全國高中數(shù)學聯(lián)賽(b卷)試題及答案

1、2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(B卷)試題及答案2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（B卷）試題及答案一試一、選擇題：（每小題8分，共64分）1.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且則的值為 答案：6解：由于且故另解：設等比數(shù)列的公比為，則又因而，從而2.設，則平面點集的面積為 答案：7解：點集如圖中陰影部分所示，其面積為3.已知復數(shù)滿足（表示的共軛復數(shù)），則的所有可能值的積為 答案：3解：設由知，比較虛、實部得又由知，從而有即，進而于是，滿足條件的復數(shù)的積為4.已知均為定義在上的函數(shù)，的圖像關于直線對稱，的圖像關于點中心對稱，且，則的值為 答案：2016.解：由條件知 由圖像的對稱性，可得結合知， 由、解得從而另解

2、：因為， 所以 因為的圖像關于直線對稱，所以 又因為的圖像關于點中心對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，從而 將、代入，再移項，得 在式中令，得 由、解得于是 5.將紅、黃、藍3個球隨機放入5個不同的盒子中，恰有兩個球放在同一盒子的概率為 解：樣本空間中有個元素而滿足恰有兩個球放在同一盒子的元素個數(shù)為過所求的概率為6.在平面直角坐標系中，圓關于直線對稱的圓為則直線的方程為 答案：解：的標準方程分別為由于兩圓關于直線對稱，所以它們的半徑相等因此解得故的圓心分別是直線就是線段的垂直平分線，它通過的中點，由此可得直線的方程是7.已知正四棱錐-的高等于長度的一半，是側棱的中點，是側棱上點，滿足，則異面直線所成角的

3、余弦值為 解：如圖，以底面的中心為坐標原點，的方向為軸的正向，建立空間直角坐標系不妨設此時高從而由條件知，因此設異面直線所成的角為，則8.設正整數(shù)滿足，且這樣的的個數(shù)為 這里，其中表示不超過的最大整數(shù)解：由于對任意整數(shù)，有等號成立的充分必要條件是，結合知，滿足條件的所有正整數(shù)為共有個另解：首先注意到，若為正整數(shù)，則對任意整數(shù)，若，則這是因為，當時，這里是一個整數(shù)，故因此，當整數(shù)滿足時，容易驗證，當正整數(shù)滿足時，只有當時，等式才成立而，故當時，滿足正整數(shù)的個數(shù)為二、解答題：（共3小題，共56分）9.（16分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是方程 的兩個不同的解，求的值解 對，有即因此，是一元二

4、次方程的兩個不同實根，從而即由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10.（20分）在中，已知（1）將的長分別記為，證明：；（2）求的最小值解 （1）由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故已知條件化為即（2）由余弦定理及基本不等式，得等號成立當且僅當因此的最小值為11.（20分）在平面直角坐標系中，雙曲線的方程為求符合以下要求的所有大于的實數(shù)：過點任意作兩條互相垂直的直線與，若與雙曲線交于兩點，與交于兩點，則總有成立解 過點作兩條互相垂直的直線與易知，與交于點（注意這里），與交于點由條件知，解得這意味著符合條件的只可能為下面驗證符合條件事實上，當中有某條直線斜率不存在時，則可設，就是前面所討論的的情況，這時有若的

5、斜率都存在，不妨設注意這里（否則將與的漸近線平行，從而與只有一個交點）聯(lián)立與的方程知，即這是一個二次方程式，其判別式為故與有兩個不同的交點同樣，與也有兩個不同的交點由弦長公式知，用代替，同理可得于是綜上所述，為符合條件的值加試一、（40分）非負實數(shù)和實數(shù)滿足：（1）；（2）是奇數(shù)求的最小值解：由已知條件（1）可得：于是（注意） 不妨設則 若，并且令 則于是由條件（2）知，是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，這與矛盾因此必有，或者則 于是結合得又當時滿足題設條件，且使得不等式等號成立，所以的最小值為1二、（40分）設是正整數(shù)，且是奇數(shù)已知的不超過的正約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)，證明：有一個約數(shù)，滿足證明：記，則的不超過的

6、正約數(shù)的集合是若結論不成立，我們證明對，因為是奇數(shù)，故，又，而沒有在區(qū)間中的約數(shù)，故，即，故反過來，對，設，則，是奇數(shù)，又，故從而所以故的不超過的正約數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，與已知矛盾從而結論成立三、（50分）如圖所示，是平行四邊形，是的重心，點在直線上，使得證明：平分解：連接，與交于點由平行四邊形的性質(zhì)，點是的中點因此，點在線段上 由于，所以四點共圓，并且其外接圓是以為直徑的圓由相交弦定理知 取的中點注意到故有因此關于點對稱于是 結合、，有，因此四點共圓 又所以，即平分 四、（50分）設是任意一個11元實數(shù)集合令集合求的元素個數(shù)的最小值解：先證明考慮到將中的所有元素均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時，集合不變，故不妨設中正數(shù)個數(shù)不少于負數(shù)個數(shù)下面分類討論：情況一：中沒有負數(shù)設是中的全部元素，這里于是 上式從小到大共有個數(shù)，它們均是的元素，這表明情況二：中至少有一個負數(shù)設是中的全部非負元素，是中的全部負