第六節(jié)一致收斂

1、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 * *第六節(jié) 第六節(jié) 一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 及一致收斂級數(shù)的基本性質及一致收斂級數(shù)的基本性質 二、一致收斂級數(shù)的基本性質二、一致收斂級數(shù)的基本性質 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十一章 一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 冪級數(shù)在收斂域內的性質類似于多項式, 但一般函數(shù) 項級數(shù)則不一定有這么好的特點. 例如例如, 級數(shù) )()()( 1232nn xxxxxxx 每項在 0,1 上都連續(xù), 其前 n 項之和為,)( n n xxS 和函數(shù) )(lim)(xSxS n n 10 x , 0 1

2、x, 1 該和函數(shù)在 x1 間斷. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因為對任意 x 都有: ),2, 1( 1sin 22 2 n nn xn 所以它的收斂域為 (, +) ,但逐項求導后的級數(shù) xnxx 22 cos2coscos 2 2 2 2 2 sin 2 2sin 1 sin n xnxx 其一般項不趨于0, 所以對任意 x 都發(fā)散 . 又如又如, 函數(shù)項級數(shù) 問題問題: 對什么樣的函數(shù)項級數(shù)才有: 逐項連續(xù) 和函數(shù)連續(xù); 逐項求導 = 和函數(shù)求導; 逐項積分 = 和函數(shù)積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義. 設 S(x) 為 )( 1 xu n n 若對 都有一個

3、只依賴于 的自然數(shù) N , 使 當n N 時, 對區(qū)間 I 上的一切 x 都有 )()()(xSxSxr nn 則稱該級數(shù)在區(qū)間 I 上一致收斂于和函數(shù)S(x) . 在區(qū)間 I 上的和函數(shù), 任意給定的 0, 顯然, 在區(qū)間 I 上 )( 1 xu n n 一致收斂于和函數(shù)S(x) 部分和序列)(xSn一致收斂于S(x) 余項 )(xrn一致收斂于 0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 幾何解釋幾何解釋 : (如圖) )(xSy )(xSy I x )(xSy , 0 , ZN當n N 時, 表示)()(xSxS n 曲線 )()(xSyxSy與總位于曲線 )(xSy n )(xSy n 之

4、間. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 研究級數(shù) ) 1)( 1 )3)(2( 1 )2)(1( 1 nxnxxxxx 在區(qū)間 0, +) 上的收斂性. 解解: 1 11 ) 1)( 1 kxkxkxkx ), 2 , 1(k ) 3 1 2 1 () 2 1 1 1 ()( xxxx xSn ) 1 11 ( nxnx 1 1 1 1 nxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(lim)(xSxS n n ) 1 1 1 1 (lim nxxn1 1 x )0( x 余項的絕對值: )()()(xSxSxr nn 1 1 nx1 1 n )0( x 因此, 任給 0, 取自然

5、數(shù) ,1 1 N則當n N 時有 )0()(xxrn 這說明級數(shù)在 0, +) 上一致收斂于 . 1 1 )( x xS 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 證明級數(shù) )()()( 1232nn xxxxxxx 在 0,1 上不一致收斂 . 證證: nnn n xxxxxxxS )()()( 12 )(xS 10 x, 0 1x, 1 )()()(xSxSxr nn 10 x, n x 1x, 0 取正數(shù) , 2 1 對無論多么大的正數(shù) N ,)( 1 1 2 1 0 N x取 , 1, 0 0 x,)( 2 1 01 xrN而因此級數(shù)在 0, 1 上不 一致收斂 . 機動 目錄 上

6、頁 下頁 返回 結束 y o x 說明說明: 1 1n n n xxS)( )(xS 10 x, 0 1x, 1 2n 4n 10n 30n ) 1 , 1 ( )(xS 對任意正數(shù) r 0, 欲使 , n r只要, ln ln r n 因此取 , ln ln r N 只要,Nn ,)( n n rxr必有 即級數(shù)在 0, r 上一致收斂 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(Weierstrass) 判別法判別法 用一致收斂定義判別級數(shù)的一致收斂性時, 需求出 ),()(xSxSn及這往往比較困難. 下面介紹一個較方便的 判別法. 若函數(shù)項級數(shù))( 1 xun n

7、 在區(qū)間 I 上滿足: ; ),2, 1()() 1naxu nn ,)2 1 收斂正項級數(shù) n n a 則函數(shù)項級數(shù) )( 1 xun n 在區(qū)間 I 上一致收斂 . 簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證:由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理, ,0N當 n N 時, 對任意正整數(shù) p , 都有 2 21 pnnn aaa 由條件1), 對 x I , 有 )()()( 21 xuxuxu pnnn )()()( 21 xuxuxu pnnn 2 21 pnnn aaa 則由上式得令,p 2 )(xrn 故函數(shù)項級數(shù) )( 1 xun n 在區(qū)間 I 上一致收斂 . 證畢 機動 目錄 上頁 下

8、頁 返回 結束 o xRR a b 推論推論.若冪級數(shù) n n nx a 0 的收斂半徑 R 0 , 則此級 數(shù)在 (R, R ) 內任一閉區(qū)間 a , b 上一致收斂 . 證證: ,maxbar 設 則對 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxa n n n n ,0Rr 而由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1) 級數(shù) n n nr a 0 絕對收斂 , 由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立. 說明說明: 若冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點收斂, 則一致收斂 區(qū)間可包含此端點. 證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.證明級數(shù) 2 2 2 2 2 sin 2 2sin 1 sin

9、 n xnxx 在(, +) 上 一致收斂 . 證證: ),(x因對任意 ),2, 1 ,0( 1sin 22 2 n nn xn 而級數(shù) 0 2 1 n n 收斂, 由維爾斯特拉斯判別法知所給級數(shù) 在 (, +) 上 一致收斂 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級數(shù)的一致收 斂性, 而且能判別其絕對收斂性. 當不易觀察到不等式時， nn axu)(可利用導數(shù)求 )(maxxua n Ix n 例如例如, 級數(shù), 1 25 1 xn xn n ), 0 x , 1 2 11 1 max 2 3 2 5 25 ), 0 n n u xn xn a nn

10、 用求導法可得 已知 2 3 1 1 n n 收斂, 因此原級數(shù)在0, +) 上一致收斂 . , 1 )( 25 xn xn xun 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、一致收斂級數(shù)的基本性質二、一致收斂級數(shù)的基本性質 定理定理1. 若級數(shù) :)( 1 滿足xun n , )(,)()2 1 xSbaxun n 上一致收斂于在區(qū)間 .,)(上連續(xù)在則baxS 證證: 只需證明, , 0 bax . )()(lim 0 0 xSxS xx 由于)()( 0 xSxS )()()()( 00 xrxSxrxS nnnn )()()()( 00 xrxrxSxS nnnn ;,)() 1上連續(xù)在

11、區(qū)間各項baxun 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因為級數(shù))( 1 xun n 一致收斂于S (x) , N, 0故 ),(N使當 n N 時, 有 3 )(, 3 )( 0 xrxr nn 對這樣選定的 n , ,)( 0 連續(xù)在xxSn 從而必存在 0 , 有時當, 0 xx 3 )()( 0 xSxS nn 從而得 )()( 0 xSxS ,)( 0 連續(xù)在故xxS ).()(lim 0 0 xSxS xx 即 證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: (1) 定理1 表明, 對一致收斂的級數(shù), 極限運算與無限 求和運算可交換, 即有 )(lim)(lim 00 11

12、xuxu n xx n n n xx (2) 若函數(shù)項級數(shù)不一致收斂時, 定理結論不一定成立. 例如例如, 級數(shù) ) 1() 1() 1( 12 xxxxxxx n 在區(qū)間 0 , 1 上處處收斂, 而其和函數(shù) )(xS 10 x, 0 1x, 1 在 x = 1 處不連續(xù) . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理2. 若級數(shù) :)( 1 滿足xun n , )(,)()2 1 xSbaxun n 上一致收斂于在區(qū)間 則該級數(shù)在 a, b 上可逐項積分, xxuxxS n x x n x x d)(d)( 00 1 , 0 bxxa即對 且上式右端級數(shù)在 a, b 上也一致收斂 . 證

13、證: 因為 xxuk x x n k d)( 0 1 xxSxxu n x x k n k x x d)(d)( 00 1 ;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項baxun 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 所以只需證明對任意 ),(, 00 xxbaxx 一致有 xxSxxS x x n x x n d)(d)(lim 00 根據(jù)級數(shù)的一致收斂性, ),(, 0NN 使當 n N 時, 有 ab xSxS n )()( 于是, 當 n N 時, 對一切 ),(, 00 xxbaxx有 xxSxxS x x n x x d)(d)( 00 xxSxSn x x d)()( 0 xxSxSn b a

14、d)()( 因此定理結論正確. 證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 若級數(shù)不一致收斂時, 定理結論不一定成立. 例如例如, 級數(shù) 2222 ) 1(22 1 ) 1(22 xnxn n exnexn 它的部分和 ,2)( 22 2xn n exnxS 因此級數(shù)在 0 , 1 上 收斂于 S (x) = 0 , 所以.0d)( 1 0 xxS 但是xexnexn xnxn n d) 1(22 2222 ) 1(22 1 1 0 22 ) 1( 1 nn n ee 1 1 0 )(dxxS 為什么對級數(shù)定理結論不成立? 分析它是否滿足 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理2

15、條件. 級數(shù)的余項 22 2 2)( xn n exnxr , 1 0 時當 n x )2(1 2 )( 0 n e n xrn 可見級數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 , 此即定理2 結論 對級數(shù)不成立的原因. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理3. 若級數(shù) 滿足：)( 1 xun n ,)()3 1 上一致收斂在級數(shù)baxun n )()( 1 xuxS n n 且可逐項求導, 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上連續(xù)在 ,)( 1 上一致收斂在區(qū)間則baxun n ; )(,) 1xSba上收斂于在區(qū)間 證證: 先證可逐項求導. ),()( 1 xxun n 設根據(jù)定理2

16、, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 有對, ,bax xxuxx n x a n x a d)(d)( 1 )()( 1 auxu nn n )()( 11 auxu n n n n )()(aSxS 上式兩邊對 x 求導, 得 ).()(xxS 再證.,)( 1 上一致收斂在baxun n 根據(jù)定理 2 , ,d)( 1 上一致收斂在級數(shù)baxxun x a n 而xxun x a n d)( 1 )()( 11 auxu n n n n 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( 1 xun n xxun x a n d)( 1 )( 1 aun n 所以 .,上一致收斂在ba 級數(shù)一致

17、收斂并不保證可以逐項求導. 例如, 例3中的級數(shù) 2 2 2 2 2 sin 2 2sin 1 sin n xnxx 說明說明: 在任意區(qū)間上都一致收斂, 但求導后的級數(shù) xnxx 22 cos2coscos 其一般項不趨于 0, 所以對任意 x 都發(fā)散 . 證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 證明函數(shù) 3 1 sin )( n nx xf n 對任意 x 有連續(xù)導數(shù). 解解: 顯然所給級數(shù)對任意 x 都收斂 , 且每項都有連續(xù) 導數(shù), 而逐項求導后的級數(shù) 3 1 sin n nx n 2 1 cos n nx n , 1cos 22 nn nx , 1 2 1 收斂 n n

18、故級數(shù)在 (,+) 上一致收斂, 故由定理3可知 . cos )( 2 1 n nx xf n 再由定理1可知 .),()(上連續(xù)在 x f 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理4 . 若冪級數(shù) n n nx a 0 的收斂半徑 ,0R )(xS數(shù) n n nx axS 0 )(, 1 1 n n nx an),(RRx xxaxxS n x n n x dd)( 0 00 , 1 1 0 n n n x n a ),(RRx 則其和函 在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內可逐項求導與 逐項求積分, 運算前后收斂半徑相同,即 證證: 關于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項可積的結論由維爾斯 特拉斯判別法

19、的推論及定理 1, 2 立即可得 . 下面證明逐項可導的結論: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證:.),( 1 0 內收斂在先證級數(shù)RRxan n n n ),(RRx任取, 11 Rxxx使再取定, 1 1 x x q記 則 1n nx an n n n xa xx x n 1 1 1 1 1 n n n xa x qn 1 1 1 1 由比值審斂法知級數(shù) , 1 0 收斂 n n qn故, 0lim 1 n n qn , 1有界 因此 n qn故存在 M 0 , 使得 ),2, 1( 1 1 1 nMqn x n ,0 1 Rx 又 , 1 0 收斂級數(shù) n n n xa 由比較審斂法可知 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 . 1 1 收斂級數(shù) n n n xan ),( 1 1 RR