高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義教案新人教A版選修1-2

1、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算及幾何意義教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握復(fù)數(shù)的加法運算及意義過程與方法：理解并掌握實數(shù)進(jìn)行四則運算的規(guī)律，了解復(fù)數(shù)加減法運算的幾何意義情感、態(tài)度與價值觀：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部) 理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念；畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過對圖形的觀察,往往能起到啟迪解題思路的作用教學(xué)重點：復(fù)數(shù)加法運算，復(fù)數(shù)與從原點出發(fā)的向量的對應(yīng)關(guān)系教學(xué)難點:復(fù)數(shù)加法運算的運算率，復(fù)數(shù)加減法運算的幾何意義。教具準(zhǔn)備:多媒體、實物投影儀 .教學(xué)設(shè)想：復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個點和它對應(yīng)；反過來,復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有惟一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).

2、復(fù)數(shù)z=a+bi(a、br)與有序?qū)崝?shù)對(a，b）是一一對應(yīng)關(guān)系這是因為對于任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi(a、br)，由復(fù)數(shù)相等的定義可知，可以由一個有序?qū)崝?shù)對(a,b）惟一確定。教學(xué)過程：學(xué)生探究過程：1。虛數(shù)單位：（1)它的平方等于-1,即； （2)實數(shù)可以與它進(jìn)行四則運算，進(jìn)行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2. 與1的關(guān)系: 就是1的一個平方根，即方程x2=1的一個根，方程x2=1的另一個根是3。 的周期性：4n+1=i， 4n+2=1, 4n+3=i， 4n=14.復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集,用字母c表示3. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:

3、復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式4。 復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi(a、br)是實數(shù)a；當(dāng)b0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時,z就是實數(shù)0.5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：nzqrc。6。 兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即:如果a,b，c,dr,那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時才不能比

4、較大小7。 復(fù)平面、實軸、虛軸：點z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、br）可用點z（a，b）表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,也叫高斯平面,x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù) 對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為（0,0）， 它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實數(shù).故除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系,即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點這是因為,每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有惟一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，

5、即幾何表示方法8.若，,則9. 若,，則,兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差10。 若，則一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)即=-=( x2, y2) - （x1,y1）= (x2- x1， y2- y1） 講解新課：一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義:z1+z2=(a+bi）+（c+di）=(a+c）+(b+d）i。2. 復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1z2=（a+bi)（c+di)=(a-c)+（bd)i。3。 復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z1。證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b

6、2r）.z1+z2=（a1+b1i)+（a2+b2i）=(a1+a2）+(b1+b2）i.z2+z1=(a2+b2i）+(a1+b1i)=(a2+a1)+（b2+b1)i.又a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1.z1+z2=z2+z1。即復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律。4. 復(fù)數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+（z2+z3)證明:設(shè)z1=a1+b1i。z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3r)。（z1+z2）+z3=(a1+b1i)+（a2+b2i）+(a3+b3i)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(a3+b3)i=（a1+a2)

7、+a3+(b1+b2）+b3i=(a1+a2+a3）+（b1+b2+b3）i.z1+（z2+z3）=（a1+b1i）+(a2+b2i)+(a3+b3i)=（a1+b1i）+(a2+a3)+(b2+b3）i=a1+(a2+a3)+b1+（b2+b3)i=(a1+a2+a3）+(b1+b2+b3）i（a1+a2）+a3=a1+（a2+a3），（b1+b2)+b3=b1+(b2+b3）。（z1+z2）+z3=z1+(z2+z3）.即復(fù)數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律講解范例：例1計算：（5-6i)+（2i）-（3+4i）解:（5-6i）+(2-i）-(3+4i）(523）+(6-14） i=11 i例2計算:

8、（12i)+（2+3i)+（34i)+(4+5i）+(2002+2003i)+（20032004i）解法一：原式=(12+34+2002+2003)+（2+34+5+20032004i）=（20031001）+（10012004）i=10021003i。解法二：（12i)+(2+3i)=1+i， （34i)+(4+5i）=1+i，(20012002i）+（2002+2003)i=1+i.相加得（共有1001個式子)：原式=1001(1+i）+(20032004i)=(20031001）+(10012004）i=10021003i二.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算的幾何意義復(fù)數(shù)的加(減)法 (a+bi）

9、(c+di）=（ac)+（bd)i。 與多項式加(減)法是類似的。就是把復(fù)數(shù)的實部與實部,虛部與虛部分別相加（減）. 復(fù)平面內(nèi)的點平面向量2。 復(fù)數(shù)平面向量3。復(fù)數(shù)加法的幾何意義：設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di，在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量為、,即、的坐標(biāo)形式為=（a，b)，=（c,d）以、為鄰邊作平行四邊形oz1zz2，則對角線oz對應(yīng)的向量是，= +=（a，b)+（c,d）=(a+c，b+d）（a+c）+(b+d)i4. 復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運算，設(shè)z=（ac）+(bd)i，所以zz1=z2，z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以為一條對角線，為一條邊畫平行四邊形，那么這

10、個平行四邊形的另一邊oz2所表示的向量就與復(fù)數(shù)zz1的差（ac）+(bd)i對應(yīng)由于，所以,兩個復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應(yīng)。例3已知復(fù)數(shù)z1=2+i，z2=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為a、b，求對應(yīng)的復(fù)數(shù)z，z在平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第幾象限?解:z=z2z1=（1+2i)(2+i)=1+i,z的實部a=10，虛部b=10,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限內(nèi)。點評：任何向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，總是這個向量的終點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去始點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差。即所表示的復(fù)數(shù)是zbza。，而所表示的復(fù)數(shù)是zazb，故切不可把被減數(shù)與減數(shù)搞錯盡管向量的位置可以不同,只要它們的終點

11、與始點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的，因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量，即它只與其方向和長度有關(guān),而與位置無關(guān)例4復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2=2+i,z3=12i，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)。分析一：利用，求點d的對應(yīng)復(fù)數(shù).例2圖解法一:設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2、z3所對應(yīng)的點為a、b、c，正方形的第四個頂點d對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yr)，是：=（x+yi)(1+2i)=（x1)+（y2)i；=(12i）（2+i)=13i.,即（x1)+(y2）i=13i，解得故點d對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.分析二：利用原點o正好是正方形abcd

12、的中心來解。解法二：因為點a與點c關(guān)于原點對稱，所以原點o為正方形的中心，于是(2+i）+(x+yi)=0，x=2，y=1。故點d對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i。點評：根據(jù)題意畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過對圖形的觀察,往往能起到啟迪解題思路的作用鞏固練習(xí):1.已知復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1+2i，則復(fù)數(shù)z=z2z1在復(fù)平面內(nèi)所表示的點位于a.第一象限b。第二象限c.第三象限d。第四象限2.在復(fù)平面上復(fù)數(shù)32i，4+5i,2+i所對應(yīng)的點分別是a、b、c，則平行四邊形abcd的對角線bd所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是a。59ib。53ic。711id。7+11i3.已知復(fù)平面上aob的頂點a所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i，

13、其重心g所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i,則以oa、ob為鄰邊的平行四邊形的對角線長為a。3b。2c.2d。4.復(fù)平面上三點a、b、c分別對應(yīng)復(fù)數(shù)1，2i，5+2i,則由a、b、c所構(gòu)成的三角形是a.直角三角形b.等腰三角形c。銳角三角形d.鈍角三角形5.一個實數(shù)與一個虛數(shù)的差（ )a.不可能是純虛數(shù) b。可能是實數(shù) c。不可能是實數(shù) d.無法確定是實數(shù)還是虛數(shù)6.計算(=_.7。計算：(2x+3yi)（3x2yi）+(y2xi）3xi=_（x、yr）。8.計算（12i）(23i）+（34i）（20022003i).9.已知復(fù)數(shù)z1=a23+（a+5)i，z2=a1+（a2+2a1）i（ar）分別對應(yīng)向量

14、、（o為原點），若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求a的值.解：對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2z1，則z2z1=a1+（a2+2a1）ia23+（a+5)i=(aa2+2）+(a2+a6）iz2z1是純虛數(shù) 解得a=1.10已知復(fù)平面上正方形的三個頂點是a（1,2）、b（2，1)、c（1，2），求它的第四個頂點d對應(yīng)的復(fù)數(shù)。解:設(shè)d（x，y），則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x+yi）（1+2i）=（x1)+(y2）i對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(12i)（2+i）=13i （x1)+(y2）i=13i，解得d點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i。答案：1。b 2.c 3.a 4.a 5。c 6。2i 7。（yx)+5(yx)i8.解：原式=(12+34+200

15、12002)+（2+34+2002+2003)i=1001+1001i 課后作業(yè)：課本第112頁 習(xí)題3.2 1 , 2 , 3尊敬的讀者：本文由我和我的同事在百忙中收集整編出來，本文稿在發(fā)布之前我們對內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對，但是難免會有不盡如人意之處，如有疏漏之處請指正，希望本文能為您解開疑惑,引發(fā)思考。文中部分文字受到網(wǎng)友的關(guān)懷和支持，在此表示感謝！在往后的日子希望與大家共同進(jìn)步，成長。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory