（新課標(biāo)大綱解讀）高考數(shù)學(xué) 重點(diǎn) 難點(diǎn) 核心考點(diǎn)全演練 專題08 數(shù)列

1、專題8 數(shù)列2014高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：(1)數(shù)列的概念是A級(jí)要求，了解數(shù)列、數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等概念，一般不會(huì)單獨(dú)考查；(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩種重要且特殊的數(shù)列，要求都是C級(jí)，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)求和公式、性質(zhì)等知識(shí)，理解其推導(dǎo)過程，并且能夠靈活應(yīng)用(4)通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形后，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的問題(5)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和的基本的幾種方法(6)數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題.試題類型可能是填空題，以考查單一性知識(shí)為主，同時(shí)在解答題中經(jīng)常與不等式綜合考查，構(gòu)成壓軸題 1等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1(

2、n1)dam(nm)d；等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1qn1amqnm.2等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Snna1d.特別地，當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0，即可設(shè)Snan2bn(a，b為常數(shù))(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn特別地，若q1，設(shè)a，則Snaaqn.3等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質(zhì)(1)若序號(hào)mnpq，在等差數(shù)列中，則有amanapaq；特別的，若序號(hào)mn2p，則aman2ap；在等比數(shù)列中，則有amanapaq；特別的，若序號(hào)mn2p，則amana；(2)在等差數(shù)列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，其公差為kd；其中Sn為前n項(xiàng)的

3、和，且Sn0(nN*)；在等比數(shù)列an中，當(dāng)q1或k不為偶數(shù)時(shí)Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其中Sn為前n項(xiàng)的和(nN*).4數(shù)列求和的方法歸納(1)轉(zhuǎn)化法：將數(shù)列的項(xiàng)實(shí)行分組重組，使之轉(zhuǎn)化為n個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用公式求和；(2)錯(cuò)位相減法：適用于anbn的前n項(xiàng)和，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列；(3)裂項(xiàng)法：求an的前n項(xiàng)和時(shí)，若能將an拆分為anbnbn1，則a1a2anb1bn1；(4)倒序相加法：一個(gè)數(shù)列倒過來與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和容易求出，那么這樣的數(shù)列求和可采用此法其主要用于求組合數(shù)列的和這里易忽視因式為零的情況；(5)試值猜

4、想法：通過對(duì)S1，S2，S3，的計(jì)算實(shí)行歸納分析，尋求規(guī)律，猜想出Sn，然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)于Sn不加證明；(6)并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例如對(duì)于數(shù)列an：a11，a23，a32，an2an1an，可證其滿足an6an，在求和時(shí)，依次6項(xiàng)求和，再求Sn.5數(shù)列的應(yīng)用題(1)應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，反映的事物背景陌生，知識(shí)涉及面廣，所以要解好應(yīng)用題，首先理應(yīng)提升閱讀理解水平，將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理予以解決(2)數(shù)列應(yīng)用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經(jīng)濟(jì)上涉及

5、利潤(rùn)、成本、效益的增減，解決該類題的關(guān)鍵是建立一個(gè)數(shù)列模型an，利用該數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式或前n項(xiàng)和公式.考點(diǎn)1、等差、等比數(shù)列中基本量的計(jì)算【例1】設(shè)數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和，滿足：aaaa，S77.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和Sn；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn2an，其前n項(xiàng)的和為Tn，當(dāng)n為何值時(shí)，有Tn512.【解析】解 (1)由an是公差不為0的等差數(shù)列，可設(shè)ana1(n1)d，則由得【規(guī)律方法】求等差、等比數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意對(duì)通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的選擇【變式探究】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a13，

6、是公比為2的等比數(shù)列 (1)證明：an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bnlog3an，其前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)n為何值時(shí)，有Tn2 012?考點(diǎn)2、與等差、等比數(shù)列相關(guān)的最值問題【例2】 等差數(shù)列an的首項(xiàng)是2，前10項(xiàng)之和是15，記Ana2a4a8a16a2n，求An及An的最大值【規(guī)律方法】上述兩種求An最值的方法都是使用函數(shù)思想法一是直接研究子數(shù)列a2n法二是研究An(19n22n1)的單調(diào)性求其最值【變式探究】已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10，公差d0，由an的部分項(xiàng)組成的數(shù)列ab1，ab2，abn，為等比數(shù)列，其中b11，b22，b36.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn；(2)若

7、數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的值；(3)求AnSn的最小值【解析】解 (1)由aa1a6， 考點(diǎn)3、等差、等比數(shù)列的探求問題【例3】 已知數(shù)列an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足aS2n1，令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；(2)是否存有正整數(shù)m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存有，求出所有的m，n的值；若不存有，請(qǐng)說明理由【解析】解 (1)n1時(shí)，由aS1a1，且a10，得a11.因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以ana1(n1)d1(n1)d， 【規(guī)律方法】在一定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)對(duì)象是否存有，解答此類問題

8、一般先假設(shè)要求(或證)的結(jié)論是存有的，然后利用相關(guān)概念、公理、定理、法則推理下去，如果暢通無限，則存有；如果推理過程中，有限或發(fā)生矛盾，則說明不存有【變式探究】 設(shè)an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足4S3S6，a22是a1，a13的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存有m，kN*，使amam4ak2？說明理由；(3)若數(shù)列bn滿足b11，bn1bnan，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式【解析】解 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，依題意得難點(diǎn)一、可轉(zhuǎn)為等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列問題【例1】 已知數(shù)列an滿足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)證明：數(shù)列an1an

9、是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列bn滿足4b114b214bn1(an1)bn(nN*)，證明bn是等差數(shù)列，得nbn22nbn1nbn0，即bn22bn1bn0，所以2bn1bn2bn(nN*)，所以bn是等差數(shù)列【規(guī)律方法】按定義證明an成等差(比)數(shù)列，能夠考慮改證它的等價(jià)定義，即2an1anan2(aanan2)【變式探究】 在數(shù)列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0，q1)(1)求證：數(shù)列an1an為等比數(shù)列；(2)若a6，a3，a9成等差數(shù)列，問對(duì)任意的nN*，an3，an，an6是否成等差數(shù)列？說明理由難點(diǎn)二、數(shù)列與恒成立問題【例2

10、】 已知數(shù)列an滿足a11，a21，當(dāng)n3，nN*時(shí)，.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存有kN*，使得nk時(shí)，不等式Sn(21)an84對(duì)任意實(shí)數(shù)0,1恒成立？若存有，求出k的最小值；若不存有，請(qǐng)說明理由【解析】解 (1)當(dāng)n3時(shí)，nN*時(shí)，3，.當(dāng)n2時(shí)，是常數(shù)列n2時(shí)，2，an2n5.an【規(guī)律方法】數(shù)列通項(xiàng)公式的還原方法比較多樣，能夠構(gòu)造特殊數(shù)列，也能夠立足于運(yùn)算、歸納，最后補(bǔ)充證明【變式探究】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有. 熱點(diǎn)3、數(shù)列中的不等關(guān)系【例3】如果無窮數(shù)列a

11、n滿足下列條件：an1；存有實(shí)數(shù)M，使得anM，其中nN*，那么我們稱數(shù)列an為數(shù)列(1)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)為bn5n2n，且是數(shù)列，求M的取值范圍；(2)設(shè)cn是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，c3，S3，證明：數(shù)列Sn是數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列dn是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，求證：dndn1.【方法技巧】不等式證明是數(shù)列問題中的常見題型，一般方法是利用不等式證明的常規(guī)方法，如綜合法、分析法等直接證明方法，也能夠應(yīng)用反證法等間接證明方法【變式探究】已知，是方程x2x10的兩個(gè)根，且.數(shù)列an，bn滿足a11，a2，an2an1an，bnan1an(nN*)(1)求b2a2的值；(2)證明：數(shù)列b

12、n是等比數(shù)列；(3)設(shè)c11，c21，cn2cn1cn(nN*)，證明：當(dāng)n3時(shí)，an(1)n1(cn2cn)1設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13_.2已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且a3a73，a2a82，則_.3設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則_.【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a12d，所以.【答案】4數(shù)列an為正項(xiàng)等比數(shù)列，若a21，且anan16an1(nN*，n2)，則此數(shù)列的前4項(xiàng)和S4_.5在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則|a1|a2|a6|_.6(2013新課標(biāo)全國(guó)卷改編)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm1

13、2，Sm0，Sm13，則m等于_7已知公差不為零的等差數(shù)列an的前4項(xiàng)和為10，且a2，a3，a7成等比數(shù)列(1)求通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)bn2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.【解析】解 (1)由題意知解得所以an3n5(nN*)(2)bn2an23n58n1，數(shù)列bn是首項(xiàng)為，公比為8的等比數(shù)列，所以Sn.8已知數(shù)列an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，設(shè)bn15log3ant，常數(shù)tN*.(1)求證：bn為等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cnanbn，是否存有正整數(shù)k，使ck，ck1，ck2按某種次序排列后成等比數(shù)列？若存有，求k，t的值；若不存有，請(qǐng)說明理由9已知數(shù)列an成等比數(shù)列，且an0.(1)若a2a18，a3m.當(dāng)m48時(shí)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若數(shù)列an是唯一的，求m的值；(2)若a2ka2k1ak1(akak1a1)8，kN*，求a2k1a2k2a3k的最小值【解析】解 設(shè)公比為q，則由題意，得q0.10正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的nN*，都有Tn0.所以Snn2n.n2時(shí)，anSnSn12n，n1時(shí)，a1S12適合上式an2n.(2)證明 由an2n，得bnTn.11已知函數(shù)f(x)(x1)2，g(x)4(x1)，數(shù)列an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列