導(dǎo)數(shù)與不等式的證明(高考真題)【含答案】

1、導(dǎo)數(shù)與不等式的證明1 x v1.12013湖南文科】已知函數(shù) f (x) = 2ex.1 x2(i )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)證明：當(dāng) f(x1) =f(x2)(x1wx2)時，x1+x20時f(x) 0,存在唯一的s,使t f(s).(叫設(shè)(n)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s g，證明：當(dāng)西時，有|那121 je.(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0, +8).f x)= 2xln x+x= x(2ln x+ 1),令 fx)=0,得 xx04 je1 te1 te,fx)一01十f(x)nx極小值r 1/當(dāng)x變化時，fx), f(x)的變化情況如下表:所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0,

2、1e,單調(diào)遞增區(qū)間是(2)證明：當(dāng) 0v x 1 時，f(x)0,令 h(x) = f(x) t, xc 1, +8).由(1)知，h(x)在區(qū)間(1, +8)內(nèi)單調(diào)遞增.h(1)=- t0.故存在唯一的sc (1, +8),使得t = f(s)成立.(3)證明：因為s= g(t),由(2)知，t=f(s),且s 1,從而in g(t) in s in sin su23in t in f (s) ln(s in s) 2ln s ln(ln s) 2u in u其中u= in s.2 in g(t) 1u要使一一注又一成立，只需0 in u 一.5 1nt 22當(dāng)te2時，若s=g(t)we,

3、則由f(s)的單調(diào)性，有t= f(s)wf(e) = e2,矛盾. 所以se,即u1,從而ln u0成立.u11. 一另一萬面，令 f(u)= in u ,u1.f u)= ,令 f u()=0,得 u=2.2u 2當(dāng) 1vuv2 時，f0)0;當(dāng) u2 時，fu)v0.故對 u1, f(u) f(2)e2時，有- 叵ga) 1 .5 int 2312013天津文科】設(shè)a 2,0,已知函數(shù)f(x) 3 xx3 (a 5)x, a 3 2 x ax, 2x 0,x 0.內(nèi)巢調(diào)遞增；(i )證明f (x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1, +(n )設(shè)曲線y f(x)在點p(xi,f (xi

4、)(i1,2,3)處的切 線相互 平行,且x1x2x3 0,證明1x1x2x33(1)設(shè)函數(shù)f 1(x)= x3(a+5)x(xw0),f 2(x)=x3a_3x2ax(x 0),2f/(x) = 3x2(a+5),由 a -2,0,從而當(dāng)一1vx0 時，f/(x) = 3x2(a + 5)3 -a-51時，f2(x)0.即函數(shù)f2(x)在區(qū)間0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1 , +8)內(nèi)單 調(diào)遞增.綜合，及f 1(0) =f2(0),可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1 , 十叼內(nèi) 單調(diào)遞增.a 3(2)由(1)知f (x)在區(qū)間(一巴 0)內(nèi)單倜遞減，在區(qū)間0, 內(nèi)單倜遞減

5、，在區(qū)間6內(nèi)單調(diào)遞增.因為曲線y=f (x)在點p(xi, f(xi)( i =1,2,3)處的切線相互平行，從而 xb 等，且 f ( x。=f (x2) =f (x3).不妨設(shè) x10vx2x3,由 3x12(a+5)3)x2+a= 3x3 (a+3)x3+a)x2,x3互不相2，一,=3x2 ( a +可得 3x22 3x32 (a+3)( x2x3) = 0,解得 x?+x3=,從而 0vx2 a63x3.2設(shè) g(x) = 3x (a+ 3)x+ a,貝u ga 3，、vg(x2) vg(0) = a.6r -2由 3x1 - (a+ 5) = g(x2) a,解得2a 5x1二53

6、t2貝u a=-2因為 ae 2,03 .15故 x1 + x2 + x3 3t2 1612(t 1)1 -一,即 x1+x2+x33412014天津理科】已知函數(shù) f(x)= x- aex(a? r), x? r.已知函數(shù)y= f(x)有兩 個零點x1,x2,且x1 0在r上恒成立，可得f (x)在r上單調(diào)遞增，不合題意.(2) a 0時，由 f (x)= 0,得 x= - lna.當(dāng)x變化時，f qx), f (x)的變化情況如下表：x(-? , lna)-ln a(-ln a,+ )f (x)十0一f(x)-lna- 1這時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-? , lna);單調(diào)遞減區(qū)間是(

7、-lna,+ ).于是，“函數(shù)y= f(x)有兩個零點”等價于如下條件同時成立：1 f (- ln a) 0； 2 存在 s! ? ( ? , ln a),滿足 f (s1) 0 ;3 存在 s2 ? ( ln a,+ ?),滿足 f (s2) 0,即-lna- 1 0 ,解得 0 a e-1 ,而此時，取 5=0,滿足2. 2s?(?, lna),且 f(%)=-a0；取 s2=+ln,滿足 s2 ? ( lna, + ?),且 a a3)=1ea22ln- ea 0.由已知，x1,x2滿足a= g(x), a= g(x2).由a ? (0,e 1),及g(x)的單調(diào)性，可得x?(0,1),

8、 x2 ? (1, ?).對于任意的州且2? (0,e-1),設(shè)a a2, g(x1)= g(x2)二 a1，其中0 x1 1 x2 ； g(hi)= g(h2)= a2,其中 0 hi 1 a2,即g(x1) g(h1),可得x h1；類似可得x2 0 ,得一 i,且 xi?x2=txi，解得 xiintxi + x2 =(t + i)1n tt- i令 h(x)=(x + i)1n xx- i?x2 - xi = in t,x =立nt .所以,t- i-21n x +x?(i, ?)，則 hx) =(x- i)令 u(x)=-21n x + x- 一，得 u (x) = ?x-.x秒x .當(dāng)x?(i, ?)時，u(x)0.因此，u(x)在