數(shù)值分析期末考試試題與答案(B)

1、期末考試試卷（a卷）2007學(xué)年第二學(xué)期 考試科目： 數(shù)值分析 考試時間：120 分鐘學(xué)號 姓名 年級專業(yè) 題號一二三四總分123456得分評閱人一、判斷題（每小題2分，共10分）1. 用計算機求時，應(yīng)按照從小到大的順序相加。 （ ）2. 為了減少誤差,應(yīng)將表達式改寫為進行計算。 （ ）3. 用數(shù)值微分公式中求導(dǎo)數(shù)值時，步長越小計算就越精確。 （ ）4. 采用龍格庫塔法求解常微分方程的初值問題時，公式階數(shù)越高，數(shù)值解越精確。（ ）5. 用迭代法解線性方程組時，迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數(shù)矩陣及其演變方式有關(guān)，與常數(shù)項無關(guān)。 （ ）二、填空題（每空2分，共36分） 1. 已知數(shù)a的有效數(shù)為

2、0.01，則它的絕對誤差限為_，相對誤差限為_.2. 設(shè)則_，_，_.3. 已知則 , .4. 為使求積公式的代數(shù)精度盡量高，應(yīng)使 ， ， ，此時公式具有 次的代數(shù)精度。5. 階方陣a的譜半徑與它的任意一種范數(shù)的關(guān)系是 . 6. 用迭代法解線性方程組時，使迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充分必要條件是 .7. 使用消元法解線性方程組時，系數(shù)矩陣可以分解為下三角矩陣和上三角矩陣的乘積，即 若采用高斯消元法解，其中，則_，_；若使用克勞特消元法解，則 _；若使用平方根方法解，則與的大小關(guān)系為_（選填：，=，不一定）。8. 以步長為1的二階泰勒級數(shù)法求解初值問題的數(shù)值解，其迭代公式為_.三、計算題（第1

3、3、6小題每題8分，第4、5小題每題7分，共46分）1. 以為初值用牛頓迭代法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，要求（1） 證明用牛頓法解此方程是收斂的；（2） 給出用牛頓法解此方程的迭代公式，并求出這個根（只需計算 計算結(jié)果取到小數(shù)點后4位）。2. 給定線性方程組（1） 分別寫出用jacobi和gauss-seidel迭代法求解上述方程組的迭代公式；（2） 試分析以上兩種迭代方法的斂散性。3. 已知函數(shù)在如下節(jié)點處的函數(shù)值-10121430（1） 建立以上數(shù)據(jù)的差分表；（2） 根據(jù)后三個節(jié)點建立二階牛頓后插公式，并計算的近似值；（3） 采用事后估計法計算（2）中近似值的截斷誤差（結(jié)果保留四位小數(shù)）。4.

4、已知如下數(shù)據(jù)表，試用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多項式。x-1012y12505. 已知函數(shù)在以下節(jié)點處的函數(shù)值，利用差商表求和的近似值。x134y2186. 寫出前進歐拉公式、后退歐拉公式，并由這兩個公式構(gòu)造一個預(yù)估校正公式求解下列常微分方程的數(shù)值解。四、（8分）已知n+1個數(shù)據(jù)點，請用多種方法建立這些數(shù)據(jù)點之間的函數(shù)關(guān)系，并說明各種函數(shù)的適用條件。期末考試答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（a卷）2007學(xué)年第二學(xué)期 考試科目： 數(shù)值分析一、判斷題：（每小題2分，共10分）1. 2. 3. 4. 5. 二、填空題：（每空2分，共36分）1. 或 ， 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 或 三、解答題

5、（第14小題每題8分，第5、6小題每題7分，共46分）1. （1）證明：，由于a)b)c) 即在上不變號，d) 對于初值，滿足所以用牛頓迭代法求解此方程是收斂的。4分（2）解：牛頓迭代法的迭代公式為2分取初值進行迭代，得1分1分2. 解：（1）jacobi迭代公式為 2分gauss-seidel迭代公式為2分（2）jacobi迭代矩陣的特征方程為，展開得，即 ，從而得 ，（或由單調(diào)性易判斷必有一個大于1的特征根，）因此迭代矩陣的譜半徑等于必大于1，所以jacobi迭代法發(fā)散。 2分gauss-seidel迭代矩陣的特征方程為，展開得，解得迭代矩陣的譜半徑小于1，所以gauss-seidel迭代

6、法收斂。2分3. 解：（1）建立差分表 2分（2）建立牛頓后插公式為則所求近似值為 3分（3）根據(jù)前三個節(jié)點建立牛頓后插公式為則 根據(jù)事后誤差估計法故截斷誤差 3分4. 解：設(shè)所求二次最小平方逼近多項式為 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，得2分則1分建立法方程組為2分解得1分從而得所求一次最小平方逼近多項式為1分5. 解：設(shè)為已知節(jié)點數(shù)據(jù)的插值二次多項式。構(gòu)造如下差商表：一階差商二階差商2分因為二次多項式的二階差商為常數(shù)，又是的插值函數(shù)，故有2分而，因此得，1分由于，從而得2分6. 解：前進歐拉公式：1分后退歐拉公式： 1分預(yù)估時采用歐拉公式1分校正時采用后退歐拉公式1分由初值知，節(jié)點分別為當(dāng) ，1分當(dāng).1分當(dāng).1分當(dāng).1分當(dāng).四、（8分）答：1、可以建立插值函數(shù)：（1）newton基本差商公式1分（2）lagrange插值多項式其中.1分這兩類插值函數(shù)的適用條件是：n不太