基于Matlab的FIR濾波器設(shè)計(jì)畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、基于 matlab 的 fir 濾波器設(shè)計(jì) 摘 要 介紹了利用 matlab 信號(hào)處理工具箱進(jìn) fir 濾波器設(shè)計(jì)的三種方法：窗函數(shù)法、頻 率采樣法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)，給出了詳細(xì)的設(shè)計(jì)步驟，并將設(shè)計(jì)的濾波器應(yīng)用到一個(gè)混和 正弦波信號(hào)，以驗(yàn)證濾波器的性能。 關(guān)鍵詞：matlab，數(shù)字濾波器，有限沖激響應(yīng)，窗函數(shù)，仿真 the fir filter design based on matlab author：liu junyue tutor：huang liqun abstract introduced into the signal processing toolbox using matlab fi

2、r filter design in three ways: window function method, frequency sampling method and the most optimal design, detailed design steps are given, and the design of the filter is applied to a sine wave mixing signal, to verify the filter performance. key words: matlab, digital filter, finite impulse res

3、ponse, the window function, simulation 目目 錄錄 1 緒論.1 1.1 數(shù)字濾波器的研究背景和意義.1 1.2 數(shù)字濾波器的應(yīng)用及現(xiàn)狀.1 1.3 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法.1 2 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu).1 2.1 直接型.1 2.2 級(jí)聯(lián)型.1 2.3 頻率取樣型.1 3 fir 濾波器.1 3.1 fir 濾波器的基本概念.1 3.2 fir 濾波器的特點(diǎn).1 3.3 fir 濾波器的種類 .1 3.3.1 數(shù)字集成電路 fir 濾波器 .1 3.3.2 dsp 芯片 fir 濾波器 .1 3.3.3 可編程 fir 濾波器.1 4 fir 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì).

4、1 4.1 窗函數(shù)法.1 4.1.1 矩形窗.1 4.1.2 海寧(hanning)窗與漢明(hamming)窗.1 4.1.3 布來(lái)克曼窗(blackman).1 4.1.4 凱澤窗(kaiser).1 4.1.5 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟及舉例.1 4.2 頻率采樣法.1 4.2.1 基本思想.1 4.2.2 約束條件.1 4.2.3 設(shè)計(jì)誤差.1 4.3 最優(yōu)化設(shè)計(jì).1 4.3.1 等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則.1 4.3.2 仿真函數(shù).1 5 結(jié)果分析.1 5.1 窗函數(shù)法仿真結(jié)果.1 5.2 頻率采樣法.1 5.3 最優(yōu)化設(shè)計(jì).1 結(jié) 論.1 致 謝.1 參考資料.1 附 錄.1 附錄 a .1

5、1 緒論 1.1 數(shù)字濾波器的研究背景和意義 當(dāng)今，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)正飛速發(fā)展，它不但自成一門學(xué)科，更是以不同形式影響 和滲透到其他學(xué)科；它與國(guó)民經(jīng)濟(jì)息息相關(guān)，與國(guó)防建設(shè)緊密相連；它影響或改變著 我們的生產(chǎn)、生活方式，因此受到人們普遍的關(guān)注。 數(shù)字化、智能化和網(wǎng)絡(luò)化是當(dāng)代信息技術(shù)發(fā)展的大趨勢(shì)，而數(shù)字化是智能化和網(wǎng) 絡(luò)化的基礎(chǔ)，實(shí)際生活中遇到的信號(hào)多種多樣，例如廣播信號(hào)、電視信號(hào)、雷達(dá)信號(hào)、 通信信號(hào)、導(dǎo)航信號(hào)等等。上述這些信號(hào)大部分是模擬信號(hào)，也有小部分是數(shù)字信號(hào)。 模擬信號(hào)是自變量的連續(xù)函數(shù)，自變量可以是一維的，也可以是二維或多維的。大多 數(shù)情況下一維模擬信號(hào)的自變量是時(shí)間，經(jīng)過(guò)時(shí)間上的離散

6、化（采樣）和幅度上的離 散化（量化） ，這類模擬信號(hào)便成為一維數(shù)字信號(hào)。因此，數(shù)字信號(hào)實(shí)際上是數(shù)字序列 表示的信號(hào)，語(yǔ)音信號(hào)經(jīng)采樣和量化后，得到的數(shù)字信號(hào)是一個(gè)一維離散時(shí)間序列； 而圖像信號(hào)的經(jīng)采樣和量化后，得到的是數(shù)字信號(hào)是一個(gè)二維離散空間序列。 數(shù)字濾波技術(shù)是數(shù)字信號(hào)分析、處理技術(shù)的重要分支。無(wú)論是信號(hào)的獲取、傳輸， 還是信號(hào)的處理和交換都離不開(kāi)濾波技術(shù)，它對(duì)信號(hào)安全可靠和有效靈活地傳輸時(shí)至 關(guān)重要的。在所有的電子系統(tǒng)中，使用最多技術(shù)最復(fù)雜的要算數(shù)字濾波器了。數(shù)字濾 波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣。 1.2 數(shù)字濾波器的應(yīng)用及現(xiàn)狀 數(shù)字濾波器精確度高、使用靈活、可靠性高，具有模擬設(shè)備所沒(méi)有的

7、許多優(yōu)點(diǎn)， 已廣泛應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科技術(shù)領(lǐng)域，例如數(shù)字電視、語(yǔ)音、通信、雷達(dá)、聲納、遙感、 圖像、生物醫(yī)學(xué)以及許多工程應(yīng)用領(lǐng)域。隨著信息時(shí)代數(shù)字時(shí)代的到來(lái)，數(shù)字濾波技 術(shù)已經(jīng)成為一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。以往的濾波器大多采用模擬電路技術(shù)， 但是，模擬電路技術(shù)存在很多難以解決的問(wèn)題，例如，模擬電路元件對(duì)溫度的敏感性， 等等。而采用數(shù)字技術(shù)則避免很多類似的難題，當(dāng)然數(shù)字濾波器在其他方面也有很多 突出的優(yōu)點(diǎn)，所以采用數(shù)字濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理是目前的發(fā)展方向。 1.3 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 數(shù)字濾波器按照單位取樣響應(yīng)的時(shí)域特性可以分為無(wú)限脈沖響應(yīng)（iir）系統(tǒng)( )h n 和有限脈沖響應(yīng)（fir）系統(tǒng)

8、。fir 數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)在于它可以做成具有嚴(yán)格線性相 位,而同時(shí)可以具有任意的幅度特性;它的傳遞函數(shù)沒(méi)有極點(diǎn);這保證了設(shè)計(jì)出的fir 數(shù) 字濾波器一定是平穩(wěn)的。 所謂數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是要找到一組能滿足特定濾波要求的系數(shù)向 量a和b。而濾波器設(shè)計(jì)完成后還需要進(jìn)一步考慮如何將其實(shí)現(xiàn)，即選擇什么樣的濾波 器結(jié)構(gòu)來(lái)完成濾波運(yùn)算。fir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法很多，其中較為常用的是窗函數(shù)設(shè) 計(jì)法、頻率采樣設(shè)計(jì)法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。本文討論利用窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波 紋切比雪夫逼近法（調(diào)用remez函數(shù)）來(lái)分別實(shí)現(xiàn)各種fir濾波器的設(shè)計(jì)。 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的基本思想是把給定的頻率響應(yīng)通過(guò) idtft

9、（inverse discrete time fourier transform），求得脈沖響應(yīng)，然后利用加窗函數(shù)對(duì)它進(jìn)行截?cái)嗪推交?，以?shí)現(xiàn) 一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)且具有線性相位的 fir 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)目的。其核心是從給定的頻 率特性，通過(guò)加窗確定有限長(zhǎng)單位取樣響應(yīng)；頻率采樣法設(shè)計(jì)的基本思想是把給( )h n 出的理想頻率響應(yīng)進(jìn)行取樣，通過(guò) idft 從頻譜樣點(diǎn)直接求得有限脈沖響應(yīng)；最優(yōu)化 設(shè)計(jì)方法是指采用最優(yōu)化準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)的方法，在 fir df 的最優(yōu)化設(shè)計(jì)中 ,最優(yōu)化準(zhǔn)則 有均方誤差最小化準(zhǔn)則和等波紋切比雪夫逼近(也稱最大誤差最小化)準(zhǔn)則兩種。 2 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波器可以用差分方程、

10、單位取樣響應(yīng)、以及系統(tǒng)函數(shù)等表示。對(duì)于研究系統(tǒng) 的實(shí)現(xiàn)方法，即它的運(yùn)算結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，用流圖表示最為直接。一個(gè)給定的輸入輸出關(guān)系， 可以用多種不同的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)。在不考慮量化影響時(shí)，這些不同的實(shí)現(xiàn)方法是等 效的；但在考慮量化影響時(shí)，這些不同的實(shí)現(xiàn)方法性能上就有差異。因此，運(yùn)算結(jié)構(gòu) 是很重要的，同一系統(tǒng)函數(shù) h(z)，運(yùn)算結(jié)構(gòu)的不同，將會(huì)影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn) 定性、經(jīng)濟(jì)性以及運(yùn)算速度等許多重要性能。 無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器與有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器在結(jié)構(gòu)上有各自不同的特 點(diǎn)，必須分別討論。 有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 (2.1) 1 0 ( )(

11、) n n n h zh n z 其差分方程為 (2.2) 1 0 ( )( ) () n k y nh k x nk 其基本結(jié)構(gòu)形式有下述幾種。 2.1 直接型 由公式（2.1）可得出圖 2.1 所示的直接型結(jié)構(gòu)。我們也稱這種結(jié)構(gòu)為抽頭延遲線 濾波器或橫向型結(jié)構(gòu)。由于上述公式就是信號(hào)的卷積型式，故還稱為卷積型結(jié)構(gòu)。 圖 2.1 fir 濾波器直接型結(jié)構(gòu) 2.2 級(jí)聯(lián)型 將(2.1)式的系統(tǒng)函數(shù)分解成若干一階和二階多項(xiàng)式的乘積( )h z 1 z ( )x n ( )y n (0)h 1 z 1 z (1)h(2)h(2)h n (1)h n (2.3) 21 12 012 01 ( )( )

12、() n n n kkk nk h zh n zzz 其中表示取的整數(shù)部分。若 n 為偶數(shù)，則 n-1 為奇數(shù)，故系數(shù)中有一個(gè)為零， 2 n 2 n 2k 圖 2.2 fir 濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)（n 為奇數(shù)） 這是因?yàn)?，這時(shí)有奇數(shù)個(gè)根，其中復(fù)數(shù)根成共軛對(duì)，必為偶數(shù)，必然有奇數(shù)個(gè)實(shí)根。 圖 2.2 示出了 n 為奇數(shù)時(shí)，fir 濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)二階因子用直接型結(jié)構(gòu) 實(shí)現(xiàn)。 直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)在雷達(dá)信號(hào)處理中作為相關(guān)器和對(duì)消器等獲得了廣泛的 應(yīng)用。 2.3 頻率取樣型 系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上作 n 等分取樣的取樣值就是的離散傅里葉變換值( )h z( )h n h(k)，用表示的內(nèi)插公

13、式為( )h k( )h z (2.4) 1 1 0 1( ) ( )(1) 1 n n k k n h k h zz nwz 由上式可見(jiàn)，fir 系統(tǒng)可用一個(gè)子 fir 系統(tǒng)和一個(gè)子 iir 系統(tǒng)1 n z 實(shí)現(xiàn)，子 fir 系統(tǒng)是一個(gè)由 n 節(jié)延遲單元組成的梳狀濾波器，如圖 1 1 0 ( ) 1 n k k n h k wz 1 n z 2.3 所示。在單位圓上有 n 個(gè)等分的零點(diǎn)1 n z (2.5)10 n z (2.6) 2 0,1,1 n jk k knze 梳狀濾波器的頻率響應(yīng) 1 z ( )x n( )y n 01 11 21 1 z 1 z 02 12 22 1 z 1 z

14、 2 0 n 2 1 n 2 2 n 1 z (2.7)()11 j jnjn z e h eze 其幅度特性為 (2.8)()2 sin 2 j n h e 其幅頻響應(yīng)如圖 2.3 所示，由于其頻譜形狀像梳子，因此稱其為梳狀濾波器。 ( )y n n z ( )x n () j c h e 0 2 n 4 n 圖 2.3 梳狀濾波器結(jié)構(gòu)及頻率響應(yīng)幅度 子 iir 系統(tǒng)是 n 個(gè)型的分式和的形式，每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)在單 1 ( ) 1 k n h k wz 1 ( ) 1 k n h k wz 位圓上有一極點(diǎn) (2.9) 2 k nk n jk zwe 因此網(wǎng)絡(luò)對(duì)頻率為的響應(yīng)為，是一個(gè)諧振頻率為的

15、無(wú)耗諧振器。并聯(lián) 2 k n 2 k n 諧振器的極點(diǎn)正好各自抵消一個(gè)梳狀濾波器的零點(diǎn)，從而使在頻率點(diǎn)處的響 2 k n 應(yīng)就是。因此控制濾波器的響應(yīng)很直接，這正是頻率取樣型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。( )h k r im jz re z 11 圖 2.4 抽樣點(diǎn)改在 r passrad=0.2*pi; w1=boxcar(81); w2=triang(81); w3=hanning(81); w4=hamming(81); n=1:1:81; hd=sin(passrad*(n-41)./(pi*(n-41); hd(41)=passrad/pi; h1=hd.*rot90(w1); h2=hd.*rot

16、90(w2); h3=hd.*rot90(w3); h4=hd.*rot90(w4); mag1,rad=freqz(h1); mag2,rad=freqz(h2); mag3,rad=freqz(h3); mag4,rad=freqz(h4); subplot(2,2,1); plot(rad,20*log10(abs(mag1); grid on; subplot(2,2,2); plot(rad,20*log10(abs(mag2); grid on; subplot(2,2,3); plot(rad,20*log10(abs(mag3); grid on; subplot(2,2,4)

17、; plot(rad,20*log10(abs(mag4); grid on; 圖 4.3 窗函數(shù)設(shè)計(jì)的低通濾波器的幅度頻率特性 窗函數(shù)主要用來(lái)減少序列因截?cái)喽a(chǎn)生的gibbs效應(yīng)。但當(dāng)這個(gè)窗函數(shù)為矩形時(shí)， 得到的fir濾波器幅頻響應(yīng)會(huì)有明顯的gibbs效應(yīng)，并且任意增加窗函數(shù)的長(zhǎng)度（即fir 濾波器的抽頭數(shù)）gibbs效應(yīng)也不能得到改善。為了克服這種現(xiàn)象,窗函數(shù)應(yīng)該使設(shè)計(jì)的 濾波器： （1） 頻率特性的主瓣寬度應(yīng)盡量窄,且盡可能將能量集中在主瓣內(nèi)； （2） 窗函數(shù)頻率特性的旁瓣趨于 的過(guò)程中，其能量迅速減小為零。 4.2 頻率采樣法 頻率采樣法是從頻域出發(fā),根據(jù)頻域采樣定理，對(duì)給定的理想濾波

18、器的頻率響應(yīng) 加以等間隔的抽樣 ，得到：() jw h e( ) d h k k=0,1,n-1 (4.15) (2 ) ( )() k n jw ddw hkhe 再利用可求得 fir 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)。( ) d hk( )h z() jw h e 而在各采樣點(diǎn)間的頻率響應(yīng)則是其的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸疊加的結(jié)果。但對(duì)于一個(gè)無(wú) 限長(zhǎng)的序列，用頻率采樣法必然有一定的逼近誤差,誤差的大小取決于理想頻響曲線的 形狀, 理想頻響特性變換越平緩, 則內(nèi)插函數(shù)值越接近理想值,誤差越小。為了提高 逼近的質(zhì)量，可以通過(guò)在頻率相應(yīng)的過(guò)渡帶內(nèi)插入比較連續(xù)的采樣點(diǎn)，擴(kuò)展過(guò)渡帶使 其比較連續(xù)，從而使得通帶和阻

19、帶之間變換比較緩慢，以達(dá)到減少逼近誤差的目的。 選取 w0,2內(nèi) n 個(gè)采樣點(diǎn)的約束條件為： (4.16) ( )() ()() h kh n k mn m 01kn (1) 增大阻帶衰減三種方法： 1) 加寬過(guò)渡帶寬，以犧牲過(guò)渡帶換取阻帶衰減的增加。 2) 過(guò)渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì),利用線性最優(yōu)化的方法確定過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求 的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過(guò)渡帶值） 。 3)增大 n。如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過(guò)渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù) n。代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便；適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí) 頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值

20、，但是截止頻率難以控制。 典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒 頻偏可反映被測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度。 4.2.1 基本思想 使所設(shè)計(jì)的 fir 數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需 濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其他頻率處的特性則有較好的逼近。 4.2.2 約束條件約束條件 為了設(shè)計(jì)線性相位的 fir 濾波器，采樣值 h(k)要滿足一定的約束條件。前已指出, 具有線性相位的 fir 濾波器，其單位采樣響應(yīng) h(n)是實(shí)序列，且滿足 h(n)=+/-h(n-1-n) (4.17) 由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì) h(k)的約束。 4.2.3 設(shè)計(jì)誤

21、差設(shè)計(jì)誤差 fir 設(shè)計(jì)步驟： 給定指標(biāo) k,hk h(k) h(ej)或 h(z)關(guān)心的是，由上述設(shè)計(jì)過(guò)程得到的 h(ej) 與 h（k）的逼近程度，以及 h(ej)與 h(k)的關(guān)系。 令 ，則 單位圓上的頻響為： 這是一個(gè)內(nèi)插公式，式中為內(nèi)插函 數(shù)。 令則 所以，在每個(gè)采樣點(diǎn)上，頻響 h(ej) 嚴(yán)格地與理想特性 h(k)一致，在采樣點(diǎn)之 間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小 與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差??；反之，誤差大，在理想 頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。n 增加，則采樣點(diǎn)變密，內(nèi)插誤差減小。 圖圖 4.4 頻率采樣的

22、響應(yīng)頻率采樣的響應(yīng) 4.3 最優(yōu)化設(shè)計(jì) 最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是指采用最優(yōu)化準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)的方法。在 fir df 的最優(yōu)化設(shè)計(jì)中 , 最優(yōu)化準(zhǔn)則有均方誤差最小化準(zhǔn)則和等波紋切比雪夫逼近(也稱最大誤差最小化)準(zhǔn)則兩 種。實(shí)際設(shè)計(jì)中 ,只有采用窗函數(shù)法中的矩形窗 才能滿足前一種最優(yōu)化準(zhǔn)則 ,但由于 吉布斯 (gibbs )效應(yīng)的存在，使其根本不能滿足設(shè)計(jì)的要求。為了滿足設(shè)計(jì)的要求 ,可 以采用其它的窗函數(shù)來(lái)消除吉布斯效應(yīng) ,但此時(shí)的設(shè)計(jì)已經(jīng)不能滿足該最優(yōu)化準(zhǔn)則了。 因此 ,要完成 fir df 的最優(yōu)化設(shè)計(jì) ,只能采用后一種優(yōu)化準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)。 前面介紹了 fir 數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計(jì)方法，即窗口法（時(shí)域逼

23、近法）和頻 率采樣法（頻域逼近法） ，用這兩種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上 對(duì)給定理想頻率特性 hd(ej)的逼近。 說(shuō)到逼近，就有一個(gè)逼近得好壞的問(wèn)題，對(duì)“好”“壞”的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不 同的結(jié)論，我們前面講過(guò)的窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然 后再討論其逼近特性，如果反過(guò)來(lái)要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu) 的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念，最優(yōu)化設(shè)計(jì)一般需要大量的計(jì)算，所以一般 需要依靠計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。 最優(yōu)化設(shè)計(jì)的前提是最優(yōu)準(zhǔn)則的確定，在 fir 濾波器最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常用的準(zhǔn)則 有 最小均方誤差準(zhǔn)則 最大誤差最小化準(zhǔn)則。 1) 均

24、方誤差最小化準(zhǔn)則 若以 e(ej)表示逼近誤差，則 (4.18) 那么均方誤差為 (4.19) 均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時(shí)域采樣值，以使均方誤差，這一方法注重的是在整 個(gè)- 頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點(diǎn)的性能，有些頻率點(diǎn)可 能會(huì)有較大的誤差，對(duì)于窗口法 fir 濾波器設(shè)計(jì)，因采用有限項(xiàng)的 h(n)逼近理想的 hd(n)，所以其逼近誤差為： (4.20) )()( jj d j ehehee）（ deedeheh jjj d 2 2 2 2 1 2 1 n d nhnh 2 2 )()( 如果采用矩形窗 (4.21) 則有 (4.22) 2) 最大誤差最小化準(zhǔn)則（也叫最佳

25、一致逼近準(zhǔn)則） (4.23) 其中 f 是根據(jù)要求預(yù)先給定的一個(gè)頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。 最佳一致逼近即選擇 n 個(gè)頻率采樣值（或時(shí)域 h(n) 值） ，在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的 最大逼近誤差達(dá)到最小,也叫等波紋逼近。 優(yōu)點(diǎn)：可保證局部頻率點(diǎn)的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，相同指標(biāo)下，可用 最少的階數(shù)達(dá)到最佳化。 例如，我們提到的頻率采樣最優(yōu)化設(shè)計(jì)，它是從已知的采樣點(diǎn)數(shù) n、預(yù)定的一組 頻率取樣和已知的一組可變的頻率取樣（即過(guò)渡帶取樣）出發(fā)，利用迭代法（或解析 法）得到具有最小的阻帶最大逼近誤差（即最大的阻帶最小衰減）的 fir 濾波器。但 它只是通過(guò)改變過(guò)渡帶的一個(gè)或幾個(gè)采樣

26、值來(lái)調(diào)整濾波器特性。如果所有頻率采樣值 （或 fir 時(shí)域序列 h(m)）都可調(diào)整，顯然，濾波器的性能可得到進(jìn)一步提高。可以證 明，這是一個(gè)最小均方誤差。 所以，矩形窗窗口設(shè)計(jì)法是一個(gè)最小均方誤差 fir 設(shè)計(jì)，根據(jù)前面的討論，我們 知道其優(yōu)點(diǎn)是過(guò)渡帶較窄，缺點(diǎn)是局部點(diǎn)誤差大,或者說(shuō)誤差分布不均勻。 4.3.1 等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則 在濾波器的設(shè)計(jì)中 ,通常情況下通帶和阻帶的誤差要求是不一樣的。等波紋切比雪 夫逼近準(zhǔn)則就是通過(guò)對(duì)通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù) ,實(shí)現(xiàn)在不同頻段(通常指的是 通帶和阻帶)的加權(quán)誤差最大值相同 ,從而實(shí)現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá) 到最小值。 盡管窗函數(shù)法與

27、頻率采樣法在 fir 數(shù)濾波器的設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用, 但兩者不 是最優(yōu)化的設(shè)計(jì) 。通常線性相位濾波在不同的頻帶內(nèi)逼近的最大容許誤差要求不同。 等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則就是通過(guò)通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù),實(shí)現(xiàn)在不同頻段(通 常指的是通帶和阻帶) 的加權(quán)誤差最大值相同,從而實(shí)現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的 條件下達(dá)到最小值，即使得 和之間的最大絕對(duì)誤差最小。() jw d he() jw h e 其它0 1)( )( nnonh nh d 1 222 | )()(| )()(| nnn dd nhnhnhnh max|()| min j e ef 等波紋切比雪夫逼近是采用加權(quán)逼近誤差，它可以表示為

28、： () jw e e (4.24) ()()()() jwjwjwjw d e ew eheh e 其中，為逼近誤差加權(quán)函數(shù)在誤差要求高的頻段上，可以取較大的加權(quán)值，() jw w e 否則，應(yīng)當(dāng)取較小的加權(quán)值。 盡管按照 fir 數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng) h(n)的對(duì)稱性和 n 的奇、偶性，fir 數(shù) 字濾波器可以分為 4 種類型，但濾波器的頻率響應(yīng)可以寫成統(tǒng)一的形式： (4.25) (1) 22 () ()( ) j nw jwjk h eeeh w 其中，k0 ,1 , h ()為幅度函數(shù)，且是一個(gè)純實(shí)數(shù)，表達(dá)式也可以寫成統(tǒng)一的 形式： (4.26)()( ) ( ) jw d heqp

29、 其中，為 的固定函數(shù)，為 m 個(gè)余弦函數(shù)的線性組合。( )q( )p 4.3.2 仿真函數(shù) 利用數(shù)字信號(hào)處理工具箱中的 remezord 和 remez 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn) firdf 的最優(yōu)化 設(shè)計(jì)。在此先介紹這兩個(gè)函數(shù): (1) n ,fo ,ao ,weights =remezordf ,a ,dev 功能:利用 remezord 函數(shù)可以通過(guò)估算得到濾波器的近似階數(shù) n ,歸一化頻率帶邊 界 fo ,頻帶內(nèi)幅值 ao 及各個(gè)頻帶內(nèi)的加權(quán)系數(shù) weights。輸入?yún)?shù) f 為頻帶邊緣頻率 ,a 為各個(gè)頻帶所期望的幅度值 ,dev 是各個(gè)頻帶允許的最大波動(dòng)。 (2) h =remez(n ,f

30、o ,ao ,weights, ftype) 功能:利用 remez 函數(shù)可以得到最優(yōu)化設(shè)計(jì)的 fir df 的系數(shù) ,輸入?yún)?shù) n 是( )h n 濾波器的階數(shù) ,fo ,ao ,weights 參數(shù)含義說(shuō)明同 (1)。ftype 是所設(shè)計(jì)的濾波器類型 ,它 除了可以設(shè)計(jì)普通的濾波器外 ,它還可以設(shè)計(jì)數(shù)字希爾鈔特變換器以及數(shù)字微分器。實(shí) 際設(shè)計(jì)中 ,由于 remezord 函數(shù)可跑高估或低估濾波器的階數(shù) n ,因此在得到濾波器的 系數(shù)后 ,必須檢查其阻帶最小衰減是否滿足設(shè)計(jì)要求。如果此時(shí)的技術(shù)指標(biāo)不能滿足設(shè) 計(jì)要求 ,則必須提高濾波器的階數(shù)到 n +1 ,n +2 等。故等波紋切比雪夫逼近法

31、設(shè)計(jì) fir 數(shù)字濾波器的步驟是： 給出所需的頻率響應(yīng)，加權(quán)函數(shù)和濾波器的單位取樣響應(yīng)() jw d he() jw w e 的長(zhǎng)度 n。 ( )h n 由中給定的參數(shù)來(lái)形成所需的、和的表達(dá)式。 ( )w( ) d h( )p 根據(jù) remez 算法,求解逼近問(wèn)題。 利用傅立葉逆變換計(jì)算出單位取樣響應(yīng) 。( )h n 5 結(jié)果分析 5.1 窗函數(shù)法仿真結(jié)果 采用特殊的窗函數(shù)如 hamming 窗，可以減小 gibbs 效應(yīng)，但同時(shí)也會(huì)使濾波器的 過(guò)度帶變寬。波動(dòng)幅度取決于窗函數(shù)幅度頻譜旁瓣的相對(duì)幅度, 而波紋的多少取決于 窗函數(shù)旁瓣的多少，如圖 5.1 所示。以上兩點(diǎn)是就是窗函數(shù)直接截?cái)鄅d(

32、n)引起的截?cái)?效應(yīng)在頻域的反映, 截?cái)嘈?yīng)直接影響濾波器的性能, 因?yàn)橥◣?nèi)的波動(dòng)會(huì)影響濾波 器痛帶中的平穩(wěn)性, 阻帶內(nèi)的波動(dòng)則影響阻帶最小衰減,因此,減少截?cái)嘈?yīng)也是 fir 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一。 圖5.1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)的fir低通濾波器頻率響應(yīng) 5.2 頻率采樣法 圖5.2為在間斷點(diǎn)處增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)后的情況。從圖5.3中可以看出濾波器的帶外衰 減指標(biāo)有了明顯的改善!但這同時(shí)增加了濾波器的過(guò)渡帶寬。所以，在帶外衰減和過(guò)渡 帶寬這兩個(gè)指標(biāo)之間需要有一個(gè)折衷。因頻率取樣點(diǎn)都局限在2/n的整數(shù)倍點(diǎn)上，所 以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。充分加大n，可以接 近任何給定

33、的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。頻率采樣法偏離設(shè)計(jì)指標(biāo)明顯，阻帶衰 減最小，只有適當(dāng)選取過(guò)渡帶樣點(diǎn)值，才會(huì)取得較好的衰耗特性。 圖 5.2 fir 的單位取樣響應(yīng) 圖 5.3 fir 的低通衰減幅頻特性 5.3 最優(yōu)化設(shè)計(jì) 在設(shè)計(jì)中 ,如果該濾波器的特性不滿足要求 ,那么 ,原有參數(shù)必須作適當(dāng)調(diào)整。這 在程序中很容易實(shí)現(xiàn) ,只需對(duì)參數(shù)進(jìn)行重新設(shè)定 ,就可以得到新條件下濾波器的特性。 采用最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法時(shí)大大減小了濾波器的階數(shù),從而減小了濾波器的體積,并最終降 低了濾波器的成本。這樣使得設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器更為簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)。因而在實(shí)際的濾波器 設(shè)計(jì)中,這種最優(yōu)化方法是完全可行的。在實(shí)際應(yīng)用中 ,如果需要對(duì)

34、某一信號(hào)源進(jìn)行特 定的濾波 ,并要檢驗(yàn)濾波效果 ,應(yīng)用傳統(tǒng)方法實(shí)施起來(lái)比較繁瑣。在matlab環(huán)境下,可先 用軟件模擬產(chǎn)生信號(hào)源 ,再設(shè)計(jì)濾波器對(duì)其進(jìn)行濾波 。 圖 5.4 濾波器輸出的幅頻及相頻響應(yīng)特性 同樣是設(shè)計(jì)一個(gè) fir 低通數(shù)字濾波器，綜合分析可以看出： (1) 窗函數(shù)法在階數(shù)較低時(shí)，阻帶特性不滿足設(shè)計(jì)要求，只有當(dāng)濾波器階數(shù)較高時(shí)， 使用海明窗和凱塞窗基本可以達(dá)到阻帶衰耗要求； (2) 頻率采樣法偏離設(shè)計(jì)指標(biāo)最明顯，阻帶衰減最小，而且設(shè)計(jì)比采用窗函數(shù)法復(fù) 雜。只有適當(dāng)選取過(guò)渡帶樣點(diǎn)值，才會(huì)取得較好的衰耗特性； (3) 利用等波紋切比雪夫逼近法則的設(shè)計(jì)可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特性，

35、具 有通帶和阻帶平坦，過(guò)渡帶窄等優(yōu)點(diǎn)。 綜上所述，fir 濾波器很容易實(shí)現(xiàn)具有嚴(yán)格線性相位的系統(tǒng), 使信號(hào)經(jīng)過(guò)處理后不 產(chǎn)生相位失真,舍入誤差小,而且穩(wěn)定，因此越來(lái)越受到廣泛的重視。matlab 軟件的 誕生, 使數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)得簡(jiǎn)單,它已經(jīng)成為電子工程師必備的一個(gè)工 具軟件。 結(jié) 論 本文通過(guò)一個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例，介紹了利用 matlab 實(shí)現(xiàn) fir 濾波器設(shè)計(jì)與濾波的三 種方法，從仿真結(jié)果可以看出它們均可以達(dá)到技術(shù)指標(biāo)要求，而且方法簡(jiǎn)單、快捷， 大大減輕了工作量。濾波器的設(shè)計(jì)工作完成后，可以借助于 matlab 的 export 操作導(dǎo) 出所設(shè)計(jì)濾波器的系統(tǒng)函數(shù) h(z)。由于 m

36、atlab 具有強(qiáng)大的接口功能，仿真后的結(jié)果可 以很方便的移植到 dsp、cpld 或 fpga 等器件中。在實(shí)際應(yīng)用中,只需按要求修改濾波 器參數(shù),并對(duì)程序作較少的改動(dòng),即可實(shí)現(xiàn)不同截止頻率的 fir 濾波器,實(shí)用性較強(qiáng) 參考資料 1 董長(zhǎng)虹等. matlab信號(hào)處理與應(yīng)用.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2005. 2 美 m.h.海因斯 著，張建華等 譯.數(shù)字信號(hào)處理.北京：科學(xué)出版社，2002. 3 張葛祥，李娜. matlab仿真技術(shù)與應(yīng)用.北京：清華大學(xué)出版社，2003. 4 樓順天，李博菡. 基于matlab的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì).西安：西安電子科技大學(xué)出版社， 1998. 5 馬昌風(fēng). 最優(yōu)化

37、設(shè)計(jì)法及matlab設(shè)計(jì).北京：科學(xué)出版社，2010 6 張磊. matlab實(shí)用教程.北京：人民郵電出版社，2008 7 陳龍等. 數(shù)字信號(hào)處理的matlab實(shí)現(xiàn).北京：科學(xué)出版社，2010 8 甘本祓,吳萬(wàn)春. 現(xiàn)代微波濾波器的結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì).北京 科學(xué)出版社，2008 9 美 恒里y-f拉姆 著，模擬和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn).北京：人民郵電出版社， 1985 附 錄 附錄 a 窗函數(shù)實(shí)現(xiàn)程序： passrad=0.4*pi; w1=boxcar(61); w2=hamming(61) n=1:1:61; hd=sin(passrad*(n-31)./(pi*(n-31); hd(31)=pas

38、srad/pi; h1=hd.*rot90(w1); h2=hd.*rot90(w2); mag1,rad=freqz(h1); mag2,rad=freqz(h2); subplot(2,2,1); plot(rad,20*log10(abs(mag1); grid on; title(designed by rectangular window); subplot(2,2,2); plot(rad,20*log10(abs(mag2); grid on; title(designed by hamming window); h1,w1=freqz(h1,1,100,2); subplot(

39、2,2,3); plot(w1,unwrap(angle(h1); grid on; h2,w2=freqz(h2,1,100,2); subplot(2,2,4); plot(w2,unwrap(angle(h2); grid on; 頻率采樣法實(shí)現(xiàn)程序：頻率采樣法實(shí)現(xiàn)程序： f=0.2 0.3; a=1 0; dev=0.04 0.02; %給出濾波器的參數(shù) n f0 a0 w=remezord(f,a,dev); n=n; alpha=(n-1)/2; k=0:n-1; wp=0.2*pi; ws=0.3*pi; %計(jì)算理想低通濾波器的截止頻率 wc=(wp+ws)/2; m=fix(w

40、c*n/(2*pi)+1); %在兩邊過(guò)渡帶取值為 0.5 的采樣點(diǎn) t = 0.5; hrs=ones(1,m),t,zeros(1,n-2*m-1),t,ones(1,m-1); k1 = 0:floor(alpha); k2 = floor(alpha+1):n-1; phai=-alpha*(2*pi)/n*k1,alpha*(2*pi)/n*(n -k2); h =hrs.*exp(j*phai); %計(jì)算單位沖激響應(yīng) h =ifft(h,n); h1,w1 = freqz(h,1,256,1); hr = abs( h1); h1 = 20* log10(hr); %畫出 fir

41、df 的單位取樣響應(yīng) figure(1); k=0:n-1; stem(k,h,k.) axis(0,n-1,1.1*min(real(h),1.1*max(real(h); xlabel(n); ylabel(h(n); grid on; %畫出 fir df 的低通衰減幅頻特性 figure(2); plot(w1,h1); xlabel(normalized) frequency(rad/sample); ylabel(magnitude(db); grid on; 最優(yōu)化設(shè)計(jì)程序?qū)崿F(xiàn)： fs =2000; %采樣頻率 rp =3; %通帶波紋 rs =40; %阻帶波紋 f = 500

42、 600; %截止頻率 a = 1 0; %期望的幅度 dev= (10(rp/20) - 1)/ (10(rp/20) + 1) 10( - rs/20) ; n ,fo ,ao ,w = remezord(f ,a ,dev,fs) ; b = remez(n ,fo ,ao ,w) ; %調(diào)用最優(yōu)設(shè)計(jì)法中 remez 函數(shù) reqz(b ,1 ,1024 ,fs);附錄：外文翻譯 in wang zuoliangs translation practices, he translated many poems, especially the poems written by robert

43、 burns. his translation of burns “a red, red rose” brought him fame as a verse translator. at the same time, he published about ten papers on the translation of poems. some argue that poems cannot be translated. frost stresses that poetry might get lost in translation. according to wang, verse trans

44、lation is possible and necessary, for “the poet-translator brings over some exciting work from another culture and in doing so is also writing his own best work, thereby adding something to his culture. in this transmission and exchange, a richer, more colorful world emerges. ”(wang, 1991:112). then

45、 how can we translate poems? according to wangs understanding, the translation of poems is related to three aspects: a poems meaning, poetic art and language. （1）a poems meaning “socio-cultural differences are formidable enough, but the matter is made much more complex when one realizes that meaning does not consist in the meaning of words only, but also in syntactical structures, speech rhythms, levels of style.” (wang, 1991:93). （2）poetic art according to wang, “blys point