對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用++復(fù)制復(fù)制

1、大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 大慶師范學(xué)院 本科生畢業(yè)論文 對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用 摘要:本文主要討論了對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用，對(duì)每一類積分，先給出對(duì)稱 性用于該類積分的相關(guān)結(jié)論，在用例子展示了結(jié)論的有效性，合理的利用對(duì)稱性可簡(jiǎn) 化繁瑣的積分計(jì)算。 關(guān)鍵詞：對(duì)稱性；積分區(qū)域；奇偶性；定積分；二重積分；三重積分；曲線積分； 曲面積分 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 i 目錄目錄 1、引引言言 .1 二二、正正文文.1 （一）定積分的計(jì)算（一）定積分的計(jì)算.2 （二）（二）二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算.4 （三）三重積分的計(jì)算（三）三重積分的計(jì)算.7 （四）曲線積分的計(jì)算（四）曲線積分的

2、計(jì)算.8 （五）曲面積分的計(jì)算（五）曲面積分的計(jì)算.10 三、結(jié)束語(yǔ)三、結(jié)束語(yǔ).10 致謝辭致謝辭.11 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) .12 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 1 文章的過(guò)渡與引入重新整理，有很多地方不通順，不自然文章的過(guò)渡與引入重新整理，有很多地方不通順，不自然 引言引言（整個(gè)文章按標(biāo)準(zhǔn)格式寫，格式初步按范文格式改）（整個(gè)文章按標(biāo)準(zhǔn)格式寫，格式初步按范文格式改） 積分區(qū)域的對(duì)稱性和奇偶性不僅可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，而且可以為積分計(jì)算提供某種 信息，幫助人們尋找最優(yōu)的解題策略，使復(fù)雜的問(wèn)題得以簡(jiǎn)化 如在計(jì)算定積分時(shí)， 很多高等數(shù)學(xué)教材都給出了如下結(jié)論：當(dāng)積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且被積函數(shù)為奇函數(shù) 時(shí)，該定積分的

3、值為0；當(dāng)積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且被積函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，該定積分可 轉(zhuǎn)化為原被積函數(shù)在單側(cè)區(qū)間上積分值的2 倍 此外對(duì)奇函數(shù)只要在上)(xfaa, 可積, 則必有 這里的原函數(shù)不必求出來(lái),但定積分可以直( )0. a a f x dx )(xf( ) a a f x dx 接計(jì)算。計(jì)算不必依于牛頓-萊布尼茲公式,，而主要依于定積分的某種對(duì)稱性,依于定 積分的換元法進(jìn)行.。這里稱它為積分的非常規(guī)計(jì)算方法。本文對(duì)這種非常規(guī)方法和上 面提到的積分區(qū)域的對(duì)稱性和奇偶性在積分計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明。 （此段我簡(jiǎn)單的改了一下，（此段我簡(jiǎn)單的改了一下， 還有些不通順的，你好好改改）還有些不通順的，你好好改改） 正文正文

4、1 積分區(qū)域的對(duì)稱性 積分區(qū)域隨著積分的類型不同而不同，它可以是區(qū)間，也可以是平面區(qū)域或者空 間區(qū)域，還可以是弧段或曲面片 若將它們統(tǒng)一為空間區(qū)域，則可建立積分區(qū)域?qū)ΨQ 性的一般定義 定義1 設(shè)是任一空間區(qū)域， 3 r 1）若點(diǎn)，有，則稱 關(guān)于面對(duì)稱；),(zyx ),(zyx xoy 2）若點(diǎn)，有，則稱關(guān)于 面對(duì)稱；),(zyx),(zyx yoz 3）若點(diǎn)，有，則稱關(guān)于面對(duì)稱；),(zyx),(zyxxoz 4）若點(diǎn)，有，則稱關(guān)于軸對(duì)稱；),(zyx),(zyxz 5）若點(diǎn)，有，則稱關(guān)于軸對(duì)稱；),(zyx),(zyxy 6）若點(diǎn)，有，則稱關(guān)于 軸對(duì)稱；),(zyx),(zyxx 7）若點(diǎn)

5、，有，則稱關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱),(zyx),(zyx 2 函數(shù)的奇偶性 奇偶性是定義在對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，通過(guò)研究函數(shù)的奇偶性可以 了解函數(shù)的圖像是否具有對(duì)稱性，進(jìn)而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題的求解 21 一元函數(shù)的奇偶性 一元函數(shù)的奇偶性清晰地表達(dá)了奇(偶)函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)(軸)的對(duì)稱性特征，y 即有： 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 2 定義2 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若對(duì)任一，都有)(xfddx ，則稱是奇(偶)函數(shù))()(xfxf)()(xfxf)(xf 類似一元函數(shù)的奇偶性，我們可以討論多元函數(shù)的奇偶性和其圖形的對(duì)稱性 22 多元函數(shù)的奇偶性 多元函數(shù)的奇偶性可以表現(xiàn)為其關(guān)于任意多個(gè)變?cè)钠媾?/p>

6、性，如一元奇偶、二元 奇偶和三元奇偶等 定義3 若函數(shù)的定義域關(guān)于軸對(duì)稱，且滿足(或),(yxfdx),(),(yxfyxf ，則稱是上關(guān)于的一元偏奇(偶)函數(shù)),(),(yxfyxf),(yxfdy 定義4 若函數(shù)的定義域關(guān)于面對(duì)稱，且滿足),(zyxfxoy （或） ，則稱是上關(guān)于z的一元),(),(zyxfzyxf),(),(zyxfzyxf),(zyxf 偏奇(偶)函數(shù) 類似地，可以給出關(guān)于軸對(duì)稱區(qū)域上的二元函數(shù)關(guān)于的一元偏奇偶性;關(guān)于y x 面對(duì)稱區(qū)域上的三元函數(shù)關(guān)于的一元偏奇偶性；關(guān)于面對(duì)稱區(qū)域上的三元函yozxzox 數(shù)關(guān)于的一元偏奇偶性等y 定義5 若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

7、且滿足（或),(yxfd),(),(yxfyxf )，則稱是上關(guān)于的二元全奇（偶）函數(shù)),(),(yxfyxf),(yxf),(yx 定義6 若函數(shù)的定義域關(guān)于軸對(duì)稱，且滿足),(zyxfz （或） ，則稱是上關(guān)于的),(),(zyxfzyxf),(),(zyxfzyxf),(zyxfyx, 二元偏奇(偶)函數(shù) 定義7 若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足),(zyxf 或，則稱是上關(guān)于),(),(zyxfzyxf),(),(zyxfzyxf),(zyxf 的三元全奇（偶）函數(shù)),(zyx 類似地，可以建立定義域關(guān)于軸對(duì)稱的三元函數(shù)關(guān)于 的二元偏奇偶性；xzy, 以及定義域關(guān)于軸對(duì)稱的三元函數(shù)關(guān)

8、于的二元偏奇偶性yzx, 以下對(duì)定積分，重積分，第一、二型曲線積分，第一、二型曲面積分中的應(yīng)用. （1）定積分的計(jì)算 在一個(gè)定積分中，如果積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且被積函數(shù)關(guān)于積分變量具有 奇偶性，則可利用定理1來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 3 定理 1 設(shè)在上可積，則=)(xfaa,dxxf a a )( .)(,)( 0 2 ,)(, 0 為偶函數(shù)若 為奇函數(shù)若 xfdxxf a xf 證明：因?yàn)?dxxfdxxfdxxf a aa a )()()( 0 0 對(duì)積分作代換 ， ，則得dxxf a )( 0 txdtdx dxxfdttfdttfdxxf aa aa 00 00 )()(

9、)()( 于是 dxxfxfxfdxxfdxxf aaaa a 000 )()()()()( 若（即為偶函數(shù)時(shí)），則)()(xfxf)(xfdxxfdxxf aa a 0 )(2)( 若（即為奇函數(shù)時(shí)），則)()(xfxf)(xf0)( dxxf a a 例 1 計(jì)算dxxxxx 3 3 223 )2tansin( 解：區(qū)間 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，被積函數(shù)可分解為一個(gè)奇函數(shù)和3 , 3xxxtansin 23 一個(gè)偶函數(shù)2 2 x dxxxxx 3 3 223 )2tansin( =dxxdxxxx 3 3 2 3 3 23 )2()tansin( =0+dxx 3 0 2 )2(2 =30)2 3

10、1 (2 3 0 3 xx 當(dāng)在上對(duì)稱時(shí)除了利用上述的定理外我們還可以利用以下簡(jiǎn)單而有用的)(xfba, 公式： 公式一：dxxbafxfdxxbafdxxf b a b a b a )()( 2 1 )()( 公式一主要用于的原函數(shù)找不出來(lái),，而f卻非常簡(jiǎn)單，)(xf)()()(xgxbafxf 使積分成為可能。 例2 計(jì)算0 sincos sin 2 0 dx xx x 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 4 解， xx x xf sincos sin )( xx x xx x xfxf 2 sin 2 cos 2 sin sincos sin ) 2 ()( =+=1 xx x sincos sin

11、xx x sincos cos 從而，原式= 4 *1 2 1 2 0 dx 例3 計(jì)算dx xx x 4 2 )3ln()9ln( )9ln( 解 , )3ln()9ln( )9ln( )( xx x xf =+=1)6()(xfxf )3ln()9ln( )9ln( xx x )3ln()9ln( )3ln( xx x 從而，原式=1*1 2 1 4 2 dx 由例2，例3可得一個(gè)一般結(jié)果: 這里要求在 2 ) 2 )( () 2 )(3 ( ) 2 )(3 ( ab dx ba xfx ba f x ba f b a )(xf 上為非負(fù)連續(xù)函數(shù).2)3( , 23baba 定積分計(jì)算中，

12、當(dāng)一個(gè)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分時(shí)，先設(shè)法將它分解為一個(gè)奇函數(shù) 和一個(gè)偶函數(shù)，這樣可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。也可以利用公式一得非常規(guī)方法來(lái)化簡(jiǎn)復(fù)雜 的積分計(jì)算。同樣在二重積分、三重積分、第一類型曲線或曲面積分計(jì)算時(shí)，也可以 利用對(duì)稱性、奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算。 （二）二重積分的計(jì)算 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，被積函數(shù)具有一元偏奇偶性時(shí)，可利用下述的定理2、定理3 和 推論1 來(lái)簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算 定理2 設(shè)區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，若在區(qū)域上可積，dx0,),(),( 1 ydyxyxd),(yxfd 則 的奇函數(shù)。為， 的偶函數(shù)，為 y),(0 y),(,),(2 ),( 1 yxf yxfdyxf dyxf d d 證明

13、 則,分別表示積分區(qū)域在軸的上方和下方區(qū)域，根據(jù)積分的區(qū)域可加性有 1 d 2 ddx 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 5 。 21 ),(),(),( ddd dyxfdyxfdyxf 令，可得ux vy1 10 01 ),( ),( vu yx j ， 222 ),(),(),( ddd dudvvufdjvufdxdyyxf 其中,于 1222 ),(),(),( ,),(ddyxyxdyxyvxuvud 是 1 ),(),(),( ddd dxdyyxfdudvvufdyxf 從而=， 21 ),(),(),( ddd dyxfdyxfdyxfdxdyyxfyxf d 1 ),(),( 因?yàn)?.

14、),(0 ),(, ),(2 ),(),( 的奇函數(shù)為， 的偶函數(shù)，為 yyxf yyxfyxf yxfyxf 所以 的奇函數(shù)。為， 的偶函數(shù)，為 y),(0 y),(,),(2 ),( 1 yxf yxfdyxf dyxf d d 類似的可以得出定理3，推論1以及定理4.（此處能否都用定理符號(hào)，感覺(jué)有點(diǎn)亂） 定理3 設(shè)區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，若在區(qū)域dy0,),(),( 1 xdyxyxd),(yxf 上可積，則d 的奇函數(shù)。， 的偶函數(shù)，為 xyxf yxfdyxf dyxf d d ),(0 x),(,),(2 ),( 1 推論1 設(shè)在區(qū)域上可積,且關(guān)于軸和軸都對(duì)稱，則當(dāng)同時(shí)),(yxfddxy

15、),(yxf 滿足關(guān)于和的偶函數(shù)特性時(shí)，有xy 1 ),(4),( dd dyxfdyxf 其中；當(dāng)滿足關(guān)于或的奇函數(shù)特性時(shí)，0, 0,),(),( 1 yxdyxyxd),(yxfxy 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 6 有。0),( dyxf d 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，被積函數(shù)具有二元全奇偶性時(shí)，可利用定理4 來(lái) 簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算 定理 4 設(shè)區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若在區(qū)域d0,),(),( 1 xdyxyxd),(yxf 上可積，則d 。的二元全奇函數(shù)， ），的二元全偶函數(shù)（為 ),(),(,),(0 ),(),(yx,),(,),(2 ),( 1 yxfyxfyxyxf yxfyxfyxfd

16、yxf dyxf d d 例 4 計(jì)算，其中是由拋物線，及直線圍成。 d dyxi)(d 2 xy 2 4xy 1y 解：，又區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，如圖1所示， dd ydxdi dy ),(),(yxfxyxf),(),(yxfyyxf ， d xd0dydy dd 1 2 5 2 22)( 1 0 2 1 y y dd dxydydydyxi 例5 計(jì)算，。 dxdyyx d 2),(yxyxd 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 7 分析：積分區(qū)域既對(duì)稱于軸，又對(duì)稱于軸（如圖1） ，被積函數(shù)是或的一元偏偶函xyxy 數(shù) 據(jù)定理2、定理3 或推論1 有 ，dxdyyxdxdyyx ddd 21 )(2)( 或

17、者 ，dxdyyxdxdyyx ddd 41 )(2)( 或者 。dxdyyxdxdyyx dd 1 )(4)( 此外，積分區(qū)域,其中, 4321 ddddd 1 d 與,分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,被積函數(shù)是的二元全偶函數(shù) 應(yīng)用定理4 得 3 d 2 d 4 dyx, dxdyyxdxdyyxdxdyyx ddd 21 )(2)(2)( 又有定理 2，3 知 ，dxdyyxdxdyyx dd 41 )()( dxdyyxdxdyyx dd 21 )()( 于是，只要計(jì)算在上的積分即可 1 d (3)三重積分的計(jì)算 三重積分的計(jì)算同樣可用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化.常用的結(jié) 論如下,其中是

18、關(guān)于對(duì)稱平面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)一側(cè)的區(qū)域. 定理五：（1）當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，則yoz 此處有打印錯(cuò) 1 .),(2 ,0 ),( 于為偶函數(shù)關(guān)若 于為奇函數(shù)關(guān)若 xfdvzyxf xf dvzyxf 其中0, 1 xzyx （2）當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，則xoz （此處有打印錯(cuò)誤） 1 .),(2 ,0 ),( 于為偶函數(shù)關(guān)若 于為奇函數(shù)關(guān)若 yfdvzyxf yf dvzyxf ，其中0, 1 yzyx 圖 2 積分區(qū)域 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 8 （3）當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱，則xoy 此處有打印錯(cuò) 1 .),(2 ,0 ),( 于為偶函數(shù)關(guān)若 于為奇函數(shù)關(guān)若 zfdvzyxf zf d

19、vzyxf 其中0, 1 zzyx 證明：（1）依三重積分的性質(zhì)得： 其中 dvzyxfdvzyxfdvzyxf 21 ),(),(),( ，0),( 1 xzyx0),( 2 xzyx 作變量替換，則=-1 zz zytyy tx 1 ),( ),( ),( zytd zyxd j 100 010 001 1j 當(dāng)關(guān)于變量為偶函數(shù)時(shí)),(zyxfx dtdydzzytfdtdydzjzytfdvzyxf 112 ),(),(),( 當(dāng)關(guān)于變量為奇函數(shù)時(shí)),(zyxfx 又積分與積分變量無(wú)關(guān)。dtdydzzytfdtdydzjzytfdvzyxf 112 ),(),(),( 所以 1 .),(

20、2 ,0 ),( 于為偶函數(shù)關(guān)若 于為奇函數(shù)關(guān)若 xfdvzyxf xf dvzyxf 余下定理同理可證。 例6計(jì)算其中為拋物體與球體 ,)(dvxzyzxyi 02 22 ayxaz 的公共部分，如圖 2222 3azyx 解：因?yàn)殛P(guān)于面對(duì)稱，而，關(guān)于是奇函數(shù)0yxyyzy 所以，又關(guān)于面也對(duì)稱，而關(guān)于是奇函數(shù) 0)(dvyzxy0 xxzx 所以 0 xzdv0i (4)曲線積分計(jì)算 類似重積分的計(jì)算，曲線積分的計(jì)算也可以利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性來(lái)簡(jiǎn) 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 9 化 常用的結(jié)論如下. 定理六 當(dāng)積分曲線為平面曲線，且關(guān)于軸（或 軸）對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)llyx),(

21、yxf 于（或）具有一元偏奇偶性，則xy ， 1 ),(),(2 ),(0 ),( l lyxyxfdsyxf yxyxf dsyxf ）為偶函數(shù)（或關(guān)于變量若 ）為奇函數(shù)（或關(guān)于變量若 其中。)0y(0, 1 或xlyxl 證明：設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱的平面光滑曲線的函數(shù)為，則：yl)(xyy aax, dxxyxyxfdsyxf a al 2 )(1)(,(),( =+dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,( dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,( 又令，則：tx =dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,( )()(1)(,( 2 0 tdtytytf a =dttytytf a 2

22、0 )(1)(,( dttytytf a 2 0 )(1)(,( 由于關(guān)于軸對(duì)稱及，l)()(tyty)()(tyty 當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)時(shí)：),(yxfx 上式=dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,(2 = l dsyxf),(dxxyxyxf a 2 0 )(1)(,( 1 ),(2 l dsyxf 當(dāng)關(guān)于是奇函數(shù)時(shí)，同理可證。),(yxfx 例7 設(shè)是圓周求,求l 222 ryxdsyx )( 32 解：，關(guān)于軸和軸對(duì)稱，關(guān)于是偶函數(shù)，dsydsxi 32 lxy 2 ),(xyxfx 關(guān)于是奇函數(shù)，則： 3 ),(yyxfy =0,02 222 1 2 1 xryxyxldsxi l

23、 且 rdr 2 2 2 2 cos2 dr 2 0 23 cos4 3 r 定理七 當(dāng)積分曲線為空間曲線，且關(guān)于坐標(biāo)面（或或）對(duì)稱，llxoyyozzox 被積函數(shù)關(guān)于（或或）具有一元偏奇偶性時(shí)，則zxy 1 yxz),()z,(2 yxz),(0 ),( l lzyxfdsyxf zyxf dsyxf ）為偶函數(shù)或（或關(guān)于變量若， ）為奇函數(shù)或（或關(guān)于變量若 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文 10 證明同上： （5）曲面積分計(jì)算 在曲面積分的計(jì)算過(guò)程中，當(dāng)積分區(qū)域具有某種對(duì)稱性時(shí)，如果被積函數(shù)具有某 種特性，這時(shí)可以利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化積分的計(jì)算。這里所討論的對(duì)稱性主要包括兩個(gè)方 面：積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸（或

24、坐標(biāo)面）的對(duì)稱性。 定理八（第一類曲面積分) 設(shè)分片光滑曲面關(guān)于面對(duì)稱，為曲面在xoy 1 面的上半部分，那么xoy0,: 1 yxzz 為偶函數(shù)關(guān)于若 為奇函數(shù)關(guān)于若 zzyxfdszyxf zzyxf dszyxf ),(),(2 ),(0 ),( 1 證：設(shè)，為與關(guān)于面對(duì)稱的曲面, 21 2 1 xoy),(: 2 yxzz 和在面上的投影為，和是上的單值函數(shù)。 1 2 xoy xy d),(yxzz ),(yxzz xy d 故dszyxfdszyxfdszyxf 21 ),(),(),( =+dxdyzzyxzyxf yx dxy 22 1),(,( dxdyzzyxzyxf yx

25、dxy )()(1),(,( 22 =dxdyzzyxzyxfyxzyxf yx dxy 22 1),(,(),(,( 當(dāng)是的奇函數(shù)時(shí)，有),(zyxfz),(),(zyxfzyxf0),( dszyxf 當(dāng)是的偶函數(shù)時(shí)，有),(zyxfz),(),(zyxfzyxf dszyxfdszyxf 1 ),(2),( 若關(guān)于另外兩個(gè)坐標(biāo)面有對(duì)稱性，則有類似的方法。第二類曲面積分的奇偶對(duì)稱性 也有類似的性質(zhì)，參照上述證明過(guò)程同樣可以得到下述定理。 定理九（第二類曲面積分定理）設(shè)分片光滑的空間曲面關(guān)于面對(duì)稱，為yoz 1 曲面在面的前半部分，那么yoz0,: 1 zyxx 為偶函數(shù)關(guān)于若 為奇函數(shù)關(guān)于若 xzyxfdszyxf xzyxf dszyxf ),(),(2 ),(0 ),( 1 若關(guān)于另外兩個(gè)坐標(biāo)面有對(duì)稱性, 則有類似的方法。 大慶師范學(xué)院畢業(yè)論文