北京2013屆西城高三二模數(shù)學(xué)文科試題及答案

1、北京市西城區(qū)2013年高三二模試卷2013.5、選擇題：本大題共8小題，每小題第i卷（選擇題 共40分）5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1 .復(fù)數(shù) i (1 i)(a) 1 i(b)(c) 1i(d)1 i2.已知向量a73,1),）.若a與b共線，則實(shí)數(shù)(a)1(b)(q(d) 33.給定函數(shù)：2x ； y cosx ； y3x ,其中奇函數(shù)是(a)(b)(c)(d)4.若雙曲線x22y_k1的離心率是2 ,則實(shí)數(shù)k(a) 3(b)(0 3(d)5.如圖所示的程序框圖表示求算式5 9 17”之值,則判斷框內(nèi)可以填入(a) k 10(b) k16(c) k 2

2、2(d) k346.對(duì)于直線mn和平面成立的一個(gè)充分條件是(b) m(c) m(d) m7.已知函數(shù)f(x)|x|e|x|.若關(guān)于x的方程f（x） k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(a) (0,1)(b)(1,(c) ( 1,0)(d) (, 1)8.已知集合1,2,3,4,5的非空子集 a具有性質(zhì)p：當(dāng)aa時(shí)，必有6 a a.則具有性質(zhì) p的集合a的個(gè)數(shù)是(a) 8(b) 7(c) 6(d) 5第n卷（非選擇題共110分）、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.9 .已知直線 11 ：x 3y 1 0, 12 : 2x my 1 0 .若 11 / l2,則實(shí)數(shù) m .10

3、 .右圖是甲，乙兩組各 6名同學(xué)身高(單位： cm)數(shù)據(jù) 甲組乙組的莖葉圖.記甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為x甲和x乙，131so5 71612 3 4則 x甲 x乙.(填入或“ ”) 2 17 211 .在 abc 中，bc 2, ac j7, b ,則 ab ； abc 的面積是 .312 .設(shè)a, b隨機(jī)取自集合1,2,3,則直線ax by 3 0與圓x2 y2 1有公共點(diǎn)的概率是 13 .已知命題p:函數(shù)y (c 1)x 1在r上單調(diào)遞增；命題q:不等式x2 x c 0的解集是op oa 1,則點(diǎn)p構(gòu)成的區(qū)op ob 2.真命題，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是14 .在直角坐標(biāo)系xoy中，已知兩定

4、點(diǎn) a(1,0), b(1,1).動(dòng)點(diǎn)p(x,y)滿足00域的面積是 q(x y,x y)構(gòu)成的區(qū)域的面積是 .三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15 .(本小題滿分13分)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a2 8, a3 a4 48.(i)求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)bn 10g4 an.證明：bn為等差數(shù)列，并求bn的前n項(xiàng)和sn.16 .(本小題滿分13分)如圖，在直角坐標(biāo)系 xoy中，角的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)a,且的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)交單位圓于點(diǎn) b.記 a(xi, y1), b(x2,y2).(i)

5、若 x1(h)分別過a, b作x軸的垂線，垂足依次為 c,d .記4 aocbod的面積為s2 .若s, 2$ ,求角 的值.17.(本小題滿分14分)如圖1,在四b p abcd中，pa 底面abcd ,面abcd為正方形，e為側(cè)棱pd上一點(diǎn)，f為ab上一點(diǎn).該四棱錐的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.(i)求四面體 pbfc的體積；(n)證明：ae /平面pfc ；2正(主)視圖制田視圖圖18 .(本小題滿分13分)22x2 (2 a)x1 ,其中a 0.一一. 2 3已知函數(shù)f(x) -x3(i)若a 2,求曲線f (x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程;(n)求f (x)在區(qū)間2,

6、3上的最小值.19 .(本小題滿分14分)2關(guān)于點(diǎn)m對(duì)稱.如圖，橢圓(i)若點(diǎn)(h)若橢圓p與點(diǎn)a20 .(本小題滿分13分)2),函數(shù)已知集合 sn ( x1,x2,|,xn)|x1,x2，w，xn 是正整數(shù) 1,2,3,|刀的一個(gè)排列(n1, x 0, g(x) 1,x 0.2,3, |“，n , 6 0,對(duì)于烏，an)定義：b 稱b為ai的滿意指數(shù).排列b1,b2,|,bng(ai a) g(ai a2)g(d 2i), i為排列a1,a2,|,an的生成列.(i)當(dāng)n 6時(shí)，寫出排列3,5,1,4,6,2的生成列;(n)證明：若a1,a2,|,an和a1,a2,|,an為sn中兩個(gè)不同

7、排列，則它們的生成列也不同；(出)對(duì)于sn中的排列a1,a2,|,an,進(jìn)行如下操作：將排列 a1,a2,|,an從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù) 的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個(gè)新的排列.證明：新的排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和至少增加2.北京市西城區(qū)2013年高三二模試卷高三數(shù)學(xué)(文科)2013.5參考答案一、選擇題:1. a;2二、填空題:本大題共 a；本大題共8小題，每小題5分,3 . d;46小題，每小題. b;5分,40分.c;6 . c;30分.11 .3,”212.13 .(1,);14 . 2, 4.注：11、14題第一空2分，第二空3分.三、解答題：本

8、大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同,正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分15.（本小題滿分13分）（i ）解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q ,依題意q 0 .因?yàn)閍2 8,a3a，48,兩式相除得 q0,解得q2,舍去q3.所以a1a2所以數(shù)列n 1 n 1的通項(xiàng)公式為ana1 q 2（n）解：由（i）得bnlog 4 an因?yàn)閎n 1 bn所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公差為1一的等差數(shù)列.211分所以sn nb1n(n 1)d3n16.（本小題滿分13分）（i ）解：由三角函數(shù)定義,因?yàn)樗詓in所以x2x1cosx2cos( 一) 3cos1 cos2cos( 一) 31一 cos23 .sin

9、23分(n)解：依題意得y1 siny2 sin(-)所以s1s21 1x1 y1cos2 21 ,1r二 |x2 1y222sincos(依題意得sin 22sin(21 sin 24),sin(-) 31 sin(2411分所以&所以217.(本小題滿分14分)(i)解：由左視圖可得f為ab的中點(diǎn),所以 bfc的面積為 s112因?yàn)閜a平面abcd ,所以四面體pbfc的體積為、/1 qvp bfc- s bfc31 1 23pa5分(n)證明：取pc中點(diǎn)q,連結(jié)eq,整理得cos2 0 .因?yàn)橐?,、一 一 -1-由正(主)視圖可得 e為pd的中點(diǎn)，所以eq / cd , eq 1cd2

10、又因?yàn)閍f/ cd, af 1cd ,所以 af / eq , af2所以四邊形afqe為平行四邊形，所以 ae / fq .因?yàn)閍e平面pfc , fq 平面pfc ,所以直線ae /平面pfc .(出)證明：因?yàn)?pa 平面abcd ,所以 pa cd .因?yàn)槊鎍bcd為正方形，所以 ad cd .所以cd平面11分因?yàn)閍e平面pad ,所以 cd ae .因?yàn)閜ae為pd中點(diǎn)，所以 ae pd.所以ae平面pcd.12分13分因?yàn)閍e / fq ,所以fq 平面pcd .因?yàn)閒q平面pfc ,所以 平面pfc平面pcd.14分18.(本小題滿分13分)(i)解：f(x)的定義域?yàn)閞,且f

11、 (x) 2x2 4x 2 a. 2分-1當(dāng) a 2 時(shí)，f (1) 一， f (1)2 ,3 ,. 1所以曲線y f (x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y 12(x 1),即 6x 3y 5 0 . 4 分(n)解：方程f (x) 0的判別式8a 0, 5分令 f (x) 0,得 x1 1 “2a，或 x2 1 a . 6分22f (x)和f (x)的情況如下:x(，xi)xi(x1, x2)x2(x2,)f (x)00f(x)故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1工2a), (1叵，)；單調(diào)減區(qū)間為(1叵，1叵). 2222當(dāng)0 a 2時(shí)，x2 2,此時(shí)f (x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增，所

12、以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(2)7 2a . 10分3當(dāng)2 a 8時(shí)， 2 x2 3,此時(shí)f (x)在區(qū)間(2,x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2,3)上單調(diào)遞增, 5a . 2a所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(x2) 5 a a一a. 12分33當(dāng)a 8時(shí)，xi 2 3 x2,此時(shí)f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減,13分所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(3) 7 3a .綜上，當(dāng)0 a 2時(shí)，f (x)在區(qū)間2,3上的最小值是7 2a ；當(dāng)2 a 8時(shí)，f(x)在區(qū)間2,3上 3的最小值是 a 2a ；當(dāng) a 8時(shí),33f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是7 3a.19.(

13、本小題滿分14分)ap的中點(diǎn),(i)解：依題意， m是線南一，9因?yàn)?a( 1,0) , p(9, 5所以點(diǎn)m的坐標(biāo)為(由點(diǎn)m在橢圓c上，4解得m 4. 7(n)解：設(shè) m (x0, y0),則4所以25122分25m2 yom因?yàn)閙是線段ap的中點(diǎn)，所以 p(2xo 1,2yo). 8分因?yàn)?op om ,所以 x0(2x0 1) 2y02 0 . 9 分所以m當(dāng)且僅當(dāng)消去yo,整理得 m1 2(% j 號(hào)xo 2xo2 73 時(shí),xo11分13分上式等號(hào)成立.14分所以m的取值范圍是2。.(本小題滿分13分)(i)解：當(dāng)n 6時(shí)，排列3,5,1,4,6,2的生成列為o,1, 2,1,4,3

14、 . 3分(n)證明：設(shè) 闞2,|田口的生成列是bbjilh;仇e2,1”, an的生成列是與b1,b2,|,bn.從右往左數(shù)，設(shè)排列a1，a2 j“，an與4a,|冏第一個(gè)不同的項(xiàng)為ak與ak,即：anan, an 1 an 1 ,，ak 1 ak 1 , ak ak 顯然 bnbn,bn1bn1 ,，bk1bk1 ,下面證明：bkbk.由滿意指數(shù)的定義知,ai的滿意指數(shù)為排列a1,a2,|,an中前i 1項(xiàng)中比ai小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比 ai大的項(xiàng)的個(gè)數(shù).由于排列 闞2,|”,烝的前k項(xiàng)各不相同，設(shè)這 k項(xiàng)中有l(wèi)項(xiàng)比ak小，則有k l 1項(xiàng)比ak大，從而bk l (k l 1) 2l k 1.同理，設(shè)排列 &但，|“，烝中有l(wèi)項(xiàng)比ak小，則有k l 1項(xiàng)比ak大，從而bk 2l k 1.因?yàn)閍1,a2,|,ak與a1,a2,|,ak是k個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且 ak ak,所以l l ,從而bk bk.所以排列31e2,|“田口和a1,a2,|,an的生成列也不同. 8分(出)證明：設(shè)排列 a1,a2,|,an的生成列為622,|14,且ak為a1,a2,|,an中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以b1 0,b2 oj|,bk1 0,bk