快速傅立葉變換FFT及其應(yīng)用實驗報告

1、實驗一 離散時間系統(tǒng)的時域分析一、實驗?zāi)康? 運用matlab仿真一些簡單的離散時間系統(tǒng)，并研究它們的時域特性。. 運用matlab中的卷積運算計算系統(tǒng)的輸出序列，加深對離散系統(tǒng)的差分方程、沖激響應(yīng)和卷積分析方法的理解。二、實驗原理離散時間系統(tǒng)其輸入、輸出關(guān)系可用以下差分方程描述： 當(dāng)輸入信號為沖激信號時，系統(tǒng)的輸出記為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，則系統(tǒng)響應(yīng)為如下的卷積計算式： 當(dāng)hn是有限長度的（n：0，m）時，稱系統(tǒng)為fir系統(tǒng)；反之，稱系統(tǒng)為iir系統(tǒng)。在matlab中，可以用函數(shù)y=filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函數(shù) y=conv(x,h)計算卷積。例1 clf;n=0:40

2、;a=1;b=2;x1= 0.1*n;x2=sin(2*pi*n);x=a*x1+b*x2;num=1, 0.5,3;den=2 -3 0.1;ic=0 0; %設(shè)置零初始條件y1=filter(num,den,x1,ic); %計算輸入為x1(n)時的輸出y1(n)y2=filter(num,den,x2,ic); %計算輸入為x2(n)時的輸出y2(n)y=filter(num,den,x,ic); %計算輸入為x (n)時的輸出y(n)yt= a*y1+b*y2;%畫出輸出信號subplot(2,1,1)stem(n,y);ylabel(振幅)；title(加權(quán)輸入a*x1+b*x2的輸

3、出)；subplot(2,1,2)stem(n,yt);ylabel(振幅)；title(加權(quán)輸出a*y1+b*y2)；(一)、線性和非線性系統(tǒng) 對線性離散時間系統(tǒng)，若和分別是輸入序列和的響應(yīng)，則輸入的輸出響應(yīng)為，即符合疊加性，其中對任意常量a和b以及任意輸入和都成立，否則為非線性系統(tǒng)。(二)、時不變系統(tǒng)和時變系統(tǒng)對離散時不變系統(tǒng)，若是的響應(yīng)，則輸入x(n)=x1(n-n0)的輸出響應(yīng)為y(n)=y1(n-n0),式中n0是任意整數(shù)。該輸入輸出關(guān)系，對任意輸入序列及其相應(yīng)的輸出成立，若對至少一個輸入序列及其相應(yīng)的輸出序列不成立，則系統(tǒng)稱之為時變的。(三)、線性卷積假設(shè)待卷積的兩個序列為有限長序

4、列，卷積運算符在matlab中可 命令conv實現(xiàn)。例如，可以把系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與給定的有限長輸入序列進行卷積，得到有限長沖激響應(yīng)系統(tǒng)的輸出序列。下面的matlab程序?qū)崿F(xiàn)了該方法。例2 clf; h=3 2 1 -2 1 0 -4 0 3;%沖激 x=1 -2 3 -4 3 2 1 ; %輸入序列 y=conv(h,x); n=0:14; stem(n,y); xlabel(時間序號n);ylabel(振幅)； title(用卷積得到的輸出)；grid;三、實驗內(nèi)容與步驟. 假定一因果系統(tǒng)為y(n)-0.4y(n-1)+0.75y(n-2)=2.2403x(n)+2.4908x(n-1)+2.

5、2403x(n-2)用matlab程序仿真該系統(tǒng)，輸入三個不同的輸入序列： ，計算并并顯示相應(yīng)的輸出， 和。. 用matlab程序仿真步驟1給出的系統(tǒng)，對兩個不同的輸入序列x(n)和x(n-10)，計算并顯示相應(yīng)的輸出序列y3(n)和y4(n)。3用matlab程序仿真計算下列兩個有限長序列的卷積和并顯示圖形。 四、實驗儀器設(shè)備計算機，matlab軟件五、實驗要求給出理論計算結(jié)果和程序計算結(jié)果并討論。六、實驗結(jié)果實驗1：clf;n=0:40;a=2;b=-3;x1= cos(2*pi*0.1*n);x2=cos(2*pi*0.4*n);x=a*x1+b*x2;den=1, -0.4,0.75;

6、num =2.2403 2.4908 2.2403;%分子系數(shù)ic=0 0; %設(shè)置零初始條件y1=filter(num,den,x1,ic); %計算輸入為x1(n)時的輸出y1(n)y2=filter(num,den,x2,ic); %計算輸入為x2(n)時的輸出y2(n)yn=filter(num,den,x,ic); %計算輸入為x (n)時的輸出y(n)%畫出輸出信號subplot(2,2,1)stem(n,y1);ylabel(振幅);title(y1輸出);subplot(2,2,2)stem(n,y2);ylabel(振幅);title(y2輸出);subplot(2,2,3)

7、stem(n,yn);ylabel(振幅);title(yn輸出);實驗2：clf;n=0:40;n1=0:50;a=2;b=-3;x1= cos(2*pi*0.1*n);x2=cos(2*pi*0.4*n);x3=a*x1+b*x2;x4=zeros(1,10), x3;den=1, -0.4,0.75;num=2.2403 2.4908 2.2403;ic=0 0; %設(shè)置零初始條件y3=filter(num,den,x3,ic);y4=filter(num,den,x4,ic);%計算輸入為x (n)時的輸出y(n)%畫出輸出信號subplot(2,1,1)stem(n,y3);ylab

8、el(振幅);title(yn輸出);subplot(2,1,2)stem(n1,y4);ylabel(振幅);title(y1輸出);實驗3：clf;x=1 3 2;%沖激u=1 1 1; %輸入序列y=conv(u,x);n=0:4;stem(n,y);xlabel(時間序號n);ylabel(振幅);title(用卷積得到的輸出);grid;實驗二（1） 離散時間信號的dtft 一、實驗?zāi)康? 運用matlab理解z變換及其繪制h(z)的零極點圖。. 運用matlab計算逆z變換。二、實驗原理（一）、matlab在zt中的應(yīng)用。 線性時不變離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(n)的z變換是其系統(tǒng)函

9、數(shù)h(z)， 在matlab中可以利用性質(zhì)求解z變換，例如可以利用線性卷積求的z變換。若h(z)的收斂域包含單位圓，即系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，即系統(tǒng)在單位圓上處計算的是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。（二）、逆z變換z變換對于分析和表示離散線性時不變系統(tǒng)具有重要作用。但是在matlab中不能直接計算z變換，但是對于一些序列可以進行逆z變換。已知序列的z變換及其收斂域， 求序列稱為逆z變換。 序列的z變換及共逆z變換表示如下： 通常，直接計算逆z變換的方法有三種：圍線積分法、長除法和部分分式展開法。在實際中，直接計算圍線積分比較困難，往往不直接計算圍線積分。由于序列的z變換常為有理函數(shù)，因此采用部分分式展開法比較切合實

10、際，它是將留數(shù)定律和常用序列的z變換相結(jié)合的一種方法。設(shè)x(n)的z變換x(z)是有理函數(shù)，分母多項式是n階，分子多項式是m階，將x(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和，通過常用序列的z變換求得各部分的逆變換，再相加即得到原序列x(n)。在matlab中提供了函數(shù)residuez來實現(xiàn)上述過程，調(diào)用格式如下：r，p，k= residuez（b，a）其中b、a分別是有理函數(shù)分子多項式的系數(shù)和分母多項式的系數(shù)，輸出r是留數(shù)列向量，p是極點列向量。如果分子多項式的階數(shù)大于分母多項式的階數(shù)，則k返回為常數(shù)項的系數(shù)。三、實驗內(nèi)容與步驟選做一個實驗：1、.運行下面程序并顯示它，驗證離散時間傅立葉變換dt

11、ft的時移性。已知兩個線性時不變的因果系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)分別為 ，分別令n=8，a=0.8，計算并圖示這兩個系統(tǒng)的零、極點圖及幅頻特性。程序： 2、運行下面程序并顯示它，驗證離散時間傅立葉變換dtft的頻移性。四、實驗儀器設(shè)備計算機，matlab軟件五、實驗注意事項課前預(yù)先閱讀并理解實驗程序；六、實驗結(jié)果clear num1=1 0 0 0 0 0 0 0 -1;%分子系數(shù)高階到低階den1=1 0 0 0 0 0 0 0 0;subplot(2,2,1) zplane(num1, den1)grid;title(h1零極點分布圖) ;h,w=freqz(num1,den1,200,whole);

12、 %中b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量，hf=abs(h); %返回量h則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0pi范圍內(nèi)n個頻率等分點的值（其中n為正整數(shù)）subplot(2,2,2); %w則包含了范圍內(nèi)n個頻率等分點。plot(w,hf)title(h1幅頻響應(yīng)特性曲線);a=0.8;a=a8;num2=1 0 0 0 0 0 0 0 -1;%分子系數(shù)高階到低階den2=1 0 0 0 0 0 0 0 a;subplot(2,2,3) zplane(num2, den2);grid;title(h2零極點分布圖) ;h,w=freqz(num2,den2,200,whole);

13、 %中b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量，hf=abs(h); %返回量h則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0pi范圍內(nèi)n個頻率等分點的值（其中n為正整數(shù)）subplot(2,2,4); %w則包含了范圍內(nèi)n個頻率等分點。plot(w,hf)title(h2幅頻響應(yīng)特性曲線);實驗二（2） 離散傅立葉變換dft一、實驗?zāi)康? 運用matlab計算有限長序列的dft和idft。. 運用matlab驗證離散傅立葉變換的性質(zhì)。3 .運用matlab計算有限長序列的圓周卷積。二、實驗原理（一）、離散傅立葉變換dft的定義一個有限長度的序列x(n)（0nn，在計算離散傅立葉變換之前，對x(n

14、)尾部的l-n個值進行補零。同樣，離散傅立葉變換序列x(k)的離散傅立葉逆變換x(n)用函數(shù)ifft計算，它也有兩種形式。（一）、基本序列的離散傅立葉變換計算n點離散傅立葉變換的一種物理解釋就是，xk是x(n)以n為周期的周期延拓序列的離散傅立葉級數(shù)系數(shù)的主值區(qū)間序列，即。例如序列,當(dāng)n=16時，正好是的一個周期，所以的周期延拓序列就是這種單一頻率的正弦序列。而當(dāng)n=8時，正好是的半個周期，的周期延拓就不再是單一頻率的正弦序列，而是含有豐富的諧波成分，其離散傅立葉級數(shù)的系數(shù)與n=16時的差別很大，因此對信號進行譜分析時，一定要截取整個周期，否則得到錯誤的頻譜。（二）、驗證n點dft的物理意義假

15、如x(n)非周期、有限長，則傅立葉變換存在，那么對在n個等間隔頻率=2k/n, k=0,1,n-1取樣,則可得x(k)。 序列x(n)的n點dft的物理意義是對x()在0，2上進行n點的等間隔采樣。（三）、利用fft計算序列的線性卷積 直接計算線性卷積計算量大，并且計算機無法判斷y(n)的長度，需要計算多少的y(n)值，若輸入為無限長，就更無法計算，其運算量隨長度成級數(shù)增長。由于可以利用fft對dft進行有效的計算，我們希望能夠利用dft來計算線性卷積。設(shè) x(n) 和 h(n) 是長度分別為m和n的有限長序列，令 l=m+n-1，定義兩個長度l的有限長序列： (3.4.8) (3.4.9)通

16、過對x(n) 和 h(n)補充零樣本值得到上面兩個序列。那么： (3.4.10)上面的過程如下圖所示：計算線性卷積也可以直接調(diào)用函數(shù)con來計算，因為matlab中的計時比較粗糙，所以只有m和n較大的時候，才能比較兩種方法的執(zhí)行時間快慢。三、實驗內(nèi)容與步驟（選做一個）. 對復(fù)正弦序列，利用matlab程序求當(dāng)n=16和n=8時的離散傅立葉變換，并顯示其圖形。.已知, 繪制相應(yīng)的幅頻和相頻曲線，并計算n=8和n=16時的dft。 四、實驗儀器設(shè)備計算機，matlab軟件五、實驗注意事項課前預(yù)先閱讀并理解實驗程序；六、實驗結(jié)果k1=16; %序列長n1=16;%dft點數(shù)n1=0:1:15; xn

17、1=exp(j*pi/8*n1/k1); %抽樣信號 xk1=dft(xn1,n1);subplot(2,2,1);stem(n1,xn1); xlabel(t/t);ylabel(x(n);subplot(2,2,2);stem(n1,xk1);grid;xlabel(k);ylabel(x(k);k2=8; %序列長n2=8;%dft點數(shù)n2=0:1:7; xn2=exp(j*pi/8*n2/k2); %抽樣信號 xk2=dft(xn2,n2);subplot(2,2,3);stem(n2,xn2); xlabel(t/t);ylabel(x(n);subplot(2,2,4);stem(

18、n2,xk2);grid;xlabel(k);ylabel(x(k);實驗三 基于matlab的iir數(shù)字濾波器設(shè)計一、實驗?zāi)康? 進一步熟悉iir數(shù)字濾波器的理論知識。. 熟悉與iir數(shù)字濾波器設(shè)計有關(guān)的matlab函數(shù)。3 . 學(xué)會通過matlab，利用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計iir數(shù)字濾波器，加深對數(shù)字濾波器的常用指標(biāo)和設(shè)計過程的理解。二、實驗原理（一）、低通濾波器的常用指標(biāo)：通帶邊緣頻率：，阻帶邊緣頻率： ，通帶起伏：，通帶峰值起伏： ，阻帶起伏：最小阻帶衰減：。（二）、iir數(shù)字濾波器設(shè)計目前，設(shè)計iir數(shù)字濾波器的通用方法是先設(shè)計相應(yīng)的低通濾波器，然后再通過雙線性變換法和頻

19、率變換得到所需要的數(shù)字濾波器。模擬濾波器從功能上分有低通、高通、帶通及帶阻四種，從類型上分有巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器以及貝塞爾濾波器等。1、利用模擬濾波器設(shè)計iir數(shù)字低通濾波器的步驟。(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 脈沖響應(yīng)不變法：雙線性變換法：(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通濾波器。 (4)將模擬濾波器ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)h(z)。2、下面給出與iir數(shù)字濾波器設(shè)計有關(guān)的matlab文件。（1）

20、buttord.m用來確定數(shù)字低通或模擬低通濾波器的階次，其調(diào)用格式分別是a. n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs)b. n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s)格式a對應(yīng)數(shù)字濾波器，式中wp,ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，實際上它們是歸一化頻率，其值在0-1之間，1對應(yīng)（即對的歸一化）。rp,rs分別是通帶和阻帶衰減，單位為db。n是求出的相應(yīng)低通濾波器的階次，wn是求出的3db頻率。格式b對應(yīng)模擬濾波器，式中各個變量的含義和格式a相同，但wp,ws及wn是模擬角頻率，單位為rad/s。（2）buttap.m用來設(shè)計模擬低通原型（歸一化）濾波器ha(p)，其調(diào)用

21、的格式為 z , p, k=buttap(n)n是欲設(shè)計的低通原型（歸一化）濾波器的階次，z, p和k分別是設(shè)計出ha(p)的極點、零點及增益。（3）lp2lp.m將模擬低通原型（歸一化）濾波器ha(p)轉(zhuǎn)換為實際的低通濾波器ha(s)。（去歸一化），其調(diào)用格式為： b，a=lp2lp(b,a,wn)b,a分別是模擬低通原型濾波器ha(p)的分子、分母多項式的系數(shù)向量，其中b，a是去歸一化后ha(s) 的分子、分母多項式的系數(shù)向量, wn為截止頻率。（4）bilinear.m實現(xiàn)雙線性變換，即由模擬濾波器ha(s)得到數(shù)字濾波器h(z)。其調(diào)用格式是： bz,az=bilinear(b,a,f

22、s)b，a是去歸一化后ha(s) 的分子、分母多項式的系數(shù)向量，bz，az是h (z) 的分子、分母多項式的系數(shù)向量, fs是抽樣頻率。（4）impinvar.m由脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器ha(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器h(z)。其調(diào)用格式是： bz,az= impinvar(b,a,fs)b，a是去歸一化后ha(s) 的分子、分母多項式的系數(shù)向量，bz，az是h (z) 的分子、分母多項式的系數(shù)向量, fs是抽樣頻率。(5) butter.m用來直接設(shè)計巴特沃斯數(shù)字濾波器（雙線性變換法），實際上它把buttord.m，buttap.m，lp2lp.m及bilinear.m等文件都包含進去，從而使

23、設(shè)計過程更簡捷，其調(diào)用格式為： a. b，a=butter(n, wn) b. b，a=butter(n，wn，s)格式a是設(shè)計低通數(shù)字濾波器，格式b是設(shè)計低通模擬濾波器。b，a是h (z) 的分子、分母多項式的系數(shù)向量，wn是截止頻率。三、實驗內(nèi)容與步驟以下選做一個. 設(shè)計matlab程序，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，其通帶上限臨界頻率為400hz，阻帶臨界頻率為600hz，抽樣頻率是1000hz，在通帶內(nèi)的最大衰減為0.3db, 阻帶內(nèi)的最小衰減為60db，并繪出幅頻特性曲線。. 設(shè)計matlab程序，采用雙線性變換法設(shè)計一個巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，要求在通帶0，0.

24、2內(nèi)衰減不大于3db, 在阻帶0.6,內(nèi)衰減不小于40db，并繪出幅頻特性曲線。四、實驗儀器設(shè)備計算機，matlab軟件五、實驗要求根據(jù)要求獨立編程設(shè)計，并根據(jù)程序運行結(jié)果寫出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)六、實驗結(jié)果選做1：fp=400; %通帶上限臨界頻率fs=600; %阻帶臨界頻率rp=0.3; %通帶允許的最大衰減rs=60; %阻帶允許的最小衰減fs=1000; %采樣頻率wp=2*pi*fp; %通帶截止平率ws=2*pi*fs; %阻帶截止平率%nn=256; n=(0:100-1);%采樣點數(shù) n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s); %用于計算階數(shù)和截止平率b,a=but

25、ter(n,wn,s); %計算分子向量b，分母向量aw=linspace(1,400,100)*2*pi; %起始值，終止值，元素個數(shù)h=freqs(b,a,w); % 在0,2上進行采樣，采樣頻率點由矢量w指定 figure(1); plot(w/(2*pi),20*log10(abs(h); title(巴特沃斯模擬濾波器幅頻特性); xlabel(頻率/hz); ylabel(幅度/db); %bz,az=impinvar(b,a,fs); %caiyong沖擊響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器實驗四 基于matlab的fir數(shù)字濾波器設(shè)計一、實驗?zāi)康? 進一步熟悉fir數(shù)字濾波器的理論知識。

26、. 熟悉與fir數(shù)字濾波器設(shè)計有關(guān)的matlab函數(shù)。3. 學(xué)會通過matlab，利用窗函數(shù)法設(shè)計fir數(shù)字濾波器。二、實驗原理設(shè)計fir濾波器實際上是要在滿足線性相位的條件下，實現(xiàn)幅度響應(yīng)的逼近。而一個fir濾波器若是符合線性相位，則必須滿足一定的條件，即：一個fir濾波器若是線性相位的，則其單位沖激響應(yīng)必然滿足 n=0,1,n-1 h(n)是關(guān)于(n-1)/2對稱（奇對稱或偶對稱）即, (1) h(n)是偶對稱序列 (1) h(n) 是奇對稱（反對稱）序列 設(shè)濾波器要求的理想頻率響應(yīng)為hd(ejw) , 那么fir濾波器的設(shè)計問題在于尋找一系統(tǒng)函數(shù) ，使其頻率響應(yīng)逼近hd(ejw)。若要求

27、fir濾波器具有線性相位特性，則h(n)必須滿足上節(jié)所述的對稱條件。逼近的方法有三種：窗口設(shè)計法（時域逼近）；頻率采樣法frequency-sampling（頻域逼近）；最優(yōu)化設(shè)計optimum equiripple（等波紋逼近）。 窗函數(shù)法又稱傅立葉級數(shù)法，是設(shè)計fir數(shù)字濾波器的最簡單的方法。fir數(shù)字濾波器的設(shè)計問題就是要使所設(shè)計的fir數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)h(w)去逼近所要求的理想濾波器的響應(yīng)hd(w)。從單位采樣響應(yīng)序列來，就是使所設(shè)計濾波器的h(n)逼近理想單位采樣響應(yīng)序列hd(n)，這可以用hd(n)和一個窗函數(shù)w(n)的乘積來得到。（一）、設(shè)計原理。窗函數(shù)設(shè)計fir數(shù)字濾波器的步驟如下：（1）給定要求的頻率響應(yīng)函數(shù)hd(w)；（2）計算hd(n)；（3）根據(jù)過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗的性