3[1]2圓的對(duì)稱性課件捶徑定理1

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)(下下)第三章圓第三章圓 3.2 3.2 圓的對(duì)稱性圓的對(duì)稱性(1)(1) - -垂徑定理垂徑定理 想一想想一想 1. 1.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？圓是軸對(duì)稱圖形嗎？ 你是用什么方法解決這個(gè)問題的你是用什么方法解決這個(gè)問題的? ? 圓是軸對(duì)稱圖形圓是軸對(duì)稱圖形. . 其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線. . 如果是如果是, ,它的對(duì)稱軸是什么它的對(duì)稱軸是什么? ? 用用折疊的折疊的方法方法即可解決這個(gè)問題即可解決這個(gè)問題. . 你能找到多少條對(duì)稱軸你能找到多少條對(duì)稱軸? ? O n圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧圓弧,簡稱簡稱弧弧.

2、n連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦弦 (如弦如弦AB). On經(jīng)過圓心的經(jīng)過圓心的弦弦叫做叫做直徑直徑(如直徑如直徑AC). AB n以以A,B兩點(diǎn)為端點(diǎn)的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的弧弧.記作記作 ,讀作讀作“弧弧 AB”. AB n小于半圓的小于半圓的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如記作如記作 (用兩個(gè)字母用兩個(gè)字母). ADBn大于半圓的大于半圓的弧弧叫做優(yōu)弧叫做優(yōu)弧,如記作如記作 (用三個(gè)字母用三個(gè)字母). A B C D 相關(guān)概念相關(guān)概念 如圖如圖,CD是是直徑直徑, AB弦弦, CDAB,垂足為垂足為M 。 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？ 請(qǐng)你說說它們相

3、等的理由。請(qǐng)你說說它們相等的理由。 O C D AB M AM=BM，AC=BC，AD=BD 探求不斷探求不斷 連接連接OA,OB,OA,OB, O AB C D M 則則OA=OB. AM=BM. 點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于CD對(duì)稱對(duì)稱. O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱對(duì)稱, 當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B 重合重合, AC和和BC重合重合, AD和和BD重合重合. AC =BC, AD =BD. CDAB于于M 證明：證明： 已知：已知：CD是是 O的直徑，的直徑，AB是是 O的弦，的弦， 且且CDAB于于M， 求證：求證：AM=BM， AC =BC, AD =BD

4、垂徑定理垂徑定理 n定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的并且平分弦所的 兩條弧兩條弧. O AB C D M CDAB, CD是直徑是直徑, AM=BM, AC = BC, AD = BD. 條件條件 一條直徑一條直徑 垂直于弦垂直于弦 直徑平分弦直徑平分弦 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 結(jié)論結(jié)論 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 E D C O A B 下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ E C O A B D O A B c O E D C A B 如圖，已知在如圖，已知在 O中，中， 弦弦AB的長為的長為8厘米，圓心厘米，圓

5、心 O到到AB的距離為的距離為3厘米，厘米， 求求 O的半徑。的半徑。 E . AB O 解：連結(jié)解：連結(jié)OA。過。過O作作OEAB，垂足為，垂足為E 2 1 則則AEBE AB 84厘米厘米 在在RtAOE中，中，OE=3厘米，根據(jù)勾股定理厘米，根據(jù)勾股定理 OA 2 1 O的半徑為的半徑為5厘米。厘米。 543OEAE 2222 厘米厘米 若若E為弦為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，則上一動(dòng)點(diǎn)，則OE取值范圍是取值范圍是_。 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧 (即圖中即圖中 ，點(diǎn)，點(diǎn)o是是 的圓的圓 心心)，其，其 中中CD=600m,E為為 上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且 OECD

6、 ，垂足為，垂足為F，EF=90m,求這段求這段 彎路的半徑。彎路的半徑。C D E F O CD CD CD A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM 1.在在 O中，若中，若CD AB于于M，AB為直徑，為直徑， 則下列結(jié)論不正確的是（則下列結(jié)論不正確的是（ ） 2.已知已知 O的直徑的直徑AB=10，弦，弦CD AB， 垂足為垂足為M，OM=3，則，則CD= . 3.在在 O中，中，CD AB于于M，AB為直徑，為直徑， 若若CD=10，AM=1，則，則 O的半徑是的半徑是 . O CD A B M C 8 13 CDAB, 垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理 nAB

7、是是 O的一條弦的一條弦,且且AM=BM. n你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同與同 伴說說你的想法和理由伴說說你的想法和理由. 做一做做一做 n過點(diǎn)過點(diǎn)M作直徑作直徑CD. O n下圖是軸對(duì)稱圖形嗎下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸是什么其對(duì)稱軸是什么? n小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有: C D n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. M AB CDAB, 垂徑定理的逆定理 O C D CD是直徑是直徑 AM=BM 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. AB 平分平分弦（不是直徑）的弦（不是直徑）的直徑直徑垂直于弦垂

8、直于弦, 并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧. 被平分的這條被平分的這條 弦弦不是直徑不是直徑 M 判斷：判斷： 垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)并且平分弦所對(duì) 的兩條弧的兩條弧. （ ） 平分弦的直徑一定垂直于這條弦平分弦的直徑一定垂直于這條弦. （ ） (3)弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心. （ ） 課堂小結(jié)：課堂小結(jié)： 1.請(qǐng)說出本節(jié)所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。請(qǐng)說出本節(jié)所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。 2.還有什么疑惑請(qǐng)?zhí)岢鰜磉€有什么疑惑請(qǐng)?zhí)岢鰜?已知如圖，在以已知如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大為圓心的兩個(gè)同心圓中，大 圓的弦圓的弦AB交

9、小圓于交小圓于C、D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。 求證：求證：AC=BD o o AB C DE 證明：過證明：過O作作OEAB于于E， 解后指出解后指出：在圓中，解有關(guān)弦的問題時(shí)，常常需：在圓中，解有關(guān)弦的問題時(shí)，常常需 要作出要作出“垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑”作為輔助線，實(shí)際上，作為輔助線，實(shí)際上， 往往只需從圓心作弦的垂線段。往往只需從圓心作弦的垂線段。 則則 AE=BE,CE=DE AECE=BEDE 即即AC=BD O AB CD 如果圓的兩條弦平行，那么這兩條弦所夾的如果圓的兩條弦平行，那么這兩條弦所夾的 弧相等嗎？為什么弧相等嗎？為什么? E F M N 挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 做一做做一做 挑戰(zhàn)

10、自我挑戰(zhàn)自我 畫一畫畫一畫 n如圖如圖,M,M為為O O內(nèi)的一點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn), ,利用尺規(guī)作一條弦利用尺規(guī)作一條弦AB,AB, 使使ABAB過點(diǎn)過點(diǎn)M.M.并且并且AM=BM.AM=BM. O M 如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交CD于于 E， CEB=30，DE=6，CE=2， 求弦求弦AB的長。的長。 F E D O C A B 挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 做一做做一做 n反思小結(jié)： n布置作業(yè)：布置作業(yè)： 1、對(duì)垂徑定理的理解、對(duì)垂徑定理的理解 (1)證明定理的方法是典型的證明定理的方法是典型的“疊合法疊合法” (2)定理是解決有關(guān)弦的問題的重要方法定理是解決有關(guān)弦的問題的重要方

11、法 (3)定理中反映的弦的中點(diǎn)，弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)都集中在定理中反映的弦的中點(diǎn)，弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)都集中在“垂直于垂直于 弦的直徑弦的直徑”上。圓、弦又關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱。上。圓、弦又關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱。 2、關(guān)于垂徑定理的運(yùn)用、關(guān)于垂徑定理的運(yùn)用 (1)輔助線的常用作法輔助線的常用作法 (2)注意把問題化為解直角三角形的問題注意把問題化為解直角三角形的問題 3、思考題、思考題 已知：在以已知：在以O(shè)點(diǎn)為圓心點(diǎn)為圓心 的兩個(gè)同心圓中。大的兩個(gè)同心圓中。大 圓的弦圓的弦CD交小圓于交小圓于E、 F，OE、OF的延長線的延長線 交大圓于交大圓于AB。 求證：求證： 。O C A E B

12、 D F AC=BD. 1 3、思考題、思考題 已知：在以已知：在以O(shè)點(diǎn)為圓心點(diǎn)為圓心 的兩個(gè)同心圓中。大的兩個(gè)同心圓中。大 圓的弦圓的弦AB交小圓于交小圓于C、 D. 求證：求證：ACDB 。O A C B D E n如圖如圖,圓圓O與矩形與矩形ABCD交于交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的長的長. A BC D 0 E F GH M N 垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用 n在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所 示示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BA O E

13、 D 600 垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用 n在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截 面如圖所示面如圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深，求油的最大深 度度. BA O 600 650 D C 趙州石拱橋趙州石拱橋 n1.13001.1300多年前多年前, ,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的的 橋拱是圓弧形橋拱是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)是弦的長弧所對(duì)是弦的長) )為為37.4m,37.4m, 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高)

14、)為為7.2m,7.2m,求橋求橋 拱的半徑拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m). 趙州石拱橋趙州石拱橋 解：如圖，用解：如圖，用 表示橋拱，表示橋拱， 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為Rm， 經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD，D為垂足，與為垂足，與 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C.根根 據(jù)垂徑定理，據(jù)垂徑定理，D是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD就是拱高就是拱高. 由題設(shè)由題設(shè) ABAB AB AB , 2 . 7, 4 .37CDAB ABAD 2 1 , 7 .184 .37 2 1 DCOCOD. 2 . 7 R 在在RtOAD中，由勾股定

15、理，得中，由勾股定理，得 , 222 ODADOA .)2 . 7( 7 . 18 222 RR即 解得解得 R27.9（m）. 答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m. O A B C R D 37.4 7.2 練習(xí)練習(xí):在圓在圓O中，直徑中，直徑CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圓求圓O的半徑。的半徑。 10 D C E O A B r 4 r-4 . A O B ECDF 思考題思考題 已知：已知：AB是是 O直徑，直徑， CD是弦，是弦，AECD， BFCD 求證：求證：ECDF n圓是軸對(duì)稱圖形圓是軸對(duì)稱圖形. . 圓的對(duì)稱軸是圓的對(duì)稱軸是

16、任意一條經(jīng)過圓心的直線任意一條經(jīng)過圓心的直線, ,它有無它有無 數(shù)條對(duì)稱軸數(shù)條對(duì)稱軸. . O 例例：如圖，已知圓：如圖，已知圓O的直徑的直徑AB與與 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圓，且圓O的半徑為的半徑為 10，CD=16 ，求，求AE-BF的長。的長。 G E F A O B C D 船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 n2 . 如圖如圖,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為橋下水面寬為7.2米米,拱頂拱頂 高出水面高出水面2.4米米.現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并米、船艙頂部為長方形并 高出水面高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這此貨船能順利通過這 座拱橋嗎？座拱橋嗎？ 船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 n解解:如圖如圖,用用 表示橋拱表示橋拱, 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,半徑為半徑為Rm, 經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD,D為垂足為垂足,與與 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C.根根 據(jù)垂徑定理據(jù)垂徑定理,D是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),C是是 的中點(diǎn)的中點(diǎn),CD就是拱高就是拱高. 由題設(shè)得由題設(shè)得 ABAB AB