應(yīng)用隨機(jī)過程課后習(xí)題解答 毛用才 胡奇英

1、 第一章習(xí)題解答1 設(shè)隨機(jī)變量x服從幾何分布，即：。求x的特征函數(shù)，ex及dx。其中是已知參數(shù)。解 = 又 （其中 ）令 則 同理 令 則）2、（1） 求參數(shù)為的分布的特征函數(shù)，其概率密度函數(shù)為 （2） 其期望和方差；（3） 證明對具有相同的參數(shù)的b的分布，關(guān)于參數(shù)p具有可加性。解 （1）設(shè)x服從分布，則 （2） （4） 若 則同理可得： 3、設(shè)x是一隨機(jī)變量，是其分布函數(shù)，且是嚴(yán)格單調(diào)的，求以下隨機(jī)變量的特征函數(shù)。 （1）（2）解 （1） （） 在區(qū)間0，1上服從均勻分布的特征函數(shù)為（2） = =4、設(shè)相互獨(dú)立，且有相同的幾何分布，試求的分布。解 = = = = 5、 試證函數(shù)為一特征函數(shù)，

2、并求它所對應(yīng)的隨機(jī)變量的分布。證 （1） 為連續(xù)函數(shù) = = = = 非負(fù)定（2） = = （）6、證函數(shù)為一特征函數(shù)，并求它所對應(yīng)的隨機(jī)變量的分布。解 （1） = （） 且連續(xù) 為特征函數(shù) （2） = = = 7、設(shè)相互獨(dú)立同服從正態(tài)分布，試求n 維隨機(jī)向量的分布，并求出其均值向量和協(xié)方差矩陣，再求的率密度函數(shù)。解 又 的特征函數(shù)為： 均值向量為 協(xié)方差矩陣為 又 8、設(shè)xy相互獨(dú)立，且（1）分別具有參數(shù)為及分布；（2）分別服從參數(shù)為。求x+y的分布。解（1） = = = = 則 （2）9、已知隨機(jī)向量（x、y）的概率密度函數(shù)為 求其特征函數(shù)。解 10、已知四維隨機(jī)向量服從正態(tài)分布，均值向量

3、為0，協(xié)方差矩陣為解又其中11、設(shè)相互獨(dú)立，且都服從，試求隨機(jī)變量組成的隨機(jī)向量的特征函數(shù)。解 12、設(shè)相互獨(dú)立，都服正態(tài)分布，試求：（1） 隨機(jī)向量的特征函數(shù)。（2） 設(shè)，求隨機(jī)向量的特征函數(shù)。（3） 組成的隨機(jī)向量的特征函數(shù)。解（）（）（）13、設(shè)服從三維正態(tài)分布，其中協(xié)方差矩陣為，且試求。解又同理可得14、設(shè)相互獨(dú)立同服從分布。試求的期望。解令則15、設(shè)xy相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，討論的獨(dú)立性。 解 有 或 則又 服從指數(shù)分布，服從柯西分布，且對有相互獨(dú)立。16、設(shè)x y相互獨(dú)立同服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機(jī)變量，討論的獨(dú)立性。解（1） (2) (3) 對均成立 相互獨(dú)立17、設(shè)二維隨

4、機(jī)變量的概率密度函數(shù)分別如下，試求（1）（2）證 （1） = （2）18、設(shè)x、y是兩個相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，x服從區(qū)間0，1上的均勻分布，y服從參數(shù)為的指數(shù)分布。試求（1）x與x+y的聯(lián)合概率密度；（2）解 令 則 （2） 19、設(shè)是一列隨機(jī)變量，且，其中k 是正常數(shù)。試證：（1） 當(dāng)。（2） 當(dāng)均方收斂于0；（3） 當(dāng)證 令 0 (當(dāng)，) 幾乎肯定收斂于0 當(dāng)均方收斂于0當(dāng)時， 即20、設(shè)證 = 第二章習(xí)題解答1.設(shè)是獨(dú)立的隨機(jī)變量列，且有相同的兩點(diǎn)分布，令，試求：（1） 隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)；（2） 之值；（3） ；（4） 均值函數(shù)；（5） 協(xié)方差函數(shù)；解： （1）當(dāng)時，（2）20

5、-2 當(dāng)n 為奇數(shù)時 當(dāng)n為偶數(shù)時 （）而（）若即有2.設(shè)，其中a、b是相互獨(dú)立且有相同的分布的隨機(jī)變量，是常數(shù)，試求：（1）x（t）的一個樣本函數(shù)；（2）x（t）的一維概率密度函數(shù)；（3）均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。解：（1）當(dāng)a=b=1時，（2） （3） 3.設(shè)隨機(jī)過程。其中是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且。（1）求x(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)；（2）證明x(t)是正態(tài)過程。解：（1） （2）其中，由n維正態(tài)分布的線性性質(zhì)得因此x(t)是正態(tài)過程。4.設(shè)是參數(shù)為的wiener過程，求下列過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)：（1） （2）（3） （4）解：（1）（2）（3）（4） 5.設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強(qiáng)度為的

6、poisson流，每個顧客購買商品的概率為p,且與其他顧客是否購買商品無關(guān)，若是購買商品的顧客流，證明是強(qiáng)度為的poisson流。證：令表示“第個顧客購買商品”，則且。其中為時間段內(nèi)到達(dá)商店的顧客人數(shù)，則的特征函數(shù)為 是強(qiáng)度為的poisson流。6.在題5中，進(jìn)一步設(shè)是不購買商品的顧客流，試證明與是強(qiáng)度分別為和的相互獨(dú)立的poisson流。證：（1） 與獨(dú)立且強(qiáng)度為的poisson流。7.設(shè)和分別是強(qiáng)度為和的獨(dú)立poisson流。試證明：（1）是強(qiáng)度為的poisson流；（2）在的任一到達(dá)時間間隔內(nèi)，恰有k個時間發(fā)生的概率為證：（1） 是強(qiáng)度為的poisson流。（2）令t表示過程任兩質(zhì)點(diǎn)到達(dá)

7、的時間間隔。a表示恰有1個事件發(fā)生在的任一到達(dá)時間間隔內(nèi)，則8.設(shè)是poisson過程，和分別是的第n個事件的到達(dá)時間和點(diǎn)間間隔。試證明：（1）；（2）。證： 9.設(shè)某電報(bào)局接收的電報(bào)數(shù)組成poisson流，平均每小時接到3次電報(bào)，求：（1）一上午（8點(diǎn)到12點(diǎn)）沒有接到電報(bào)的概率；（2）下午第一個電報(bào)的到達(dá)時間的分布。解：10.設(shè)和分別是強(qiáng)度為和的獨(dú)立poisson過程，令，求的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)。解： 11.設(shè)是強(qiáng)度為的poisson過程，t是服從參數(shù)為的指數(shù)分布的隨機(jī)變量，且與獨(dú)立，求內(nèi)事件數(shù)n的分布律。解：由內(nèi)n的分布律為： 第三章習(xí)題解答1證明poisson隨機(jī)變量序列的均方極限是p

8、oisson隨機(jī)變量。證：令是poisson隨機(jī)變量序列，則對 又，其中x為poisson隨機(jī)變量。2設(shè)，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，均值為，方差為1，定義，證明。證： 。3研究下列隨機(jī)過程的均方連續(xù)性、均方可導(dǎo)性和均方可積性。（1），其中a、b是相互獨(dú)立的二階矩隨機(jī)變量，均值為a、b，方差為；（2），其中a、b、c是相互獨(dú)立的二階矩隨機(jī)變量，均值為a、b、c，方差為；（3）是poisson過程；（4）是wiener過程。解：（1） 是關(guān)于s, t的多項(xiàng)式函數(shù)存在任意階的偏導(dǎo)數(shù)過程是均方連續(xù)，均方可導(dǎo)，均方可積。(2) （3）由知poisson過程是均方連續(xù)，均方可積的。不存在，即均方不可導(dǎo)。

9、（4）由知wiener過程是均方連續(xù)，均方可積的。不存在，即均方不可導(dǎo)。4試研究上題中過程的均方可導(dǎo)性，當(dāng)均方可導(dǎo)時，試求均方導(dǎo)數(shù)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。解：（1）均方可導(dǎo)又均方可微。（2）均方可導(dǎo)，且 （3）poisson過程均方不可導(dǎo)。（4）wiener過程均方不可導(dǎo)。5求下列隨機(jī)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)，從而判斷其均方連續(xù)性和均方可微性。（1），其中是常數(shù)，服從上的均勻分布；（2），其中參數(shù)為1的wiener過程；（3），其中參數(shù)為的wiener過程。解：（1）。 （2）當(dāng)， 均方連續(xù)，但均方不可微，均方可積。（3）均方連續(xù)，但均方不可微，均方可積。6均值函數(shù)為、相關(guān)函數(shù)為的隨機(jī)過程輸

10、入微分電路，該電路輸出隨機(jī)過程，試求的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)、和的互相關(guān)函數(shù)。解：7試求第3題中可積過程的如下積分： 的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。解：（1） 又 （2） (3) 當(dāng)時 當(dāng) 當(dāng)時 (4) 8設(shè)隨機(jī)過程，其中是均值為5、方差為1的隨機(jī)變量，試求隨機(jī)過程的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)與方差函數(shù)。解: 9設(shè)是參數(shù)為的wiener過程，求下列隨機(jī)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。（1）；（2）；（3）解：（1） （2） （3） 10求一階線性隨機(jī)微分方程的解及解的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)及解的一維概率密度函數(shù)，其中是均值為0、方差為的正態(tài)隨機(jī)變量。解：（1） 解過程為：（2）11求一階線性隨機(jī)微分方程的解及解

11、的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)。（1），其中是一已知的二階均方連續(xù)過程，是與獨(dú)立的均值為、方差為的隨機(jī)變量。（2），其中是一已知的均值函數(shù)為、相關(guān)函數(shù)為的二階均方連續(xù)過程。解：（1） 即方程的解為： （2）均方解為：（當(dāng)時） 第四章習(xí)題解答1.隨機(jī)過程，其中a具有rayleigh分布，即其概率密度函數(shù)為式中服從區(qū)間上的均勻分布，且、相互獨(dú)立，試研究x是否為平穩(wěn)過程。 解: 是平穩(wěn)過程.2、x是一平穩(wěn)過程，且滿足，稱x為周期平穩(wěn)過程，t為其周期，試求x的相關(guān)函數(shù)也是以t為周期的周期函數(shù)。解： 是平穩(wěn)過程， 又 以t為周期.3、設(shè) x、y是兩個相互獨(dú)立的實(shí)平穩(wěn)過程，試證明也是平穩(wěn)過程。解 也是平穩(wěn)過程4、設(shè)

12、是n階均方可微的平穩(wěn)過程，證明是平穩(wěn)過程，且解： 利用歸納法可得平穩(wěn)過程5、設(shè)是一均值為0的平穩(wěn)時間序列，證明：（1）扔是一平穩(wěn)時間序列；（2）若數(shù)列絕對收斂，即，則扔是一平穩(wěn)時間序列；（3）若是一白噪聲，試求的相關(guān)函數(shù)及其譜函數(shù)。解（1） = = 是一平穩(wěn)時間序列(2) (又) 仍是一平穩(wěn)時間序列（3） （注：白噪聲過程x的譜密度為，其中 ）6、設(shè)是雷達(dá)在時的發(fā)射信號，遇目標(biāo)返回接收的微弱信號是，是信號返回時間，由于接收到的信號總是伴有噪聲的，記噪聲為，于是接收機(jī)收到的全信號為：，若x、y是平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過程，試求；進(jìn)而，若的均值為0，且與相互獨(dú)立，試求。解：（1） （2）7設(shè)，其中是服從區(qū)

13、間上均勻分布的隨機(jī)變量，試證：（1）是一平穩(wěn)時間序列；（2）不是平穩(wěn)過程。解：（1） 是一平穩(wěn)時間序列（2） 不是平穩(wěn)過程8、設(shè)為零均值的正交增量過程，試證是一平穩(wěn)過程。解： 是一平穩(wěn)過程。9、設(shè)是一平穩(wěn)過程，均值，相關(guān)函數(shù)為，若（1）（2）令，t是固定的正數(shù)，分別計(jì)算的相關(guān)函數(shù)。解：（1） 當(dāng)時， （2）當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時 當(dāng)時10、設(shè)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為，這里為常數(shù)。(1)判斷x是否均方可導(dǎo)，說明理由；(2)計(jì)算 解 （1） 在 處可導(dǎo)當(dāng)時， 當(dāng)時， 又在處存在二階可導(dǎo)數(shù)故在處存在二階可導(dǎo)數(shù)由歸納可知在處存在n階可導(dǎo).（2） 11、過程的相關(guān)函數(shù)為，對滿足隨機(jī)微分方程的寬平穩(wěn)過程解。（1）求

14、x的均值函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)和功率譜函數(shù)；（2）求x與y 的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜函數(shù)。 解: (1)令 ，則，代入，有又y是平穩(wěn)過程 又平穩(wěn) （2） 當(dāng)時， 當(dāng)時， 12、設(shè)是均值為0的平穩(wěn)的正態(tài)過程，且二階均方可導(dǎo)。求證：對任意，與相互獨(dú)立，但與不相互獨(dú)立，并求。 證:（1）由定理3.6.3（）知，也是正態(tài)過程 由定理4.2.3知，也是平穩(wěn)過程又 又實(shí)平穩(wěn)過程，為偶函數(shù)， 則不相關(guān)，由正態(tài)變量的性質(zhì)知 獨(dú)立 （2）易知也是正態(tài)平穩(wěn)過程又 不獨(dú)立13、設(shè)是均方可導(dǎo)實(shí)平穩(wěn)的正態(tài)過程，相關(guān)函數(shù)為，求其導(dǎo)數(shù)過程的一維、二維概率密度函數(shù)。 解: 由定理3.6.3（）知仍為正態(tài)過程，而且，的一維概率密度函數(shù)

15、為：的二維概率密度函數(shù)為：其中14.已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)（1）（2）（3）求譜密度。解: （或由傅氏變換可得 ）（2） （3） 15、已知平穩(wěn)過程（參數(shù)連續(xù)）譜密度 （1）（2）（3）求相關(guān)函數(shù)和平均功率。解 ，平均功率（1） （2） （3） 16、設(shè)x、y是兩平穩(wěn)相關(guān)過程，且，試證，也是平穩(wěn)過程。又若x、y的譜密度函數(shù)存在，試用x、y的譜密度及互譜密度表出z的譜密度。 證: 其中 是平穩(wěn)過程又 17、設(shè)，其中為常數(shù)，是特征函數(shù)為的實(shí)隨機(jī)變量，證明x為平穩(wěn)過程充要條件為。 證: 又 平穩(wěn)，18、設(shè)x為平穩(wěn)正態(tài)過程，是其相關(guān)函數(shù)，試證是一平穩(wěn)過程，且其標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)函數(shù)為 證: 易證 y也是一平穩(wěn)過

16、程。對于二維正態(tài)分布x，y，若它們均值為0，相關(guān)函數(shù)r，則有結(jié)論，其中，所以 19、設(shè)是平穩(wěn)過程，為其譜密度函數(shù)。試證：對任意的是平穩(wěn)過程（即平穩(wěn)過程具有平穩(wěn)增量），并求y的譜函數(shù)。 證 是平穩(wěn)過程 又 20、設(shè)是均值為0，相關(guān)函數(shù)為實(shí)正態(tài)平穩(wěn)過程，證明也是平穩(wěn)過程，并求其均值及相關(guān)函數(shù)。 證: 令 則 （） 也是平穩(wěn)過程21.設(shè)二階矩過程的均值函數(shù)為，相關(guān)函數(shù)為，其中都為常數(shù)。證明 是一平穩(wěn)過程 ，并求其均值及相關(guān)函數(shù)。 證: 是一平穩(wěn)過程22、設(shè)是白噪聲序列，試證明是平穩(wěn)時間序列，并求其相關(guān)函數(shù)及譜密度。證: 是平穩(wěn)時間序列。 23、設(shè)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，具有譜密度，試證 對每個是平穩(wěn)序

17、列，并用表出的譜密度。 證: 令，則 平穩(wěn)序列 24.設(shè)是兩個相互獨(dú)立的實(shí)隨機(jī)變量，的分布函數(shù)是，試證明：為平穩(wěn)過程，且其譜函數(shù)就是。證：為平穩(wěn)過程，且的譜函數(shù)為。25.設(shè)是均方可導(dǎo)的平穩(wěn)過程，是其譜密度，試證：（1） （2）均為平穩(wěn)過程，并求它們的譜密度。證：（1）為平穩(wěn)過程。 （其中）（2） 又存在譜函數(shù)，可知26.設(shè)y是均方二次可導(dǎo)的平穩(wěn)過程，x是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，且滿足：，試用x的譜函數(shù)表示y的譜函數(shù)及x與y的互譜函數(shù)。解：（1）取，并代入上式得 （2） 27.已知如圖所示的系統(tǒng)，其輸入x為一零均值的平穩(wěn)正態(tài)過程，通過實(shí)驗(yàn)測得z的功率譜密度為試證y也為平穩(wěn)的，且；利用（1）的結(jié)論分別

18、求x和y的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度。 證 （1）類似第20題 （2） 令則 28.設(shè)線性時不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，其中為常數(shù)，為單位階躍函數(shù)，系統(tǒng)的輸入x是自相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)過程。試求：（1）系統(tǒng)輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)；（2）輸出的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。 解 ,當(dāng)時；當(dāng)時；29.設(shè)隨機(jī)過程，其中a和b是相互獨(dú)立的零均值隨機(jī)變量，且。試研究x的均值和相關(guān)函數(shù)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解： 是平穩(wěn)過程。又均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。又相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。30.設(shè)隨機(jī)過程，其中是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從區(qū)間上的均勻分布。試研究x的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解： 均值函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性，但相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。31.設(shè)隨機(jī)過程，其中是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其中a是均值為2，方差為4，且服從區(qū)間上的均勻分布，服從區(qū)間（-5，5）上的均勻分布。試研究x的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解 為一平穩(wěn)過程。 又 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。 又 的相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性. 32.設(shè)平穩(wěn)過程的期望為，自相關(guān)函數(shù)為，協(xié)方差函數(shù)為。(1)若，試證明x的均值各態(tài)歷經(jīng)性；(2)若且當(dāng)時，試證明x的均值各態(tài)歷經(jīng)性。 解 （1）而且 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性（2） 又 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性33.設(shè)平穩(wěn)過程的均值為，相關(guān)函數(shù)，其中是常數(shù)。問x的均值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解: