高中大學(xué)高等數(shù)學(xué)公式集錦

1、常用導(dǎo)數(shù)公式:(tgx)(ctgx) (secx) (cscx) (ax)高中大學(xué)高等數(shù)學(xué)公式集錦2sec x2csc x(arcsin x)secx tgx cscx ctgx(arccos x)in a(arctgx)(log a x)xlna(arcctgx)_1_1 x212,1 x1-2x11 x2基本積分表:tgxdxin cosctgxdxin sinxsecxdxin secxtgxdx2- cos xdx_._2 sin xsec2 xdx2.csc xdxtgx cctgx ccscxdxin cscxctgxsecxtgxdxsecxdx2 xdx2 acscxctgxd

2、xcscx c-arctg ca-1ln 2aaxdxx aln ashxdxchxdx2a xdx22a x. x arcsin一 ain2sin xdxo2_2_,x a dxdx三角函數(shù)的有理式積分: 2u sin x r, cosx1 u22幺2， ucosoxdxchxdxdx2 - xshx=ln( x xx2 a2) c a2in2 a ln( x22 a . 一in x.x2 a2) c22 a . x 一arcsin - cdx2du1 u2一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦：shx雙曲余弦：chx雙曲正切：thxlimx 02shx exlim (1 )x e 2.718

3、281828459045x xchx e earshx ln(xx2 1)archx ln(xx2 1)arthx1ln12 1三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：和差角公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintg()mtg_1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctgsinsin2 sincos22sinsin2 cossin22coscos2 coscos-22coscos2 sinsin22和差化積公式:、里數(shù)角 asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-s

4、in a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos2cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg2半角公式:1 cossin 一 j212sin23sin3 3sin 4sinc，3ccos34cos3cosx c

5、 3tg tg31tg3 3tg2cos2:1 cos22ctg -j21 cos1 cossin1 cossin1 cos余弦定理：22c ab2 2ab cosc2 costq1cos1 cossintg 2,1cossin1cos正弦定理：abc2rsin asinbsinc2反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx - arccosx arctgx - arcctgx22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲( leibniz )公式：n (n)ck (n k) (k)(uv) cnu vk 0(n) (n 1) n(n 1) (n 2)n(n 1) (n k 1) (n k)的u v nu v - u v -u

6、 v2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：上-f-(a) fq f(b) f(a) f ()uv(n)當(dāng)f(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率:弧微分公式：ds 1 丫,*,其中丫 tgs： mm弧長。平均曲率：k i一i :從m點到m點，切線斜率的傾角變 化量;m點的曲率：k lim ii ii 廣y s 01 s| |ds|.(1 y2)3直線：k 0;半徑為a的圓：k -. a定積分的近似計算：b矩形法：f(x)ab梯形法：f(x)ab拋物線法：f (x)aaz(y0 v1 nb a1/、-2(y0 yn)b

7、 a 、盂(義yn)yn 1 )yi2(y2yn 1v4yn 2) 4(y1 y3yn 1 )定積分應(yīng)用相關(guān)公式: 功：w f s水壓力：f p a引力：fkm粵,k為引力系數(shù) r-1 b函數(shù)的平均值：y f(x)dx b a a均方根：1 f2(t)dt,b aa空間解析幾何和向量代數(shù):空間 2點的距離：d m 1m 2 （xx2 x1）2 （y2 y1）2 （z2 z1）2 向量在軸上的投影：pr ju ab ab cos ,是ab與u軸的夾角。prju（a a?） prja prja2a b cosaxbxa ybyazbz,是一個數(shù)量，兩向量之間的夾角:cosaxbxaybyazbz2

8、2ax ay2. 2azbxby2bz2cabaxbxay byaz bza b sin例:線速度:w r.向量的混合積:abc （aaxayazbxbybzcxcyczb） cac cos ,為銳角時,代表平行六面體的體積平面的方程：1、點法式：a(x xo) b(y2、般方程：ax byczy。）dc（z0zo）。，其中 n a,b,c, mo（xo,yo,z。）3、截距世方程：x y a b平面外任意一點到該平面的距離:axo by。czo da2 b2 c2空間直線的方程:x x。my y。nz。pxt,其中s m,n, p;參數(shù)方程：yxoy。mtntz。pt二次曲面:1、橢球面:2

9、、拋物面:2 x 2 a2 x2p2 y b22 y2qz,（p,q 同號）3、雙曲面:2單葉雙曲面：今a2雙葉雙曲面：與 a2 l b22 y b22 zc2 zc1(馬鞍面)多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dz dx dy x y全微分的近似計算：z dz多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：, u . u . u .du dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x, y) yrdzz fu,v瓦z fu(x,y),v(x,y)uz vtv tz u zx當(dāng) u u(x,y), v v(x,y)時，, u . u .du dx dydvdxxdyy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:隱函數(shù)f(x,y) 0,dy

10、dxfxfyd2y dx2fx)+-(fyfx) dyfy，dx隱函數(shù) f(x,y,z) 0,fzfy隱函數(shù)方程組：f(x,y,u,v)g(x, y,u,v)(f,g)(u,v)f,g1 j1 j(f,g) (x,v) (f,g) (y,v)1 j1 j(f,g)(u,x)(f,g)(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x空間曲線yz(t)在點m (x0, y0,z0)處的切線方程: x x0 (t0)yo(t0)zz0(t0)在點m處的法平面方程:(t)(x x)(t)(yy0)(to)(z zo)若空間曲線方程為：0,則切向量t g(x,y,z) 0曲面 f(x, y,z) 0上一點 m (x0

11、,y0,zo),則：fzfxgzgzgxgx1、過此點的法向量:2、過此點的切平面方程n fx(x0, y0,z0), fy(x0, y。,。), fz(x0, y,。):fx(x0, y0,z)(x x) fy(x0,y0,z0)(y y)3、過此點的法線方程:x x0yy0z z0fx(x0, y,。) fy(x0,y0,z0) fz(x0, y0,z)方向?qū)?shù)與梯度:fz(xo, yo, zo)(z zo) 0函數(shù)z f (x,y)在一點p(x, y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為：2cos sinl x y其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù) z f (x,y)在一點 p(x, y)的梯度：gra

12、df (x,y) i j x y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：-f gradf (x,y) e,其中e cos i sin j,為l方向上的 單位向量。-f是gradf (x,y)在l上的投影。多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(xo, yo)ac b2則：ac b2ac b2fy(xo,yo) 0,令：fxx(x0,y) a, fxy(x0,y) b, fyy(x0,y) ca 0,(x0, y。)為極大值 0a 0,(x0,y0)為極小值0時，無極值0日t,不確定重積分及其應(yīng)用:f(x,y)dxdydf(r cosd,r sin )rdrd曲面z f(x,y)的面積a2dxdy平面薄片的重心：x mx

13、mx (x, y)dd(x,y)dd平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸i x(x,y)d ,y (x, y)dd(x,y)dd對于y軸i y2,、，x (x, y)dd平面薄片(位于 xoy平面)對殍由上質(zhì)點m(0,0,a),(a0)的引力:fx f d / 2(x(x,y)xd3，a2)2fy f d / 2(x(x, y)ydfzfadfx,fy,fz，其中:(x,y)xd(x2柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):x r cos柱面坐標(biāo)：y r sinf (x, y, z) dxdydzf(r, ,z)rdrd dz,z z其中： f(r, ,z) f (rcos ,rsin ,z)x rsin cos球面坐標(biāo)

14、： y r sin sin ,dv rd rsin d dr r2 sin drd dz r cosf (x, y, z)dxdydz f (r,)r2sin drd d2r(,)d d f (r, , )r2sin dr000重心：x x dv,m11y dv, z z dv,其中 m xmmdv轉(zhuǎn)動慣量：ix (y2 z2) dv,i y (x2 z2) dv,iz (x2 y2) dv曲線積分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)設(shè)f(x,y)在l上連續(xù)，l的參數(shù)方程為：x ，(t)，則:y (t)f (x, y)ds f (t), (t)v 2(t)2(t)dt () 特殊情況:l第二類

15、曲線積分(對坐 標(biāo)的曲線積分)：設(shè)l的參數(shù)方程為x ，則: y (t)p(x,y)dx q(x,y)dylp (t), (t) (t) q (t), (t) (t)dt兩類曲線積分之間的關(guān) 系：pdx qdy (pcoslll上積分起止點處切向量 的方向角。qcos )ds 其中和分別為q pq p格林公式：(一 一)dxdy - pdx qd冊林公式：(一 一)dxdy . pdx qdyd x yld x yl當(dāng)p y,q x,即：-q 2時，得到d的面積：a dxdy 10xdy ydx x yd2l平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件:1、g是一個單連通區(qū)域;2、p(x,y), q(x,y)

16、在g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)減去對此奇點的積分，注意方向相反！,且-q = -p。注意奇點，如(0,0),應(yīng) x y二元函數(shù)的全微分求積：,q p_ .在-q=一時，pdx qdy才是二兀函數(shù)u(x,y)的全微分，其中: x y(x.y)u(x, y) p(x,y)dx q(x, y)dy,通常設(shè) x0 y0 0。(x0,y0)曲面積分：對面積的曲面積分:對坐標(biāo)的曲面積分:22 ,f(x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 zx(x, y) zy (x, y)dxdydxyp(x,y,z)dydz q(x, y, z)dzdx r(x, y,z)dxdy,其中：r(x,y,z)dxdyp(x

17、,y,z)dydzq(x,y,z)dzdxrx, y,z(x,y)dxdy,取曲面的上側(cè)時取正號;dxypx(y,z), y,zdydzdyz取曲面的前側(cè)時取正號;qx, y(z,x),zdzdxdzx取曲面的右側(cè)時取正號。兩類曲面積分之間的關(guān) 系：pdydz qdzdx rdxdy (pcos qcosrcos )ds高斯公式: pqr、,(一 一 一)dv 二 pdydz qdzdx rdxdy :二(pcos qcos rcos )ds xyz高斯公式的物理意義通量與散度:散度:通量:div 上 _q _r,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若div x y z0,則為消失a ndsan

18、ds(pcos qcos rcos )ds,因此，高斯公式又可寫 成： divadv o ands斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:(7qprqp)dydz ( )dzdx (一 一)dxdy pdx qdy rdz zzxxydydzdzdxdxdyxyzpqr上式左端又可寫成:coscoscosxyzpqr空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：二yijk旋度：rota xyzpqr向量場a沿有向閉曲線的環(huán)流量：pdx qdy rdz - a tds常數(shù)項級數(shù)：(n 1)n2等比數(shù)列：1 q q2等差數(shù)列：1 2 3調(diào)和級數(shù)：1 -2 3級數(shù)審斂法:1、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別

19、法）：1時，級數(shù)收斂設(shè)： l/mn.u，則1時，級數(shù)發(fā)散01時，不確定2、比值審斂法：1時，級數(shù)收斂設(shè)： 1防引，則 1時，級數(shù)發(fā)散 n uun1時，不確定3、定義法：sn u1 u2un;1imsn存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù)u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的審斂法萊布尼茲定理：un un 1如果交錯級數(shù)滿足limu 0,那么級數(shù)收斂且其和s u1,其余項rn的絕對值rn| un1 n n絕對收斂與條件收斂：u1 u2 un ,其中un為任意實數(shù)；（2）3 u2 u3un如果（2）收斂，則 肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù);如果（2）發(fā)散，而 收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。

20、調(diào)和級數(shù)：1發(fā)散，而 （-斂； nn級數(shù)：烏收斂； n爾將 1 /p 1時發(fā)散p級數(shù)： 一 （p np . p 1時收斂哥級數(shù)|x 1時，收斂于|x 1時，發(fā)散對于級數(shù)(3)aa1x2a?xnanx數(shù)軸上都收斂，則必存在r,求收斂半徑的方法：設(shè)limnan 1an函數(shù)展開成哥級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):余項：rnxo,如果它不是僅在原點 收斂，也不是在全r時收斂r時發(fā)散,其中r稱為收斂半徑。r時不定其中aan 1是(3)的系數(shù),則f (x0)2f(x) f(x0)(x x0) m(x x0)f(n 1)()-一d(x x)n 1, f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的(n 1)!0時即為麥克勞林公式:f

21、 (0) 2f(0)x /些函數(shù)展開成騫級數(shù):m(1 x)d m(m 1) 21 mx x2!m(m 1) (m n 1) n xn!sinx x3 x3!5 x5!2n 1歐拉公式:ixe cosxisinxf(t)ao其中，a0an sin( nn 1aan0時,r時，r*2(x x)n n!充要條件是：lim rn0f(n)(0) nxn!(1x1)1)n1x(2n 1)!cosx或sinxan sin n，bnix eix eixe2ix e2(an cosnxn 1an cos n，bn sin nx)正交性: 1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x sin nx, c

22、osnx上的積分=0。傅立葉級數(shù)：t x。任意兩個不同項的乘積 在af(x) - (an cosnx bn sin nx), 周期 22 n 11an 一 f (x)cosnxdx (n 0,1,2 )其中,1bn f (x)sinnxdx (n 1,2,3 )11211113t 52812t 3y 42358.234工工工21 1 a22 42 622422 32 422正弦級數(shù)：an 0, bn 一 f (x)sin nxdx02余弦級數(shù)：bn 0, an 一 f (x)cosnxdx02（相力口）62（相減）12n 1,2,3 f (x)bnsinnx是奇函數(shù)n 0,1,2 f (x) a0ancosn娓偶函數(shù)2周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):a0n x n xf(x) (ancos bnsin), 周期2ln 1ll1 1n x- f (x) cos dx (n 0,1,2 )1 i1i1n xf (x)sindx (n 1,2,3 )1 11an其中bn微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程：y f (x, y) 或 p(x, y)dx q(x, y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：g(y) f(x) c稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成dy f