概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題答案第四章

1、習(xí)題 4.11設(shè) 10 個(gè)零件中有 3 個(gè)不合格 現(xiàn)任取一個(gè)使用，若取到不合格品，則丟棄重新抽取一個(gè)，試求取到合格品之前取出的不合格品數(shù)X 的數(shù)學(xué)期望解 可得 X 的概率分布為0123X 77711030120120于是 X 的數(shù)學(xué)期望為E(X) 07771101233012012045 3120 82.某人有 n 把外形相似的鑰匙，其中只有1 把能打開房門，但他不知道是哪一把，只好逐把試開求此人直至將門打開所需的試開次數(shù)X 的數(shù)學(xué)期望解 可得 X 的概率分布為12 LnX 111nLnn于是 X 的數(shù)學(xué)期望為E(X) 1 12 1Ln 1nnn1 n(n 1)n1n223設(shè) 5 次重復(fù)獨(dú)立試

2、驗(yàn)中每次試驗(yàn)的成功率為0.9，若記失敗次數(shù)為X，求 X 的數(shù)學(xué)期望。解 由題意 X B(5,0.1) ，則 X 的數(shù)學(xué)期望為E(X )50.10.54設(shè)某地每年因交通事故死亡的人數(shù)服從泊松分布據(jù)統(tǒng)計(jì)，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡兩人的概率的1 ，求該地每年因交通事故死亡的平均人數(shù)。2解 設(shè)該地每年因交通事故死亡的人數(shù)為X ，由題意 X 服從泊松分布P( ) (0) .因P X11P X22112即ee422!1!于是 X 的數(shù)學(xué)期望為E(X)4所以地每年因交通事故死亡的平均人數(shù)為4 人。5設(shè)隨機(jī)變量X 在區(qū)間 (1,7) 上服從均勻分布，求P X 2E( X ) .解 因 X 在區(qū)間

3、 (1,7) 上服從均勻分布，故X 的數(shù)學(xué)期望為17E(X)42于是PX2E(X)P X241P2X266設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為axb0x1p(x)(a, b0)0 其它又知 E( X )0.75 , 求 a, b 的值解 由密度函數(shù)的性質(zhì)可得p( x)dx1即1axb dx 1a10b1又由 E(X )0.75 ，可得xp( x)dx1x axb dx 0.750即a0.75b2求解ab11a0.75b2可得 a 3,b 2 .7設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為x0 x1p( x)2 x1 x20其它求數(shù)學(xué)期望E( X )解E(X)xp( x)dx1xdx2(2x)dxxx01x31(

4、x2x3)2130318. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為X-2-101P0.20.30.10.4求 (1)E(2 X 1) ；（2） E(X 2).解 (1)E(2X1)2E(X)1其中E(X )20.210.3010.40.3則E(2X1)2E(X)12( 0.3)11.6(2）E(X2)0.2( 2)20.3( 1)20.1020.4 121.59假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作。若一周 5 個(gè)工作日里無故障，可獲利潤10 萬元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤5 萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤 0 元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2 萬元。求一周內(nèi)期望利潤是多少

5、？解 設(shè) X 為一周內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù)，由題意，X B(5,0.2) ；又設(shè) Y 為一周的利潤（單位：萬元） ，則10,X0Y5,X10,X22,X2于是一周的期望利潤為E(Y ) 10P Y105P Y50PY 0( 2)PY210P X05P X10(2)P X210(0.8) 55C51 0.2 (0.8) 40(2)(1P X 2)5.21 (萬元 )10計(jì)算第1,2,3各題中隨機(jī)變量的方差。解 （ 1）因 X 的分布律為0123X 77711030120120故E(X2)于是E(X )387177113030492410120120D(X) E(X2)(E( X )21397724

6、64192(2) 因 X 的概率分布為12LnX 11L1nnn可得 X 的數(shù)學(xué)期望為 E( X )n1 ，又2E( X2)1 ni211n(n1)(2n1n in61)(n 1)(2n 1)16于是D(X)E(X2)(E(X )21 (n1)(2n1) (n1)2n216412（ 3）由題意 X B(5,0.1)，則 X 的方差為D(X) 50.10.90.4511. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為1x1x0p(x)1x0x10其它求 X的方差 D(X).解E(X)xp( x) dx0(1x) dx1x)dxxx (110( x2x3 ) 0 1( x2x3 ) 1002323E(X2)xp(

7、 x)dx0(1x)dx1(1x)dxx2x210( x3x4 ) 0 1( x3x4 ) 10134346故D(X) E(X2) (E(X)21016612. 設(shè)某公共汽車站在5 分鐘內(nèi)的等車人數(shù)X 服從泊松分布，且由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)知，5 分鐘內(nèi)的平均等車人數(shù)為 6 人 , 求 P XD(X ) .解 由題設(shè)知，隨機(jī)變量X 的期望為 E(X)6 ，則泊松分布的參數(shù)6，于是 X 的方差 D(X)6，故PX DX PX61PX 666k61 0.6063 0.39371ek 0 k !13. 已知隨機(jī)變量 X 的概率密度為e xx0p(x)x00(1) 設(shè) Y2X 1, 求 E(Y), D(Y) .(

8、2) 設(shè) Z e 2 X , 求 E( Z), D ( Z )解 由隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)e xx01 的指數(shù)p( x)x可知， X 服從參數(shù)為00分布，則 E( X )111，則1,D(X )2（1）E(Y)E(2X1)2E(X)12 113D(Y)D(2 X1)4DX414（ 2）E(Z ) E(e 2 X )e 2 x p( x)dxe 2x e xdx103又E(Z 2 ) E(e 4X )e 4 x p(x)dxe 4x e xdx105故有D(Z) E(Z2 ) E(Z)2 114594514*. 設(shè)隨機(jī)變量X 和 Y 同分布，均具有概率密度3x2 ,0 x 2p( x) 80,

9、其他令 AXa, B Y a, 已知 A 與 B 相互獨(dú)立，且3P(AUB)14（2）的數(shù)學(xué)期望 .X 2. 試求：（1） a 的值 .解 由題意知 0 a2, 故2 323x32a3P( A) P X aa 8xdx8 3 |a18于是由 P( A)P(B)1a3及 A與 B 相互獨(dú)立知83PAUBP( A)P(B)P( AB)2(1a3a3)2a648) (11864解得a34(2) E(11p( x) dx21 32dx3X2 )x20x28x4習(xí)題 4.21. 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X,Y）的聯(lián)合概率密度為p( x, y)1 ( x y) 0 x 2,0y 280其它求 E(XY) .解E

10、(XY )xyp( x, y)dxdy2dx21( xy) dy0xy0812xy2y328x(2)0 dx03122848(2 xx)dx0332.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y ）的聯(lián)合概率密度為11x5,1yxp( x, y)80其它試求 E(XY2).解E( XY2 )xy2 p( x, y)dxdy5x1y2dy15y3x)dxxdx8(x31111)dx8 11x( x3383524 1153.設(shè)隨機(jī)變量 X,Y 的概率密度分別為pX (x)2e 2 xx0pY ( y)4e 4 yy00x,0y00求 E(2X 3Y) .解 由 X 與Y 的密度函數(shù)可知， X 與 Y 分別服從參數(shù)為2和

11、4 的指數(shù)分布，則E(X)1E(Y)1，42于是E(2 X3Y)2E(X)3E(Y)213172444. 設(shè)隨機(jī)變量X與 Y相互獨(dú)立，且E(X） E(Y)0， D(X) D(Y) 1，求E( X Y) 2解 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)知E(XY)E(X)E(Y)000又由 X 與 Y 相互獨(dú)立可得D(XY)D(X)D(Y)112于是有E( X Y)2 D(X Y) E(X Y)22 0 25 將一顆均勻的骰子連擲10 次，求所得點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望及方差。解 設(shè) Xi (i1,2,L ,10) 為第 i 次擲骰子所出的點(diǎn)數(shù)，則123456X i 11111166666610 次擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為10XX

12、ii1由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有10E(X )i 1E( X i )其中1621( iL,10)E( X i )i=3.51,2,6 i 16故10E(X )E( X i )103.5 35i1又因 X1, X 2 ,L , X n 相互獨(dú)立，故10D(X )D ( Xi )i 1其中D( X i ) E( X i 2 ) E( X i ) 291(21)235(i1,2,L,10)6612于是1035175D(X )D ( Xi )10i 11266.設(shè)（ X,Y ）的概率密度函數(shù)為xy,0x1,0y1,p( x, y)0,其他 .求 cov(X ,Y).x y, 0x 1,0 y 1,解 由已知

13、 p(x, y)得，0,其他 .x1 , 0 x 1,y1 , 0 y 1,pX ( x)2pY (x)20,其他 .0,其他 .E(X )x( x1)dx7 , E(Y)y( y1)dy7 ,11021202121.E(XY)11xy( x11x2 ydxdy11xy2 dxdy00y)dxdy00003因此，cov(X , Y)E( XY)E( X )E(Y)1(7)21.3121447.設(shè) (X,Y) 的聯(lián)合概率分布為XY-10100.10.20.110.20.30.1求,(,)及相關(guān)系數(shù)XY.E（ X）E（ Y）D（ X）D（ Y）CovXY解 由 (X,Y) 的聯(lián)合概率分布可得011

14、01X 0.6, Y 0.50.20.40.3及101XY 0.70.10.2則可得E(X )0.6,D(X)0.40.6 0.24E(Y )0.3 (1) 00.210.1E(Y 2) ( 1)2 0.3 0 12 0.2 0.5D(Y)E(Y2)E(Y)20.50.01 0.49E(XY) ( 1)0.2010.10.1故Cov( X ,Y )E( XY ) E( X )E(Y)0.10.6 (0.1) 0.04XYCov( X , Y)0.040.117DXDY0.24 0.498.* 設(shè) X 與 Y 是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布。試求隨機(jī)變量Z1 4X3Y與 Z2

15、3XY 的協(xié)方差 .解 因 X 與Y 相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則E(X)1, D(X)D(Y)1E(Y)2Cov ( X , Y)Cov (Y, X )0于是， Z14X 3Y與Z23XY 的協(xié)方差為Cov (Z1 , Z2 ) Cov (4 X3Y,3X Y)12Cov (X , X )4Cov ( X ,Y )9Cov(Y, X ) 3Cov (Y ,Y )12D ( X ) 3Cov (Y,Y)1211923229.設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相關(guān)系數(shù)為0.5.求 D (XY)及D(X Y).解 由題設(shè)知D(X)D(Y)1,XY0.5則D(X Y) D(X)D(

16、Y)2Cov( X ,Y)D(X)D(Y)2XYD(X )D(Y)1120.5113D(X Y) D(X )D(Y)2Cov( X ,Y)D(X)D(Y)2XYD(X )D(Y)1120.5111習(xí)題.1設(shè) X 是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定=1， 2 ，實(shí)際計(jì)算 P|X -E( X )|，并驗(yàn)證切比雪夫不等式成立解 因 X 的概率函數(shù)為11,2,.,6), 所以P X k =(k6E(X)=7D(X )35,122P|X71P X1P X2P X2|5 PX 623P|X7 |2P X1P X6123D(X) 35 22;D(X) 1 35 11;212,2412.33可見切比雪夫不等式成

17、立。2已知正常成人男性每升血液中的白細(xì)胞數(shù)平均是7.3 109，標(biāo)準(zhǔn)差是 0.7 109試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)每升血液中的白細(xì)胞數(shù)在5.2 109 至 9.4109 之間的概率的下界 .解 設(shè)每升血液中的白細(xì)胞數(shù)為隨機(jī)變量X ，由題設(shè)E( X )=7.3109,D(X)(0.7109 ) 2則由切比雪夫不等式P5.2109 X 9.4109P| X7.3109 | 2.1109 920.721(0.710 )0.89(2.1109 )212.123將一顆骰子連續(xù)擲4 次，點(diǎn)數(shù)總和記為 X ，試估計(jì) P10X 18解 利用習(xí)題 4.2 的 5題計(jì)算結(jié)果，可求得E(X )4 3.514,D(X)

18、43535123則由切比雪夫不等式有P 10X18P X1441 D(X)135131648484設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 的數(shù)學(xué)期望均為2,方差分別為1 和 4，而相關(guān)系數(shù)為0.5，試用切貝雪夫不等式估計(jì)P XY6 證明E(X Y) E(X) E(Y) 2 2 0D ( XY)D(X )D(Y)2Cov ( X ,Y)D(X) D(Y) 2 XYD(X) D(Y)1420.5143則由切比雪夫不等式，有PXY6P| (XY )E( XY) |6D( XY)136125設(shè)事件發(fā)生的概率記為P, P 未知，若試驗(yàn)1000 次，用發(fā)生的頻率替代概率P，估計(jì)所產(chǎn)生的誤差小于10%的概率為多少？解設(shè)10

19、00次試驗(yàn)中事件A發(fā)生次數(shù)為X ， X : B(1000, p)，E(X)1000 p,D(X)1000 p(1p) 。由于 P 未知，用切比雪夫不等式估計(jì)PXp0.1P| X1000p |100100011000p(1p)12500.9751000010000最后一步是由于p 的二次函數(shù) p（ 1- p），當(dāng) p=0.5 時(shí)取最大值 0.25。習(xí)題 4.41. 隨機(jī)變量序列X，X ， ，X ，相互獨(dú)立同分布N（2），當(dāng) n 充分大時(shí)，1，2nn2可否認(rèn)為Xi , 近似服從正態(tài)分布N（ n， n），為什么？i 1解 可以，事實(shí)上，由于X1 ， X2 ， ， Xn ，相互獨(dú)立同分布N（，2），當(dāng)

20、 nn2充分大時(shí)， 由定理 4.10 知，i 1X i , 近似服從正態(tài)分布N（ n，n），且進(jìn)一步由定理3.8nX i , 精確地服從正態(tài)分布2得，N（ n， n）。i 12設(shè)隨機(jī)變量序列 ，XX ，Xn，相互獨(dú)立同分布，其概率密度1,2p( xi )1,(1xi2)i=1,2, , 問它們是否滿足中心極限定理，為什么？解 不滿足。因?yàn)镋( X i )0x2dxi(1可見， X 的數(shù)學(xué)期望不存在。因此不x)滿足中心極限定理。3一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由100 個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。在整個(gè)運(yùn)行期間，每個(gè)部件損壞的概率為0.1 為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，至少需有85 個(gè)部件。求整個(gè)系統(tǒng)工作的概率。

21、.解 設(shè) X 為 100 個(gè)部件中正常工作的部件數(shù)，由題意，X B(100,0.9) .根據(jù)棣莫佛拉普拉斯中心極限定理，有X 近似服從正態(tài)分布N (90,9) 。于是，系統(tǒng)正常工作的概率為PX851P X851( 8590)(1.67)0.952594設(shè)有 30 個(gè)電子器件，它們的使用壽命（單位：小時(shí)）T ,T ,T30服從參數(shù) =0.1 的12指數(shù)分布。 其使用情況使第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用，第二個(gè)損壞第三個(gè)立即使用等等。令T 為 30 個(gè)器件使用的總時(shí)間，求T 超過 350 小時(shí)的概率。解 由已知條件可知1110,DTi1100(i1,2,L ,30)E Ti0.1230T 近似服從正態(tài)分

22、布 N (300,3000) ，則所記 TTi ，由勒維林德伯格中心極限定理知i1求概率為PT 350PT300350300103010301PT300501030103010.9110.81860.18145抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10 個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受。問應(yīng)檢查多少產(chǎn)品才能使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9.解 設(shè)檢查產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為n ，其中的次品個(gè)數(shù)為X ，則 X : B( n,0.1) .由題意，要求 n ，使PX100.9由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，X 近似服從正態(tài)分布N (0.1n,0.09 n) ，于是PX101100.1n0.90.09n即

23、0.1n100.3 n0.9查表得1.28 0.4 ，所以0.1n100.3n1.29故 n 145, 即應(yīng)該檢查 145 個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為 10% 的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9.6某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)1000 人的某種商品，設(shè)該商品在一段時(shí)間內(nèi)每人需用一件的概率為0.6,并假設(shè)這段時(shí)間內(nèi)各人購買與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)準(zhǔn)備多少這種商品才能以99.7%的概率保證該商品不脫銷？解 設(shè) X 為 1000 人中需要商品的人數(shù)，由題意，X : B(1000,0.6)，由中心極限定理知， X 近似服從正態(tài)分布 N (600,240) .設(shè)應(yīng)準(zhǔn)備 m 件商品，則若想不脫銷，需滿足Xm ，于是有P

24、0Xm P 0600X600m600240240240m6000.997240查表得2.750.997 ，所以m6002.75m6432407* 某運(yùn)輸公司有500 輛汽車參加保險(xiǎn)，在一年內(nèi)汽車出事故的概率為0.006，參加保險(xiǎn)的汽車每年交保險(xiǎn)費(fèi)800 元，若出事故保險(xiǎn)公司最多賠償50000 元，試?yán)弥行臉O限定理計(jì)算，保險(xiǎn)公司一年賺錢不小于200000 元概率。解 設(shè)在一年內(nèi)發(fā)生事故的汽車數(shù)量為X ，則 X : B(500,0.006) ，由中心極限定理， X近似服從正態(tài)分布N (3,2.982)，所求概率為P 500 80050000X200000P 50000X500 800200000

25、P X443.0.580.7192.892綜合練習(xí)四一、填空題0x010x2351.若 X 的分布函數(shù)為 F ( x)，則 X 的數(shù)學(xué)期望 E( X )（） .532x461x42.設(shè)隨機(jī)變量 X B(3, p) 且 P X11，則 E(X 1) （1） .273.設(shè)隨機(jī)變量 X U ( 1,1) ，則 E(32 X )（3）.4.設(shè)隨機(jī)變量 X 服從泊松分布， 且 P X1P X2 ，則 E(3X2)（4）.1x2，則 E(X2)5.若隨機(jī)變量X 的概率密度為 pX ( x)e 4（2） .26.設(shè) X 的密度函數(shù)為p( x)2x0x11） .0其它，則 X 的方差 DX （180X1，則X

26、 的方差 DY （1） .7.設(shè) X U (0,2) ，令 YX1418.設(shè)（ X ，Y） N ( 1 ， 2 ， 12 ， 22 ，0) ，則 E(XY)（1 2）9. 設(shè) X與Y的 協(xié) 方 差 Cov ( X ,Y )1，且 XN(0,9),YN(1,4)， 則D(3X Y) （91） .10.設(shè) D(X )4 ， Cov( X ,Y )2，令 Z2 XY ，則 Cov ( X, Z )（10） .二、選擇題1.已知隨機(jī)變量X 服從二項(xiàng)分布B(n, p) ，且 E（ X） 2.4, D（ X） 1.44 ，則參數(shù) n, p 的值為（(b)） .(a)n4, p0.6( b) n6, p0.4(c)n8, p0.3( d )n24, p0.12.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）(b)）.，則必有（(a) E( X 2 )(E( X )