第十章無窮級數一

1、10.1 數項級數的概念和性質數項級數的概念和性質 一、問題的提出 1. 1. 計算圓的內接正多計算圓的內接正多 邊面積之和邊面積之和 R 正六邊形的面積正六邊形的面積 正十二邊形的面積正十二邊形的面積 1 a 21 aa 正正 形的面積形的面積 n 23 n aaa 21 n aaa 21 則則 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 . 2 =？ =？ 二、數項級數的概念 1. 1. 定義定義: : n n n uuuuu 321 1 稱為稱為無窮級數無窮級數（級數級數）一般項一般項 部分和數列部分和數列 n i inn uuuus 1 21 級數的部分和級數的部分和 , 11

2、us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 依依次次相相加加所所得得的的和和式式 它它的的各各項項是是一一個個給給定定的的數數列列，將將設設, 21n uuu 2. 2. 級數的收斂與發(fā)散級數的收斂與發(fā)散: : 當當n無限增大時無限增大時, ,如果級數如果級數 1n n u的部分和的部分和 數列數列 n s有極限有極限s, , 即即 ssn n lim 則稱無窮級數則稱無窮級數 1n n u收斂收斂, ,這時極限這時極限s叫做級數叫做級數 1n n u的和的和. .并并 寫成寫成 n uuus 21 如果如果 n s沒有極限沒有極限, ,則稱無窮級數則稱無窮級數

3、1n n u發(fā)散發(fā)散. . 余項余項 nn ssr 21nn uu 1i in u 即即 ssn 誤誤差差為為 n r)0lim( n n r 無窮級數收斂性舉例：無窮級數收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. . 做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對 稱的產生邊長為原邊長的稱的產生邊長為原邊長的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長無限的圖形了面積有限而周長無限的圖形“Koch“Koch雪花雪花” 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一

4、次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長為周長為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長為周長為 設三角形設三角形 播放播放 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長為周長為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長為周長為 設三角形設三角形 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長為周長

5、為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長為周長為 設三角形設三角形 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長為周長為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長為周長為 設三角形設三角形 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長為周長為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長為周長為 設三角形設三角形 觀察雪花

6、分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長為周長為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長為周長為 設三角形設三角形 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長為周長為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長為周長為 設三角形設三角形 , 2 , 1) 3 4 ( 1 1 nPP n n ) 9 1 (43 1 12 1 AAA nn nn 1 12 1

7、 2 11 ) 9 1 (43) 9 1 (43 9 1 3AAAA nn , 3 , 2 n 周長為周長為 面積為面積為 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 1 22 1 n A 第第 次分叉：次分叉：n 于是有于是有 n n Plim ) 9 4 1 3 1 1(lim 1 AAn n . 5 32 ) 5 3 1( 1 A 結論：雪花的周長是無界的，而面積有界結論：雪花的周長是無界的，而面積有界 雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂） 例例 1 1 討討論論等等比比級級數數( (幾幾何何級級數數) ) n n n aqaqaqaa

8、q 2 0 )0( a 的的收收斂斂性性. . 解解 時時如如果果1 q 12 n n aqaqaqas q qa n 1 )1( ,1時時當當 q 0lim n n q q a sn n 1 lim 收斂收斂 ,1時時當當 q n n qlim n n slim 發(fā)散發(fā)散 時時如如果果1 q ,1時時當當 q ,1時時當當 q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級級數數變變?yōu)闉?不不存存在在 n n s lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散時時當當 收收斂斂時時當當 ,1 ,1 0 q q aq n n 例例 2 2 判判別別無無窮窮級級數數 1 12 32 n nn 的的收收斂斂性性. . 解解

9、 nn n u 12 32 , 3 4 4 1 n 已知級數為等比級數，已知級數為等比級數， , 3 4 q公比公比 , 1| q .原級數發(fā)散原級數發(fā)散 例例 3 3 判別無窮級數判別無窮級數 )12()12( 1 53 1 31 1 nn 的收斂性的收斂性. . 解解 )12)(12( 1 nn un), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ), 12 1 1( 2 1 n

10、, 2 1 . 2 1 , 和和為為級級數數收收斂斂 三、基本性質 結論結論: : 級數的每一項同乘一個不為零的常數級數的每一項同乘一個不為零的常數, , 斂散性不變斂散性不變. . 結論結論: : 收斂級數可以逐項相加與逐項相減收斂級數可以逐項相加與逐項相減. . 發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散 例例 5 5 求求級級數數 1 2 1 )1( 5 n n nn 的的和和. . 解解 1 2 1 )1( 5 n n nn 1 )1( 5 n nn 1 2 1 n n 11 1 11 5 )1( 5 nn nnnn n k n kk g 1 1 11 5令令), 1 1 1(5 n 0 00 )( n nn

11、n n n n vu vu 發(fā)發(fā)散散 發(fā)發(fā)散散，則則級級數數收收斂斂，級級數數若若級級數數推推論論 , 5) 1 1 1(lim5lim n g n n n , 2 1 1 是是等等比比級級數數 n n ，首首項項是是公公比比 2 1 , 1 2 1 q n n n n h lim 2 1 1 . 615 2 1 )1( 5 1 n n nn 故故 , 1 2 1 1 2 1 性性質質 3 3 若若級級數數 1n n u收收斂斂, ,則則 1kn n u也也收收斂斂 )1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. . 證明證明 nkkk uuu 21 nkkkn uuu 21 , kkn ss k n

12、 kn n n n ss limlimlim 則則 . k ss 類似地可以證明在級數前面加上有限項不類似地可以證明在級數前面加上有限項不 影響級數的斂散性影響級數的斂散性. 性性質質 4 4 收收斂斂級級數數加加括括弧弧后后所所成成的的級級數數仍仍然然收收斂斂 于于原原來來的的和和. . 證明證明 )()( 54321 uuuuu , 21 s .limlimssn n m m 則則 , 52 s , 93 s , nm s 注意注意 收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂. )11()11(例例如如 1111 推論推論 如果加括弧后所成的級數發(fā)散如果加括弧

13、后所成的級數發(fā)散, ,則原來級則原來級 數也發(fā)散數也發(fā)散. . 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 四、收斂的必要條件 級級數數收收斂斂. 0lim n n u 證明證明 1n n us, 1 nnn ssu則則 1 limlimlim n n n n n n ssu ss . 0 即即趨趨于于零零它它的的一一般般項項無無限限增增大大時時當當, n un 級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件: : 注意注意 1.1.如果級數的一般項不趨于零如果級數的一般項不趨于零, ,則級數發(fā)散則級數發(fā)散; ; 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例例如如 發(fā)散發(fā)散 2.2.必要條件不充分必要條件不充分. . ?, 0lim但級數是否收斂但級數是否收斂有有 n n u n 1 3 1 2 1 1例例如如調調和和級級數數 討論討論 nnn ss nn 2 1 2 1 1 1 2 , 2 1 2 n n .,s其其和和為為假假設設調調和和級級數數收收斂斂 )lim( 2nn n ss 于于是是ss , 0 .