圓周角終極1.

1、24.1.4圓周角圓周角 古勞中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)備課組古勞中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)備課組 2009-10-21 復(fù)習(xí)引入：復(fù)習(xí)引入： 請(qǐng)說(shuō)說(shuō)我們是如何給圓心角下定義的，試回答？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)我們是如何給圓心角下定義的，試回答？ 頂點(diǎn)頂點(diǎn)在在圓心圓心的角叫的角叫。 考考你：你能仿照?qǐng)A心角的定義，給下圖中象考考你：你能仿照?qǐng)A心角的定義，給下圖中象ACB ACB 這樣的角下個(gè)定義嗎？這樣的角下個(gè)定義嗎？ 頂點(diǎn)頂點(diǎn)在圓上，并且在圓上，并且兩邊兩邊都都 和和圓圓相交的角叫做相交的角叫做 圓周角.gsp 圓周角定義圓周角定義： 頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊 都與圓相交的角叫做圓周角都與圓相交的角叫做圓周角. 圓周角

2、的兩大特征圓周角的兩大特征( (條件條件):): 1.1.頂點(diǎn)在圓上頂點(diǎn)在圓上 2.2.兩邊都和圓相交兩邊都和圓相交 一、概念學(xué)習(xí)一、概念學(xué)習(xí) O A E B C D 如：C、 D 、E 二、概念辨析二、概念辨析 1.判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由。判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由。 不是不是 不是不是是是 不是不是不是不是 圖圖 圖圖圖圖 圖圖 圖圖 2 2、畫(huà)圖回答、畫(huà)圖回答 1 1、畫(huà)一個(gè)圓心角、畫(huà)一個(gè)圓心角, ,然后再畫(huà)然后再畫(huà)同弧同弧所對(duì)的圓周角所對(duì)的圓周角. . 2 2、同一條弧你能畫(huà)多少個(gè)圓、同一條弧你能畫(huà)多少個(gè)圓心心角角? ? 多少個(gè)多少個(gè)圓圓周周角角

3、? ? A B O 如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面的示意如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面的示意 圖圖, ,人們可以通過(guò)其中的圓弧形玻璃人們可以通過(guò)其中的圓弧形玻璃AB AB 觀看窗內(nèi)觀看窗內(nèi) 的海洋動(dòng)物。的海洋動(dòng)物。 (p84(p84頁(yè)頁(yè)) ) 三、觀察三、觀察思考 問(wèn)題問(wèn)題1 如圖：同學(xué)甲站在圓心如圖：同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正的位置，同學(xué)乙站在正 對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角，他們的視角(AOB和和 ACB)有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 問(wèn)題問(wèn)題 如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置 D D和和E E，他們的視角，他

4、們的視角(ADBADB和和AEBAEB) )和同學(xué)乙的和同學(xué)乙的 視角（視角（ACBACB）相同嗎？）相同嗎？ 1 1、AOB AOB 和和ACBACB的大小有什么關(guān)系？的大小有什么關(guān)系？ 2 2、ADB ADB 、AEBAEB 和和ACBACB的大小的大小相同嗎？相同嗎？ 甲O B A 丙D 乙C 丁E 玻璃玻璃 問(wèn)題問(wèn)題1 1、弧弧AB AB 所對(duì)的所對(duì)的 圓心角圓心角AOBAOB 與圓周角與圓周角C C 的大小關(guān)系是怎樣的的大小關(guān)系是怎樣的? ? 問(wèn)題問(wèn)題2 2、弧弧ABAB 所對(duì)的圓周所對(duì)的圓周 角角C C與與D D、E E的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是 怎樣的？怎樣的？ 四、自主探究四、自

5、主探究 C D A B O 同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)相等，并且它的度數(shù)恰好同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)相等，并且它的度數(shù)恰好 等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半 分別量一下圖中分別量一下圖中 （?。ɑB） 所所 對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)，比較一下，對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)，比較一下， 再變動(dòng)點(diǎn)再變動(dòng)點(diǎn)C C在圓周上的位置，圓周角在圓周上的位置，圓周角 的度數(shù)有沒(méi)有變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)的度數(shù)有沒(méi)有變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī) 律嗎？律嗎？ 再分別量出圖中再分別量出圖中 （弧（弧AB） 所對(duì)所對(duì) 的圓周角和圓心角的度數(shù)，比較一下，的圓周角和圓心角的度數(shù)，比較一下， 你有什么發(fā)現(xiàn)？你有什

6、么發(fā)現(xiàn)？ 圓心角與圓周角關(guān)系圓心角與圓周角關(guān)系.gsp OO O B A C B A C B A C 圓心與圓周角圓心與圓周角 n 為了進(jìn)一步研究上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論為了進(jìn)一步研究上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論, ,我們先探究我們先探究圓周圓周 角角和和圓心圓心之間有什么關(guān)系之間有什么關(guān)系. . 問(wèn)題問(wèn)題:一個(gè)圓的一個(gè)圓的圓心圓心與與圓周角圓周角可能有幾種位置關(guān)系？可能有幾種位置關(guān)系？ 圓心在圓周角的一邊上圓心在圓周角的一邊上圓心在圓周角的內(nèi)部圓心在圓周角的內(nèi)部圓心在圓周角的外部圓心在圓周角的外部 五、理論證明五、理論證明 O B A C v1.1.首先考慮一種特殊情況：首先考慮一種特殊情況： v (1)(1)圓心

7、圓心O O在圓周角在圓周角BACBAC的一邊的一邊ABAB上時(shí)上時(shí) 證明證明: OA=OC， A=C 又又BOC=A+ C BOC=2A 即即 A= BOC 2 1 、另外兩種情況如何證明呢？、另外兩種情況如何證明呢？ O O B A C B A C D D n提示提示:能否通過(guò)作輔助線把它們能否通過(guò)作輔助線把它們轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為(1)的的 情況情況,然后然后利用利用(1)的結(jié)論的結(jié)論去證明呢去證明呢? A BC O D 證明證明:作直徑作直徑AD. 由第由第1種情況得種情況得 即即BAC= BOC 2 1 1 3 2 1 2 4 2 1 12 ( 3 4) 2 1 （2）圓心）圓心O在在BAC的

8、內(nèi)部的內(nèi)部. 1 2 34 證明證明:作直徑作直徑AD. 由第由第1種情況得種情況得 即即BAC= BOC 2 1 1 2 2 1 CAD COD 2 1 CAD1 ( COD2) 2 1 A B C O D 1 2 （3）圓心）圓心O在在BAC的外部的外部. 圓周角定理圓周角定理: : 由以上三種不同情況的證明可得由以上三種不同情況的證明可得: 即即 A=DE= BOC 2 1 O B A C D E “弧”改為 “弦.gsp 如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面的示意圖如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面的示意圖, ,人們可以通人們可以通 過(guò)其中的圓弧形玻璃過(guò)其中的圓弧形玻璃AB AB 觀看窗內(nèi)的

9、海洋動(dòng)物觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物, ,同學(xué)甲站在同學(xué)甲站在 圓心的圓心的O O 位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C C， 他們的視角（他們的視角（AOB AOB 和和ACBACB）有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙、）有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙、 丁分別站在他靠墻的位置丁分別站在他靠墻的位置D D和和E E，他們的視角（，他們的視角（ ADB ADB 和和 AEBAEB ）和同學(xué)乙的視角相同嗎？）和同學(xué)乙的視角相同嗎？(p90(p90頁(yè)頁(yè)) ) 甲O B A 丙D 乙C 丁E 玻璃玻璃 1 1、AOB AOB 和和C C 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 2 2、D D 和和

10、E E 和和C C 相同嗎？為什么相同嗎？為什么? ? 觀察觀察思考 1、如圖，在、如圖，在 O中中ABC=50， 則則AOC等于（等于（ ） A、50 B、80 C、90 D、100 A C B O D 2、如圖，、如圖，ABC是等邊三角形，是等邊三角形， 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P在圓周的劣弧在圓周的劣弧AB上，且不上，且不 與與A、B重合，則重合，則BPC等于（等于（ ） A、30 B、60 C、90 D、45 C A B P B 六、定理應(yīng)用六、定理應(yīng)用 3 3、如圖，點(diǎn)、如圖，點(diǎn)A A、B B、C C、D D在同一個(gè)圓上，四邊在同一個(gè)圓上，四邊 形形ABCDABCD的對(duì)角線把的對(duì)角線把4 4個(gè)內(nèi)角分

11、成個(gè)內(nèi)角分成8 8個(gè)角，這些個(gè)角，這些 角中哪些是相等的角？角中哪些是相等的角？ A B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 = 4 5 = 8 2 = 7 3 = 6 4.4.如圖，如圖，AA是圓是圓O O的圓周角，的圓周角， A=40A=40，求，求OBCOBC的度數(shù)。的度數(shù)。 O CB A 如圖如圖,在足球比賽場(chǎng)上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向在足球比賽場(chǎng)上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向 對(duì)方球門(mén)對(duì)方球門(mén)MN進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，乙已跟隨沖點(diǎn)時(shí)，乙已跟隨沖 到到B點(diǎn)，此時(shí)甲是自己直接射門(mén)好，還是迅速將球回傳點(diǎn)，此時(shí)甲是自己直接射門(mén)好，還是迅速將球回傳 給乙，讓乙射門(mén)

12、好？給乙，讓乙射門(mén)好？(僅從射門(mén)角度考慮）僅從射門(mén)角度考慮） 生活中的應(yīng)用：生活中的應(yīng)用： NM （乙） （甲）A B C 解解 :過(guò)過(guò)M、N、B三點(diǎn)作圓，三點(diǎn)作圓， 作出作出 O，顯然，顯然，A點(diǎn)在點(diǎn)在 O外，設(shè)外，設(shè)NA交圓于交圓于C，則，則 MANMCN，而，而 MCN=MBN， 所以所以MANMBN 因此，甲應(yīng)將球回傳給因此，甲應(yīng)將球回傳給 乙，讓乙射門(mén)乙，讓乙射門(mén). O 圓周角定理圓周角定理: 3.運(yùn)用運(yùn)用分類(lèi)分類(lèi)討論和討論和轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題. 1、證明、證明: 2、書(shū)本、書(shū)本87頁(yè)第頁(yè)第2、4、11題題 1.AB1.AB、ACAC為為OO的兩條弦，延長(zhǎng)的

13、兩條弦，延長(zhǎng)CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ， 求求BOCBOC的度數(shù)。的度數(shù)。 2 2、如圖，在、如圖，在OO中，中，BC=2DEBC=2DE， BOC=84BOC=84， 求求 A A的度數(shù)。的度數(shù)。 BOC =140BOC =140 A=21A=21 AB C1 O C2 C3 五、定理五、定理 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周 角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 定定 理理 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周半圓（或直徑）所對(duì)的圓周 角是直角角是直角; ; 90

14、 90的圓周角所對(duì)的弦是直徑的圓周角所對(duì)的弦是直徑 推推 論論 2.如圖，你能設(shè)法確定一個(gè)圓形紙片的圓心嗎？你有多如圖，你能設(shè)法確定一個(gè)圓形紙片的圓心嗎？你有多 少種方法？與同學(xué)交流一下少種方法？與同學(xué)交流一下 D A B C O O O 方法一方法一 方法二方法二 方法三方法三 方法四方法四 A B 練練 習(xí)習(xí) 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等， 它們所對(duì)弧一定相等嗎？為什么？它們所對(duì)弧一定相等嗎？為什么？ 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它 們所對(duì)的弧一定相等們所對(duì)的弧一定相等 六、六、 例例 如圖，如圖， O直徑直徑AB為為10cm，弦，弦AC為為6cm，ACB的平的平 分線交分線交 O于于D，求，求BC、AD、BD的長(zhǎng)的長(zhǎng) 8610 2222 ACABBC 又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2， 22 1052(cm) 22 ADBDAB 解：解：AB是直徑，是直徑， ACB= ADB=90 在在RtABC中，中， CD平分平分ACB， AD=BD. .ACDBCD 七、例題七、例題 O A B C D 3.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè) 三角形是直角三角形（提