第八章無窮級數(shù)課題二十九級數(shù)的概念和斂散性

1、 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 【重、難點重、難點】 重點：級數(shù)的相關(guān)概念，由數(shù)列知識引出。 難點：正確判斷級數(shù)的斂散性，由實例講解方法。 【授課時數(shù)授課時數(shù)】 總時數(shù)：4學(xué)時. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、知道級數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)； 2、會用比較審斂法和比值審斂法判斷正項級數(shù) 的斂散性； 3、會判斷交錯級數(shù)和一般級數(shù)的斂散性。 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 R 正六邊形的面積正六邊形的面積 正十二邊形的面積正十二邊形的面積 1 a 21 aa 正正 形的面積形

2、的面積 n 23 n aaa 21 n aaaA 21 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 . 2 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 1 321 n nn uuuuu 一般項一般項 n i inn uuuus 1 21 函數(shù)項級數(shù) 常數(shù)項級數(shù) 級數(shù) 記作記作 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 1 2 1 4 1 2 1 1)1( n n n 1 ) 1(4321)2( 112 ) 1(1)3( nn xxx nxxxxcos3cos2co

3、scos)4( 上述數(shù)列中, (1)、(2)是數(shù)項級數(shù)，(3)、(4) 是函數(shù) 項級數(shù). 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 如如 果果 n s沒沒 有有 極極 限限 , , 則則 稱稱 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 1n n u發(fā)發(fā) 散散 . . 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 ) 12)(12( 1 nn un) 12 1 12 1 ( 2 1 nn ) 12() 12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1

4、3 1 ( 2 1 ) 3 1 1 ( 2 1 nn 例例1 判別級數(shù)判別級數(shù) 1 ) 12() 12( 1 n nn 的斂散性的斂散性. ) 12 1 1 ( 2 1 n ) 12 1 1 ( 2 1 limlim n s n n n 2 1 . 2 1 , 和為即該級數(shù)收斂 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 n n un 1 lg nnlg) 1lg( )lg) 1(lg()2lg3(lg) 1lg2(lgnnsn )1lg(n 例例2 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) 的斂散性的斂散性. ）1lg(limlim ns n

5、n n .即該級數(shù)發(fā)散 n n1 lg 2 3 lg 1 2 lg 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 時時如如果果1 q 12 n n aqaqaqas q aqa n 1 , 11q aq q a n 例例3 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) )0( 0 aaq n n 的斂散性的斂散性. ,1時時當(dāng)當(dāng) q0lim n n q q a sn n 1 lim ,1時時當(dāng)當(dāng) q n n qlim n n slim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 時時如如果果1 q ,1時時當(dāng)當(dāng) q ,1時時當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)?/p>

6、為 發(fā)散發(fā)散 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 綜上知綜上知,等比級數(shù)（幾何級數(shù)）等比級數(shù)（幾何級數(shù)） ;,1收斂時當(dāng)q , 0 n n aq .,1發(fā)散時當(dāng)q 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 注意：注意： (可以用可以用(2)來快速判斷級數(shù)的發(fā)散來快速判斷級數(shù)的發(fā)散.) 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)

7、的概念和斂散性 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散斂散 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. . 性不變性不變. 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 ，這種中各項均有如果級數(shù)0 1 n n n uu 級數(shù)稱為正項級數(shù)級數(shù)稱為正項級數(shù)

8、. . 均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11n n n n vu 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 使用比較審斂法常用的三個結(jié)論使用比較審斂法常用的三個結(jié)論: .1|1|,) 1 ( 0 時發(fā)散當(dāng)時收斂當(dāng)?shù)缺燃墧?shù) q；qaq n n . 1 )2( 0 發(fā)散調(diào)和級數(shù) n n 1 ;1),0( 1 )3( n p pp n p時收斂當(dāng)級數(shù) ).(10證明略時發(fā)散當(dāng) p 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解, 1 1 )1( 1 nnn , 1 1 1 n

9、n 發(fā)發(fā)散散而而級級數(shù)數(shù) . )1( 1 1 n nn 發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) 例例4 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 ) 1( 1 . 1 n nn 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解, 1 ) 1( 1 2 nnn ,12 1 1 2 n ，pp n 時收斂級數(shù)是而級數(shù) . ) 1( 1 1 n nn 收斂級數(shù) 例例4 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 ) 1( 1 . 2 n nn 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 1.1.級

10、數(shù)的概念級數(shù)的概念 2.2.級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和 3.3.級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散 4.4.級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì) 5.5.正項級數(shù)的概念正項級數(shù)的概念 6.6.正項級數(shù)的比較審斂法正項級數(shù)的比較審斂法 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 練練 習(xí)習(xí) 題題 10 p 1p 5 1 收斂于 發(fā)散 2 1 收斂于 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 設(shè)設(shè) 1 n n u與與 1 n n v都是正項級數(shù)都是正項級數(shù) , , 如果如果 則則(1) (1)

11、 當(dāng)當(dāng)時時, , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性 ; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時，若時，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時時, , 若若 1 n n v發(fā)散發(fā)散, , 則則 1 n n u發(fā)散發(fā)散. . ,liml v u n n n l0 0 l l 1n n v 1n n u 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 n n u 1 p n n u 1 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 n n n1 1 sin lim ,

12、 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散. n n n 1 sinlim 1 1 sin. 1 n n 例例5 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 n n n n 3 1 3 1 lim n nn 3 1 1 lim , 1 , 3 1 1 收斂收斂 n n 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂. 1 3 1 . 2 n n n 例例5 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 解解 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 第第 八八 章章 無無 窮窮

13、 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 比值審斂法的優(yōu)點比值審斂法的優(yōu)點: 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 兩點注意兩點注意: , 1 1 發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例 n n , 1 1 2 收收斂斂級級數(shù)數(shù) n n ) 1( 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 , 2 3 2 )1(2 nnn n n vu 例例 , 2 )1(2 11 收收斂斂級級數(shù)數(shù) n n n n n u , )1(2(2 )1(2 1 1 nn n n n a u u 但但, 6 1 lim 2 n n a , 2 3

14、lim 12 n n a.limlim 1 不存在不存在 n n n n n a u u 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 ! 1 )!1( 1 1 n n u u n n 1 1 n ),(0 n . ! 1 1 收斂級數(shù) n n 例例6 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 ! 1 . 1 n n 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 n n n n n n u u 10 ! 10 )!1( 1 1 10 1 n ),(n . 10 !

15、1 發(fā)散級數(shù) n n n 例例6 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 10 ! .2 n n n 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 )22()12( 2)12( limlim 1 nn nn u u n n n n , 1 (比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法) , 1 2) 12( 1 2 nnn 又 , 1 1 2 收斂而級數(shù) n n . ) 12(2 1 1 收斂級數(shù) n nn 例例6 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 2) 12( 1 . 3 n nn 解解 第第 八

16、八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 2 2 1 1 ) !( )!1( ) 1( limlim n n n n u u n n n n n n n n nn ) 1 1 ( 1 1 lim 0 . ) !( 1 2 收斂級數(shù) n n n n 例例6 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 2 ) !( .4 n n n n 解解 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ; , 1 , 1 n n n 級數(shù)例如 n n n n n u 1

17、 n 1 )(0 n 故該級數(shù)收斂故該級數(shù)收斂. 1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. . 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 定義定義: : 正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . )1()1( 11 1 n n n n n n uu 或即)0( n u其中其中 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 n un 1 1 11 1 n u n u nn 且 0 1 limlim n u n n n 又 故原級數(shù)收斂故原級

18、數(shù)收斂. 例例7 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 2 ) 1( . 1 n n n 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 2 )1(2 )1( ) 1 ( xx x x x )2(0 x , 1 單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) x x , 1 nn uu 1 limlim n n u n n n 又又. 0 故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. 例例7 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 2 1 ) 1( . 2 n n n n 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的

19、概念和斂散性 : : 正、負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正、負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). . 若若 1n n u發(fā)發(fā) 散散 , ,而而 1n n u收收 斂斂 , , 則則 稱稱 1n n u為為 條條 件件 收收 斂斂 . . 定理的作用：定理的作用：任意項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù) 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解, 1sin 22 nn n , 12, 1 1 2 它收斂級數(shù)是而 pp n n , sin 1 2 n n n 收斂收斂 故由定理知原級數(shù)絕對收斂，即原級數(shù)收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂，即原

20、級數(shù)收斂. 例例8 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 2 sin . 1 n n n 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 , 3 1 3 2sin nn n , 3 1 1 它收斂是等比級數(shù)而， n n , 3 2sin 1 n n n 收斂 故由定理知原級數(shù)絕對收斂，即原級數(shù)收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂，即原級數(shù)收斂. 例例8 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 3 2sin . 2 n n n 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 解解 調(diào)和是但收斂于是 11 1 1 1 1 1 | 1 )1( |, 1 )1( nn n n n nnn 級數(shù)，故原級數(shù)條件收斂級數(shù)，故原級數(shù)條件收斂. 例例8 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性: 1 1 1 ) 1( . 3 n n n 滿足是交錯級數(shù)， n n n 1 1 1 ) 1( )(0 1 1 , 2 1 1 1 1 n n u n u n u nnn 且 第第 八八 章章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 課題二十九課題二十九 級數(shù)的概念和斂散性級數(shù)的概念和斂散性 正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù) 審審 斂斂