shù)一般項中含級數(shù)一般項中含 有時，一般要有時，一般要 用用比值判別法比值判別法判判 斷斂散性斷斂散性 !n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 3! (2) n n n n n 利用比值判別法 1 1 1 3(1)! (1) limlim 3! n n n n nn n n n un nu n 3lim() 1 n n n n 1 3lim 1 (1) n n n 3 1 e 故級數(shù)發(fā)散。 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 3521 1 (3)( 22)( 22)( 22) n

35、n 利用比值判別法 352123 3521 ( 22)( 22)( 22)( 22) lim ( 22)( 22)( 22) nn n n 故級數(shù)收斂。 1 lim n n n u u 23 lim( 22) n n 211 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 (4) 1 (2) n n n n 利用根值判別法 2 limlim 1 (2) n n nnn n n u n 1 1 2 故級數(shù)收斂。 級數(shù)一般項中含級數(shù)一般項中含 有時，一般要有時，一般要 用用根值判別法根值判別法判判 斷斂散性斷斂散性 n n 2 lim 1 2 n n n n 7/3/2021 解解

36、 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 (5) 1 () n n n n n n n 原級數(shù)發(fā)散。 11 1 (1) () n n nn n n nnn n n n 1 (1) nn n n 1 e n 0 知， 所以級數(shù)發(fā)散， 1 1 (1) nn n n n 由比較判別法 7/3/2021 練習(xí)練習(xí) 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 1 12 2 (2) (21) n n n n nn 提示提示 11 (1) ln nn nn 1 n 0 發(fā)散 2 1 (1) ln n nn 11 112 22 22 1 (2)0 (21)() nn nn nn n nnn 收斂 （2）也可用比值判別

37、法 7/3/2021 【例【例12】判定下列級數(shù)的斂散性 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 2( 1) (1) 2 n n n 3 1 2( 1) (2) 3 n n n n n 2 22 (3) n nn n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 2( 1) (1) 2 n n n 故原級數(shù)收斂。 思考思考：是否還有其它方法？比值、根值？ 2( 1) 2 n n 而級數(shù)收斂， 11 31 3 22 nn nn 213 22 nn 0 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 3 1 2( 1) (2) 3 n n n n n 故原級數(shù)收斂。 3 2 (

38、1) 3 n n n n 31 1 1 3 (1) 21 3 limlim 21 3 n n n n nn n n n u un 對級數(shù) 3 1 21 3 n n n n 21 3 1 所以收斂， 3 1 21 3 n n n n 3 2 1 3 n n n 0 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 22 (3) n nn n 22nn n 1 2 41 lim (22) n nnn n 2 而級數(shù)僅當(dāng)收斂， 1 1 2 1 n n 11 1() 22 故 其它情況均發(fā)散。原級數(shù)當(dāng)時收斂， 1 2 4 (22)nnn 0 7/3/2021 【例【例13】求下列函數(shù)項級數(shù)的

39、收斂域 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 (1) n n n x 1 ( 1)1 (2)() 21 1 n n n x nx 1 (3)() 1 21 n n nx nx 2 1 3 (4)(1) 2 n nn n n n xx 2 1 2 sin (5) nn n x n 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 n n nt 收斂半徑 令， 1 t x 則 1 n n n x 1 (1) n n n x lim 1 n n R n 1, 當(dāng)時級數(shù)發(fā)散1t 級數(shù)的收斂域為 1 n n nt 1,t 則 1 1 x 1x 故原級數(shù)收斂域為。1x 7/3/2021 解解 第七

40、章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 收斂半徑 令 1 , 1 x t x 則 1 ( 1)1 (2)() 21 1 n n n x nx 11 ( 1)1( 1) () 21 121 nn nn nn x t nxn 1 21 lim1 1 21 n n R n 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 11, 1 x x 即 11t 1 ( 1) 21 n n n t n 級數(shù)的收斂域為 0 x 解得 故原級數(shù)收斂域為。 0 x 當(dāng)時級數(shù)收斂；1t 當(dāng)時級數(shù)發(fā)散1t 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 收斂半徑 令, 21 x t x 則 1 (3)() 1 21 n

41、 n nx nx 1 lim1 1 2 n n n R n n 11 () 1 211 nn nn nxn t nxn 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 11, 21 x x 即 11t 故原級數(shù)收斂域為。 11 32 xx 或 1 1 n n n t n 級數(shù)的收斂域為 當(dāng)時級數(shù)均發(fā)散1t 解得 11 32 xx 或 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 收斂半徑 令(1) ,txx 則 2 1 3 (4)(1) 2 n nn n n n xx 2 22 1 3 2 lim (1) 3 2 n n n n n n R n 22 11 33 (1) 22 nn

42、 nnn nn nn nn xxt 2 9 當(dāng)時級數(shù)均發(fā)散 2 9 t 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 故原級數(shù)收斂域為 22 (1), 99 xx 即 2 1 3 2 n n n n n t 級數(shù)的收斂域為 解得 22 99 t 31712317 6336 xx 或 31712317 6336 xx 或 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 收斂半徑 令sin,tx 則 2 1 2 sin (5) nn n x n 2 1 2 2 lim 2 (1) n n n n R n 1 2 當(dāng)時級數(shù)均收斂 1 2 t 22 11 2 sin2 nnnn nn xt

43、 nn 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 故原級數(shù)收斂域為 11 sin, 22 x 即 2 1 2n n n t n 級數(shù)的收斂域為 解得 11 22 t (0, 1, 2,) 66 kxkk (0, 1, 2,) 66 kxkk 7/3/2021 【例【例14】求下列冪級數(shù)的收斂域 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 3( 2) (1)(1) nn n n x n 2 1 1 (2)(1) nn n x n 2 1 (3)()(0) nn n n ab xab nn 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 收斂半徑 1 3( 2) (1)(1) nn n n

44、 x n 11 3( 2) lim 3( 2) 1 nn nn n n R n 1 3 當(dāng)時， 1 3 t 令，1tx 11 3( 2)3( 2) (1) nnnn nn nn xt nn 1 3( 2) nn n n t n 11 1( 1)2 ( ) 3 n n nn nn 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 1 lim n n n u u 2 1 3 當(dāng)時， 1 3 t 1 ( 1)2 ( ) 3 n n n n 考慮級數(shù) 1 1 ( 1)2 ( ) 13 lim ( 1)2 ( ) 3 n n n n n n n 所以級數(shù)收斂， 1 ( 1)2 ( ) 3 n n n n

45、 1 1 n n 而級數(shù)發(fā)散， 1 3( 2) nn n n t n 發(fā)散； 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 當(dāng)時， 1 3 t 11 33 t 兩級數(shù)均收斂， 原級數(shù)的收斂域為 1 3( 2) nn n n t n 收斂 當(dāng)時， 1 3 t 1 3( 2) nn n n t n 11 ( 1)1 2 ( ) 3 n n nn nn 所以級數(shù)收斂域為 1 3( 2) nn n n t n 11 1 33 x 42 33 x 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 收斂半徑 2 1 1 (2)(1) nn n x n 2 1 lim 1 (1) n n n R

46、n 1 e 當(dāng)時， 1 x e 10 211 (1) ( 1) ( ) nnn ne n 級數(shù)發(fā)散， 收斂域為 1 1 (, ) e e 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 1 (3)()(0) nn n n ab xab nn 考慮兩個級數(shù)和 1 n n n a x n 2 1 n n n b x n 收斂半徑分別為和 1 1 R a 2 1 R b 所以原級數(shù)的收斂半徑為 12 1 min(,)RR R b 1 n n n a x n 收斂當(dāng)時，xR 1 b Why? 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 所以原級數(shù)收斂 2 1 n n n b x n

47、1 n n n a x n 收斂當(dāng)時，xR 1 b 2 1 1 () n n n b nb 2 1 ( 1)n n n 收斂 2 1 n n n b x n 2 1 1 ( ) n n n b nb 2 1 1 n n 收斂 故原級數(shù)收斂域為。 1 1 , b b 7/3/2021 【例【例15】求下列冪級數(shù)的和函數(shù) 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 24 (1)1 2!4! xx 23 (2) 1 22 33 4 xxx 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 由于 24 (1)1 2!4! xx 22 2 (22)! lim (2 )! n n n x n x n 0 設(shè) 2

48、 0 (2 )! n n x n 收斂域為(,) 24 ( )1, 2!4! xx S x 35 ( ) 3!5! xx S xx 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 兩式相加得 24 1 2!4! xx 2345 1 2!3!4!5! xxxx x ( )( )S xS x x e 2345 1 2!3!4!5! xxxx x ( )( )S xS x x e ( ) 2 xx ee S x 即 2 0 (2 )! n n x n 2 xx ee 7/3/2021 解解 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 由于 23 (2) 1 22 33 4 xxx 1 (1) lim 1 (1

49、)(2) n n n R nn 1 1 (1) n n x n n 故收斂域為 1,1 1x 當(dāng)級數(shù)均收斂， 7/3/2021 令 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 23 ( ) 1 22 33 4 xxx S x 1 (1) n n x n n 逐項求導(dǎo)再積分得 11 1 nn nn xx nn 1 11 1 (0) 1 nn nn xx x nxn 23 ( ) 1 22 33 4 xxx S x 1 1ln(1) x x x ( 11,0)xx 0 (0)x (1)x 1 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 考研真題部分考研真題部分 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無

50、窮級數(shù) 斂， （2012） 解解 級數(shù) 條件收斂， 2 1 ( 1)n n n 11 ()0()1 22 AB 則 的范圍為（ ） 33 ( )1()2 22 CD 1 1 ( 1)sin n n n n 絕對收斂 【例【例16】已知級數(shù) 絕對收 1 1 ( 1)sin n n n n 3 2 2 1 ( 1)n n n 條件收斂12 3 2 2 故選D D 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 域及和函數(shù)。（2012） 解解 【例【例17】求冪級數(shù) 的收斂 2 2 0 443 21 n n nn x n 1 lim n n n u u 2 x 2 2 2 4(1)4(1)3 2(

51、1)1 lim 443 21 n nn n x nn n 1x 時， 級數(shù)發(fā)散， 故收斂域為( 1,1) 級數(shù)收斂；當(dāng) 時， 2 11xx 當(dāng) 時，1x 級 數(shù)發(fā)散， 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 設(shè) 2 2 0 443 ( ) 21 n n nn S xx n (0)x 2 0 2 (21) 21 n n nx n 221 00 21 (21) 21 nn nn nxx xn 212 0 00 2 x nn nn xxdx x 22 0 21 () 11 x x dx xxx 2 22 111 ln (1)1 xx xxx 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)

52、 故級數(shù)的和函數(shù)為 2 22 111 ln,0 ( )(1)1 3,0 xx x S xxxx x 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) （2011） 解解 1 (1)n n n ax 則冪級數(shù) ()( 1,1() 1,1)()0,2)()(0,2ABCD 【例【例18】設(shè)數(shù)列 單調(diào)減少， n a 無界， 1 (1,2,) n nk k San C lim0 n n a 的收斂域為（ ） 部分和數(shù)列 無界 1 n nk k Sa 1 n n a 發(fā)散 1t 因此當(dāng) 時， 1 n n n a t 收斂； 7/3/2021 第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 級數(shù)收斂， 0,2) 1 (1)n n n ax 的收斂域為 ， 1 n n n a t 是交錯級數(shù)，1t 當(dāng)