第三章 遙感數(shù)字圖像幾何校正2015

1、第三章第三章 遙感數(shù)字圖像幾何校正遙感數(shù)字圖像幾何校正 一、數(shù)字遙感圖像幾何校正的含義與意義數(shù)字遙感圖像幾何校正的含義與意義 二、數(shù)字校正和光學(xué)校正的區(qū)別數(shù)字校正和光學(xué)校正的區(qū)別 三、幾何畸變的類型與影響因素幾何畸變的類型與影響因素 四、幾何畸變校正的類型、原理與過程幾何畸變校正的類型、原理與過程 五五、幾何校正方法幾何校正方法 3.1 數(shù)字遙感圖像幾何校正的含義與意義數(shù)字遙感圖像幾何校正的含義與意義 （1 1）數(shù)字圖像幾何校正的含義數(shù)字圖像幾何校正的含義 遙感圖像在幾何位置上發(fā)生的變化，產(chǎn)生諸如行遙感圖像在幾何位置上發(fā)生的變化，產(chǎn)生諸如行 列不均勻，像元大小與地面大小對(duì)應(yīng)不準(zhǔn)確，地物形列不均

2、勻，像元大小與地面大小對(duì)應(yīng)不準(zhǔn)確，地物形 狀不規(guī)則變化等。狀不規(guī)則變化等。 （2 2）幾何校正的意義幾何校正的意義 只有進(jìn)行校正后，才能對(duì)圖像信息進(jìn)行分析，制只有進(jìn)行校正后，才能對(duì)圖像信息進(jìn)行分析，制 作滿足測(cè)量和定位要求的各類遙感專題圖。作滿足測(cè)量和定位要求的各類遙感專題圖。 在同一地域，應(yīng)用不同傳感器、不同光譜范圍及在同一地域，應(yīng)用不同傳感器、不同光譜范圍及 不同成像時(shí)間的各種圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)自動(dòng)分類、不同成像時(shí)間的各種圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)自動(dòng)分類、 地物特征的變化監(jiān)測(cè)或其它應(yīng)用處理時(shí)，必須進(jìn)行地物特征的變化監(jiān)測(cè)或其它應(yīng)用處理時(shí)，必須進(jìn)行 圖像間的空間配準(zhǔn)，保證不同圖像間的幾何一致性；圖像

3、間的空間配準(zhǔn)，保證不同圖像間的幾何一致性； 利用遙感圖像進(jìn)行地形圖測(cè)圖或更新時(shí)，要求圖利用遙感圖像進(jìn)行地形圖測(cè)圖或更新時(shí)，要求圖 像具有較高的地理坐標(biāo)精度。像具有較高的地理坐標(biāo)精度。 （1）光學(xué)糾正通常不能對(duì)衛(wèi)星遙感圖像，特別是動(dòng)態(tài) 遙感圖像進(jìn)行校正。原因：原因：通常的光學(xué)糾正儀器是針對(duì)框 幅式中心投影的航空攝影圖像設(shè)計(jì)的，動(dòng)態(tài)傳感圖像的特 點(diǎn)并未在設(shè)計(jì)中加以考慮。 （2）數(shù)字圖像糾正是建立在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的，并 可以逐點(diǎn)逐點(diǎn)地對(duì)圖像進(jìn)行糾正，原則上對(duì)任何傳感器的圖像 都可以進(jìn)行糾正。 數(shù)字糾正數(shù)字糾正 光學(xué)糾正光學(xué)糾正 糾正工具不同：糾正工具不同： 計(jì)算機(jī)系統(tǒng) 專用光學(xué)糾正機(jī)械儀器 圖

4、像數(shù)據(jù)形式不同：圖像數(shù)據(jù)形式不同： 灰度數(shù)字陣列 硬拷貝像片 原理不同：原理不同： 坐標(biāo)解析變換、灰度值重采樣 恢復(fù)成像時(shí)的光束結(jié)構(gòu)，感光 3.2 數(shù)字校正和光學(xué)校正的區(qū)別數(shù)字校正和光學(xué)校正的區(qū)別 3.3.1幾何畸變的類型幾何畸變的類型 系統(tǒng)性畸變系統(tǒng)性畸變 隨機(jī)性畸變隨機(jī)性畸變 是指大小不能預(yù)測(cè)，其出現(xiàn)帶有隨機(jī)性質(zhì)是指大小不能預(yù)測(cè)，其出現(xiàn)帶有隨機(jī)性質(zhì) 的畸變，例如地形起伏造成的隨地而異的的畸變，例如地形起伏造成的隨地而異的 幾何偏差。幾何偏差。例如地形起伏造成的隨地形而例如地形起伏造成的隨地形而 異的幾何偏差。異的幾何偏差。 是指遙感系統(tǒng)造成的畸變，這種畸變一是指遙感系統(tǒng)造成的畸變，這種畸變

5、一 般有一定的規(guī)律性，并且其大小事先能般有一定的規(guī)律性，并且其大小事先能 夠預(yù)測(cè)。夠預(yù)測(cè)。例如掃描鏡的結(jié)構(gòu)方式和掃描例如掃描鏡的結(jié)構(gòu)方式和掃描 速度等造成的畸變。速度等造成的畸變。 按照?qǐng)D按照?qǐng)D 像畸變像畸變 的性質(zhì)的性質(zhì) 劃分劃分 3.3 幾何畸變的類型與影響因素幾何畸變的類型與影響因素 （1）傳感器成像投影方式帶來的變形）傳感器成像投影方式帶來的變形 傳感器有傳感器有中心投影，全景投影，斜距投影以及平中心投影，全景投影，斜距投影以及平 行投影行投影等等幾種成像方式。地形平坦地區(qū)的中心投影和幾種成像方式。地形平坦地區(qū)的中心投影和 垂直投影沒有幾何畸變，但對(duì)全景投影和斜距投影則垂直投影沒有幾何

6、畸變，但對(duì)全景投影和斜距投影則 產(chǎn)生圖像變形。產(chǎn)生圖像變形。 常把常把中心投影中心投影和和平行投影（正射投影）平行投影（正射投影）的圖像視的圖像視 為基準(zhǔn)圖像，而全景投影和斜距投影變形規(guī)律可以通為基準(zhǔn)圖像，而全景投影和斜距投影變形規(guī)律可以通 過與中心投影或正射投影的影像相比較而獲得。因此，過與中心投影或正射投影的影像相比較而獲得。因此， 航空像片的解譯理論是各種遙感圖像的解譯基礎(chǔ)航空像片的解譯理論是各種遙感圖像的解譯基礎(chǔ)。 3.3.2幾何畸變的影響因素幾何畸變的影響因素 u全景投影（線中心投影）變形全景投影（線中心投影）變形 由于全景相機(jī)的像距保持不變，由于全景相機(jī)的像距保持不變， 而物距隨掃

7、描角的增大而增大，而物距隨掃描角的增大而增大， 因此出現(xiàn)因此出現(xiàn)兩側(cè)影像變形較大兩側(cè)影像變形較大的的 現(xiàn)象，使整個(gè)影像產(chǎn)生全景畸現(xiàn)象，使整個(gè)影像產(chǎn)生全景畸 變。變。 比例尺？比例尺？ u斜距投影變形斜距投影變形 斜距變形斜距變形 側(cè)視雷達(dá)側(cè)視雷達(dá)采用斜距投影，它與攝像機(jī)中心投影方式完全不同。采用斜距投影，它與攝像機(jī)中心投影方式完全不同。 1 () cos pp dy yyftg 斜距投影的變形誤差為：斜距投影的變形誤差為： 無變形無變形 全景變形全景變形 斜距變形斜距變形 航高 航速 俯仰 翻滾 航偏 （2）傳感器）傳感器外方位元素外方位元素變化的影響變化的影響 傳感器成像時(shí)的位置和姿態(tài)角傳感

8、器成像時(shí)的位置和姿態(tài)角 （3 3）地形起伏的影響）地形起伏的影響 R 地形起伏對(duì)中心投影造地形起伏對(duì)中心投影造 成的像點(diǎn)位移是成的像點(diǎn)位移是遠(yuǎn)離原遠(yuǎn)離原 點(diǎn)向外變動(dòng)點(diǎn)向外變動(dòng)，在雷達(dá)影，在雷達(dá)影 像上是像上是向內(nèi)變動(dòng)向內(nèi)變動(dòng)的。的。 地形起伏對(duì)正地形起伏對(duì)正 射投影無影響射投影無影響 對(duì)中心投影引起對(duì)中心投影引起 投影差，航片各投影差，航片各 部分比例尺不同部分比例尺不同 A B C B A C abc a b c A CC A （4 4）投影面傾斜的影響）投影面傾斜的影響 正射投影：正射投影：總是總是 水平的，不存在水平的，不存在 傾斜問題傾斜問題 中心投影：中心投影：若投影若投影 面傾斜，

9、航片各部面傾斜，航片各部 分的比例尺不同分的比例尺不同 傾斜水平 ABC a b c H f 比例尺比例尺 f/H （5 5）地球曲率的影響地球曲率的影響 R 像點(diǎn)位移像點(diǎn)位移：理想平面 為切平面，但實(shí)際地 球表面為曲面，使地 面點(diǎn)相對(duì)于投影平面 點(diǎn)存在高差 像元比例尺變化像元比例尺變化：理 想狀態(tài)下像元間隔為 等分間隔，地球曲率 的影響使其對(duì)應(yīng)間隔 變化 （6 6）大氣折射的影響大氣折射的影響 大氣對(duì)輻射的傳播產(chǎn)生折射。由于大氣的密度分布從下大氣對(duì)輻射的傳播產(chǎn)生折射。由于大氣的密度分布從下 到上越來越小，折射率不斷變化，折射后的輻射傳播不再是到上越來越小，折射率不斷變化，折射后的輻射傳播不再

10、是 直線而是一條曲線，從而導(dǎo)致傳感器接收的像點(diǎn)發(fā)射位移。直線而是一條曲線，從而導(dǎo)致傳感器接收的像點(diǎn)發(fā)射位移。 R1 R2 R3 R4 斜向斜向 的電的電 磁波磁波 經(jīng)歷經(jīng)歷 的是的是 一條一條 彎曲彎曲 的傳的傳 輸路輸路 線線 aa0 a a0 （7 7）地球自轉(zhuǎn)的影響地球自轉(zhuǎn)的影響 地球始終在自轉(zhuǎn)，而且在不同的緯度，地球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度地球始終在自轉(zhuǎn)，而且在不同的緯度，地球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度 不同。地球資源衛(wèi)星完成一景圖像的掃描，在此期間，地球已不同。地球資源衛(wèi)星完成一景圖像的掃描，在此期間，地球已 經(jīng)轉(zhuǎn)過一定的角度，所以，圖像記錄的并非一個(gè)正方形的地面經(jīng)轉(zhuǎn)過一定的角度，所以，圖像記錄的并非一個(gè)正方

11、形的地面 區(qū)域，而是一個(gè)存在扭曲的四邊形區(qū)域。區(qū)域，而是一個(gè)存在扭曲的四邊形區(qū)域。 地球自轉(zhuǎn)的影響地球自轉(zhuǎn)的影響 左圖顯示了左圖顯示了 地球靜止的圖像地球靜止的圖像 (oncba)與地球與地球 自轉(zhuǎn)的圖像自轉(zhuǎn)的圖像 (onc b a )在地面在地面 上投影的情況。上投影的情況。 由圖可見，由于由圖可見，由于 地球自轉(zhuǎn)的影響，地球自轉(zhuǎn)的影響， 產(chǎn)生了產(chǎn)生了圖像底邊圖像底邊 中點(diǎn)的坐標(biāo)位移中點(diǎn)的坐標(biāo)位移 x和和 y，以及，以及平平 均航偏角均航偏角 。 3.4.1幾何畸變校正的類型幾何畸變校正的類型 幾何粗校正幾何粗校正：針對(duì)引起畸變?cè)蚨M(jìn)行的校正，：針對(duì)引起畸變?cè)蚨M(jìn)行的校正， 是對(duì)遙感影像

12、的前期校正。是對(duì)遙感影像的前期校正。 幾何精校正幾何精校正：用一種數(shù)學(xué)模型來近似描述遙感圖：用一種數(shù)學(xué)模型來近似描述遙感圖 像的幾何畸變，利用畸變的遙感圖像與標(biāo)準(zhǔn)圖之像的幾何畸變，利用畸變的遙感圖像與標(biāo)準(zhǔn)圖之 間的控制點(diǎn)對(duì)求得幾何畸變參數(shù)，并利用此進(jìn)行間的控制點(diǎn)對(duì)求得幾何畸變參數(shù)，并利用此進(jìn)行 幾何畸變的校正幾何畸變的校正 v將傳感器的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)、遙感平臺(tái)位置以及衛(wèi)將傳感器的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)、遙感平臺(tái)位置以及衛(wèi) 星姿態(tài)數(shù)據(jù)帶入理論校正公式進(jìn)行改正即可星姿態(tài)數(shù)據(jù)帶入理論校正公式進(jìn)行改正即可 v在數(shù)據(jù)處理的初始階段進(jìn)行，一般消除系統(tǒng)在數(shù)據(jù)處理的初始階段進(jìn)行，一般消除系統(tǒng) 性的誤差性的誤差 v幾何多項(xiàng)式法：利

13、用幾何多項(xiàng)式作為校正模型，幾何多項(xiàng)式法：利用幾何多項(xiàng)式作為校正模型， 利用控制點(diǎn)對(duì)求解變換系數(shù)，并按照該系數(shù)進(jìn)利用控制點(diǎn)對(duì)求解變換系數(shù)，并按照該系數(shù)進(jìn) 行校正行校正 v嚴(yán)格模型法：利用嚴(yán)格成像模型作為校正模型，嚴(yán)格模型法：利用嚴(yán)格成像模型作為校正模型， 利用控制點(diǎn)解算系數(shù)并進(jìn)行校正利用控制點(diǎn)解算系數(shù)并進(jìn)行校正 3.4 幾何校正的類型、原理與過程幾何校正的類型、原理與過程 3.4.2幾何畸變校正的基本原理與過程幾何畸變校正的基本原理與過程 目的目的：改正原始圖像的幾何變形 符合某種地圖 投影或圖形表達(dá)要求的新圖像。 基本環(huán)節(jié)基本環(huán)節(jié)：像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；像素亮度值重采樣。 準(zhǔn)備工作準(zhǔn)備工作 逐個(gè)像素的

14、幾逐個(gè)像素的幾 何位置變換何位置變換 輸入原始輸入原始 數(shù)字圖像數(shù)字圖像 建立糾正建立糾正 變換函數(shù)變換函數(shù) 確定輸出確定輸出 圖像范圍圖像范圍 像素亮度像素亮度 值重抽樣值重抽樣 輸出糾正輸出糾正 后的圖像后的圖像 遙感數(shù)字影像幾何校正的一般過程遙感數(shù)字影像幾何校正的一般過程 輸輸 入入 原原 始始 數(shù)數(shù) 字字 影影 像像 像像 元元 灰灰 度度 重重 采采 樣樣 輸輸 出出 糾糾 正正 數(shù)數(shù) 字字 影影 像像 確確 定定 工工 作作 范范 圍圍 選選 擇擇 地地 面面 控控 制制 點(diǎn)點(diǎn) 選選 擇擇 地地 圖圖 投投 影影 匹匹 配配 地地 面面 控控 制制 點(diǎn)點(diǎn) 與與 像像 元元 位位 置

15、置 選選 擇擇 校校 正正 函函 數(shù)數(shù) 和和 相相 關(guān)關(guān) 參參 數(shù)數(shù) （1）準(zhǔn)備工作）準(zhǔn)備工作 收集和分析影像數(shù)據(jù)、地圖資料、大地測(cè)量成果、收集和分析影像數(shù)據(jù)、地圖資料、大地測(cè)量成果、 航天器軌道參數(shù)和傳感器姿態(tài)參數(shù)，所需控制點(diǎn)的選擇航天器軌道參數(shù)和傳感器姿態(tài)參數(shù)，所需控制點(diǎn)的選擇 和量測(cè)等。和量測(cè)等。 （2）原始數(shù)字影像輸入）原始數(shù)字影像輸入 按規(guī)定的格式將遙感數(shù)字影像用專門的程序讀入計(jì)按規(guī)定的格式將遙感數(shù)字影像用專門的程序讀入計(jì) 算機(jī)。算機(jī)。 （3）確定工作范圍并裁剪）確定工作范圍并裁剪 一般裁剪范圍要大于工作范圍。一般裁剪范圍要大于工作范圍。 （4）選擇地面控制點(diǎn)）選擇地面控制點(diǎn)（直接影

16、響圖像最后的校正精度）（直接影響圖像最后的校正精度） 根據(jù)圖像特征和地區(qū)情況，結(jié)合野外調(diào)查和地形圖根據(jù)圖像特征和地區(qū)情況，結(jié)合野外調(diào)查和地形圖 選擇地面控制點(diǎn)。選擇地面控制點(diǎn)。 （5）選擇地圖投影）選擇地圖投影，確定合適的相關(guān)投影參數(shù)。，確定合適的相關(guān)投影參數(shù)。 （6）匹配地面控制點(diǎn)和像素位置）匹配地面控制點(diǎn)和像素位置 地面控制點(diǎn)與相應(yīng)像素為同名地物點(diǎn)，應(yīng)清晰無誤地進(jìn)地面控制點(diǎn)與相應(yīng)像素為同名地物點(diǎn)，應(yīng)清晰無誤地進(jìn) 行匹配。行匹配。 （7）評(píng)估校正精度）評(píng)估校正精度 中低分辨率圖像的精度以中低分辨率圖像的精度以像素像素為單位，平均精度在為單位，平均精度在1個(gè)像個(gè)像 元內(nèi)元內(nèi)； 高分辨率圖像的精

17、度以米為單位。校正后，一般應(yīng)求出高分辨率圖像的精度以米為單位。校正后，一般應(yīng)求出 平均誤差平均誤差（均方根誤差（均方根誤差RMSE，即平均誤差平方和的平方根），即平均誤差平方和的平方根） 和地面控制點(diǎn)的最大誤差和地面控制點(diǎn)的最大誤差。 （8）坐標(biāo)變換）坐標(biāo)變換 校正變換函數(shù)用來建立影像坐標(biāo)和地面（地圖）坐標(biāo)間校正變換函數(shù)用來建立影像坐標(biāo)和地面（地圖）坐標(biāo)間 的數(shù)學(xué)關(guān)系，即輸入影像和輸出影像間的坐標(biāo)變換關(guān)系。的數(shù)學(xué)關(guān)系，即輸入影像和輸出影像間的坐標(biāo)變換關(guān)系。 糾正方法一般有糾正方法一般有多項(xiàng)式法、共線方程法、隨機(jī)場(chǎng)內(nèi)的插多項(xiàng)式法、共線方程法、隨機(jī)場(chǎng)內(nèi)的插 值法值法等。等。 （9 9）像元的灰度重

18、采樣）像元的灰度重采樣 因數(shù)字影像是相片的離散化采樣，當(dāng)想知道非采樣點(diǎn)的因數(shù)字影像是相片的離散化采樣，當(dāng)想知道非采樣點(diǎn)的 灰度值時(shí)，就需要由采樣點(diǎn)（已知像素）內(nèi)插，稱為灰度值時(shí)，就需要由采樣點(diǎn)（已知像素）內(nèi)插，稱為重采樣重采樣。 其附近像素（采樣點(diǎn)）的灰度值對(duì)被采樣點(diǎn)的影響的大其附近像素（采樣點(diǎn)）的灰度值對(duì)被采樣點(diǎn)的影響的大 小可以用重采樣函數(shù)來表達(dá)。小可以用重采樣函數(shù)來表達(dá)。 常用的方法有四種：常用的方法有四種：（下面具體介紹）（下面具體介紹） u鄰近像元法：最簡(jiǎn)單，精度低鄰近像元法：最簡(jiǎn)單，精度低 u雙線性插值法：最常用雙線性插值法：最常用 u三次卷積插值法：精度高但速度慢三次卷積插值法：

19、精度高但速度慢 u雙像素重采樣法：對(duì)一個(gè)像素在雙像素重采樣法：對(duì)一個(gè)像素在x,yx,y方向均擴(kuò)大方向均擴(kuò)大1 1倍，然后再倍，然后再 對(duì)放大了對(duì)放大了1 1倍的影像重采樣。精度較好。倍的影像重采樣。精度較好。 （1010）輸出糾正數(shù)字影像。）輸出糾正數(shù)字影像。 原始影像原始影像 糾正后影像糾正后影像 注：地面控制點(diǎn)（注：地面控制點(diǎn)（GCPGCP）是幾何校正中用來建立糾正方程）是幾何校正中用來建立糾正方程 的基礎(chǔ)，是最關(guān)鍵的數(shù)據(jù)。的基礎(chǔ)，是最關(guān)鍵的數(shù)據(jù)。 控制點(diǎn)選擇問題控制點(diǎn)選擇問題 1）控制點(diǎn)數(shù)目）控制點(diǎn)數(shù)目 最少控制點(diǎn)數(shù)目N=(n+1)(n+2)/2 ,其中n為二元多項(xiàng)式的次數(shù); 但控制點(diǎn)個(gè)

20、數(shù)都大于最低數(shù)目（有時(shí)為6倍），一般地，都多選取 2030個(gè)控制點(diǎn)。 2 2）選擇原則）選擇原則 控制點(diǎn)分布均勻，邊界、四角要有，以避免圖像校正不能滿 幅，地形起伏大的區(qū)域要多選； 所選點(diǎn)在圖像上要易辨認(rèn)且目標(biāo)較小，如道路的交叉點(diǎn)、 河流的分叉處或彎曲處、飛機(jī)場(chǎng)等，而且這些特征在研究時(shí)間 范圍內(nèi)沒有變化 只在自己關(guān)注的區(qū)域選取控制點(diǎn) l可以通過可以通過地形圖或現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)地形圖或現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)獲取。地形圖與圖像獲獲取。地形圖與圖像獲 取日期應(yīng)盡量接近。取日期應(yīng)盡量接近。 l影像分辨率與相應(yīng)比例尺的地形圖配準(zhǔn)，如：影像分辨率與相應(yīng)比例尺的地形圖配準(zhǔn)，如： uLandsat TMLandsat TM（303

21、0米，彩色），米，彩色）， 1:101:10萬萬 地形圖地形圖 uSPOT5(10SPOT5(10米，彩色米，彩色) )， 1:51:5萬萬 地形圖地形圖 uQuickbirdQuickbird（彩色，（彩色，2.442.44米）米） 1:51:5千千 地形圖地形圖 l還可以使還可以使低精度圖像與高精度圖像配準(zhǔn)低精度圖像與高精度圖像配準(zhǔn)( (在高精度圖在高精度圖 像上選點(diǎn)像上選點(diǎn)) ) 3）地面控制點(diǎn)坐標(biāo)的確定）地面控制點(diǎn)坐標(biāo)的確定 u從硬拷貝平面圖（如比例尺從硬拷貝平面圖（如比例尺1:51:5萬的地形圖）中萬的地形圖）中 提取提取GCP;GCP; u直接從屏幕上提取數(shù)字地形圖中的直接從屏幕上

22、提取數(shù)字地形圖中的GCPGCP坐標(biāo)；坐標(biāo)； u從幾何校正后的數(shù)字正射影像中提取從幾何校正后的數(shù)字正射影像中提取GCP;GCP; uGPSGPS野外測(cè)量獲取野外測(cè)量獲取GCPGCP坐標(biāo)。坐標(biāo)。 獲取影像獲取影像- -地圖校正的精確地面控制地圖校正的精確地面控制 點(diǎn)地圖坐標(biāo)信息的方法點(diǎn)地圖坐標(biāo)信息的方法 GPS測(cè)控制點(diǎn)：測(cè)控制點(diǎn)： uTM數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)（30米），米），GPS精度應(yīng)在精度應(yīng)在1020米之間；米之間； uSPOT數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)（510米），米）， GPS精度應(yīng)在亞米級(jí)；精度應(yīng)在亞米級(jí)； u更高的校正精度要求，宜用差分更高的校正精度要求，宜用差分GPS來獲取坐標(biāo)。來獲取坐標(biāo)。 u但使用但使用G

23、PS測(cè)量測(cè)量要注意投影問題要注意投影問題。GPS使用的是使用的是WGS84 經(jīng)緯度投影，在使用前可能要進(jìn)行投影轉(zhuǎn)換。經(jīng)緯度投影，在使用前可能要進(jìn)行投影轉(zhuǎn)換。 u地面控制點(diǎn)的地理坐標(biāo)必須與投影要求一致地面控制點(diǎn)的地理坐標(biāo)必須與投影要求一致，否則會(huì)帶，否則會(huì)帶 來較大誤差。來較大誤差。 32 u控制點(diǎn)質(zhì)量評(píng)價(jià)控制點(diǎn)質(zhì)量評(píng)價(jià)-RMS誤差誤差 RMS誤差（均方根）是誤差（均方根）是GCP的輸入點(diǎn)位和地理坐標(biāo)反算的的輸入點(diǎn)位和地理坐標(biāo)反算的 位置之間的距離，位置之間的距離，所期望輸出的坐標(biāo)（以像素為單位）與實(shí)際所期望輸出的坐標(biāo)（以像素為單位）與實(shí)際 輸出的坐標(biāo)之間的偏差。輸出的坐標(biāo)之間的偏差。 RMS誤

24、差用計(jì)算距離的方程求得：誤差用計(jì)算距離的方程求得： xi和和yi是輸入同名控制點(diǎn)的圖像坐標(biāo)；是輸入同名控制點(diǎn)的圖像坐標(biāo)； xr和和yr是同名控制點(diǎn)逆變換后的圖像坐標(biāo)。是同名控制點(diǎn)逆變換后的圖像坐標(biāo)。 RMS誤差以坐標(biāo)系統(tǒng)的距離來表示。用像元數(shù)。例如，誤差以坐標(biāo)系統(tǒng)的距離來表示。用像元數(shù)。例如， RMS誤差是誤差是2意味著參考像元與逆轉(zhuǎn)換像元之間的距離是意味著參考像元與逆轉(zhuǎn)換像元之間的距離是2個(gè)像個(gè)像 元。元。 33 RMS誤差的容忍取決于數(shù)據(jù)質(zhì)量以及應(yīng)用目的誤差的容忍取決于數(shù)據(jù)質(zhì)量以及應(yīng)用目的 Landsat TM 一般控制在一般控制在1個(gè)像元，個(gè)像元，30m以內(nèi)。以內(nèi)。 AVHRR一般控制在

25、一般控制在1.5個(gè)像元，個(gè)像元，1.5Km以內(nèi)。以內(nèi)。 計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)和計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)和RMS誤差后，可能的選擇：誤差后，可能的選擇： 1) 剔除具有最高剔除具有最高RMS誤差的點(diǎn)，用剩下的誤差的點(diǎn)，用剩下的GCP計(jì)算另一套轉(zhuǎn)換計(jì)算另一套轉(zhuǎn)換 參數(shù)，可能會(huì)得到更為接近的擬合。但是，如果在圖像的某一參數(shù)，可能會(huì)得到更為接近的擬合。但是，如果在圖像的某一 區(qū)域只有一個(gè)區(qū)域只有一個(gè)GCP，那么剔除它可能導(dǎo)致更大的誤差；，那么剔除它可能導(dǎo)致更大的誤差； 2) 只選擇最有把握的點(diǎn)；只選擇最有把握的點(diǎn)； 3) 提高轉(zhuǎn)換階，進(jìn)行更復(fù)雜的幾何轉(zhuǎn)換，這樣的轉(zhuǎn)換矩陣可能提高轉(zhuǎn)換階，進(jìn)行更復(fù)雜的幾何轉(zhuǎn)換，這樣的轉(zhuǎn)換矩陣

26、可能 使使GCP擬合誤差減少；擬合誤差減少； 4) 增大增大RMS誤差的允許值。誤差的允許值。 不要故意調(diào)整同名點(diǎn)位置，來降低不要故意調(diào)整同名點(diǎn)位置，來降低RMS 控制點(diǎn)質(zhì)量控制點(diǎn)質(zhì)量 RMS大大 RMS小小 由控制點(diǎn)地理坐標(biāo)，根據(jù)校正多項(xiàng)式反算出來由控制點(diǎn)地理坐標(biāo)，根據(jù)校正多項(xiàng)式反算出來 的圖像點(diǎn)位的圖像點(diǎn)位 校正多項(xiàng)式擬 合曲線 校正前：每個(gè)像元對(duì)應(yīng)的實(shí)際大小不一致；校正前：每個(gè)像元對(duì)應(yīng)的實(shí)際大小不一致； 校正后：一致。校正后：一致。 u基本思路基本思路 3.5 幾何校正方法幾何校正方法 u具體步驟具體步驟 1 1）變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系）變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系 原圖像原圖像:(x,y):

27、(x,y) 變換后圖像變換后圖像:(:(u,v)u,v) (x,y)=f(u,v) (x,y)=f(u,v)（間）（間） (u,v)=g(x,y)(u,v)=g(x,y)（直）（直） 2)2)計(jì)算每一點(diǎn)的亮度值計(jì)算每一點(diǎn)的亮度值 u計(jì)算方法計(jì)算方法 1）校正后數(shù)字圖像邊界范圍確定）校正后數(shù)字圖像邊界范圍確定 邊界確定方法與步驟邊界確定方法與步驟： A A：把原始圖像的：把原始圖像的4 4個(gè)角點(diǎn)個(gè)角點(diǎn)a,b,c,da,b,c,d按校正變換函數(shù)投影按校正變換函數(shù)投影 到地圖坐標(biāo)系統(tǒng)中，得到到地圖坐標(biāo)系統(tǒng)中，得到8 8個(gè)坐標(biāo)值：個(gè)坐標(biāo)值： ),( aa yx),( bb yx),( cc yx),(

28、 dd yx ),( aa vu),( bb vu),( cc vu),( dd vu 變換前變換前4 4個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)值：個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)值： 變換后變換后4 4個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)值：個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)值： B B：對(duì)變換后得到：對(duì)變換后得到8 8個(gè)坐標(biāo)值求極值：個(gè)坐標(biāo)值求極值： 即最小值（即最小值（U1U1，V1V1）和最大值（）和最大值（U2U2，V2V2），并令），并令U1U1，V1V1，U2U2， V2V2為校正后圖像范圍四條邊界的地圖坐標(biāo)值。為校正后圖像范圍四條邊界的地圖坐標(biāo)值。 ),min(1 dcba uuuuU ),min(1 dcba vvvvV ),max(2 dcba uuuuU),ma

29、x(2 dcba vvvvV C C：輸出圖像行列數(shù)的確定：輸出圖像行列數(shù)的確定 VU 和 為輸出圖像的分辯率，由圖像精度確定。為輸出圖像的分辯率，由圖像精度確定。 M M：輸出圖像行數(shù)；：輸出圖像行數(shù)；N N輸出圖像列數(shù)。輸出圖像列數(shù)。 1/ )( 12 VVVM1/ )( 12 UUUV 2）幾何校正關(guān)系建立）幾何校正關(guān)系建立建立兩圖像像元點(diǎn)之間的關(guān)系建立兩圖像像元點(diǎn)之間的關(guān)系 直接法直接法：從原始圖像陣列出發(fā)，按行列的順序依次對(duì)每個(gè)：從原始圖像陣列出發(fā)，按行列的順序依次對(duì)每個(gè) 原始像素點(diǎn)位求出其在輸出圖像坐標(biāo)系中的正確位置。原始像素點(diǎn)位求出其在輸出圖像坐標(biāo)系中的正確位置。 ),(yxgu

30、 x ),(yxgv y 間接法間接法：從輸出圖像陣列出發(fā)，按行列的順序依次對(duì)每：從輸出圖像陣列出發(fā)，按行列的順序依次對(duì)每 個(gè)輸出圖像像素點(diǎn)位求出其在原始圖像坐標(biāo)中的位個(gè)輸出圖像像素點(diǎn)位求出其在原始圖像坐標(biāo)中的位 置。（常用方法）置。（常用方法） ),(vufy y ),(vufx x 坐標(biāo)糾正方法坐標(biāo)糾正方法 亮度值確定方法亮度值確定方法 間接法 亮度重抽樣亮度重抽樣（重采樣） 直接法 亮度值匹配亮度值匹配（重配置） 幾何校正的算法（計(jì)算模型）幾何校正的算法（計(jì)算模型） 共線方程校正法共線方程校正法 多項(xiàng)式校正法多項(xiàng)式校正法 共共 線線 方方 程程 原原 理理 鏡頭中心、像點(diǎn)、地面點(diǎn)位于同一

31、直線上，稱為鏡頭中心、像點(diǎn)、地面點(diǎn)位于同一直線上，稱為 三點(diǎn)共線。三點(diǎn)共線。 共線方程校正法共線方程校正法 l 共線方程糾正法共線方程糾正法是建立在對(duì)傳感器成像時(shí)的是建立在對(duì)傳感器成像時(shí)的位置位置 和姿態(tài)和姿態(tài)進(jìn)行模擬和解算的基礎(chǔ)上，即構(gòu)像瞬間的進(jìn)行模擬和解算的基礎(chǔ)上，即構(gòu)像瞬間的 像點(diǎn)與相應(yīng)的地面點(diǎn)應(yīng)位于通過傳感器投影中心像點(diǎn)與相應(yīng)的地面點(diǎn)應(yīng)位于通過傳感器投影中心 的一條直線上。的一條直線上。 l 共線方程的參數(shù)可以預(yù)測(cè)給定，也可以按共線方程的參數(shù)可以預(yù)測(cè)給定，也可以按最小二最小二 乘法原理乘法原理求解，得到各像點(diǎn)的改正數(shù)，以達(dá)到校求解，得到各像點(diǎn)的改正數(shù)，以達(dá)到校 正目的。正目的。 l 共

32、線方程法與多項(xiàng)式法相比，共線方程法與多項(xiàng)式法相比，理論上嚴(yán)密理論上嚴(yán)密，因考，因考 慮了地物點(diǎn)高程的影響，因此，在慮了地物點(diǎn)高程的影響，因此，在地形起伏較大地形起伏較大 的情況的情況下較為優(yōu)越。下較為優(yōu)越。 l 但此法但此法需要高程信息需要高程信息，且在一幅圖像中，受傳感，且在一幅圖像中，受傳感 器位置和姿態(tài)的影響，其外方位元素的變化規(guī)律器位置和姿態(tài)的影響，其外方位元素的變化規(guī)律 只能近似表達(dá)，因此有一定的局限性，使其在理只能近似表達(dá)，因此有一定的局限性，使其在理 論上的嚴(yán)密性難以嚴(yán)格保證，所以相對(duì)于多項(xiàng)式論上的嚴(yán)密性難以嚴(yán)格保證，所以相對(duì)于多項(xiàng)式 法，其法，其精度提高并不明顯，而且計(jì)算量較大

33、精度提高并不明顯，而且計(jì)算量較大。 多項(xiàng)式校正法多項(xiàng)式校正法 l 多項(xiàng)式校正法原理直觀、計(jì)算簡(jiǎn)單，適用于多項(xiàng)式校正法原理直觀、計(jì)算簡(jiǎn)單，適用于 地勢(shì)平坦地區(qū)地勢(shì)平坦地區(qū)。此方法適用于多種圖像：。此方法適用于多種圖像：圖 像-地圖，圖像-圖像。 l 原理：原理：選擇一個(gè)選擇一個(gè)多項(xiàng)式多項(xiàng)式近似描述校正前后相近似描述校正前后相 應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，利用控制點(diǎn)的圖像坐標(biāo)和應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，利用控制點(diǎn)的圖像坐標(biāo)和 參考坐標(biāo)系中的理論坐標(biāo)按參考坐標(biāo)系中的理論坐標(biāo)按最小二乘法原理最小二乘法原理 求解出多項(xiàng)式的系數(shù)，然后以此多項(xiàng)式對(duì)圖求解出多項(xiàng)式的系數(shù)，然后以此多項(xiàng)式對(duì)圖 像進(jìn)行幾何校正。像進(jìn)行幾何校正。 第一步

34、：位置計(jì)算第一步：位置計(jì)算 兩個(gè)圖像之間的關(guān)系，可用數(shù)學(xué)關(guān)系描述兩個(gè)圖像之間的關(guān)系，可用數(shù)學(xué)關(guān)系描述: x=fx=fx x(u,(u, v)v) y=fy=fy y(u,v)(u,v) 首先尋找兩個(gè)圖像已知的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，稱作首先尋找兩個(gè)圖像已知的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，稱作控制點(diǎn)控制點(diǎn)GCPGCP，這些控制點(diǎn)在兩個(gè)圖像上，這些控制點(diǎn)在兩個(gè)圖像上 的坐標(biāo)分別已知，使用的坐標(biāo)分別已知，使用最小二乘法最小二乘法和已知控制點(diǎn)坐標(biāo)求出未知的系數(shù)和已知控制點(diǎn)坐標(biāo)求出未知的系數(shù)aij和和bij ， 于是找到了兩種圖像間的數(shù)學(xué)關(guān)系。然后，依次代入校正后圖像的每個(gè)像元點(diǎn)于是找到了兩種圖像間的數(shù)學(xué)關(guān)系。然后，依次代入校正后圖像的每個(gè)

35、像元點(diǎn) 的坐標(biāo)，求出相應(yīng)的的坐標(biāo)，求出相應(yīng)的X X和和Y Y值，完成位置計(jì)算。值，完成位置計(jì)算。 上述數(shù)學(xué)關(guān)系常表示為二元多項(xiàng)式（一次、二次、三次或更高上述數(shù)學(xué)關(guān)系常表示為二元多項(xiàng)式（一次、二次、三次或更高 次）表達(dá)，其中二元二次多項(xiàng)式可以表示為：次）表達(dá)，其中二元二次多項(xiàng)式可以表示為： 2 02 2 2011011000 2 02 2 2011011000 vbubuvbvaubby vauauvavauaax 注意：注意： l 1）多形式校正的精度與地面控制點(diǎn)的精度、分）多形式校正的精度與地面控制點(diǎn)的精度、分 布和數(shù)量及校正的范圍有關(guān)。布和數(shù)量及校正的范圍有關(guān)。地面控制點(diǎn)的精度地面控制點(diǎn)的

36、精度 越高、分布越均勻、數(shù)量越多，幾何校正的精度越高、分布越均勻、數(shù)量越多，幾何校正的精度 越高。越高。 l 2 2）采用多項(xiàng)式校正時(shí)，即使平均誤差較小，并）采用多項(xiàng)式校正時(shí)，即使平均誤差較小，并 不能保證圖像各點(diǎn)的誤差都小。不能保證圖像各點(diǎn)的誤差都小。 l 3 3）多項(xiàng)式階數(shù)的確定，取決于圖像的幾何變形）多項(xiàng)式階數(shù)的確定，取決于圖像的幾何變形 程度，程度，若變形不大，用若變形不大，用1 1階多項(xiàng)式也可，并非階階多項(xiàng)式也可，并非階 數(shù)越高越好。數(shù)越高越好。 單株立木校正前后對(duì)比單株立木校正前后對(duì)比 u v x y A1 A2 為了確定校正后圖像上每點(diǎn)的亮度值，要求出其原圖所對(duì)應(yīng)的 點(diǎn)（x, y

37、）的亮度。 u若由若由A A（u, vu, v）反算得到的（）反算得到的（x, yx, y）正好位于原圖像的像元中心）正好位于原圖像的像元中心A1(x,y)A1(x,y)， 則直接將則直接將A1A1點(diǎn)灰度值賦予校正后的圖像點(diǎn)點(diǎn)灰度值賦予校正后的圖像點(diǎn)A A（u, vu, v）。）。 u若由若由A A（u, vu, v）反算得到的（）反算得到的（x, yx, y）沒有位于原圖像的像元中心，而是）沒有位于原圖像的像元中心，而是 A2A2，則需用插值方法重新計(jì)算，則需用插值方法重新計(jì)算A2A2點(diǎn)所在位置的灰度值。再賦予點(diǎn)所在位置的灰度值。再賦予A A點(diǎn)。點(diǎn)。 A 第二步第二步 亮度（灰度）值的確定亮

38、度（灰度）值的確定 確定原理確定原理 確定方法確定方法 最近鄰法：最近鄰法：取待采樣點(diǎn)取待采樣點(diǎn) 周圍周圍4 4個(gè)相鄰像素點(diǎn)中個(gè)相鄰像素點(diǎn)中 距離最近的距離最近的1 1個(gè)鄰點(diǎn)的個(gè)鄰點(diǎn)的 灰度值作為該點(diǎn)的灰度灰度值作為該點(diǎn)的灰度 值。值。 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：方法簡(jiǎn)單，計(jì)方法簡(jiǎn)單，計(jì) 算量??；算量??； 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：未考慮相鄰點(diǎn)未考慮相鄰點(diǎn) 的相關(guān)性，處理后的圖像的相關(guān)性，處理后的圖像 亮度不具連續(xù)性，圖像質(zhì)亮度不具連續(xù)性，圖像質(zhì) 量損失較大，影響地物的量損失較大，影響地物的 精確度。精確度。 黃點(diǎn)：原始圖黃點(diǎn)：原始圖 像像素像像素 紅點(diǎn)：地理坐紅點(diǎn)：地理坐 標(biāo)反算標(biāo)反算 像素像素 最近鄰法舉例：最近鄰法

39、舉例： A2點(diǎn)計(jì)算出來的坐標(biāo)為 x=2.7，y=2.2 與其最相近的點(diǎn)為（與其最相近的點(diǎn)為（3 3，2 2），因此），因此 A2A2點(diǎn)的灰度值與（點(diǎn)的灰度值與（3 3，2 2）點(diǎn)相同。）點(diǎn)相同。 設(shè)該最近鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為（設(shè)該最近鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為（k,l),k,l),則：則： )5.0( )5.0( yIntegerl xIntegerk x y o (3,2) (3,3) (2,2) (2,3) A2 雙線性內(nèi)插法：雙線性內(nèi)插法：利用周圍利用周圍4 4個(gè)鄰點(diǎn)的灰度值在兩個(gè)個(gè)鄰點(diǎn)的灰度值在兩個(gè) 方向上作線性內(nèi)插，以得到待采樣點(diǎn)的灰度值，方向上作線性內(nèi)插，以得到待采樣點(diǎn)的灰度值， 即加權(quán)求值。即加權(quán)求值

40、。 雙線內(nèi)插算法原理示意圖雙線內(nèi)插算法原理示意圖 原始圖像原始圖像 校正后圖像校正后圖像 y x x y f2 f3 f4 f1 雙線性內(nèi)插法特點(diǎn)：雙線性內(nèi)插法特點(diǎn)： 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：精度提高；精度提高； 缺點(diǎn)缺點(diǎn)：僅考慮：僅考慮4 4個(gè)直接鄰點(diǎn)值的影響，未考慮各鄰點(diǎn)灰度值個(gè)直接鄰點(diǎn)值的影響，未考慮各鄰點(diǎn)灰度值 變化率的影響，即具有低通濾波的性質(zhì)，變化率的影響，即具有低通濾波的性質(zhì)，處理后圖像高頻處理后圖像高頻 部分損失，對(duì)亮度起平滑作用，本身明顯的分界線模糊部分損失，對(duì)亮度起平滑作用，本身明顯的分界線模糊。 適用范圍適用范圍：這種算法對(duì)原始圖像與校正圖像保持著平行錯(cuò)動(dòng)：這種算法對(duì)原始圖像與校正圖

41、像保持著平行錯(cuò)動(dòng) 的情況是理想的，合理的。但實(shí)際情況不會(huì)如此理想。的情況是理想的，合理的。但實(shí)際情況不會(huì)如此理想。 因而當(dāng)變形不大的原始圖像校正用此法重采樣是可以因而當(dāng)變形不大的原始圖像校正用此法重采樣是可以 的，若變形較大、非線性成分較多這種方法不太適用。的，若變形較大、非線性成分較多這種方法不太適用。 假設(shè)：DNA=10，DNB=20，DNC=50，DND=100，求A2（2.7，2.2）的灰度值 過A2做x方向的垂線，交于1，2兩點(diǎn)。A2坐標(biāo)為 （2.7，2.2），相鄰兩點(diǎn)間的距離為1，則在Y方 向上 DN1=10+(20-10)*(2.7-2)=17 DN2=50+(100-50)*(

42、2.7-2)=85 DNA2=17+(85-17)*(2.2-2)=30.6 過A2做y方向的垂線，交于3，4兩點(diǎn)。A2坐標(biāo)為（2.7，2.2），相鄰兩 點(diǎn)間的距離為1，則在X方向上 DN3=10+(50-10)*(2.2-2)=18 DN4=20+(100-20)*(2.2-2)=36 DNA2=18+(36-18)*(2.7-2)=30.6 x y o (3,2) (3,3) (2,2) (2,3) A2 AB CD 1 2 34 雙線性內(nèi)插法舉例：雙線性內(nèi)插法舉例： 三次卷積內(nèi)插法：三次卷積內(nèi)插法：是雙線性法的改進(jìn)，即是雙線性法的改進(jìn)，即“不僅考慮到不僅考慮到4 4個(gè)直個(gè)直 接鄰點(diǎn)的灰度

43、值，還考慮各鄰點(diǎn)間灰度值的變化率的影響。接鄰點(diǎn)的灰度值，還考慮各鄰點(diǎn)間灰度值的變化率的影響。 所用函數(shù)：所用函數(shù)： 2x 0 2x1 584 1x0 21 )( 3 2 32 xxx xx wS 三次樣條函數(shù) 4 1 4 1 ),( ij ijijf yxg )()( jiij yx )( )( )( )( 21)( 2)( 32 4 32 3 32 2 32 1 yINTydy xINTxdx dxdxx dxdxdxx dxdxx dxdxdxx 2x 0 2x1 584 1x0 21 )( 3 2 32 xxx xx wS 1P1P點(diǎn)的灰度值點(diǎn)的灰度值 44332211 4 1 1 wD

44、NwDNwDNwDN wDNDN i iiP 三次卷積內(nèi)插法舉例：三次卷積內(nèi)插法舉例： -2-1 12 y x o 1P 12 34 2P 3P 4P A2 A2A2點(diǎn)的灰度值點(diǎn)的灰度值= = 44332211 4 1 2 wDNwDNwDNwDN wDNDN PPPP i iiPA f(1,1)=0 f(1,2)=5 f(1,3)=15 f(1,4)=25 f(2,1)=10 f(2,2)=15 f(2,3)=30 f(2,4)=35 f(3,1)=0 f(3,2)=10 f(3,3)=20 f(3,4)=30 f(4,1)=30 f(4,2)=15 f(4,3)=10 f(4,4)=20

45、f(2.4,2.6)=? )( )( )( )( 21)( 2)( 32 4 32 3 32 2 32 1 yINTydy xINTxdx dxdxx dxdxdxx dxdxx dxdxdxx dx=2.4-INT(2.4)=0.4 dy=2.6-INT(2.6)=0.6 (x1)=-0.4+20.42-0.43=-0.144 (x2)=1-20.42+0.43=0.074 (x3)=0.4+0.42-0.43=0.496 (x4)=-0.42+0.43=-0.096 (y1)=-0.6+20.62-0.63=-0.096 (y2)=1-20.62+0.63=0.496 (y3)=0.6+0

46、.62-0.63=0.744 (y4)=-0.62+0.63=-0.144 f(1,1)=0 f(1,2)=5 f(1,3)=15 f(1,4)=25 f(2,1)=10 f(2,2)=15 f(2,3)=30 f(2,4)=35 f(3,1)=0 f(3,2)=10 f(3,3)=20 f(3,4)=30 f(4,1)=30 f(4,2)=15 f(4,3)=10 f(4,4)=20 f(2.4,2.6)=? (x1)=-0.4+20.42-0.43=-0.144 (x2)=1-20.42+0.43=0.074 (x3)=0.4+0.42-0.43=0.496 (x4)=-0.42+0.43=-0.096 (y1)=-0.6+20.62-0.63=-0.096 (y2)=1-20.62+0.63=0.496 (y3)=0.6+0.62-0.63=0.744 (y4)=-0.62+0.63=-0.144 f(2.4,2.6)=(-0.144)0(-0.096)+50.496+150.744+25(-0.144)+ 0