第三章剛體運動學(xué)和流體運動學(xué)

1、 3-13-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度 td d td d 在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體 叫叫剛體。剛體。 z 1 o 2 o A A B B 1 r 2 r 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 （1）角量與線量關(guān)系）角量與線量關(guān)系 r v o o R r P v R t R t a R R a R t R t s n d d d d d d d d 2 2 v v v o o sd R d （2）勻變速轉(zhuǎn)動公式）勻變速轉(zhuǎn)動公式 at 0 vv 2 2 1 00 attxxv )(2 0 2 0

2、 2 xxa vv t 0 )(2 0 2 0 2 2 2 1 00 tt 剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運動質(zhì)點勻變速直線運動 剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點勻變速直線運動公式對比剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點勻變速直線運動公式對比 FdFrM FrM sin 若外力若外力F在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)， 力矩為力矩為 P z * O M F r M d z F F r o o F 若若F不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)， FrM z FFF 2 iiiiiiz rmrmLv i ii i izz rmLL 2 質(zhì)點質(zhì)點mi對對Z軸的角動量軸的角動量 剛體對剛體對Z軸的角動量軸的角動量

3、2 iir mI 則則 ILz 稱為剛體對稱為剛體對Z 軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。 令令 z * O i r z L i m 把剛體看作質(zhì)點系，對定軸轉(zhuǎn)動有把剛體看作質(zhì)點系，對定軸轉(zhuǎn)動有 d d d )(d d d I t I t I t L M z z IM 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 2222 2 1 2 1 2 1 IrmmE i ii i iik v 2 2 1 IEk 3-23-2轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 或或mrI rmI ii d 2 2 dm質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量 r質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離 轉(zhuǎn)動慣量描述物體轉(zhuǎn)動慣性的大小，與質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量描述物體轉(zhuǎn)動慣性的大小，與質(zhì)量的 分

4、布有關(guān)。分布有關(guān)。 例例1 求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動 慣量。設(shè)圓盤的半徑為慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，密度均勻。，密度均勻。 解解 設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為 ，在圓盤上取一半徑為，在圓盤上取一半徑為r、 寬度為寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2 rdr，環(huán)的，環(huán)的 質(zhì)量質(zhì)量dm= 2 rdr ?？傻谩？傻?2 4 0 32 2 1 2 d2dmR R rrmrI R R r dr 例例2 l/2l/2 C A l C A B h 22 2/ 2/ 2 2 3 2/ 2/ 2

5、2 3 0 2 12 1 d 12 1 12 d 3 1 3 d mhmlxxI ml l xxI ml l xxI hl hl B l l C l A 解解 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，則質(zhì)量元，則質(zhì)量元dm= dx。 l x dx A 平行軸定理平行軸定理 前例中前例中IC 表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量， IA 表示通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。表示通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。 兩軸平行，相距兩軸平行，相距 l/2。可見可見 22 222 2 12 1 3 1 4 1 12 1 2 mhmlI mlmlml l mII B CA l C A B h 推廣上述結(jié)論

6、，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平 行，相距為行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為I，則有則有 2 mdII C 例例3 一個啞鈴由兩個質(zhì)量為一個啞鈴由兩個質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的鐵球和中間的鐵球和中間 一根長一根長l的連桿組成。連桿的質(zhì)量可以忽略。求此啞鈴的連桿組成。連桿的質(zhì)量可以忽略。求此啞鈴 對于通過連桿中心并和它垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。對于通過連桿中心并和它垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。 (已知圓球繞其直徑的轉(zhuǎn)動慣量為已知圓球繞其直徑的轉(zhuǎn)動慣量為2mR2/5) 解解 由平行軸定理由平行軸定理 ) 45 7 (2 ) 2 ( 5 2 22 2 2 222

7、 l RlRm R l mmRmdII C R m R m l 例例4均勻薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量。均勻薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量。 2 4/Rm )sin/(d2dzrs Rr /sin zRzrmd2sin/d2d 2 22 2 22 3 2 d )(2 d2 mR zzRR zRrI zRr R R R R z 解解 zd RR mRrrr R m rmI 0 222 3 0 2 5 2 d4 3 4 3 2 d 3 2 球體球體 2 2 0 2 2 2 0 2 3 2 dsin2 4 )sin(2 d)sin(2 mR RR R m R mRI 或或 O R i iiiz i iiiy i

8、iiix yxmI xzmI zymI 22 22 22 2 2222 3 2 22 mRI IIII mRzyxmIII zyx i iiiizyx 或或 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑 2 g mRI 按下式定義質(zhì)量為按下式定義質(zhì)量為 m的任意形狀的剛體的任意形狀的剛體 對定軸的回轉(zhuǎn)半徑對定軸的回轉(zhuǎn)半徑Rg ： 就轉(zhuǎn)動規(guī)律而言，任意形狀的剛體的轉(zhuǎn)就轉(zhuǎn)動規(guī)律而言，任意形狀的剛體的轉(zhuǎn) 動與質(zhì)量相同而半徑為動與質(zhì)量相同而半徑為Rg的圓環(huán)的轉(zhuǎn)動是等的圓環(huán)的轉(zhuǎn)動是等 價的。價的。 mrIrmI i ii d; 22 )( 2 1 d2 )( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 RRMrrh hRR M r

9、I R R 練習(xí)練習(xí) 3-33-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律剛體的定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律 IM t L MIItM t t d d d 0 2 1 或 常量。，則若ILM0 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 角動量定理角動量定理 角動量守恒定律角動量守恒定律 動能定理動能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 dIIMW 繞定軸的力矩的功繞定軸的力矩的功 dd)sin()d( sinddMrFrFrFW M t M t W P d d d d d 0 MW 繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 2 0 2 2 1 2 1 IIW 合外力矩 d d d d I t IIM 合外 00 ddIM 合外 解一解一由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定

10、律 Imglsin 2 1 例例1 一長為一長為 l 質(zhì)量為質(zhì)量為 m勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端可勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端可 繞固定鉸鏈自由轉(zhuǎn)動。繞固定鉸鏈自由轉(zhuǎn)動。 求細(xì)桿在重力作用下由靜止求細(xì)桿在重力作用下由靜止 轉(zhuǎn)動到與豎直線成轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時的角速度。角時的角速度。 . mg sin 2 3 l g d d d d d d d d tt dsin 2 3 d l g 積分得積分得 )cos1 ( 3 l g 解二解二由機(jī)械能守恒由機(jī)械能守恒 2 2 1 )cos1 ( 2 I l mg 例例2 一半徑為一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)圓盤，平放在粗的勻質(zhì)圓盤，平放在粗 糙的水

11、平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ，令，令 圓盤最初以角速度圓盤最初以角速度 0 繞通過中心且垂直盤面的軸旋繞通過中心且垂直盤面的軸旋 轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？ 解一解一 每個質(zhì)元的質(zhì)量每個質(zhì)元的質(zhì)量dm= rd dre，所受到的阻力矩，所受到的阻力矩 是是r dmg 。 R r dr d e 圓盤所受阻力矩圓盤所受阻力矩 mgR Reg rreg mgrM R f 3 2 3 2 dd d 3 2 00 2 r R dr d e g R t Rtg t mRImgR t 0 0 0 2 4 3 d 2 1 d 3

12、2 d d 2 1 3 2 0 得得 解二解二 用角動量定理用角動量定理 r R dr d e g R t ItM mgRM f f 0 0 4 3 0 3 2 例例3以水平力以水平力 f 打擊懸掛在打擊懸掛在P點的點的 剛體，打擊點為剛體，打擊點為 O，若打擊，若打擊 點選擇合適，則打擊過程中點選擇合適，則打擊過程中 軸對剛體的切向力軸對剛體的切向力Ft為為0, 該該 點稱為打擊中心。設(shè)剛體的點稱為打擊中心。設(shè)剛體的 回轉(zhuǎn)半徑為回轉(zhuǎn)半徑為Rg，求打擊中心，求打擊中心 到軸的距離到軸的距離rO 。 解解 剛體所受力矩剛體所受力矩 O frM 設(shè)剛體轉(zhuǎn)動慣量為設(shè)剛體轉(zhuǎn)動慣量為 其中其中Rg 為回

13、轉(zhuǎn)半徑。為回轉(zhuǎn)半徑。 2 g mRI 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理 解聯(lián)立方程，消去解聯(lián)立方程，消去 0 t F 2 gO mRIfr Ctt mafF 約束條件約束條件 CCt ra f R rr F g CO t ) 1( 2 C g O r R r 2 角動量守恒角動量守恒 00 II 例例1 恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆發(fā)，恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆發(fā)， 這時星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時星的內(nèi)這時星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時星的內(nèi) 核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是 一種異常致密的星體，一

14、湯匙中子星物體就有幾億一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有幾億 噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每45天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi) 核半徑核半徑R0約為約為2 107m，坍縮成半徑，坍縮成半徑R僅為僅為6 103m的的 中子星。試求中子星的角速度，坍縮前后的星體內(nèi)中子星。試求中子星的角速度，坍縮前后的星體內(nèi) 核均看作是勻質(zhì)圓球。核均看作是勻質(zhì)圓球。 解解 外力矩可忽略，角動量守恒，外力矩可忽略，角動量守恒， 22 0 5 2 5 2 0 mRImRI，II 00 s/r86.2 2 0 0 R R 例例2 人從靜止開始相對繩以人從靜止開始相對繩以v向上向上 爬，求物體

15、上升速率。爬，求物體上升速率。 解解 以人、物、滑輪為系統(tǒng)，合外力以人、物、滑輪為系統(tǒng)，合外力 矩為零，對滑輪軸角動量守恒。矩為零，對滑輪軸角動量守恒。 設(shè)物體對地速率設(shè)物體對地速率V， RV MRRVmmVR 0 2 1 )( 2 v v) 4 2 ( Mm m V 例例3 人于人于R/2處走一圈，求圓盤對地轉(zhuǎn)過的角度。處走一圈，求圓盤對地轉(zhuǎn)過的角度。 解解設(shè)人對圓盤的角速度設(shè)人對圓盤的角速度?，圓盤對地的角速度，圓盤對地的角速度。則。則 人對地的角速度人對地的角速度= ? 。 Mm m MR R m 2 0 2 1 )() 2 ( 22 Mm m t 2 2 2 圓圓盤盤對對地地 圓圓盤盤

16、對對地地 例例4 一長為一長為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為m的竿可繞支點的竿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動。自由轉(zhuǎn)動。 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、速率為、速率為v的子彈射入竿內(nèi)距支點為的子彈射入竿內(nèi)距支點為a處，處， 使竿的偏轉(zhuǎn)角為使竿的偏轉(zhuǎn)角為30。問子彈的初速率為多少。問子彈的初速率為多少 ? 解解 子彈射入竿的過程系統(tǒng)角子彈射入竿的過程系統(tǒng)角 動量守恒動量守恒 ) 3 1 ( 22 malmamv 22 3 3 malm am v o a m v 30 m ma malmmalmg6)3)(2)(32( 22 v 222 ) 3 1 ( 2 1 malm )30cos1 ( 2 )30cos1 ( l gmmg

17、a 射入竿后，以子彈、細(xì)桿和射入竿后，以子彈、細(xì)桿和 地球為系統(tǒng)地球為系統(tǒng) ，機(jī)械能守恒。，機(jī)械能守恒。 22 3 3 malm am v o a m v 30 m 直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照直線運動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照 t x d d v 2 2 d d d d t x t a v td d 2 2 d d d d tt vmP 2 2 1 vmEKIL 2 2 1 IEK FmMI xFWddtF dddMW 質(zhì)點的直線運動質(zhì)點的直線運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 tM d maF IM 0 dPPtF 0 dLLtM 2 0 2 2 1 2 1 dvvmmxF 2 0 2 2 1 2 1

18、 dIIM 剛體的平面平行運動可以看做基點的平動與相剛體的平面平行運動可以看做基點的平動與相 對于通過基點并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動的疊加。對于通過基點并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動的疊加。 3-43-4剛體的平面平行運動剛體的平面平行運動 剛體的平面平行運動也可以看做質(zhì)心的平動與剛體的平面平行運動也可以看做質(zhì)心的平動與 相對于通過質(zhì)心并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動的疊加。相對于通過質(zhì)心并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動的疊加。 設(shè)質(zhì)心在設(shè)質(zhì)心在Oxy平面內(nèi)運動，則平動方程平面內(nèi)運動，則平動方程 Cyy Cxx maF maF 可以證明，定軸轉(zhuǎn)動定律在此仍適用可以證明，定軸轉(zhuǎn)動定律在此仍適用 CC IM 如車輪的純滾動：如車

19、輪的純滾動： 車輪中心前進(jìn)的距離與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過的角度的關(guān)系：車輪中心前進(jìn)的距離與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過的角度的關(guān)系： Rx 則則 R c v C v A R G R B R A B K A R B R c 純滾動車輪上一點對地的速度和加速度純滾動車輪上一點對地的速度和加速度: K點的速度點的速度 0r CK vv B點的速度點的速度 CCB Rvvv2 A點的速度點的速度 C CA R v vv 2 )( 22 iCiCCi iCCi raa r v vv C v A R K R B R A B K A R B R c 動能為動能為: 222 22 222 )( 2 1 2 1 )( 2 1 )()( 2

20、1 )()(2 2 1 )( 2 1 iC i iC iC i i i iCiC i Ci iCiCCC i i i iik rmm rmrmm rrmmE v vv vvv ；質(zhì)心是原點，則；質(zhì)心是原點，則:0 i i ir m i i mm 所以所以 22 2 1 2 1 CCk ImEv 剛體的動能等于質(zhì)心的平動動能與對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動剛體的動能等于質(zhì)心的平動動能與對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動 動能之和。動能之和。 式中式中 例例1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R 的均質(zhì)圓柱，在水平外力的均質(zhì)圓柱，在水平外力 作用下，在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線作用下，在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線 與圓

21、柱中心軸線的垂直距離為與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所示。求質(zhì)心，如圖所示。求質(zhì)心 的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。 解解 設(shè)靜摩擦力設(shè)靜摩擦力f, 質(zhì)心運動方程質(zhì)心運動方程 C mafF 質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定律質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定律 C IRflF 純滾動條件純滾動條件RaC 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 2 2 1 mRIC F aC f l mR lRF aC 3 )(2 F R lR f 3 2 討論討論: l0, 靜摩擦力向后；靜摩擦力向后； lR/2, f m1 ，軸光滑，繩與滑輪無，軸光滑，繩與滑輪無 相對滑動。求滑輪的相對滑動。求滑輪的 ，物體的，物體的a，繩中張力，繩中張

22、力T。 IRTT amTgm amgmT )( 12 222 111 2 2 1 mRI Ra 解解 解法一解法一 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 mM mgh MRm Immgh 2 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 222 22 v v v Ra maTmg MRTR 2 2 1 mM mgh ah mM mg a 2 22 2 2 v 練習(xí)練習(xí)2 忽略摩擦，求重物從靜止降落了忽略摩擦，求重物從靜止降落了h時的速率時的速率v。 o R h M m m o T N F P T P m 解法二解法二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 練習(xí)練習(xí)3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于的子彈以

23、水平速度射入一靜止懸于 頂端長棒的下端，穿出后速度損失頂端長棒的下端，穿出后速度損失 34，求子彈穿出，求子彈穿出 后棒的角速度后棒的角速度 。已知棒長為。已知棒長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M。 解解 把子彈和棒看作一個系統(tǒng)。把子彈和棒看作一個系統(tǒng)。 系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒 解得解得 2 3 1 MlI lmIlmvv 0 Ml m I lm 4 9 4 3 00 vv M m l 0 v v . m, L m l 練習(xí)練習(xí)4小球與靜止的桿完全彈性碰撞。問繩的長度為小球與靜止的桿完全彈性碰撞。問繩的長度為 多少時，小球與桿碰撞后剛好靜止？多少時，小球與桿碰撞后剛好靜止？m、L 已知。已知。 解解 角動量守恒，機(jī)械能守恒。角動量守恒，機(jī)械能守恒。 22 2 1 2 1 Imv Imvl Ll mLI 3 3 3 1 2 練習(xí)練習(xí)5計算下列剛體對計算下列剛體對O軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量IO: O lm、 RM、 222 )( 2 1 3 1 RlMMRmlIO O 2 1 l m 、 2 2 l m 、 2 2 2 2 2 1 42212 1 23 1 ll m l m l mIO m 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 剩余部分剩余部分 R O O 2 22 2 21 24 13