事件的獨(dú)立性分析

1、Ch1-83 例例1 1 已知袋中有5只紅球, 3只白球. 有放回地取球兩次,每次取1球. 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 設(shè)第 i 次 求取得白球?yàn)槭录?Ai ( i =1, 2 ) . , )( 12 AAP , )( 12 AAP, )(, )( 21 APAP 解解 , 8/3)( 12 AAP , 8/ 3)( 12 AAP, )(8/3)( 21 APAP )()()( 12212 AAPAPAAP 1.4 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 Ch1-84 事件 A1 發(fā)生與否對(duì) A2 發(fā)生的概率沒(méi)有影 響可視為事件A1與A2相互獨(dú)立 )()() 8/ 3 ()( 121 2 21 AAPAPAA

2、P 定義定義設(shè) A , B 為兩事件，若 )()()(BPAPABP 則稱事件 A 與事件 B 相互獨(dú)立 )()( 21 APAP Ch1-85 兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì)兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì) q 兩事件 A 與 B 相互獨(dú)立是相互對(duì)稱的 q 若)()(, 0)(ABPBPAP則 若 )()(, 0)(BAPAPBP則 q 若, 0)(, 0)(BPAP 則“事件 A 與 事件 B 相互獨(dú)立”和 “事件 A 與 事件 B 互斥” 不能同時(shí)成立 (自行證明) Ch1-86 q 四對(duì)事件 BABABABA,;,;,;, 任何一對(duì)相互獨(dú)立,則其它三對(duì)也相互獨(dú)立 試證其一 獨(dú)立獨(dú)立BABA, 事實(shí)上 )()

3、()()(BAPAPBAAPABP )()()(1)(BPAPBPAP )()()(BPAPAP Ch1-87 三事件三事件 A A, , B B, , C C 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立： 注：1) 關(guān)系式(1) (2)不能互相推出 2)僅滿足(1)式時(shí),稱 A, B, C 兩兩獨(dú)立 )()()( )()()( )()()( CPBPBCP CPAPACP BPAPABP (1) )()()()(CPBPAPABCP (2) A, B, C 相互獨(dú)立A, B, C 兩兩獨(dú)立 定義定義 Ch1-88 例例2 2 有一均勻的八面體, 各面涂有顏色如下 將八面體向上拋擲一次, 觀察

4、向下一面 出現(xiàn)的顏色。 設(shè)事件 R 紅色 W 白色 Y 黃色 1 2 3 4 5 6 7 8 R R R R W W W W Y Y Y Y Ch1-89 2 1 8 4 )()()(YPWPRP 則則 8 1 )()(, 8 3 )(RYPWYPRWP 8 1 )(RWYP )()()(WPRPRWP )()()(YPWPRP 但但 )()()( )()()( YPRPRYP YPWPWYP 本例說(shuō)明本例說(shuō)明不能由關(guān)系式(2)推出關(guān)系式(1) Ch1-90 例例3 3 隨機(jī)投擲編號(hào)為隨機(jī)投擲編號(hào)為 1 1 與與 2 2 的兩個(gè)骰子的兩個(gè)骰子 事件 A 表示1號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù) B 表示2

5、號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù) C 表示兩骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) 則2/ 1)()()(CPBPAP 4/1)()()(CAPBCPABP )()()()()()(APCPCPBPBPAP 但 0)(ABCP)()()(8/1CPBPAP 本例說(shuō)明本例說(shuō)明 不能由 A, B, C 兩兩獨(dú)立 A, B, C 相互獨(dú)立 Ch1-91 n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立 是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立 )()()()( 2121nn APAPAPAAAP njiAPAPAAP jiji 1),()()( nkjiAPAPAPAAAP kjikji 1),()()()( 定義定義 常由實(shí)際問(wèn)題的意義常

6、由實(shí)際問(wèn)題的意義 判斷事件的獨(dú)立性判斷事件的獨(dú)立性 Ch1-92 例例4 4 已知事件 A, B, C 相互獨(dú)立,證明事件 A 與 CB 也相互獨(dú)立 證證 )()()(CBAPCBPCBAP )()()( )()()( ABCPACPABP BCPCPBP )()()()(BCPCPBPAP )()(CBPAP Ch1-93 q 若 n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立,將這 n 個(gè)事件任意分成 k 組,同一個(gè)事件不能 同時(shí)屬于兩個(gè)不同的組,則對(duì)每組的事件 進(jìn)行求和、積、差、對(duì)立等運(yùn)算所得到 的 k 個(gè)事件也相互獨(dú)立. 命題命題 Ch1-94 利用獨(dú)立事件的性質(zhì)利用獨(dú)立事件的性質(zhì) 計(jì)

7、算其并事件的概率計(jì)算其并事件的概率 若若 A A1 1, , A A2 2, , , A An n 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , 則則 )()( 21 1 n n i i AAAPAP n i i AP 1 )(1 (1 )(1 21n AAAP n i i AP 1 )(1 )(1 21n AAAP )( 1 n i i AP n i i AP 1 )(1 (1 Ch1-95 pAP i )( 當(dāng)當(dāng) ，則，則 n n i i pAP)1 (1)( 1 特別，特別， Ch1-96 例例5 5 設(shè)每個(gè)人的血清中含肝炎病毒的概率 為0.4%, 求來(lái)自不同地區(qū)的100個(gè)人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率

8、 解解 設(shè)這100 個(gè)人的血清混合液中含有肝炎 病毒為事件 A, 第 i 個(gè)人的血清中含有 肝炎病毒為事件 Ai i =1,2,100 則 100 1 i i AA )(11)( 100 1 i i APAP 33. 0)004. 01 (1 100 Ch1-97 若Bn 表示 n 個(gè)人的血清混合液中含有肝 炎病毒，則 , 2 , 1 10,)1 (1)( n BP n n 1)(lim n n BP 不能忽視小概率事件, 小概率事件遲早要發(fā)生 Ch1-98 一個(gè)元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為 元件(或系統(tǒng))的可靠性 系統(tǒng)由元件組成,常見的元件連接方式： 串聯(lián) 并聯(lián) 1 2 21 系統(tǒng)的可

9、靠性問(wèn)題 (教材P.40例5)例例6 6 Ch1-99 設(shè) 兩系統(tǒng)都是由 4 個(gè)元件組成,每個(gè)元件 正常工作的概率為 p , 每個(gè)元件是否正常工 作相互獨(dú)立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示， 比較兩系統(tǒng)的可靠性. A1A2 B2 B1 S1: )()()()( 212121211 BBAAPBBPAAPSP )2 (2 2242 pppp Ch1-100 A1A2 B2B1 S2: 2 1 2 )()( i ii BAPSP 22 )2(pp . )()2( 1 22 SPpp 2 2 2pp 0)2 ()2 ()( 22 pppf 注 利用導(dǎo)數(shù)可證, 當(dāng) 時(shí), 恒有) 1, 0(p Ch1-10

10、1 公公Bayes 式式 Ch1-102 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 腸癌普查腸癌普查 設(shè)事件 表示第 i 次檢查為陽(yáng)性,事件B i A 表示被查者患腸癌,已知腸鏡檢查效果如下： 005. 0)(,95. 0)()(BPBAPBAP ii 且 某患者首次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性, 試判斷該 患者是否已患腸癌？ 若三次檢查反應(yīng)均為 陽(yáng)性呢？ Ch1-103 05. 0995. 095. 0005. 0 95. 0005. 0 )()()()( )()( )( 11 1 1 BAPBPBAPBP BAPBP ABP 由Bayes 公式得 .087.0 首次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性首次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性 患腸癌的概率并不大患腸癌的概

11、率并不大 Ch1-104 )()()()( )()( 2121 21 BAAPBPBAAPBP BAAPBP )()()()()()( )()()( 2121 21 BAPBAPBPBAPBAPBP BAPBAPBP 6446. 0 05. 0995. 095. 0005. 0 95. 0005. 0 22 2 )( 21 AABP 接連兩次檢查為陽(yáng)性接連兩次檢查為陽(yáng)性 患腸癌的可能性過(guò)半患腸癌的可能性過(guò)半 Ch1-105 兩次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性,還不能斷 定患者已患腸癌. 33 3 321 05. 0995. 095. 0005. 0 95. 0005. 0 )( AAABP 9718.0 連

12、續(xù)三次檢查為陽(yáng)性連續(xù)三次檢查為陽(yáng)性 幾乎可斷定已患腸癌幾乎可斷定已患腸癌 Ch1-106 作業(yè) P49 習(xí)題一 35 37 38 40 1. 某型號(hào)火炮的命中率為0.8, 現(xiàn)有一架 敵機(jī)即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率 擊中它，則需配備此型號(hào)火炮多少門？ 補(bǔ)充作業(yè)補(bǔ)充作業(yè) Ch1-107 2. 設(shè),1)(0AP,1)(0BP , 1)()(BAPBAP則正確結(jié)論是( ). )(A不相容;BA, )(B 且 )(C相互獨(dú)立;BA, )(D不相互獨(dú)立.BA, 相互對(duì)立;BA, Ch1-108 補(bǔ)充作業(yè)解答補(bǔ)充作業(yè)解答 1. 設(shè)需配備 n 門此型號(hào)火炮 設(shè)事件 表示第 i 門火炮擊中敵機(jī) i

13、 A 999. 02 . 01)(11)( 1 n n ii n i APAP 29.4 2 .0ln 001.0ln n 故需配備 5 門此型號(hào)火炮 . Ch1-109 2. 選C. 事實(shí)上可以證明 ,1)(0AP ,1)(0BP 若 則 1)()(BAPBAP 相互獨(dú)立BA, 證證相互獨(dú)立BA, )( )( )( )( )()( BP BAP BP ABP BAPBAP 1)()( )( )()( )( )()( APAP BP BPAP BP BPAP 若 Ch1-110 1)()(BAPBAP若 )(1 )( )( )(BAP BP ABP BAP則)(BAP )()(1 )()()(

14、BAPBPBAPBPABP )()()(BAPBPBAP )()(BAPBAP )()()()(APBAPABPBAP )()()(APBPABP 獨(dú)立.BA, Ch1-111 n重Bernoulli試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn) k 次的概率 記為 )(kP n AA, 10,)(ppAP 且 伯努利試驗(yàn)概型伯努利試驗(yàn)概型 每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān) 稱為這 n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 試驗(yàn)可重復(fù) n 次 每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果： n 重伯努利伯努利 (Bernoulli) 試驗(yàn)概型： Ch1-112 例例7 7 袋中有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2個(gè)白球的概率.

15、 解解 古典概型 4 5 n 設(shè) B 表示4個(gè)球中恰有2個(gè)白球 222 4 23Cn B 4 222 4 5 23 )( C BP.3456. 0 5 2 5 3 22 2 4 C Ch1-113 解二解二 每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn) . 5/ 3)(AP記取得白球?yàn)槭录?A ， 有放回地取4個(gè)球看作做了 4 重Bernoulli 試驗(yàn), 記第 i 次取得白球?yàn)槭录?Ai 感興趣的問(wèn)題為:4次試驗(yàn)中A 發(fā)生2次的概率 4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AAAA .3456. 0 5 2 5 3 )( 22 2 4 C

16、BP Ch1-114 一般地，若若10,)(ppAP 則則nkppCkP knkk nn , 2 , 1 , 0,)1 ()( Ch1-115 例例8 8 八門炮同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊一 發(fā)炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí),目 0.6, 求目標(biāo)被擊毀的概率. 解解 設(shè) i 門炮擊中目標(biāo)為事件Ai, i=28, 標(biāo)被擊毀為事件B, 8 2 8 2 )()()( i i i i APAPBP 1 0 8 8 4 . 06 . 01 i iii C 9914. 0 各炮命中概率 p = 0.6, 則 1 0 8 )(1 i iP 8 2 8 )( i iP 設(shè)目 Ch1-116 作業(yè) P.50

17、習(xí)題一 41 43 44 Ch1-117 某市進(jìn)行藝術(shù)體操賽某市進(jìn)行藝術(shù)體操賽, 需設(shè)立兩個(gè)裁需設(shè)立兩個(gè)裁 判組判組, 甲組甲組3名名,乙組乙組1名名. 但組委會(huì)只召集但組委會(huì)只召集 到到3名裁判名裁判, 由于臨近比賽由于臨近比賽, 便決定調(diào)一名便決定調(diào)一名 不懂行的人參加甲組工作不懂行的人參加甲組工作, 其中兩裁判獨(dú)其中兩裁判獨(dú) 立地以概率立地以概率 p 作出正確裁定作出正確裁定,而第三人以而第三人以 擲硬幣決定擲硬幣決定, 最后根據(jù)多數(shù)人的意見決定最后根據(jù)多數(shù)人的意見決定. 乙組由乙組由 1 個(gè)人組成個(gè)人組成, 他以概率他以概率 p 做出正確做出正確 裁定裁定. 問(wèn)哪一組做出正確裁定的概率

18、大問(wèn)哪一組做出正確裁定的概率大 ? 問(wèn)問(wèn) 題題 第第 4 4 周周 Ch1-118 伯努利伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士數(shù)學(xué)家瑞士數(shù)學(xué)家 概率論的奠基人概率論的奠基人 伯努利 (Jacob Bernoulli )簡(jiǎn)介 伯努利家屬祖孫三代出過(guò)十多位 數(shù)學(xué)家. 這在世界數(shù)學(xué)史上絕無(wú)僅有. 伯努利幼年遵從父親意見學(xué)神學(xué), 當(dāng)讀了 R 笛卡爾的書后,頓受啟發(fā),興 趣轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué). . 1694年,首次給出直角坐標(biāo)和極坐 標(biāo)下的曲率半徑公式,同年關(guān)于雙紐線 性質(zhì)的論文,使伯努利雙紐線應(yīng)此得名. 此外對(duì)對(duì)數(shù)螺線深有研究, 發(fā)現(xiàn) 對(duì)數(shù)螺線經(jīng)過(guò)各種變換后, 結(jié)果還是 對(duì)數(shù)螺線,在驚嘆此曲線的奇妙之余, 遺言把對(duì)數(shù)螺線刻在自己的墓碑上, 并附以頌詞: 縱使變化,依然故我 n yxqyxpdydx)()(/ 1695年提出著名的伯努利方程 Ch1-121 1713年出版的巨著推測(cè)術(shù),是 出的伯努利數(shù)、伯努利方程、伯努利 分布等, 有很多應(yīng)用, 還有伯努利定理, 這是大數(shù)定律的最早形式. Ch1-122 解解 設(shè)取出的5個(gè)數(shù)