高中數(shù)學(xué)——用幾何畫板研究函數(shù)圖象

1、高中數(shù)學(xué)校本課程-用幾何畫板研究函數(shù)圖象（與高中數(shù)學(xué)必修一配套使用）主編： 王玉潔 陳梅 鄒玲前言數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面，它與計算機技術(shù)的結(jié)合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，推動著社會生產(chǎn)力的發(fā)展。課程標(biāo)準(zhǔn)把注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合作為課程的基本理念之一， 現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機整合，整合的基本原則是有利于學(xué)生認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈

2、現(xiàn)的課程內(nèi)容，在保證筆算訓(xùn)練的前提下，盡可能使用科學(xué)型計算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺，加強數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合，鼓勵學(xué)生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)。鑒于此，我們編寫了用幾何畫板作圖系列叢書，本冊為用幾何畫板研究函數(shù)圖象，供普通高中高一學(xué)生上學(xué)期學(xué)習(xí)使用。本冊用幾何畫板研究函數(shù)圖象主要特點是注意了幾何畫板的工具性，本冊不是系統(tǒng)講解幾何畫板的教程，而僅僅把幾何畫板作為研究函數(shù)圖象的一個工具，目的是通過幾何畫板作圖讓學(xué)生更好地抓住函數(shù)的本質(zhì)，認識函數(shù)的性質(zhì)?？紤]到高中學(xué)生學(xué)習(xí)時間的限制，本冊僅把幾何畫板的部分必要功能給學(xué)生做出介紹，其他功能放在拓展資源中，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用。本冊使用

3、說明：本冊可與普通高中數(shù)學(xué)必修一配套使用，建議一周一個課時，本冊分為兩個章節(jié)，第一章共三講，主要包括幾何畫板的簡介、部分功能介紹、作圖步驟及演例等預(yù)備知識。第二章共七講，根據(jù)高中數(shù)學(xué)必修一教材對函數(shù)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，依次對一次函數(shù)、二次函數(shù)、對勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指、對數(shù)函數(shù)關(guān)系、冪函數(shù)等函數(shù)圖象進行研究。整個編排的設(shè)計符合學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)心理，便于學(xué)生在教師指導(dǎo)下自學(xué)和探究。由于水平有限，加之編寫時間倉促，本資源難免有疏漏之處，懇請讀者提出寶貴意見和建議，以便于我們今后進一步修改完善。 2013年3月第一章 幾何畫板入門第一講 幾何畫板功能及菜單簡介-6第二講 如何用程序語言表示函

4、數(shù)-9第三講 幾何畫板畫圖步驟及演例-21第二章 用幾何畫板研究函數(shù)圖象第一講 一次函數(shù)圖象的研究-25第二講 二次函數(shù)圖象的研究-28第三講 對勾函數(shù)圖象的研究-33第四講 指數(shù)函數(shù)圖象的研究-36第五講 對數(shù)函數(shù)圖象的研究-39第六講 指、對數(shù)函數(shù)關(guān)系的研究-42第七講 冪函數(shù)圖象的研究-46拓展資料幾何畫板其他功能簡介-52第一章 幾何畫板入門第一講 幾何畫板簡介及安裝啟動一、幾何畫板是什么幾何畫板是一個優(yōu)秀的專業(yè)學(xué)科平臺軟件，代表了當(dāng)代專業(yè)工具平臺類教學(xué)軟件的發(fā)展方向。它是以數(shù)學(xué)為根本，以“幾何動態(tài)”為特色來動態(tài)表現(xiàn)設(shè)計者的思想，供用戶探索幾何奧妙的一個新工具。該軟件短小精悍，功能強大

5、，開發(fā)的軟件具有精確的數(shù)字化描述和動態(tài)的參數(shù)交互功能，能夠動態(tài)表現(xiàn)相關(guān)對象的關(guān)系。1 電子作圖工具幾何畫板可以作為電子作圖工具，利用它的工具箱提供的工具，模擬直尺、三角板、圓規(guī)，作出點、線段、射線、直線和圓等幾何圖形，并可以在各幾何元素旁標(biāo)注字母，也可以在畫板上任何地方注釋文字。2 動態(tài)演示工具幾何畫板能夠準(zhǔn)確動態(tài)地表現(xiàn)問題，為充分展現(xiàn)幾何元素在運動狀態(tài)下保持幾何關(guān)系的不變性，提供了方便的動態(tài)演示，使傳統(tǒng)教學(xué)中只能在黑板上靜態(tài)表現(xiàn)的結(jié)果變成動態(tài)的展示過程，從而使學(xué)生對一些幾何性質(zhì)和定理的理解更快更深刻。3 顯示和探求軌跡的工具軌跡是幾何中一個重要知識點，且又是一個難點，主要難在需要用動態(tài)的觀點

6、看幾何圖形。但過去的課堂教學(xué)中，一般是借助于靜態(tài)的圖形或簡單的教具進行講解，學(xué)生只能根據(jù)對問題的分析和最終的結(jié)果去想象出軌跡生成的過程，如果學(xué)生的想象能力差一點，理解這部分的內(nèi)容就會更難。而利用幾何畫板的動態(tài)功能可直觀地演示出軌跡的生成過程，不僅使分析、過程、結(jié)果都一目了然，而且便于整體把握教學(xué)內(nèi)在規(guī)律，還可以由此發(fā)現(xiàn)許多新的規(guī)律。4 課件開發(fā)工具幾何畫板又可以作為課件開發(fā)的工具，而且它與一般的CAI寫作工具軟件不同，幾何畫板不需要開發(fā)者有程序設(shè)計知識，它所需要的僅僅是一定的數(shù)學(xué)知識，特別是幾何建構(gòu)思想即可。利用體統(tǒng)的動畫功能可以制作動態(tài)的教學(xué)過程，使原本抽象、枯燥的內(nèi)容變得具體、生動、活潑，

7、充分展示了數(shù)學(xué)的美。5 良好的學(xué)具幾何畫板為學(xué)生提供一個自由的、開闊的、十分理想的“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境，幾何畫板本身就是一個很好地幾何情境，它可以作為學(xué)生研究幾何關(guān)系，猜測、發(fā)現(xiàn)和驗證幾何方法，探索幾何規(guī)律的一個電子“實驗室”，在這個“實驗室”中，學(xué)生可以在畫板上畫出各種幾何圖形，系統(tǒng)利用它所存儲的幾何定理和公式，自動顯示出這些圖形之間的關(guān)系，學(xué)生從中就可以驗證有關(guān)的幾何性質(zhì)，接受并理解相關(guān)的知識。二、幾何畫板安裝、啟動和退出1 系統(tǒng)配置幾何畫板工作環(huán)境為中文或帶有中文平臺的Windows 9.x，32MB以上主機內(nèi)存，40MB以上硬盤和光驅(qū)啟動器。本資源是以中文Windows 98 作為幾何畫板

8、的工作環(huán)境進行講解的。2 幾何畫板的安裝步驟（1）安裝幾何畫板，首先雙擊文件“Sketchpad.exe”圖標(biāo)，安裝密碼：“welcome-to-”；在后面彈出的對話框中，單擊“Next”按鈕，安裝幾何畫板英文版。（2）雙擊文件“Updatel”圖標(biāo)，在后面彈出的幾個對話框中，單擊“Next”按鈕，安裝幾何畫板4.03英文版升級版。3 啟動幾何畫板幾何畫板的啟動與其他軟件的啟動類似，單擊“開始”按鈕，選擇“程序”的“GSP4.04”菜單命令，或者雙擊屏幕上的幾何畫板快捷圖標(biāo)，就可以進入幾何畫板的使用窗口界面，在屏幕空白處單擊鼠標(biāo)，屏幕中間的版本信息消失，如5秒內(nèi)無任何輸入，版本信息也自動消失。

9、4 畫板窗口窗口第一行是標(biāo)題欄，第二行是菜單欄，第二行下面是工作區(qū)，窗口左側(cè)是工具欄，工作區(qū)下面是文本工具欄和數(shù)學(xué)符號面板。剛進入幾何畫板時，計算機在工作區(qū)中自動打開一個標(biāo)題為“未命名1”的畫板文件，其默認擴展名是.gsp。窗口最下面是狀態(tài)欄，顯示當(dāng)前工作狀態(tài)。畫板窗口最左邊的一列有6個小的正方形圖形，是作圖的工具，從上到下分別稱為：選擇工具、點工具、圓規(guī)工具、直線工具、文本工具和自定義工具，總稱為工具箱。5.退出幾何畫板退出幾何畫板的方法與一般Windows應(yīng)用程序的退出方法相同。只要雙擊畫板窗口左上角的“控制”按鈕或單擊畫板窗口右上角的“關(guān)閉”按鈕或打開“文件”菜單，選定“退出”選項，就可

10、以退出幾何畫板。第二講 幾何畫板部分功能及菜單簡介幾何畫板功能強大，主要分為繪制基本幾何圖形、構(gòu)造幾何關(guān)系、測量與計算、軌跡、動畫、變換、腳本、立體幾何圖形的直觀圖、圖形變化等功能，本講僅根據(jù)后續(xù)學(xué)習(xí)的需要，主要介紹繪制基本幾何圖形、構(gòu)造幾何關(guān)系、測量與計算、軌跡等功能，其他功能放在拓展資料部分里講解，以供有興趣的同學(xué)參考學(xué)習(xí)。繪制基本幾何圖形利用幾何畫板可以繪制各種基本的幾何圖形。例如點、線段、射線、直線、圓、垂線、平行線等。一、建立新畫板制作一個畫板文件（也稱為課件），第一步是建立一個新畫板。操作步驟如下（如果是剛進入幾何畫板，系統(tǒng)已自動打開一個新畫板窗口，下面步驟可以省略）：單擊“文件”

11、菜單，屏幕出現(xiàn)一個下拉式子菜單；把鼠標(biāo)指針移到子菜單（這個操作以后簡稱為打開“文件”菜單）；把鼠標(biāo)移到子菜單的第一行“N新畫板”上，單擊鼠標(biāo)左鍵（這個操作以后簡稱為單擊）；屏幕幾何畫板窗口內(nèi)部出現(xiàn)新窗口，這就是新畫板。如果大小不合適，可以用窗口操作，進行放大或縮小。二、基本幾何圖形的繪制繪制基本圖形的基本步驟相同，都是先選定畫圖工具，然后在畫板上繪制。1、畫點工具箱第二個圖標(biāo)，即中間畫有一個小圓點的圖標(biāo)，稱為“畫點工具”。單擊該圖標(biāo)，使它成紅底顯示，就選定了畫點的功能。再把鼠標(biāo)指針移到畫板上要畫點處單擊，指針就出現(xiàn)一個小的空心圓點，就表示在該處畫了一個點。只要選定的畫點功能不變（畫點工具為紅底

12、顯示），用同樣方法，可以在畫板上畫多更多的點。如果有的點畫得不合適，要刪除它，只要先按下ctrl鍵不放，用鼠標(biāo)單擊這個點，這時該點周圍出現(xiàn)一小圓，表示它被選定為當(dāng)前目標(biāo)，再按Delete鍵，這個點就被刪除。另外，幾何畫版還有撤消功能，快捷鍵是”CTRL+Z”2、畫圓工具箱第三個圖標(biāo)，即畫有一個圓的圖標(biāo)，稱為“畫圓工具”。單擊該圖標(biāo)，使它變?yōu)榧t底顯示，表示當(dāng)前選定了畫圓的功能。在平面幾何中，已知圓心位置和半徑可以決定一個圓，幾何畫板中也遵循這個原則。把鼠標(biāo)指針移到要畫圓的圓心位置，按下鼠標(biāo)左鍵不放，畫板上原指針就會出現(xiàn)一個點，表示圓心，然后拖動鼠標(biāo)，圓心周圍出現(xiàn)一個圓，該圓會隨著指針離圓心的距離

13、不同而不同。把鼠標(biāo)拖到合適位置后放開鼠標(biāo)左鍵，一個圓就出現(xiàn)在畫版上。圓的中間有一個小圓點表示圓心，圓上也有一個小圓點，稱為圓上的點，它與圓心的距離表示圓的半徑只要選定的畫點功能不變，用同樣方法，可以在畫板上畫更多的圓。如果有的圓畫得不合適，要刪除它，只要先按下ctrl鍵不放，用鼠標(biāo)單擊圓周上的點，再按Delete鍵，圓和定點就被刪除，剩下的圓心，按刪除點的辦法刪除。3、 畫線工具箱第四個圖標(biāo)，即畫有一個斜線的圖標(biāo)，稱為“畫線工具”。單擊該圖標(biāo)，使它變?yōu)榧t底顯示，表示當(dāng)前選定了畫圓的功能。幾何畫版中的“線”有三種類型：線段、射線、直線。將指針移到畫線工具上，按下左鍵不放，約一秒后右邊就會出現(xiàn)將指

14、針拖動到其中一個圖標(biāo)上，放開左鍵，原工具箱中的畫線圖標(biāo)就變成了你選定的圖標(biāo)。畫線段：按上述方法選定畫線段工具，將指針移到要畫線段的一個端點處，按鼠標(biāo)左鍵不動并拖動鼠標(biāo)到線段的另一個端點處，放開左鍵，一條線段就畫成了。畫射線：按上述方法選定畫射線工具，將指針移到要畫線段的起始端點處，按鼠標(biāo)左鍵不動并拖動鼠標(biāo)到射線的另一個端點處，放開左鍵，一條射線就畫成了。畫直線：按上述方法選定畫直線工具，將指針移到要畫直線的一個端點處，按鼠標(biāo)左鍵不動并拖動鼠標(biāo)到直線的另一個端點處，放開左鍵，一條直線就畫成了。如果有的線畫得不合適，要刪除它，只要先按下ctrl鍵不放，用鼠標(biāo)單擊該線上的任意點，再按Delete鍵，

15、線就被刪除，剩下決定線的點，按刪除點的辦法刪除。三、標(biāo)注字母單擊工具箱第五個畫有伸出一個食指的手的圖標(biāo)，就選定了文本工具。只要這只手的手指尖移到要標(biāo)注的點上單擊，該點旁就顯示出標(biāo)注的字母。該字母是幾何畫版自動按A、B、C、等給的，不合適，可雙擊要修改的字母。標(biāo)注位置不合適可用鼠標(biāo)拖動到其它位置。標(biāo)注的字體、字型、顏色，可單擊鼠標(biāo)右鍵，用所顯示出的快捷菜單來設(shè)置。四、修改圖形的位置和大小無論修改哪種圖形元素，都必須在“選擇”工具的狀態(tài)下。它是工具箱的第一個圖標(biāo)，選定方法與前類似。改點：將鼠標(biāo)移到該點上，按下鼠標(biāo)左鍵不放，這時該點外部出現(xiàn)一個小圓，表示該點被選中，拖動鼠標(biāo)，該點隨著鼠標(biāo)移動，到達合

16、適的位置，放開左鍵，選中的點就移到新位置了。改圓：要修改圓的位置，只要將鼠標(biāo)移到圓周上，然后與移動點位置一樣進行操作。移動圓心點和圓上代表半徑的大小的那個“圓上關(guān)鍵點”，則相應(yīng)地改變圓心的位置和半徑的大小。練習(xí)：1、 畫三個過同一點的圓，拖動其中任一個，觀察是否保持幾何關(guān)系。構(gòu)造幾何關(guān)系一、平行線同時選定直線和直線外一點（方法是：單擊選擇工具后，按下SHIFT鍵不放，用鼠標(biāo)單擊直線和直線外一點，點的外圍有一個小圓，而直線上增加兩個小黑方點，表示它們被選中了）。單擊“作圖”菜單中“平行線”命令，在畫板上就畫出了過直線外一點與直線平行的直線。平行線的前提條件是：一個點和一個或多個直線型對象，或一直

17、線型對象和一個或多個點。注：畫板中的對象生成后，在你對它進行操作（移動、改變尺寸、刪除等）之前，必須選中它。二、交點：前提條件是兩條路徑。三、中點：前提條件是一條或多條線段。四、線段：前提條件是兩個或更多的點。五、垂線：前提條件是一直線型對象和一個或多個點，或一個點和一個或多個直線型對象。六、角平分線：前提條件是三個點，第二個點為角的頂點。七、以圓心和圓周上的點畫圓：前提條件是兩個點，第一個點是圓心。八、以圓心和半徑畫圓：前提條件是一個點和一條線段。九、圓上的?。呵疤釛l件是三個點。十、過三點的?。呵疤釛l件是三個點。十一、內(nèi)部：前提條件是一組點，一個圓或一條弧。十二、軌跡：前提條件是一個對象和路

18、徑上的一個點。演示：1、選取兩條線段，然后來回拖動它們。對兩個點、三個點、三條線段采取同樣方法。2、畫出一個與已構(gòu)造好的三角形有一條邊或一個公共頂點的三角形，觀察移動各點和各條線段時發(fā)生的現(xiàn)象。3、選取合適的對象，執(zhí)行作圖菜單中的每條命令。4、用兩條線段生成一個角，然后生成角的平分線。5、選取一個圓并用作圖菜單生成圓的內(nèi)部。使用顯示菜單來觀察內(nèi)部的顏色。如果你選擇了不同的顏色會出現(xiàn)什么情況？問題：1、如何在屏幕上選取所有的點？2、假如屏幕上所有的點都被選取了，你怎樣釋放一個點而其余的點仍被選中？3、怎樣改變?nèi)切蔚男螤睿?、怎樣從當(dāng)前繪圖版中清除所有對象？5、如果已選擇了一個點，將如何在選擇該

19、點的同時生成另一個點？6、保持點工具為活動工具的同時，怎樣選擇一條線段？7、在不使用線段工具的情況下，怎樣生成一條線段？8、用什么方法能在一條線段上畫出它的中點？測量和計算一、測量1、度量線段的長度選中要度量長度的線段，然后打開“度量”菜單，選定“L長度”，在畫板上出現(xiàn)該線段長度的文字，若位置不合適，可用鼠標(biāo)左鍵拖動到適當(dāng)位置。前提條件：選定一條線段。2、距離：前提條件：選定兩點或一點一線。3、斜率：選定一個直線型對象（線段、射線、直線）。4、半徑：選定一個圓、一段弧或一個扇形。5、圓周長：選定一個圓。6、面積：選定多邊形、圓、扇形或弓形。7、周長：選定多邊形、圓、扇形或弓形。8、角度：選定三

20、個點，第二個點是角的頂點。9、弧度角：選定一段弧、一個扇形或一個弓形。10、弧長：選定一段弧、一個扇形或一個弓形。11、比：選定兩條線段。12、坐標(biāo)：選定一個點。13、方程：選定一個圓或一條直線。二、計算應(yīng)用現(xiàn)有的度量值進行計算。先選定計算中所需的度量值（用SHIFT鍵可選中多個度量值），然后從度量菜單中選擇計算命令。例：畫出拋物線Y=ax2的圖象。步驟：1、打開一個新畫版：按CTRL+N鍵。2、顯示直角坐標(biāo)系：打開“圖表”菜單，選擇“建立坐標(biāo)軸”命令。3、標(biāo)注坐標(biāo)原點和單位點：選“標(biāo)注”工具，單擊原點和單位點，并分別雙擊，改變他們的標(biāo)注字母為O和1。4、畫點C和D：選“畫點”工具，在縱坐標(biāo)軸

21、上畫一點C，在橫坐標(biāo)軸上畫一點D，并標(biāo)出字母。5、度量D點坐標(biāo)：選“選取”工具，選中D點，執(zhí)行度量/坐標(biāo)命令，畫版顯示出：Dxxxx,xxxx。6、計算XD：選中D點坐標(biāo)式，執(zhí)行度量/計算，畫版顯示XD度量式。7、計算YC*XD2的值：同時選中C點坐標(biāo)和XD度量式，打開“度量”中的“計算”命令，在計算器中單擊“數(shù)值”框，在框中選“C點”，再選“y”，單擊“*”鍵，再單擊“數(shù)值”，選XD，然后在計算器中順序單擊“”和“2”鍵，這時計算器屏幕上顯示“YC*XD2”，最后單擊“確認”按鈕，畫版顯示YC*XD2的度量式。8、產(chǎn)生E點：選中度量式XD和YC*XD2，執(zhí)行圖表/P繪出（X，Y）命令，畫板上

22、出現(xiàn)一個點，標(biāo)注出它的字母為E。9、畫軌跡：按順序同時選中D點和E點，執(zhí)行作圖/U軌跡命令，過E點的拋物線顯示在畫版上。10、沿縱軸拖動C點，在橫軸拖動D點，觀察拋物線的變化。三、加注釋1、本工具有效時，在畫板中按下鼠標(biāo)左鍵并拖動形成一個虛線框的空白區(qū)域。2、這個區(qū)域的大小符合你的需要時，松開鼠標(biāo)左鍵。3、此時輸入的標(biāo)識符將在區(qū)域的左上角閃爍。區(qū)域的大小并不重要，因為它能自動改變大小來容納你輸入的任何數(shù)量的文字。當(dāng)文字到達區(qū)域的右邊時，它會自動轉(zhuǎn)到下一行。4、其它任何工具，或在畫板中其它位置單擊一下，即可完成注釋的輸入。邊框的尺寸變得使文本正好充滿。5、移動注釋和改變注釋的尺寸用箭號工具在畫板

23、中拖動注釋。拖動黑色注釋框的一個白角，來調(diào)整注釋框的大小。6、注釋文字的格式化：選擇注釋。再顯示菜單中選擇不同的字體，字型和字號。7、改變注釋文本： 選擇文本工具。將鼠標(biāo)移到要修改的文本處，單擊左鍵，即可按文本編輯的方式進行修改。退出方法 同上。軌 跡一、軌跡跟蹤：利用“顯示”菜單中“軌跡跟蹤”命令，可以動態(tài)顯示軌跡。例1：圓的定義：1、作線段AB，作點C2、構(gòu)造圓：選定點和線段，執(zhí)行作圖/圓3、在圓上構(gòu)造一點D：選定圓，執(zhí)行作圖/目標(biāo)上的點4、構(gòu)造線段CD。5、建立動畫：依次選定D和圓C，執(zhí)行編輯/按鈕/動畫6、隱藏圓：二、構(gòu)造軌跡：例2：拋物線（由定義）1、作線段AB2、在線段AB上任選一

24、點C和線外一點D，連接CD3、選中線段CD，作CD的中垂線m4、過點C，作線段AB的垂線l5、同時選中直線m和l,執(zhí)行作圖/交點得到交點F6、同時選中點C和點F，執(zhí)行作圖/軌跡得到拋物線的軌跡圖象7、拖動點C，觀察軌跡的變化情況。例3：冪函數(shù)（由函數(shù)表達式）1、打開一個新畫板，執(zhí)行圖表/建立坐標(biāo)軸2、標(biāo)出原點O和單位點13、在橫坐標(biāo)軸上任畫一點C4、計算C點的坐標(biāo)，將XC改為X5、計算出X的立方，X的三分之二次方，X的平方的三分之一次方的值6、用X和X的立方繪出點D（用圖表/畫點-根據(jù)（X，Y）7、選定C，D兩點，執(zhí)行作圖/軌跡演示：1、找出一個端點在圓上的線段中點的軌跡問題：1、如何用度量值

25、繪制一個點？2、當(dāng)用度量值繪制一個點時，與度量值的單位有關(guān)系嗎？3、為構(gòu)造軌跡，你必須做些什么？第三講 幾何畫板畫圖步驟及演例在幾何畫板中常用坐標(biāo)法和函數(shù)的幾何特征來作圖，通過作圖可以對函數(shù)的代數(shù)形式和幾何特征都有實質(zhì)性的了解。如果學(xué)生能用這兩種方法作出函數(shù)的圖象對其理解函數(shù)的本質(zhì)有很大的作用。所以我建議我們廣大教師，應(yīng)讓學(xué)生多操作，既可增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又可更深刻地了解函數(shù)的實質(zhì)。一、坐標(biāo)法坐標(biāo)法適用于已知函數(shù)解析式求作函數(shù)圖象的方法。構(gòu)造一個坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式的點，用幾何畫板的軌跡工具畫出圖象。下以二次函數(shù)為例。步驟如下：1、新建一個繪圖，選擇菜單里的“圖表”，鼠標(biāo)單擊“建立坐標(biāo)軸”。2、

26、選擇軸，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，對象上的點，確保該點處在被選中狀態(tài)，選擇工具欄里的“標(biāo)出文本&標(biāo)簽”工具，鼠標(biāo)單擊剛畫出的點，將顯示出該點的“標(biāo)簽”（假設(shè)為“C”）。確保C點處于被選中狀態(tài)，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單選擇“度量”，鼠標(biāo)單擊“坐標(biāo)”，得到C點的坐標(biāo)。3、選擇工具欄里的“選擇&平移”工具，鼠標(biāo)單擊C點的坐標(biāo)，使它處于被選中狀態(tài)，再選擇菜單欄里的“度量”，鼠標(biāo)單擊“計算”，出現(xiàn)“計算器”窗口，用鼠標(biāo)單擊“數(shù)值”按鈕，把鼠標(biāo)放在“點C”上，選擇x，然后用鼠標(biāo)單擊“計算器”窗口里“確定”按鈕，這樣我們就得到了C點的橫坐標(biāo)的度量值。如果用鼠標(biāo)拖動點C的話，你會發(fā)現(xiàn)它的橫坐標(biāo)的度量值在隨之

27、變化。4、下面我們把界面稍微整理一下，用鼠標(biāo)單擊C點的坐標(biāo)，使它處于被選中狀態(tài)，然后同時按下Ctrl和H鍵，把C點的坐標(biāo)隱藏掉。再選擇工具欄里的“標(biāo)出文本&標(biāo)簽”工具，用鼠標(biāo)雙擊C點橫坐標(biāo)的度量值，在出現(xiàn)的“度量值格式”窗口里選擇“文本格式”，出現(xiàn)兩個文本框，將左面文本框內(nèi)的“XC=”改成“x=”，按下“度量值格式”窗口里的“確定”按鈕。經(jīng)過上面的工作，我們已經(jīng)把二次函數(shù)的自變量構(gòu)造出來了。5、選擇工具欄里的“選擇&平移”按鈕，按住Shift鍵，鼠標(biāo)單擊度量值x(確保別的對象不處于選中狀態(tài))，選擇菜單欄里的“度量”，鼠標(biāo)單擊“計算”，在出現(xiàn)的“計算器”窗口里，鼠標(biāo)單擊“數(shù)值”按鈕，選擇“2”，

28、鼠標(biāo)單擊“*”號按鈕，鼠標(biāo)單擊“數(shù)值”按鈕，選擇“x”，鼠標(biāo)單擊“”號按鈕，鼠標(biāo)單擊“2”按鈕，鼠標(biāo)單擊“-”號按鈕，鼠標(biāo)單擊“數(shù)值”按鈕，選擇“3”，鼠標(biāo)單擊“*”號按鈕，鼠標(biāo)單擊“數(shù)值”按鈕，選擇“x”，鼠標(biāo)單擊“+”號按鈕，鼠標(biāo)單擊“數(shù)值”按鈕，選擇“1”，最后按下確定按鈕，得到一個新的度量值。選擇工具欄里的“標(biāo)出文本&標(biāo)簽”工具，用鼠標(biāo)雙擊剛剛得到的度量值，出現(xiàn)“度量值格式”窗口，將左面文本框內(nèi)的“2*x2-3*x+1=”改成“y=”，按下“度量值格式”窗口里的“確定”按鈕。6、畫出圖象。選擇工具欄里的“選擇&平移”工具，按住Shift鍵，鼠標(biāo)單擊度量值x、y（注意順序），選擇菜單欄里

29、的“圖表”，鼠標(biāo)單擊“繪出（x,y）”，這樣構(gòu)造出一個新的點（如果該點沒有出現(xiàn)在屏幕上，可以通過改變C點的位置使它可見），選擇工具欄里的“標(biāo)出文本&標(biāo)簽”工具，用鼠標(biāo)單擊剛構(gòu)造出的點，將顯示出它的標(biāo)簽（假設(shè)為“P”）。按住Shift鍵，選中P點和C點，選擇菜單欄里的“作圖”，鼠標(biāo)單擊“軌跡”后，二次函數(shù)的圖象便會出現(xiàn)在屏幕上，可以試著拖動C點，觀察一下二次函數(shù)的圖象的變化情況。如果圖象不是很光滑的話，你可以選擇菜單欄里的“顯示”，然后鼠標(biāo)單擊“參數(shù)設(shè)置”，在出現(xiàn)的“對象參數(shù)選擇”窗口里，鼠標(biāo)單擊“其他”按鈕，出現(xiàn)“高級參數(shù)選擇”窗口，設(shè)置“軌跡上的樣點數(shù)目”為100（最大值為999。值越大，圖

30、象越光滑，但計算機的速度將變慢），按下“高級參數(shù)選擇”窗口里的“繼續(xù)”按鈕，再按下“對象參數(shù)選擇”窗口里的“確定”按鈕，然后再重新構(gòu)造軌跡。以上為拋物線的圖象，用上述方法可以畫出一次函數(shù)，反比例函數(shù)或更復(fù)雜函數(shù)。二、幾何法幾何法是用函數(shù)圖象的幾何特點，進行作圖。下面還以二次函數(shù)的圖象拋物線為例。在解析幾何中，拋物線是平面內(nèi)到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡，我們可通過尺規(guī)作圖在平面內(nèi)很容易找到這樣的點，現(xiàn)在用幾何畫板的軌跡工具就可畫出拋物線。步驟如下：1、新建一個繪圖，選擇菜單里的“圖表”，鼠標(biāo)單擊“建立坐標(biāo)軸”。2、選擇軸，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，對象上的點；確保該點處在被選中狀

31、態(tài)，選擇工具欄里的“標(biāo)出文本&標(biāo)簽”工具，鼠標(biāo)單擊剛畫出的點，將顯示出該點的“標(biāo)簽”（假設(shè)為“M”）。選擇工具欄里的“選擇&平移”工具，鼠標(biāo)單擊M點，按住Shift鍵，鼠標(biāo)單擊軸，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，作垂線，垂線即為此拋物線的準(zhǔn)線。3、選擇軸，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，對象上的點；確保該點處在被選中狀態(tài)，選擇工具欄里的“標(biāo)出文本&標(biāo)簽”工具，鼠標(biāo)單擊剛畫出的點，將顯示出該點的“標(biāo)簽”（假設(shè)為“F”）。點F為拋物線的焦點。4、選擇垂線，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，對象上的點。確保該點處在被選中狀態(tài)，選擇工具欄里的“標(biāo)出文本&標(biāo)簽”工具，鼠標(biāo)單擊剛畫出的點，將顯示出該點的“標(biāo)

32、簽”（假設(shè)為“N”）。選擇點N，按住Shift鍵，鼠標(biāo)單擊直線。右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，作垂線。選擇點N和點F，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，線段NF，選擇線段NF，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，中點A。選擇點A和線段NF，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，垂線。選擇直線 和直線 ，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，交點。鼠標(biāo)單擊剛畫出的點，將顯示出該點的“標(biāo)簽”（假設(shè)為“P”）。5、選擇點N和點P，右擊鼠標(biāo)顯示快捷菜單，選擇作圖，軌跡。拋物線作好了，可適當(dāng)調(diào)整準(zhǔn)線和焦點F的位置，則可以得到不同的拋物線。通過上例我們可以看到，此法作函數(shù)圖象的實質(zhì)是尺規(guī)作圖。第二章 用幾何畫板研究函數(shù)圖

33、象第一講 一次函數(shù)圖象的研究一次函數(shù)是同學(xué)們初中熟悉的函數(shù)，其解析式為，圖象為一條直線。當(dāng)時，一次函數(shù)就變?yōu)檎壤瘮?shù)。你知道解析式中和的幾何意義嗎？它們的改變會對函數(shù)圖象產(chǎn)生哪些影響呢？一次函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性又是由什么來決定的呢？這一講，我們將借助于幾何畫板，繪制函數(shù)圖象來對這些問題進行研究。操作1：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)k，輸入kx如圖1所示。 (圖1) 可以通過+、-改變斜率，也可設(shè)置滑塊我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)改變的值時，圖象的傾斜程度也隨之改變。我們把反映直線傾斜程度的稱為直線的斜率。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 這些圖象有什么

34、共同特點？問題2 你能判斷這些函數(shù)的奇偶性嗎？問題3 當(dāng)斜率時，傾斜角的范圍是什么？斜率和傾斜角之間的變化關(guān)系如何？此時，函數(shù)的單調(diào)性如何？問題4 當(dāng)斜率時，傾斜角的范圍是什么？斜率和傾斜角之間的變化關(guān)系如何？此時，函數(shù)的單調(diào)性如何？問題5 通過問題3和問題4的比較，你認為決定一次函數(shù)單調(diào)性的因素是什么？操作2：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)b，輸入x+b如圖2所示。 (圖2)我們可以發(fā)現(xiàn)，這些直線的傾斜程度都一樣，改變的是直線與軸交點的位置。而且，直線與軸交點的縱坐標(biāo)就是的值，我們稱之為縱截距。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 縱截距的取值范

35、圍是什么？問題2 滿足什么條件時，圖象關(guān)于原點對稱？問題3 這些圖象中，有沒有關(guān)于軸對稱的？問題4你認為決定一次函數(shù)奇偶性的因素是什么？問題5你認為這些函數(shù)圖象具備什么共同特點？ 請同學(xué)們結(jié)合這些問題的結(jié)論把一次函數(shù)的性質(zhì)匯總出來。第二講 二次函數(shù)圖象的研究對于二次函數(shù)，同學(xué)們也比較熟悉。它的解析式是，圖象為一條拋物線，對稱軸是，頂點坐標(biāo)是。這一講，我們將借助于幾何畫板繪制二次函數(shù)圖象，并通過圖象來研究它的其它性質(zhì)。操作1：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)a，輸入ax2如圖1所示。 (圖1)我們可以看到，對取不同的數(shù)值，這些圖象都是頂點為原點的拋物線，軸為

36、它們的對稱軸。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 滿足什么條件圖象開口向上，滿足什么條件圖象開口向下？問題2 圖象的開口方向由什么條件決定？問題3 當(dāng)二次項系數(shù)，且由小變大時，圖象的形狀（開口大?。┌l(fā)生了什么變化？問題4 當(dāng)二次項系數(shù)，且由大變小時，圖象的形狀（開口大小）發(fā)生了什么變化？問題5 你認為決定二次函數(shù)圖象形狀（開口大?。┑囊蛩厥鞘裁?？操作2：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)b，輸入x2+bx如圖2所示。 (圖2)我們可以看到，對取不同的數(shù)值，這些圖象都經(jīng)過原點，且形狀一致。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 改變的取值，二次函數(shù)

37、的圖象發(fā)生了怎樣的變化？問題2 何時圖象關(guān)于軸對稱？問題3 這些圖象中，有沒有關(guān)于原點對稱的？問題4你認為決定二次函數(shù)奇偶性的因素是什么？操作3：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)c，輸入x2+x+c如圖3所示。(圖3)我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)二次項系數(shù)和一次項系數(shù)固定時，函數(shù)的形狀和對稱軸都隨之固定，對取不同的數(shù)值，改變的是圖象的位置。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 改變的取值，二次函數(shù)的圖象會發(fā)生怎樣的變化？問題2 二次函數(shù)與軸交點的縱坐標(biāo)與是什么關(guān)系？問題3 的取值范圍是什么？問題4 你能否嘗試梳理一下二次函數(shù)中參數(shù)都分別對圖象的變化起到什么作用？

38、操作4：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)a,b,c，輸入ax2+bx+c如圖4所示。(圖4)請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 和時，函數(shù)的最值情況如何？問題2 時，函數(shù)的單調(diào)性如何？你能寫出它的單調(diào)區(qū)間嗎？問題3 時，函數(shù)的單調(diào)性如何？你能寫出它的單調(diào)區(qū)間嗎？問題4 你認為決定二次函數(shù)單調(diào)性的因素有哪些？并試著分類寫出它的單調(diào)區(qū)間。問題5 離對稱軸距離相等的點，其縱坐標(biāo)有什么特點？問題6 時，函數(shù)值的大小與其自變量距離對稱軸的遠近有什么關(guān)系？問題7 時，函數(shù)值的大小與其自變量距離對稱軸的遠近有什么關(guān)系？請同學(xué)們結(jié)合這些問題的結(jié)論把二次函數(shù)的性質(zhì)匯

39、總出來。第三講 對勾函數(shù)圖象的研究對勾函數(shù)因其部分圖象形似“對勾”而得名，又有人趣稱為“耐克函數(shù)”。在高中數(shù)學(xué)中，對勾函數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值問題的典型模型，出現(xiàn)的頻率較高，故而是非常重要的一類函數(shù)。這一講，我們將借助于幾何畫板，繪制對勾函數(shù)的圖象，從而研究它的重要性質(zhì)。操作：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)a，輸入x+a/x如圖1所示。 (圖1)對取不同的數(shù)值，我們可以發(fā)現(xiàn)，軸右側(cè)的圖象形狀確實如同一個對勾，這個特征將有助于我們熟記對勾函數(shù)的圖象，挖掘?qū)春瘮?shù)的性質(zhì)。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 對勾函數(shù)的定義域是什么？問題2 對勾函數(shù)的

40、圖象關(guān)于什么對稱？問題3 你能判斷對勾函數(shù)的奇偶性嗎？問題4 改變的大小，對勾的形狀會發(fā)生怎樣的變化？問題5 改變的值，觀察兩個“拐點”的橫坐標(biāo)與有怎樣的關(guān)系？問題6 對勾函數(shù)的值域是什么？與“拐點”有無關(guān)系？問題7 你能判斷對勾函數(shù)的單調(diào)性嗎？問題8 根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性且限定時，你能試著分類寫出對勾函數(shù)的值域嗎？這些問題有了答案之后，相信同學(xué)們已經(jīng)對“對勾函數(shù)”有了更深的了解。當(dāng)時，函數(shù)是最常見的對勾函數(shù)，它的單調(diào)性相信同學(xué)們從圖象上已經(jīng)能夠確定，下面我們用定義證明一下。例 求證：在上單調(diào)遞減。證明：任取，且，在上單調(diào)遞減。同學(xué)們，你能試著證明一下函數(shù)在上單調(diào)遞增嗎？思考：如果，那么函數(shù)的

41、奇偶性和單調(diào)性會發(fā)生變化嗎？此時函數(shù)還是對勾函數(shù)嗎？試證明你的結(jié)論。第四講 指數(shù)函數(shù)圖象的研究指數(shù)函數(shù)是同學(xué)們進入高中后接觸的第一類新的基本初等函數(shù)。在現(xiàn)實生活中的很多方面，如生物學(xué)中的細胞分裂、銀行存款本利和的復(fù)利計算等都有它的身影。這一講，我們將借助于幾何畫板，繪制指數(shù)函數(shù)的圖象，借助函數(shù)圖象變化的動態(tài)演示，來研究它的性質(zhì)。操作：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)a，輸入ax如圖1和圖2所示。 (圖1) (圖2)我們可以發(fā)現(xiàn)，無論取何值，圖象永遠在軸的上方，易發(fā)現(xiàn)其定義域為，值域為。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 這些圖象是否恒過某個定點？你

42、能找到它的理論依據(jù)嗎？問題2 你能判斷這些函數(shù)的奇偶性嗎？問題3 當(dāng)時，改變的值，圖象的升降趨勢如何？此時，函數(shù)的單調(diào)性如何？問題4 當(dāng)時，改變的值，圖象的升降趨勢如何？此時，函數(shù)的單調(diào)性如何？問題5 你認為決定指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的因素是什么？你能寫出它的單調(diào)區(qū)間嗎？問題6 當(dāng)時，逐漸增大的值，圖象的變化趨勢如何？（第一象限內(nèi)圖象如何變化，第二象限內(nèi)圖象如何變化）？問題7 當(dāng)時，逐漸增大的值，圖象的變化趨勢如何？（第一象限內(nèi)圖象如何變化，第二象限內(nèi)圖象如何變化）？問題8 當(dāng)時，滿足什么條件時，？滿足什么條件時，？問題9 當(dāng)時，滿足什么條件時，？滿足什么條件時，？問題10分別令取互為倒數(shù)的兩個值如分

43、別取和，和，觀察每對函數(shù)圖象的特點，你能據(jù)此總結(jié)出什么結(jié)論？問題11 改變的值，當(dāng)時，觀察點的縱坐標(biāo)，你能得出什么結(jié)論？從中你能受到什么啟發(fā)？請同學(xué)們結(jié)合這些問題的結(jié)論把指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)匯總出來。我們可以看到，函數(shù)的圖象是研究它的性質(zhì)的重要載體。借助于幾何畫板的作圖和分析功能，及其對函數(shù)圖象能直接操作的優(yōu)越性，可以使我們方便地觀察函數(shù)的整體變化情況，同時還能對其中的細節(jié)進行考察。這樣我們就可以從函數(shù)圖象的變化中獲得大量關(guān)于函數(shù)特點的信息，這對我們歸納、概括函數(shù)的性質(zhì)以及不同函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別有極大的好處。第五講 對數(shù)函數(shù)圖象的研究對數(shù)函數(shù)是同學(xué)們進入高中后接觸的第二類新的基本初等函數(shù)。由于對數(shù)

44、的定義和運算法則完全是高中新授，因此相比指數(shù)函數(shù)而言，同學(xué)們普遍對對數(shù)函數(shù)比較陌生，很長一段時間運用起來都不能得心應(yīng)手。這一講，我們將借助于幾何畫板繪制對數(shù)函數(shù)的圖象，借助函數(shù)圖象變化的動態(tài)演示來研究它的性質(zhì)。操作：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)a，輸入如圖1和圖2所示。 (圖1) (圖2)我們可以發(fā)現(xiàn)，無論取何值，圖象永遠在軸的右側(cè)，易發(fā)現(xiàn)其定義域為，值域為。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 這些圖象是否恒過某定點？你能找到它的理論依據(jù)嗎？問題2 你能判斷這些函數(shù)的奇偶性嗎？問題3 當(dāng)時（如圖1），改變的值，圖象的升降趨勢如何？此時，函數(shù)的單

45、調(diào)性如何？問題4 當(dāng)時（如圖2），改變的值，圖象的升降趨勢如何？此時，函數(shù)的單調(diào)性如何？問題5你認為決定對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的因素是什么？你能寫出它的單調(diào)區(qū)間嗎？問題6 當(dāng)時（如圖1），逐漸增大的值，圖象的變化趨勢如何？（第一象限內(nèi)圖象如何變化，第四象限內(nèi)圖象如何變化）？問題7 當(dāng)時（如圖2），逐漸增大的值，圖象的變化趨勢如何？（第一象限內(nèi)圖象如何變化，第四象限內(nèi)圖象如何變化）？問題8 當(dāng)時，滿足什么條件時，？滿足什么條件時，？問題9 當(dāng)時，滿足什么條件時，？滿足什么條件時，？問題10 分別令取互為倒數(shù)的兩個值，如分別取和，和，觀察每對函數(shù)圖象的特點，你能據(jù)此總結(jié)出什么結(jié)論？問題11 改變的值，當(dāng)時

46、，觀察點的橫坐標(biāo)，你能得出什么結(jié)論？從中你能受到什么啟發(fā)？請同學(xué)們結(jié)合這些問題的結(jié)論把對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)匯總出來。研究好對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將為我們下一節(jié)課研究指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的關(guān)系打下良好的基礎(chǔ)。第六講 指、對數(shù)函數(shù)關(guān)系的研究 當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量，而把這個函數(shù)的自變量作為該新函數(shù)的因變量，從而得到和原來函數(shù)相關(guān)的一個新函數(shù)，我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)。指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)就是互為反函數(shù)的最好例子。這一講，我們將借助于幾何畫板，在同一坐標(biāo)系中繪制指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，通過對這兩個函數(shù)圖象的比較，來研究互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關(guān)系。操作1：用幾何

47、畫板在同一坐標(biāo)系中繪制函數(shù)與的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，輸入2x繪制新函數(shù)，輸入如圖1所示。 (圖1)請同學(xué)們觀察圖象，回答下列問題：問題1 這兩個函數(shù)圖象有什么對稱關(guān)系嗎？問題2 取圖象上的幾個點，如，。，關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是什么？它們在的圖象上嗎？為什么？問題3 如果點在函數(shù)的圖象上，那么關(guān)于直線的對稱點在的圖象上嗎？為什么？問題4 由上述探究過程可以得到什么結(jié)論？問題5 上述結(jié)論對于指數(shù)函數(shù)及其反函數(shù)也成立嗎？為什么？操作2：用幾何畫板在同一坐標(biāo)系中繪制函數(shù)與的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)a，輸入ax繪制新函數(shù)，輸入如圖2所示。 (圖2)對取不同

48、的數(shù)值，請同學(xué)們觀察圖象，回答下列問題：問題1 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的定義域和值域之間有什么聯(lián)系？問題2 當(dāng)時，改變的值，這兩個函數(shù)的單調(diào)性如何？問題3 當(dāng)時，改變的值，這兩個函數(shù)的單調(diào)性如何？問題4 比較上兩個問題，你認為指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？問題5 當(dāng)時，對相同的自變量的增量，這兩個函數(shù)值的增量（增長速度）有什么差別？問題6 當(dāng)時，情況又如何呢？請同學(xué)們結(jié)合這些問題的結(jié)論把指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系匯總出來。第七講 冪函數(shù)圖象的研究冪函數(shù)是一種最“多變”的函數(shù)，它的解析式為，圖象隨的取值不同而不斷變化。初中學(xué)過的正比例函數(shù)（當(dāng)時）和二次函數(shù)（當(dāng)時）都屬于冪函數(shù)。這一講，我們將借

49、助于幾何畫板，繪制冪函數(shù)的圖象，來研究它的圖象變化特點和性質(zhì)。操作1：用幾何畫板繪制函數(shù)的圖象。步驟：點擊菜單欄“繪圖”繪制新函數(shù)，新建參數(shù)a，輸入xa如圖1所示。 (圖1)我們可以看到，隨著指數(shù)的取值不同，冪函數(shù)的圖象形狀差異極大，且有時圖象只在第一象限，有時出現(xiàn)在一、二象限，有時出現(xiàn)在一、三象限。究竟是什么因素導(dǎo)致了這種差異呢？下面我們深入研究一下。請同學(xué)們觀察這些圖象，回答下列問題：問題1 冪函數(shù)圖象過什么定點？問題2 若，圖象還經(jīng)過什么定點？問題3 若圖象出現(xiàn)在一、三象限，圖象還會經(jīng)過什么定點？問題4 改變的值，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的增減趨勢如何？問題5你認為決定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)

50、的圖象的單調(diào)性的因素是什么？問題6 若圖象出現(xiàn)在一、二象限，函數(shù)的圖象關(guān)于什么對稱？此時函數(shù)的奇偶性如何？問題7 若圖象出現(xiàn)在一、三象限，函數(shù)的圖象關(guān)于什么對稱？此時函數(shù)的奇偶性如何？ 問題8 冪函數(shù)的圖象會出現(xiàn)在第四象限嗎？通過研究，我們可以發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)圖象雖然多變，但是它在第一象限內(nèi)的單調(diào)性是由的正負控制的。下面，我們來繪制第一象限中冪函數(shù)的各種圖象，對比它們的變化趨勢。操作2：用幾何畫板分別畫出函數(shù)，的圖象。步驟：同上如圖2至圖6所示。 (圖2) (圖3) (圖4) (圖5) (圖6)請同學(xué)們對照這些圖象，仔細研究第一象限內(nèi)冪函數(shù)的圖象隨改變的變化趨勢，總結(jié)其變化規(guī)律。思考：如果不用畫圖工

51、具，如何作出冪函數(shù)的簡圖？注意，在這里我們講的均為指數(shù)為有理數(shù)的情況，并且只考慮第一象限，指數(shù)為無理的尾數(shù)不確定，故不能確定函數(shù)在x0的情況，在此不做討論與繪圖，請同學(xué)們自行查閱有關(guān)資料。第一步，先求其定義域。如果是分數(shù)，可以把分數(shù)指數(shù)冪化為根式。第二步，作出它在第一象限內(nèi)的圖象。（參考操作2的圖示）第三步，判斷該函數(shù)的奇偶性。若是奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點對稱，圖象分布在一、三象限；若是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對稱，圖象分布在一、二象限；若是非奇非偶函數(shù)，則僅在第一象限有圖象。第四步，根據(jù)奇偶性把圖象對稱補充完整。只要我們能作出冪函數(shù)的圖象，那么它的一些性質(zhì)自然就可以從圖象上讀出來。由圖象觀察性質(zhì)，由性質(zhì)完善圖象，二者相輔相成。你學(xué)會了嗎？拓展資料-幾何畫板其他功能簡介動 畫動畫的實現(xiàn)：例1：畫一個點在圓上運動的演示圖形。繪制步驟：1、建立新畫板。按CTRL+N鍵。2、畫圓。3、畫一條線段，其中一個點在圓上。4、選定圓和線段在圓上的點為當(dāng)前目標(biāo)。5、執(zhí)行編輯/按鈕/動畫命令。例2：繪制“同弧上的圓周