數(shù)列的極限ppt[沐風(fēng)教學(xué)]

1、1優(yōu)講課堂 一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧: 數(shù)列的定義數(shù)列的定義 【定義】【定義】按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù) , 21n xxx (1) 稱為稱為無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列, ,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)列數(shù)列. .其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列 的的項(xiàng)項(xiàng), , n x稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)( (一般項(xiàng)一般項(xiàng)) ). .數(shù)列數(shù)列(1)(1)記為記為 n x. . 【例如例如】 ;,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 2優(yōu)講課堂 二、情境引入二、情境引入1： 3優(yōu)講課堂 項(xiàng)號(hào)項(xiàng)號(hào)項(xiàng)項(xiàng)這一項(xiàng)與這一項(xiàng)與0

2、的差的絕對(duì)值的差的絕對(duì)值 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 5.0|0 2 1 | 25.0|0 4 1 | 125.0|0 8 1 | 0625.0|0 16 1 | 03125.0|0 32 1 | 015625.0|0 64 1 | 0078125.0|0 128 1 | 00390625.0|0 256 1 | 0 4優(yōu)講課堂 三國(guó)時(shí)的劉徽提出的三國(guó)時(shí)的劉徽提出的 的方法的方法.他把圓他把圓 周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 這樣這樣 繼續(xù)分割下去繼續(xù)分割

3、下去,所得多邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近于圓的周長(zhǎng)所得多邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近于圓的周長(zhǎng). 割之彌細(xì)，割之彌細(xì)， 所失彌少，割所失彌少，割 之又割，以至之又割，以至 于不可割，則于不可割，則 與圓合體而無(wú)與圓合體而無(wú) 所失矣所失矣. . 二、情境引入二、情境引入2： 5優(yōu)講課堂 1 2 3 4 5 6 7 8 項(xiàng)號(hào)項(xiàng)號(hào) 邊數(shù)邊數(shù)內(nèi)接多邊形周長(zhǎng)內(nèi)接多邊形周長(zhǎng) 圓的半徑圓的半徑 2 1 R 24 12 6 3 2.598076211353 3.000000000000 3.105828541230 3.132628613281 48 3.139350203047 96 3.141031950891 192

4、3.141452472285 384 3.141557607912 6優(yōu)講課堂 n b 0 8 1 4 1 8 3 2 1 8 5 4 3 8 7 1 x 1 n a n b 0 0 2 1 4 3 8 7 1234nn 從從1的左側(cè)無(wú)限趨近的左側(cè)無(wú)限趨近1 是什么？是什么？ 的變化趨勢(shì)分別的變化趨勢(shì)分別和和 的無(wú)限增大，的無(wú)限增大，隨著項(xiàng)數(shù)隨著項(xiàng)數(shù) nn ba n 0 8 1 4 1 8 3 2 1 8 5 4 3 8 7 1 x n a 從從0的右側(cè)無(wú)限趨近的右側(cè)無(wú)限趨近0 表示的點(diǎn)的變化趨勢(shì)表示的點(diǎn)的變化趨勢(shì)和和 nn ba 1 2 1 n 1 2 1 1 n 7優(yōu)講課堂 0-1 3 1

5、 2 1 ， n 10 1 3 10 1 3 10 1 3 2 （1） ， 14 3 3 2 2 1 n n （2） ， ， n n )1( 3 11 1（3） 分析當(dāng)分析當(dāng)n無(wú)限增大無(wú)限增大時(shí)，下列數(shù)列的項(xiàng)時(shí)，下列數(shù)列的項(xiàng) 的變化趨勢(shì)及的變化趨勢(shì)及 共同特征共同特征: n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 共同特性：共同特性：不論這些變化趨勢(shì)如何，隨著項(xiàng)數(shù)不論這些變化趨勢(shì)如何，隨著項(xiàng)數(shù) n 的的無(wú)限增大無(wú)限增大，數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的項(xiàng) 無(wú)限地趨近于無(wú)限地趨近于常數(shù)常數(shù) a n a 3 遞減遞減 無(wú)限趨近無(wú)限趨近 1

6、遞增遞增 無(wú)限趨近無(wú)限趨近 0 無(wú)限趨近無(wú)限趨近 擺動(dòng)擺動(dòng) 三、講授新課：三、講授新課： 8優(yōu)講課堂 n 趨向于無(wú)窮大趨向于無(wú)窮大 aan n lim 數(shù)列極限的描述性定義數(shù)列極限的描述性定義 n a 一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù) 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列 的項(xiàng)的項(xiàng) 無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù) ， n n aa 那么就說(shuō)數(shù)列那么就說(shuō)數(shù)列 以以 為極限，或者說(shuō)為極限，或者說(shuō) n aaa n a是數(shù)列是數(shù)列 的極限的極限 n a （1） 是無(wú)窮數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列 n（2） 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， 不是一般地趨近于不是一般地趨近于 ，而是，而是 n aa “無(wú)限無(wú)

7、限”地趨近于地趨近于 a （3）數(shù)值變化趨勢(shì)：遞減的、遞增的、擺動(dòng)的）數(shù)值變化趨勢(shì)：遞減的、遞增的、擺動(dòng)的 讀作讀作 “當(dāng)當(dāng)n 趨向于無(wú)窮大時(shí)，趨向于無(wú)窮大時(shí)， 的極限等于的極限等于a ” n a 或或 “l(fā)im 當(dāng)當(dāng)n 趨向于趨向于 無(wú)窮大時(shí)等于無(wú)窮大時(shí)等于a ” n a 9優(yōu)講課堂 若數(shù)列 n x及常數(shù) a 有下列關(guān)系 : ,0,N正數(shù)當(dāng) n N 時(shí), 總有 記作 此時(shí)也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 . 幾何解釋 : a aa )( axa n )(Nn 即),(axn )(Nn axn n lim或)(naxn 1N x 2N x axn 則稱該數(shù)列 n x的極限為 a , 機(jī)動(dòng) 目錄

8、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 極限定義的精確描述極限定義的精確描述 例如例如, , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n xn)(1n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n n n x n n 1 ) 1( )(1n ,2,8,4,2 n n n x2)(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x 趨勢(shì)不定 收 斂 發(fā) 散 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1、考察下面的數(shù)列，寫出它們的極限：、考察下面的數(shù)列，寫出它們的極限： （1）；， 3 1 27 1 8 1 1 n （2）；， n 10 5 7995.695.

9、65 .6 ； , )2( 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n （3） 解解：（：（1）數(shù)列）數(shù)列 的項(xiàng)隨的項(xiàng)隨n 的增大而減小，但大于的增大而減小，但大于0，且，且 當(dāng)當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限地趨近于無(wú)限地趨近于0，因此，數(shù)列，因此，數(shù)列 的極限的極限 是是0 3 1 n 3 1 n 3 1 n 7 0 四、例題講解：四、例題講解： 0 12優(yōu)講課堂 課堂練習(xí)課堂練習(xí)1： 0 0 2 1 lim n n 1 1 1 lim n n n 0 0 ) 1( lim n n n 13優(yōu)講課堂 例例2、求常數(shù)數(shù)列、求常數(shù)數(shù)列-1，-1，-1，-1，的極限的極限 解：這個(gè)無(wú)窮數(shù)列的

10、各項(xiàng)都是解：這個(gè)無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)都是-1，當(dāng)項(xiàng)數(shù)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)， 數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列的項(xiàng) 始終保持同一個(gè)值始終保持同一個(gè)值-1，因此，因此 n a. 1)1(lim n 一般地，任何一個(gè)一般地，任何一個(gè)常數(shù)常數(shù)數(shù)列的數(shù)列的極限極限都是都是 這個(gè)這個(gè)常數(shù)本身常數(shù)本身，即，即CC n lim （C 是常數(shù)）是常數(shù)） 14優(yōu)講課堂 例例3、用計(jì)算器計(jì)算、用計(jì)算器計(jì)算,99. 0 1000 ,99. 0 5000 ,99. 0 20000 ,99. 0 10000 由此猜想數(shù)列由此猜想數(shù)列 的極限（保留兩位有效數(shù)字）的極限（保留兩位有效數(shù)字） 99. 0 n 解：由計(jì)算器可算得解：由計(jì)算器

11、可算得 51000 103 . 499. 0 225000 105 . 199. 0 4410000 102 . 299. 0 8820000 101 . 599. 0 由此猜想由此猜想099. 0lim n n 一般地，如果一般地，如果 ，那么，那么 1| a . 0lim n n a 15優(yōu)講課堂 )( lim)2(是是常常數(shù)數(shù)CC n n n 1 lim)1(0 C , )3(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 a0lim n a n 01 lim11 11 n n a aa aa 不存在 或 16優(yōu)講課堂 觀察思考觀察思考：考察以下數(shù)列的考察以下數(shù)列的 變化趨勢(shì)變化趨勢(shì) (1) (2) (5) (4) (3) 0 1 0 無(wú)無(wú) 無(wú)無(wú) 17優(yōu)講課堂 aan n n a lim 數(shù)列數(shù)列 是否存是否存 在極限在極限 若存在極限若存在極限 99. 0 n n a 100)(n 1 n an n n a)1( 14 n n an aan n lim 存在存在 不存在不存在 存在存在 存在存在 不存在不存在 4 1 n 0 00 數(shù)列的極限是唯一的數(shù)列的極限是唯一的 有窮數(shù)列沒(méi)有極限有窮數(shù)列沒(méi)