分?jǐn)?shù)及其巧算

1、分?jǐn)?shù)的基本變化和巧算一、認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)1.單位“1”：一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、許多物體組成的一個(gè)整體，都用自然數(shù)1表示，通常叫單位“1”。2.分?jǐn)?shù)意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。3.分?jǐn)?shù)單位：分?jǐn)?shù)中表示一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位 。分母越大,分?jǐn)?shù)單位越小，最大的分?jǐn)?shù)單位是。4.分?jǐn)?shù)的分類： 真分?jǐn)?shù)：分子分母，真分?jǐn)?shù)1。 假分?jǐn)?shù)：分子分母，假分?jǐn)?shù)1。 帶分?jǐn)?shù)：帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)的一種形式。非零整數(shù)與真分?jǐn)?shù)相加所成的分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)一般讀作幾又幾分之幾。5. 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)大小不變。6.分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：被除數(shù)相當(dāng)于

2、分?jǐn)?shù)的分子，除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分母，除號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線。被除數(shù)除數(shù)如果用a表示被除數(shù)，b表示除數(shù)，可以寫成ab（b0）二、分?jǐn)?shù)的基本變化 分?jǐn)?shù)的變化除了遵循分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)外,還有三條很有意思的規(guī)律： 1.分?jǐn)?shù)被約分多少，分子與分母的和會(huì)縮小多少倍. 2.分?jǐn)?shù)被約分多少，分子與分母的差也會(huì)縮小多少倍.3.若一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子不變，分母加上或減去某個(gè)數(shù)a，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，它相當(dāng)于分母不變，分子減去或加上a與新分?jǐn)?shù)的積. 例1的分子、分母同時(shí)加上一個(gè)什么數(shù)以后分?jǐn)?shù)約分為？解析：原分?jǐn)?shù)分子、分母同時(shí)加上某個(gè)數(shù)，分子與分母的差不會(huì)發(fā)生改變，原分?jǐn)?shù)的分子、分母的差是13-1=12，約分后新分?jǐn)?shù)的分子、分母的差是3

3、-1=2，差縮小了122=6倍，說(shuō)明約分時(shí)分子分母同時(shí)被約去了6，約分前的分?jǐn)?shù)是6/18，對(duì)比原分?jǐn)?shù)，就知道原分?jǐn)?shù)分子、分母同時(shí)加上了5。例2分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個(gè)數(shù)，新分?jǐn)?shù)約分后是，那么減去的數(shù)是多少？解析：原分?jǐn)?shù)分子、分母現(xiàn)時(shí)減去同一個(gè)數(shù)，分子、分母的差不會(huì)變，是181-97=84，而2/5的分子、分母的差是3，差縮小了843=28倍，說(shuō)明約分時(shí)被約掉了28，那么新分?jǐn)?shù)就是228/528=56/140，易得出同時(shí)減去了41.例3一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分母和分子之和是83，若分母分子分別加上45和19，則得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？解析：原分?jǐn)?shù)分子與分母的和是83+45+19=147，新分

4、數(shù)分子與分母的和是2+5=7，和縮小了1477=21倍，說(shuō)明分?jǐn)?shù)被21約后得2/5，約分前的分?jǐn)?shù)是221/521=42/105，那么原分?jǐn)?shù)就是（42-19）/（105-45）=23/60例4有一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母加上2，得；如果分母加上3，得，原來(lái)這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？解析：題中只是分?jǐn)?shù)的分母發(fā)生了變化，可知兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的分子是一樣的，而且是7，3的公倍數(shù)，7/9=21/27，3/4=21/28，容易得出原分?jǐn)?shù)是21/25.例5有一分?jǐn)?shù)，若分子加上1，則變成；若分子減去1，則變?yōu)?，求該分?jǐn)?shù)。解析：若分子加上1，變成1/2，相當(dāng)于分子增加了1個(gè)分?jǐn)?shù)單位，分子減去1，變成1/3，相當(dāng)于分子減少了1個(gè)分?jǐn)?shù)單位.此

5、時(shí)，有兩種解題方式.方法一：運(yùn)用例4的分母不變法.方法二：運(yùn)用找分?jǐn)?shù)單位法.例6有一個(gè)分?jǐn)?shù)，若分子加3得；若分母減3得，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？解析：分母減3，得2/3，相當(dāng)于分子加上32/3=2，也會(huì)得2/3；這樣題目就變成了：有一個(gè)分?jǐn)?shù)，若分子加3，得7/10；若分子加2，得2/3；此時(shí)有兩種方法可以使用，方法一：分母不變法.在約分前，兩分?jǐn)?shù)的分母未變，應(yīng)是10，3的公倍數(shù)，而分子相差1，10，3=30 7/10=21/30，2/3=20/30，所以，原分?jǐn)?shù)是18/30.方法二：分?jǐn)?shù)單位法.例7一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子不變，分母加2，得；如果分母不變，分子減1，得，原分?jǐn)?shù)是多少？例8有一分?jǐn)?shù)，若分母、分

6、子都加上1，則分?jǐn)?shù)變成；若分母、分子都減1，則變成，求該分?jǐn)?shù)。3、 分?jǐn)?shù)的拓展分類1. 加成分?jǐn)?shù)把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子之和做分子，分母之和做分母，這個(gè)運(yùn)用加法得到的新分?jǐn)?shù)叫做加成分?jǐn)?shù)。加成分?jǐn)?shù)的大小介于兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間。例1. 在 2. 同增分?jǐn)?shù)把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)自然數(shù)，這個(gè)新分?jǐn)?shù)叫做同增分?jǐn)?shù)，同增分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。例2. 試比較下列分?jǐn)?shù)的大小，并用“”連接起來(lái). 3. 祖沖之分?jǐn)?shù)在南北朝時(shí)，我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之計(jì)算出圓周率約為。 在后來(lái)用計(jì)算機(jī)算出來(lái)更接近的圓周率，最簡(jiǎn)單的都是，換句話說(shuō)在分母小于16604的一切分?jǐn)?shù)中不可能有比密率更接近.這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)奇跡。4. 阿拉伯分?jǐn)?shù) 埃

7、及同中國(guó)一樣，也是世界上著名的文明古國(guó)。古代埃及人處理分?jǐn)?shù)與眾不同，他們一般只使用分子是1的分?jǐn)?shù)，例如：用來(lái)表示、用來(lái)表示等等，現(xiàn)在有90個(gè)埃及分?jǐn)?shù)：1/2，1/3，1/4，1/5，1/90，1/91.后來(lái)，人們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做阿拉伯分?jǐn)?shù).例3. 請(qǐng)用阿拉伯分?jǐn)?shù)表示下列個(gè)數(shù) 4、 分?jǐn)?shù)的巧算1.分?jǐn)?shù)的裂項(xiàng)從分母N的約數(shù)中任意找出兩個(gè)m和n,有：=10的約數(shù)有:1,10,2,5.例如：選1和2，有：常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式（1） （2）2.循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的數(shù)的差分母n個(gè)9，其中

8、n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個(gè)數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9，不循環(huán)位數(shù)添0，組成分母，其中9在0的左側(cè) 3.整體換元解數(shù)學(xué)題時(shí)，如果某個(gè)式子反復(fù)出現(xiàn)，我們就把這個(gè)式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的式子化繁為簡(jiǎn)一、填空題1.計(jì)算:= .2.計(jì)算:= .3.計(jì)算:= .4.計(jì)算: = 5.計(jì)算:= .6.計(jì)算:= .7.計(jì)算:= .8.計(jì)算:= .9.計(jì)算: = 二、運(yùn)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算1.計(jì)算:2.計(jì)算：3.1000減去它的一半,再減去余下的三分之一,再減去余下的四分之一,依此下去,直到余下的五百分之一,最后剩下 . 4.計(jì)算: 5.計(jì)算：6.計(jì)算: 7.計(jì)算: 8.計(jì)算: 9.計(jì)算： 10.計(jì)算 三、解答題11.盡可能化簡(jiǎn).12.計(jì)算:.13.計(jì)算：14已知：求：S 的整數(shù)部分。1. . 原式 .2. . 原式 .3. 21000減去它的一半,余下,再減去余下的,余下,再減去余下的,余下,直到減去余下的五百分之一,最后剩下: 4. .原式 .5. .原式 .6. .原式.7. 123.原式 .8