研究生非線性作業(yè)

1、結(jié)構(gòu)非線性有限元分析 姓 名： 學 號： 專 業(yè)： 任課教師： 1、求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)m。解：求 ， ，三角形面積 從而 求 當m時，平面應(yīng)力問題與平面變形問題的相等，得 求 求 =2、設(shè)有均質(zhì)、等厚的三角形單元ijm，受到沿y方向的重力載荷的作用。求均布體力移置到各結(jié)點的載荷。解：設(shè)此三角形單元ijm的厚度為t，三角形ijm的面積為A，重度為，則 單元的節(jié)點為：根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)有：得：上式表明，受自重荷載情形的等效節(jié)點力為單元重量的。3、在程序中，對增量方程求解的平衡迭代采用修正的牛頓迭代法或BFGS法，簡述兩種方法的處理過程。 修正的牛頓迭代法?？紤]單變量為x的非線性方程具有一階

2、導數(shù)，在xn點作一階泰勒級數(shù)展開，它在xn點的線性近似為： 因此，非線性方程，在xn點近似為線性方程：由上式求得n步的修正項：，在幾何非線性的有限元法中，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣與其幾何位置有關(guān)，平衡方程由變形后的位形描述，因此，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是幾何變形的函數(shù)。設(shè)變形為，結(jié)構(gòu)的平衡方程式：其為一個非線性方程組，記非線性方程用Newton-Raphson方法求的根時，迭代公式分別為其中滿足下式：。式中稱為切線剛度矩陣，表達式為：=在每一個迭代步中，通過求解切線剛度矩陣，進而用進行迭代求解。Newton-Raphson方法求解過程中，每次都計算，計算速度較慢。有時直接采用第一次迭代計算得到的切線剛度作為來加

3、速計算，即：，稱為修正的Newton-Raphson方法。但這個方法收斂速度可能會減慢。修正的牛頓迭代法在迭代過程中系數(shù)矩陣保持不變，因此不需要重新形成和分解剛度陣，從而大大減少了計算量。性能有所改進。 BFGS法。又稱矩陣修正迭代，是擬牛頓法的一種。它實際上是完全的牛頓法與修正的牛頓法之間的一種折中方法。因為它在迭代過程中，并不重新形成剛度陣，但也不保持不變，而是用某種方法對剛度陣（確切地說是對它的逆）進行修改，從而求解。它在有限元分析遇到的許多問題中，具有相當好的收斂性，尤其在復雜材料的非線性分析和動態(tài)分析中推薦采用BFGS法。4、簡述非線性問題求解方法及其簡要過程。 在非線性問題求解中考

4、慮小變形范圍內(nèi)的材料非線性彈性問題。由于是小變形，有限元中的平衡方程和幾何關(guān)系與線彈性問題相同。非線性彈性材料的本構(gòu)方程是非線性的，寫成如下一般形式：。在平衡方程中，若以節(jié)點位移表示，則方程為非線性。寫成剛度矩陣的形式后，應(yīng)是,此式為非線性方程，可以用迭代法求解。用迭代法求解主要有以下幾種方法：割線剛度法材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系能夠表示如下：，考慮到小變形時，則上式可以寫成：，定義非線性剛度矩陣如下：，平衡方程的迭代公式為：.在迭代過程中，先取，求出,可求得,作為第一次近似，再從進行，求算,進而解出,多次迭代直至為止。是所求解的結(jié)果。即在每次迭代中系統(tǒng)受全部荷載的作用，并取與前一次迭代終了時的應(yīng)力狀

5、態(tài)相對應(yīng)的割線剛度。在本次迭代后以新的應(yīng)力狀態(tài)來修正剛度進行下一次迭代。直至前后兩次迭代的結(jié)果充分接近（即誤差足夠?。橹?。 牛頓迭代法考慮單變量為x的非線性方程具有一階導數(shù)，在xn點作一階泰勒級數(shù)展開，它在xn點的線性近似為：， 因此，非線性方程，在xn點近似為線性方程：由上式求得n步的修正項：，在幾何非線性的有限元法中，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣與其幾何位置有關(guān)，平衡方程由變形后的位形描述，因此，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是幾何變形的函數(shù)。設(shè)變形為，結(jié)構(gòu)的平衡方程式：其為一個非線性方程組，記非線性方程用Newton-Raphson方法求的根時，迭代公式分別為其中滿足下式：。式中稱為切線剛度矩陣，表達式為：=。在每

6、一個迭代步中，通過求解切線剛度矩陣，進而用進行迭代求解。 增量變彈性法（切線模量法） 增量法是采用分段線性化的處理方法來要求解非線性問題。把荷載劃分為許多很小的荷載增量，逐級地施加于結(jié)構(gòu)上，在每一級增量時結(jié)構(gòu)均假定為線性的，在增量范圍內(nèi)剛度為定值。對于各級荷載增量，其剛度取不同值。以此來反映非線性特性，這一方法的基本特點如下圖： K0K1K2K3增量解精確解PU 若總的荷載被分為m個增量，則可將荷載表示為：當荷載施加到第J級增量時，增量型的剛度方程為：每級荷載增量時的剛度是由第一次荷載終了時的應(yīng)力狀態(tài)所決定。第一級荷載增量時可取為初始的剛度。每一級荷載增量后，可直接利用荷載給出的塑性條件及相應(yīng)

7、的本構(gòu)關(guān)系對每一單元作判別。并確定其彈塑性矩陣 作為第次增量時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系確定其剛度矩陣。對于第J次荷載增量，已經(jīng)施加的總荷載。相應(yīng)的位移，應(yīng)力，應(yīng)變?yōu)椋海?， 在求解彈塑性問題時，增量的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示：顯然，每一級荷載增量的求解完全采用線彈性的計算格式，僅須按新的應(yīng)力確定與相對應(yīng)的并據(jù)此重新形成單元剛度矩陣及系統(tǒng)的總剛度矩陣以進行下一次增量的計算。直到最后一次荷載增量完成為止。 增量附加荷載法常剛度的增量迭代法是在每一級增量及每次迭代中都采用系統(tǒng)的初始剛（線性剛度）通過與非線性性態(tài)相對應(yīng)的等效附加荷載，來考慮非線性引起的附加位移。這一方法對非線性系統(tǒng)的總剛度定義為在線性剛度上作相應(yīng)的非

8、線性修正。非線性剛度為：由此可將增量形式的總體剛度方程寫為：假定總的位移增量可表示為線性增量和非線性增量之和，則 ， 將上式展開，移項得到：可簡寫為：對于線性系統(tǒng)己知其剛度方程為：由此可知，必有: 或這表明，只須要把適當?shù)摹案郊雍奢d”施加于線性系統(tǒng)，即可以在保持線性剛度的情況下，按照線性分析的方法求得非線性的附加位移增量，這一方法的分析步驟如圖10-8所示： PU精確值由于上式中及均為未知，所以采用該方法求解時必須進行迭代運算。附加荷載可以借助于初應(yīng)力減初應(yīng)變的差值來確定。 初應(yīng)變法（在彈塑性分析中）因為總的應(yīng)變增量等于彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之和：，其中為塑性增量看作為初始應(yīng)變，與有相同的含義。對

9、于某一級荷載增量,可利用線彈性剛度求解出對應(yīng)于A點的線性位移增量,由于非線性的P-U曲線對應(yīng)于該荷載增量的正確位移為B點。故位移增量應(yīng)當是,位移增量之差即為塑性引起的附加位移，或叫“初始位移”，見下圖：UPAB 初應(yīng)方法 初應(yīng)力法仍是采取增量加載，對于每一級荷載增量首先以線性方法求解節(jié)點的位移增量及應(yīng)力增量，應(yīng)變增量，并把由線性解所得的應(yīng)力增量 稱為“全應(yīng)力增量”。它相當于下圖的 。 BC5、簡述格雷姆施密特（GramSchmidt）正交化過程。若特征方程的兩個特征值互異，即 ，那么它們對應(yīng)的特征向量必關(guān)于M正交，即 。對于特征值施重根的情況，例如 ，則 為r重根，對應(yīng)于它的特征向量有且僅有r

10、個是線性無關(guān)的，為了在重根處用逆迭代計算處r個M正交的特征向量，不發(fā)生遺漏，采用格雷姆施密特正交化。假定在逆迭代中已得到S個特征向量現(xiàn)在要擴充產(chǎn)生一個向量，它與 全部M正交，可任給與 線性無關(guān)，令式中常數(shù)可利用正交條件定出，也就是在（11-20）式的兩邊左乘 ，并注意到： 即得 這樣，在遇到重根時，用替作為逆迭代的初始迭代向量，對于第K次逆迭代類似地用代替作為迭代向量作逆迭代，由于滿足與正交的條件，將收斂到。6， 利用現(xiàn)有的有限元程序解決一個簡單的工程問題。例：薄壁圓筒受到內(nèi)壓力的例子。假設(shè)圓筒只承受徑向壓力，無軸向壓力。操作步驟如下：（一） 選取學科。選擇main menupreferenc

11、e命令，彈出一個優(yōu)選對話框。因為我們分析的學科只涉及到了結(jié)構(gòu)，所以選中structure復選框，然后單擊ok按鈕，表示我們只進行結(jié)構(gòu)分析。（二） 創(chuàng)建幾何模型。對于本例，我們采用自頂向下的方法，選擇main menupreprocessorcreateannulus命令，我們選取3個點,一個為中心，一個為內(nèi)半徑，一個為外半徑。創(chuàng)建一個換面.（三） 劃分網(wǎng)格。1、選取單元形式。對于本例而言，選擇單元是PLANE2。2、定義材料屬性，選擇main menupreprocessormaterialmaterial models命令，輸入鋼的楊氏模量“2e11” （四） 分網(wǎng)控制和分網(wǎng)。我們選擇采用選

12、擇main menupreprocessormesh tool命令，在彈出的對話框size control選項組中，單擊areas右邊的set按鈕。在所彈出的對話框中進行如下操作：1，直接在圖形窗口中單擊環(huán)。2，單擊ok按鈕。3，在彈出的單元尺寸設(shè)置中，在element edge length(單元邊長)文本框中輸入0.02. 4，單擊ok。5，在分網(wǎng)工具對話框中單擊mesh按鈕，對物體進行網(wǎng)格的劃分。6，在彈出對話框后，在圖形窗口中單擊環(huán)。7，然后單擊對話框中的ok按鈕。（五） 加載。在本例中考慮到重力和外壓相對內(nèi)壓而言是很小的，所以不予考慮。只需要施加內(nèi)壓，這是一個表面荷載。為了對內(nèi)表面施加壓力，按如下步驟進行操作：1， 選擇utility menuplotline命令。這樣圖形窗口上將只畫出兩個圓，內(nèi)院代表內(nèi)表面，外圓代表外表面。2，將壓力應(yīng)用到線上。3，在彈出的選取對話框中，選取內(nèi)圓的4條選段。然后單擊選取對話框上的ok按鈕。4，輸入壓力常數(shù)”1.e7”(六) 求解。由于本例的問題