功的計(jì)算策略

1、功的計(jì)算策略江西省撫州市南豐縣第一中學(xué)聶應(yīng)才能量方法是高中物理解題的三大金鑰匙之一。盡管能列舉多種形式的能量，但要理解能量確實(shí)很難，是牛頓沒有留給我們的少數(shù)力學(xué)概念之一，它抽象，卻是物理學(xué)中最重要、意義也最深遠(yuǎn)的概念之一。能量的變化可能伴隨著某（些）力做功，功比能量要好理解的多，也具體的多，因此在高中階段能量的思想中功起著舉足輕重的作用，其過程中常常要進(jìn)行功的計(jì)算。功的計(jì)算公式為 (1) 這就是說，力對物體所做的功等于力的大小、位移的大小和力與位移夾角的余弦三者的乘積。計(jì)算好功應(yīng)該首先理解好這三方面。 1用什么量表述功：是“力做功”還是“物體做功”？ 不同的物理參考書籍中會(huì)出現(xiàn)“力做功”及“物

2、體做功”兩種提法。那么，這兩種提法究竟有沒有區(qū)別呢？應(yīng)該說，從原則上講這兩種提法是通用的，沒有什么不同，說物體做功，也是說物體對被做功的對象所施的力在做功。到了高中階段，用“力做功”的提法分析起來會(huì)更精確。什么“作用力的功與反作用力的功”、“分力的功和合力的功”等等表達(dá)得很簡明，分得很清楚，還如“合力的功等于各個(gè)力功的代數(shù)和”這一定理的表述和證明，改用“物體做功”的提法就很難進(jìn)行。當(dāng)題目提出某物體做功時(shí)，需要明確是物體的什么力對被做功的對象做功。 如，一臺(tái)起重機(jī)將質(zhì)量m=10103 kg的貨物勻加速地豎直吊起，在2 s末貨物的速度為v=40 m/s若取g=10 m/s2，不計(jì)額外功，求：起重機(jī)

3、所做的功。 這個(gè)問題的表述是“物體做功”，也就是起重機(jī)對貨物做功，對于功的計(jì)算我們必須明確是吊起貨物的拉力做，也就說，“起重機(jī)所做的功”即為“拉力的功”。接下來，利用牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定律求出拉力和位移，由公式（1）容易得出結(jié)果。 2位移的理解 21是物體位移還是力的位移 （1）式中出現(xiàn)的是力，位移應(yīng)該是對應(yīng)力的位移，可是高中物理教材中出現(xiàn)是物體位移，兩者難道是等價(jià)同一個(gè)意思？仔細(xì)體現(xiàn)，我們發(fā)現(xiàn)教材中的物體多理解為理想抽象的質(zhì)點(diǎn)，這樣物體位移與力的位移沒有什么區(qū)別。實(shí)際上，位移是力的作用點(diǎn)的位移。力的作用點(diǎn)也稱為物體的受力點(diǎn)，這也是一個(gè)抽象的概念，實(shí)際中不存在物體的受力部位是一個(gè)沒有尺寸大小的幾何點(diǎn)的

4、情況。如果物體的受力部位比較集中，那么在一定條件下可以把受力部位視為一個(gè)點(diǎn)，這就是力的作用點(diǎn)。例如，用一根細(xì)繩牽引物體，那么物體上與繩的連接部位就可以視為繩對物體的拉力的作用點(diǎn)。這里，繩為細(xì)繩的條件。所以高中物理題中經(jīng)常出現(xiàn)用細(xì)繩拉物體的模型?？梢杂孟旅嫒N情況來判斷位移。如圖1所示，恒力f通過細(xì)繩使物體運(yùn)動(dòng)了l，求三種情況下力做功分別為多少？ 甲情況中，力f作用點(diǎn)的位移就是物體的位移，因此功；乙情況中，由初中動(dòng)滑輪的知識(shí)，我們清楚力f作用點(diǎn)的位移是物體的位移的2倍，所以功；丙情況中，力f作用點(diǎn)的位移如圖2所示，求得，因此力f的功。顯然，當(dāng)0時(shí)，丙情況即為乙情況了，所以乙可以看作丙的一種特殊情

5、況。 22位移的相對性 做功的兩個(gè)必要因素力和位移與參考系的有關(guān)系是不同的。力學(xué)中常見的作用力，有的只和相互作用的質(zhì)點(diǎn)間的距離有關(guān)，如萬有引力、彈性力、庫侖力等；有的由宏觀上看只與質(zhì)點(diǎn)間的相對速度有關(guān)，如介質(zhì)阻力。但由經(jīng)典力學(xué)的伽利略變換可知，質(zhì)點(diǎn)間的距離與彼此間的相對速度與參考系的選擇無關(guān)。所以，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)，作用力與參考系的選擇無關(guān)。但是位移作為一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)的量，與參考系的選擇有明顯的關(guān)系。這樣，綜合起來看，一個(gè)作用力的功有相對性，即與參考系的選擇有關(guān)，這是由受力質(zhì)點(diǎn)的位移有相對性決定，如我們經(jīng)常用的一個(gè)結(jié)論：滑動(dòng)摩擦力乘于相對位移即為系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量度。不過，按習(xí)慣，凡不特別說

6、明的，都是以地面參考系為指定參考系。 23力的作用點(diǎn)會(huì)移動(dòng)的位移 前面說了，（1）式中的物體指的是質(zhì)點(diǎn)，而實(shí)際中被做功的對象都有大小尺寸的物體，所以有時(shí)會(huì)發(fā)生力的作用點(diǎn)（受力質(zhì)點(diǎn)）在物體上改變位置的情況。作用點(diǎn)的位置改變，不算為作用點(diǎn)對指定參考系發(fā)生位移，在改變上該力沒有對物體做功。例如，子彈頭射入一固定于地面的木塊中，彈孔壁上的不同點(diǎn)順次充當(dāng)子彈對木塊的摩擦力的作用點(diǎn)，各作用點(diǎn)均未對地面發(fā)生位移，故這個(gè)摩擦力對木塊不做功。當(dāng)子彈穿過木塊后，木塊溫度會(huì)升高，那是因?yàn)樽訌椏朔Σ亮Ξa(chǎn)生的熱量傳遞給了木塊。若木塊不固定，則子彈對木塊的摩擦力會(huì)做功。又如，一條略長于兩懸崖的長繩，兩端固定于兩懸崖邊上

7、，一滑輪放在長繩上，一人手拉滑輪的下端通過繩從懸崖的一端滑到另一懸崖上，在滑動(dòng)過程中繩對滑輪的作用點(diǎn)順次發(fā)生變化，其位移為零，因此繩沒有對滑輪做功。 3功的正負(fù) 31角的識(shí)別 （1）式中角有至關(guān)重要的作用，也是常被忽視的一個(gè)因子。它是力的方向與位移方向的夾角，而不是題目中的某一個(gè)以命名的角。設(shè)計(jì)一組問題來識(shí)別角。用圖3表示物體在力f的作用下在水平面上發(fā)生了一段位移x，分別計(jì)算這三種情形下力f對物體做的功。設(shè)這三種情形下力和位移大小都相同：f=10n，x=2m。角的大小如圖所示。 上組習(xí)題中功的計(jì)算的角并不是題目中出現(xiàn)的哪個(gè)值。(1)式中的角度，甲對應(yīng)的角度為30，乙對應(yīng)的角度為150，丙對應(yīng)的

8、角度為30。 32正負(fù)功 在（1）式中，當(dāng)，則有w0，即力對物體做正功；當(dāng)，則有w0，即力對物體做負(fù)功。從力的效果看，正功表示力對物體是動(dòng)力，負(fù)功表示力對物體是阻力；從動(dòng)能定理角度看，力對物體做正功，是使物體的動(dòng)能增加，力對物體做負(fù)功，是使物體的動(dòng)能減少。 在提法上，力對物體做正功，可以把“正”省去不說，即“力對物體做功”，正如數(shù)學(xué)中的正號可以不寫一樣，但力對物體做負(fù)功，“負(fù)號”不能省去不寫，它的另一種說法叫做“物體克服阻力做了功（取絕對值）”。如摩擦力對前進(jìn)中機(jī)車做負(fù)功，也可以說成是機(jī)車克服摩擦力做了功。向上拋出的物體在向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力對物體做負(fù)功，也可以說成是物體克服重力做了功?？梢哉f，“

9、力做負(fù)功”與“物體克服阻力做功”只是同一件事的兩種不同說法而已。 分析好了（1）式中三個(gè)量，接著我們應(yīng)用它，用它來解答一些實(shí)際的物理問題，比單純的功公式的計(jì)算更有認(rèn)識(shí)價(jià)值。 4人做功 分析人做功是我們理所當(dāng)然的事，可它卻有點(diǎn)麻煩，因?yàn)槿耸莻€(gè)有機(jī)體，有一定的體積不能看作質(zhì)點(diǎn)，且肌肉收縮，使生化能轉(zhuǎn)化為人的機(jī)械能。如人走路時(shí)，地面對人的靜摩擦力使人產(chǎn)生加速度，但不做功（靜摩擦力的作用點(diǎn)在移動(dòng)，相對地面位移為零），人獲得的動(dòng)能是人肌肉收縮，生物化學(xué)力做正功。這就是零功力。這也看出牛頓運(yùn)動(dòng)解題與能量（動(dòng)能定理）觀點(diǎn)的不同：人可以有靜摩擦力使人產(chǎn)生加速度獲得速度，但人的動(dòng)能不是此力做功實(shí)現(xiàn)的。 如200

10、6年全國i理綜卷的一道選擇題：一位質(zhì)量為m的運(yùn)動(dòng)員從下蹲狀態(tài)向上起跳，經(jīng)t時(shí)間，身體伸直并剛好離開地面，速度為v。在此過程中： a地面對他的沖量為mv+mgt，地面對他做的功為mv2 b地面對他的沖量為mv+mgt，地面對他做的功為零 c地面對他的沖量為mv，地面對他做的功為mv2 d地面對他的沖量為mv-mgt，地面對他做的功為零 地面對人做功是出錯(cuò)的關(guān)鍵，地面對人有豎直向上的作用力，但此力的作用點(diǎn)位移為零，所以地面對人沒有做功。而他獲的速度（動(dòng)能）是自己肌肉收縮生物化學(xué)力做正功消耗生化能而得到的。 有些物理題目沒有注意這一點(diǎn)，造成編制成的習(xí)題出現(xiàn)錯(cuò)誤。如，如圖4所示，平板車放在光滑水平面上

11、，一個(gè)人從車左端加速向右跑動(dòng)，設(shè)人受到的摩擦力為，車受到的摩擦力為，則下列說法正確的是： a、均做負(fù)功 b、均做正功 c做正功，做負(fù)功 d因?yàn)槭庆o摩擦力，、做均為零 參考答案是b。分析如下：人加速向右跑動(dòng)時(shí)，車對人的摩擦力方向向右，人相對地面的位移方向也向右，所以力對人做正功；人對車的摩擦力方向向左，當(dāng)人跑動(dòng)時(shí)，車的位移方向也向左，所以力對車也做正功，所以b選項(xiàng)正確。 問題所在：人相對地面的位移確實(shí)向右，但力做功，是要看力作用點(diǎn)的位移，它是向左的，所以力應(yīng)該做負(fù)功，人也就要克服力做功而消耗身體的生化能。力對車做正功是沒錯(cuò)的。因此習(xí)題中沒有正確的答案。 還有站在水平船板上的人拉著固定在岸邊樹上的

12、繩子，用力使船向前移動(dòng)的過程中，關(guān)于力對船的做功是：繩子的張力、人對繩子的拉力、樹對繩子的拉力不做功，因?yàn)檫@些力的作用點(diǎn)的位移均為零，是人對船的摩擦力做了功而使船向前移動(dòng)。例如一個(gè)小孩站在船頭，按圖5所示的兩種情況用同樣大小的力拉繩，經(jīng)過相同的時(shí)間t（船未碰撞）小孩所做的功w1、w2及在時(shí)刻t小孩拉繩的瞬時(shí)功率p1、p2的關(guān)系為 aw1w2，p1=p2 bw1=w2，p1=p2 cw1w2，p1p2 dw1w2，p1=p2 參考解析：本題是要考查繩的拉力做功的計(jì)算，小孩所做的功，在第一種情況下是只對自身（包括所站的船）做的功與在第二種情況下對自身（包括所站的船）做的功相等（由于拉力相同、力的作

13、用時(shí)間相同，故所做的功都為），而在第二種情況中人對另外的小船多做了一部分功，因此w1w2 問題所在：結(jié)果是正確的，但分析的過程對于第一種情況是錯(cuò)誤的。題目是問小孩所做功，是小孩肌肉收縮所做的功，但這種力做功無法計(jì)算，必須轉(zhuǎn)化是其它形式的力，對于第一種情況不是小孩的拉力做功，因?yàn)槔Ω緵]有做功，應(yīng)該是克服人與船的摩擦力做功，摩擦力與拉力相等，這樣克服摩擦力做功和上面計(jì)算方式一樣；第二種情況可以認(rèn)為拉力做功，因?yàn)槔τ形灰啤?5機(jī)車的零功力 汽車行駛時(shí)，汽車輪胎與地面接觸點(diǎn)的速度為零，是靜摩擦力提供動(dòng)力，但摩擦力的作用點(diǎn)順次的在地面上發(fā)生移動(dòng)，作用點(diǎn)的位移為零，摩擦力對汽車和地面都不做功。汽車得

14、到的機(jī)械能是發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)氣體非保守力做功，把化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。同理人騎自行車時(shí)，自行車與地面間的靜摩擦力提供自行車的動(dòng)力，但摩擦力對自行車和地面均不做功，自行車與人得到的機(jī)械能是靠人肌肉收縮做功使人的生化能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的機(jī)械能。 當(dāng)然，如果剎車，靜摩擦力變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力，剎車過程中的滑動(dòng)摩擦力對車做了負(fù)功，但對地面依然沒有做功，而地面溫度的升高是輪胎溫度變高熱傳遞的結(jié)果，地面被磨得光滑，那是力改變物體形狀的結(jié)果與力是否做功無關(guān)。 6變力做功 （1）式中適用于恒力做功，盡管利用微元法思維可以把它推廣到變力做功，但是對于中學(xué)來說，是無法得出具體數(shù)值結(jié)果的。我們就要進(jìn)行另辟思路。 61平均力法 用平均力代

15、替公式（1）中的f，這種方法只局限于兩種情況：一是題目中明確指出是平均力；另一種情況是力與位移成正比（如彈簧的彈力），用算術(shù)平均值方法，用平均力求功。 例：一輛汽車質(zhì)量為105kg，從靜止開始運(yùn)動(dòng)，其阻力為車重的005倍。其牽引力的大小與車前進(jìn)的距離變化關(guān)系為f=103 x+f0，f0是車所受的阻力。當(dāng)車前進(jìn)100m時(shí)，牽引力做的功是多少？ 分析與解答：牽引力為變力但與位移成正比。當(dāng)x=0時(shí)，牽引力f1= f0=kmg=005105105104n，當(dāng)x=100m時(shí)，f2=100103 f0=105 510415105n，平均力n，因此牽引力做的功j。順便說一句，一般情況下機(jī)車的牽引力不與位移成

16、正比。 62圖像法 我們也可以用圖像來描述力對物體做功的大小。以為縱坐標(biāo)，以l為橫坐標(biāo)。當(dāng)恒力f對物體做功時(shí)，由和l為鄰邊構(gòu)成的矩形面積即表示功的大小，如圖6甲所示。如果力不是恒力，力做功就能用矩形表示。不過可以將位移劃分為等距的小段，在每個(gè)小段中外力可近似看成恒力，所做功的大小即為該小段對應(yīng)的小矩形的“面積”值，整個(gè)過程外力做功的大小就等于全體小矩形“面積”之和，如圖6乙所示。若能知道變力f與位移l的關(guān)系，如圖6丙所示，整個(gè)過程中變力做的總功，即為圖示的“面積”。 盡管只要作出圖像就能用“面積”求出它的功，但是中學(xué)階段不是任意形狀的圖形都能求出“面積”，一般只能求出線性關(guān)系的圖像，如上題牽引

17、力的功，用圖像作出牽引力f與位移l的關(guān)系如圖7所示，“面積”即為上面牽引力做功的結(jié)果。 63轉(zhuǎn)換研究對象 當(dāng)繩的拉力作用于物體，使物體發(fā)生位移，但是拉力對于物體來說是變力，需要轉(zhuǎn)換研究對象，使變力成恒力，從而可以應(yīng)用（1）式計(jì)算。 例如：如圖8所示，用恒力f通過光滑的定滑輪，將靜止于水平面上的物體從位置a拉到位置b，物體可視為質(zhì)點(diǎn)，定滑輪距水平面高為h，物體在位置a、b時(shí)，細(xì)繩與水平面的夾角分別為和，求繩的拉力對物體做的功。 分析與解答：從題設(shè)的條件看，作用于物體上的繩的拉力t，大小與外力f相等，但物體從a運(yùn)動(dòng)至b的過程中，拉力t的方向與水平面的夾角由變?yōu)?，顯然拉力t為變力。由于繩拉物體的變力

18、t對物體所做的功與恒力f拉繩做的功相等，根據(jù)力對空間積累效應(yīng)的等效替代便可求出繩的拉力對物體做的功。設(shè)物體在位置a時(shí)，滑輪左側(cè)繩長為l1，當(dāng)物體被繩拉至位置b時(shí)，繩長變?yōu)閘2，因此物體由a到b，繩長的變化量 又因t=f，則繩的拉力t對物體做的功 64分段計(jì)算法 力從全程（全過程）考慮是變力，但就一小段分析變力可認(rèn)為恒力，這一小段力的功可以用（1）式來計(jì)算了，然后把所有小段的功代數(shù)相加就得到全部的功了。 例：如圖9所示，某個(gè)力f10n作用于半徑為r1m的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力f的大小保持不變，但方向保持為任何時(shí)刻均與作用點(diǎn)的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周這個(gè)力f做的總功為多少？ 分析與解答：力f的大小不變，但方向時(shí)刻發(fā)生變化，屬于變力做功的問題，可以考慮把圓周分割為很多的小段來研究，當(dāng)各小段的弧長足夠小時(shí)，可以認(rèn)為力的方向與弧長代表的位移方向一致。所求的總功為j。如果不采用分段計(jì)算，沒有注意到力是變力，很容易認(rèn)為由于位移為零，力f的功是零。 65功率法 從認(rèn)知的順序看，是先學(xué)功然后學(xué)功率