數(shù)列極限的幾種計算方

1、數(shù)學與統(tǒng)計學院2015屆畢業(yè)論文數(shù)列極限的幾種計算方法1 0.8 , 0.6 0.4 1，0.2 .0 -0.2 / - 0.4.- 0.6 .- 0.8 ，- 10112234567數(shù)學的應(yīng)用，在我們的生活中隨處可見，而數(shù)學分析中的數(shù)列極限是高等數(shù)學的重 要內(nèi)容，是貫穿于整個微積分教學的主線，它描述了變量在運動過程中的變化趨勢，是 從有限認識無限，從近似認識精確，從量變認識質(zhì)變的必備推理工具.同時，數(shù)列極限又 是極限的基礎(chǔ)，它的計算是微積分教學中的重點和難點，所以本文通過典型實例，對數(shù) 列極限的計算方法做了一些規(guī)律性的分析和總結(jié).二計算方法1定義法設(shè)q ）為數(shù)列，a為任一常數(shù)，若對任給的名下

2、 0 ,總存在n0 ,使得當nn時,有an - a 君，則稱數(shù)列仁口收斂于a ,或稱數(shù)列4以為極限a.注1 一般來說，用定義求數(shù)列極限局限性很大，它更多地被應(yīng)用于有關(guān)極限值 的相關(guān)證明，對于如何用數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限問題， 常用的基本方法有：適當 放大法，條件放大法.3n2例題1用定義法證明數(shù)列極限lim*j=3n 二n -3分析由于3n2n2 -3-399-n -3 . n(1)-3 -因此，對任給的名0,只要9 0,取n = max3, -.z根據(jù)分析，當n n時，.3n2有 3 :2n2 5n -62 zn 3n 4口t 0 .于是給分子分母同時除以n2 ,再利用 n數(shù)列極限四則運算

3、法計算即可.11c 22 5 6 f2n 5n -6nn2解 lim 二 limn-n 3n 4 n -1 3 14 nn211lim 12 5 1 - 62n 1 n n2 o11*lim 134,. nn2.方法只適用于注3此種方法也就是直接將數(shù)列進行化簡，從而計算出數(shù)列極限 些特殊的數(shù)列，不具有一般性.,一 一，一 1 1111、例題3計算極限lim 1+1.t(1m2 2x3 3x4(n-1)xnn 11分析 觀察數(shù)列，可以看出數(shù)列極限為lim= -1一,通項an=1一,由ji(i-1)d,(n-1/n1 = -1 ,所以括號中的式子可用裂項相消法計算，以此可以解出數(shù)列極限(n -1)

4、 n n -1 n的 11工1工工 1、州牛 lim + +nc 1x2 2x3 3m 4 (n1)mn,11+ +3 n -12 24利用夾逼準則計算數(shù)列極限設(shè) nman，nmbn 均存在，且 1nm.an = a，inmbn = a，若數(shù)歹icn滿足 an cn bn ,則有l(wèi)im cn = a. n_注4利用夾逼準則求極限的關(guān)鍵是：將原數(shù)列適當?shù)胤糯蠛涂s小， 使得放大后和縮小后的兩個新數(shù)列的極限值相等，則原數(shù)列的極限值存在且等于新數(shù)列的極限值.， 1111例就4計算數(shù)歹!j極限lim /+ : 十 十一十 ：t k，n2 +1 jn2+2 jn2+3jn2+n j分析 括號里的數(shù)列極限不

5、能用上面的方法，但是，數(shù)列可以放大和縮小，所以關(guān)鍵是找到極限值相等的數(shù)列an與bn,進而可以用火逼準則來計算數(shù)列極限.數(shù)學與統(tǒng)計學院2015屆畢業(yè)論文.根據(jù)夾逼準則，有5利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”準則求解數(shù)列極限(a)如果數(shù)列a。單調(diào)增加且有上界，即存在數(shù)m,使得an m (n =1,2).那么lim an n 二存在且不大于m.(b)如果數(shù)列an單調(diào)遞減且下界，即存在數(shù)m,使得an至m(n =1,2),那么段an存 在且不小于m.注5遞推數(shù)列極限的計算是數(shù)列極限計算中的一大類問題 .而“單調(diào)有界準則”是 判別遞推數(shù)列極限是否存在最常用的一種方法， 它不用借助其它數(shù)列而是直接利用所給 數(shù)列自

6、身的單調(diào)性和有界性來判別極限的存在性.例題5計算數(shù)列極限x1 =應(yīng),x2 =。2十v2,xn書=j2十xn,求lim xn-n ；.：分析(1)通過觀察可以看出x, x2 ,%,即數(shù)列xn單調(diào)增加；(2) xi 父2區(qū)=,2+” 722 = 2,xn =，2+xn0,所以取a =2.例題6設(shè)、小rxn4氐+力,證明婁，收斂,且有相同的極限.分析 因數(shù)列4與數(shù)列1之間有大小關(guān)系，所以只要明確兩者之間的關(guān)系，利用火逼準則，就可證明兩個數(shù)列極限均存在，進而證明兩個極限相等解 7 xn 0, yn0 =-yn2至 j = wyn xnv xnynxn-23 -又*；xn=7xynw jxn-xn=xn

7、，數(shù)列xn單調(diào)遞減,且有0 xn x = 12 1yna數(shù)歹uyn單調(diào)增力口, yn 1且有 1 = yi yn ,工曰1于是-=y1 :二y2 ：二：二 yn ：二xn ：二；2 =1.2所以 數(shù)列xn單調(diào)遞減有下界，數(shù)列%單調(diào)增加有上界;由單調(diào)有界準則知兩個數(shù)列的極限均存在設(shè) lim xn = a,lim yn = b. nn_于是有 a = tab,1 = - 11 +1 i,求出 a=b. b 2ab即兩個數(shù)列有相等的極限.6利用多項式型極限性質(zhì)求得數(shù)列極限多項式型極限：0,k l例題7求極限lim 3n2 一1+8.nn2解 由上面的性質(zhì)可知此題的極限屬于k=l型所以limn 1g2

8、3n 一n 8=3.7利用數(shù)列與子列的關(guān)系計算數(shù)列極限定理 若數(shù)列xn收斂于a ,則它的任何子列xn也收斂于a,即 lim xn = a = lim xn = a.n_ -n 二 k注6此定理經(jīng)常被用來判斷一個數(shù)列的發(fā)散，即若數(shù)列有兩個子列極限不相等,則數(shù)列必定發(fā)散.例題8證明數(shù)列sin”發(fā)散.4證明 取nk=4k,nk=8k +2.則子列xn加收斂于0,而子列、收斂于1,所以 由上面定理及注意的可知數(shù)列sin 發(fā)散.48利用柯西收斂原理計算數(shù)列極限定義 數(shù)列,若對任意給的8 0,存在n0 ,使得當n,mn時，成立xn -xm 以則稱數(shù)列xn是一個基本數(shù)列.柯西收斂原理 數(shù)列4收斂的充分必要條

9、件是：數(shù)列4是基本數(shù)列.sin1sin 2sin 3sin n例題 9 證明數(shù)列 xn = 十2十一3-+十 , n至1收斂. 2222證明 vs 0,5n 0,對/n, p 0,當 n n 時，有、.sin(n+1) sin(n+2) sin(n+p)112p i . 1xnp -xn =2n 書 +2n +-+-2尸 +戶2+，-+汽0所以，取n =log2(1),則由數(shù)列xn收斂的柯西準則知，z數(shù)列xn是收斂的.9利用壓縮性條件計算數(shù)列極限定理數(shù)列xn滿足條件:xn卅xn wk xnxn，0 k xo).(1)若 lim f (x)h(x) = a,則 lim g(x)h(x) = a;

10、 x及x陽h(x) h(x)(2)右 lim= b,則 lim= b;x % f (x) x 的 g(x). 11、sin (1 -cos-)例題10 求極限limn3n .二 1 n分析先將數(shù)列極限轉(zhuǎn)換成函數(shù)極限，然后再利用上面的等價變換1 2sin x x,1 -cosx x 求解.21解令原極bm中的1=x,則數(shù)列極限所對應(yīng)的函數(shù)極限為lim0sin x(1 - cosx)于是呵sin x(1 -cosx)2xx ._r 2_ 1= lim 3 =一 x 0 x32 1 -1、sin (1 一 cos-) 進而limn3n-f： n特別的 在利用等價無窮小量代換求極限時，只有對所求極限式

11、中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代例題11求極限limx_0tanx - sin x3sin x分析 對這道題，如果用當xt 0時，sin xx,tan xx,則會得到錯誤的結(jié)果0.1 o解 事頭上當xt0時，(tan x -sin x)x所以網(wǎng)tanx - sin x3 sinx1 3- x.21=lim -3-=-x 0 x3213利用定積分定義求數(shù)列極限應(yīng)用定積分定義求數(shù)列的極限就是把數(shù)列的通項看作是某個連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上的積分和，然后通過計算定積分的值來求解數(shù)列的極限.關(guān)鍵是利用1 / limn : n i mfl- = f x d

12、x. n 0例題12設(shè)an=n ,巖+2-2n 2122-2n3求極限lim an p.i一 1111一 、一分析 可將數(shù)列化為an =-+十一1 ,于是利用定積分定義，n 1+ 12 1 +(2)21 + (n)2 n nn j在區(qū)間0,1 中加入n個分點，將區(qū)間分割成n等分，令0 = x1 x2 - (0,1).x x2.sin x = x - 一一 一 3!5!n-12n 1 x2n 1 !r2n 2(x),r2n 2 (x)=2n 3 !_. x3.cos x = 1 一 一2!4!2n x2n !r2n 1(x),r2n 1 (x)=2n 2 x2n 2 !cos(x n 1 二),

13、 (0,1). +(-1 ) xn +rn(x),(0,1).例題13求四_ 2cosx -e分析 這是0型的極限，可以用洛必達法則計算，但是計算量非常大；用泰勒展式 0可以大大減小計算量，不易出錯，計算方便解利用泰勒公式2 xcosx -e 21mr-2412 . o(x4) - 1=limx_0/2、x4x1+ 2!o(x4)44x o(x )1124: lim -12x_015利用級數(shù)理論和級數(shù)收斂的必要條件求數(shù)列極限qq級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)un收斂，則1imun=0. nnrn 1-應(yīng)用這個結(jié)論求某些數(shù)列的極限方法是把給定的數(shù)列通項看作是某個級數(shù)的通項， 然后用級數(shù)的斂散性判別法

14、，判定該級數(shù)收斂，此時數(shù)列的極限必為零.級數(shù)是一個無窮序列和的形式，其部分和就是一個數(shù)列，有時為求方便可將數(shù)列極 限看做某個級數(shù)的部分和，這樣可以使得計算更加簡捷，更高效的得出結(jié)果 .例題 14 求 lim lim n 二 n 1 n 2 n 3= /im ln 2n tn n 二二n a2n - 二n - an由分析可知上式二lim i 1111i 1 111i %232n 23nn 2n +un +a2n )-(ln n + bn +an )(n, bn是當 n- 0c時的無窮小量)imln 2 +a2n f )= ln2.十1 +i.n 二 n 1 n 2 n 3 2n111分析 我們知

15、道形如an =1+1+1+-1nn的數(shù)列極限值是歐拉常數(shù)，有2 3n2n=nim：-lnman=c （c是歐拉常數(shù)）.所以此題可以利用這一結(jié)論進行計算.16用stolz定理求解數(shù)列極限stolz定理：設(shè)數(shù)列4與數(shù)列yn,數(shù)列yn是單調(diào)增加的正無窮大量，且lim xnxn =l （l可以是有限量，與-0）, n ”.1 - yn則lim 為-l.n ： yn證明首先考慮l =0的情況.由 lim x1* xn =0,可知卡名 a0,三 ni 0,vnni：n 7n 1 nxn -xna 五 - yn）由于數(shù)列yn是正無窮大量，顯然 可以要求yn1 a0,于是xn -xn1 三 xn -xnjl

16、+ xnf / + + x2書x.；(yn-yn。(yn3yn/)(yn/ - yn二)一 一 n1, vn n : |卜巴從而yn - ynynyn -yn1yn i yn i當a是非零有限數(shù)時，令xn = xn - ayn,于是xn -yn -yu= lim xn en 二 yn - yn一 a = 0.f 從而由nmr。,得到lim =lim 上 a = a.nf： ynnf： y對于a =+好的情況，首先3n,vn n :xn - xn yn -yn.于是xn也單調(diào)增加，且從xn -xn a yn - yn可知xn是正無窮大量用到與，得到xn.將前面的結(jié)論應(yīng)因而lim 名二 lim y

17、n-yn=0, n ；二 丫 n i xnxn xn dxn lim - -n :-yn對于a =8的情況，證明方法和上面的類同.例題15 設(shè)lim an =a,求極限lim nn l ：a1 2a2 3a3 + + nan解 令 xn = a1 + 2a2 + 3a3 + + na, y2,由limn一:二xn -xn4yn -ynj. limnan2i n2 - n -1nan二 lim n : 2n -1于是得到a1 - 2a2 , 3a3 + + nan例題16求極限lim1k 2k3knk+1 n（k為自然數(shù)）.解令 xn =1k +2k3knk,yn=nk+1,由lim xn xn

18、，n ：-yn -yn=limn - nknk-1. k 1- n -1得到= lim k 2n : = (k 1)nk -c2ek 1一十 .2k3k 3-nkk+1n例題17利用stolz定理，證明12 32 52(2n 1)24lim3二-f：n33證明 令xn = 12 +32+52+ (2n+1)2, yn = n3,由2.xn 飛(2n 1) lim= lim -3nt)yn - yn d f)n - n -14n2 4n 14n2 4n 1= lim22= lim 2n 二(n-n 1)n2n(n -1)(n -1)2n 1 3n2-3n 1_4= 一.3特別地，（1）在stol

19、z定理中，若lim如叱/=s ,不能得出lim為=必的結(jié)論.ynynnyn,n如取xnf1nn 1n.xn 1 - xn-1 n 1)-1 n二 n, lim = lim二1*1ynn - n -1但是lim區(qū)=(t = 4 n 2k ) 即極限lim 名不存在. yn-1,n=2k 1yn(2)在stolz定理中，若lim入士二xni- yn 1 - ynx不存在，不能得出lim-n不存在的結(jié)論.n : yn如取 xn =1-2 3-4(-1)n4n,yn = n2,nmxn 1 - xnyn 1 - yn=limnn-1-1 n 1 1n2 -(n -1 )不存在，但是lim 瓦=lim

20、-23-4=0,即lim 區(qū)=0.nf . ynnf .nnf y17利用stiring 公式求極限stiring 公式:n! - 2n二 nne_n - 丁一 12n ,0/ .(2)由 lim(x-1)=0 ,故 lim i x -119變量替換法求解極限2n _ 1例題20求極限nim分析 當nt + 如時，分子分母都趨于 f 不能直接用法則，但是可注意到n22n -12n -14n =(22 ) =(2n ),所以作變量替換可以求解.: limn 二 lim2n 22-1 n 2n -1令t =2n,則原式=1門逐 t :t2 -1= lim , t .、t 120利用拉格朗日中值定理

21、求解極限定理 若函數(shù)f(x)滿足下面條件:(1)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;則 在(a,b)內(nèi)至少存在一點 二 使得 k)= f(b)-f b - a上式可變形為：f(b) -f = f (a i(b_a),(0二：二 1).b -ax sin x例題21求解極限lim e -ei x - sin x令f (x) = ex,應(yīng)用拉格朗日中值定理一esinx = f (x) - f (sin x) = (x-sin x) f (sin x 1(x-sinx),(0 ： ： 1)x sin xe -e=f (sin x i(x -sinx),(0：1)(x - sin x)因為f (x) =ex連續(xù),所以 lim f (sin x u(x - sin x) = f (0) = 1 .x sin xe -e從而有l(wèi)im =1.x 0 x -sin x21利用公式