材料力學(xué)-第二章 拉伸與壓縮 (上)

1、 軸向拉壓的概念和實例 拉(壓)桿的強(qiáng)度計算 拉(壓)桿的變形計算 材料的力學(xué)性質(zhì) 拉壓超靜定問題 應(yīng)力集中的概念 軸向拉壓的概念和實例 工程中有很多桿件是受軸向拉壓的: 內(nèi)燃機(jī)的連桿 連桿 由二力桿組成的橋梁桁架 D 鋼螺栓 鋁撐套 150mm d dL S NS NL 軸向拉壓桿: 受力特點: 外力合力的作用線與桿件軸線重合 變形特點: 沿軸線方向的伸長或縮短 這樣受力、變形的桿件簡稱為拉壓桿 拉(壓)桿的強(qiáng)度計算 一 拉壓桿橫截面上的內(nèi)力 拉壓桿橫截面及斜截面上的應(yīng)力 三 拉壓桿的強(qiáng)度計算 (2) 材料力學(xué)研究的內(nèi)力: 變形引起的物體內(nèi)部附加力,簡稱內(nèi)力。 1 內(nèi)力的概念 (1)內(nèi)力的本

2、義: 變形固體內(nèi)部各質(zhì)點間本身所具有的 吸引力和排斥力。 (3) 內(nèi)力特點: 內(nèi)力不能是任意的,內(nèi)力與變形有關(guān)。 內(nèi)力必經(jīng)滿足平衡條件 2 求內(nèi)力的方法截面法 (1)截面法的基本思想: 用假想的截面將物件截開,取任一部分為脫離體,用 靜力平衡條件求出截面上內(nèi)力。 F1 F3 F2 Fn 假想截面假想截面 2 求內(nèi)力的方法截面法 (2)截面法的步驟: 截開、取段、代力、平衡 FF FN=F FN=F F F 2 求內(nèi)力的方法截面法 (3)應(yīng)用截面法求內(nèi)力時應(yīng)注意：剛體模型適用的概念、 原理、方法,對變形固體的可用性與限制性。例如:力系 的等效與簡化;平衡原理與平衡方法等。 2 求內(nèi)力的方法截面法

3、 請判斷下列請判斷下列 簡化在什么情形簡化在什么情形 下是正確的，什下是正確的，什 么情形下是不正么情形下是不正 確的：確的： 2 2 求內(nèi)力的方法求內(nèi)力的方法截面法截面法 請判斷下列請判斷下列 簡化在什么情形簡化在什么情形 下是正確的，什下是正確的，什 么情形下是不正么情形下是不正 確的：確的： 2 2 求內(nèi)力的方法求內(nèi)力的方法截面法截面法 3 軸力及其符號規(guī)定 (1)軸力 軸向拉壓桿的內(nèi)力,其作用線與桿的軸線重合。 (2)軸力的符號用 FN 表示 (3)軸力的正負(fù)號規(guī)則 N F 拉力為正 N F F N FF 3 軸力及其符號規(guī)定 (4)軸力的單位: N(牛頓) KN( 千牛頓) N F

4、壓力為負(fù) N F F N F F 20KN 20KN40KN 1 1 2 2 20KN 20KN 1N F 0 1 N F 20KN 20KN40KN 1 1 2N F kNFN40 2 截面法求軸力例題1 FF 2F 2F 1 12 2 F 2F 2 2 F 截面法求軸力例題2 F F 21 1 23 3 10KN10KN 6KN 6KN 3 3 2 21 1 F A B 1 1 3F 2 2 C 2F 4KN 9KN3KN 2KN 4KN 5KN 2KN F 2F 軸力與截面位置關(guān)系的圖線稱為軸力圖. F 2F F 2F 2F y 350 F nn AyG F F N y 0 Ny FAy

5、F yAyFFNy46. 250 50KN 58.6KN 二 拉壓桿橫截面及斜截面上的應(yīng)力 A=10mm2 A=100mm2 10KN10KN 100KN 哪桿先破壞? 100KN 1 應(yīng)力的概念 (1)應(yīng)力的定義 應(yīng)力的定義: 應(yīng)力是內(nèi)力在截面上的分布集度。 工程構(gòu)件，大多數(shù) 情形下，內(nèi)力并非 均勻分布，集度的 定義不僅準(zhǔn)確而且 重要，因為“破壞” 或“失效”往往從 內(nèi)力集度最大處開 始。 F1 Fn F3 F2 (2)應(yīng)力的三要素:截面、點、方向 1 應(yīng)力的概念 受力物體內(nèi)各截面上每點的應(yīng)力，一般是不相同的， 它隨著截面和截面上每點的位置而改變。因此，在說明 應(yīng)力性質(zhì)和數(shù)值時必須要說明它所

6、在的位置。 F1 F2 A D DF FQy FQz FN1 應(yīng)力的概念 (3)全應(yīng)力及應(yīng)力分量 全應(yīng)力 正應(yīng)力 剪應(yīng)力 dA dF A F NN A D D D0 lim dA dF A F QQ A D D D0 lim A F p A D D D0 lim (4) 應(yīng)力的單位 應(yīng)力是一向量，其量綱是力/長度。應(yīng)力的國際單 位為牛頓/米，稱為帕斯卡，簡稱帕(Pa). 1 應(yīng)力的概念 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa1N/mm2 1GPa=109Pa 研究方法： FF a b c d a b c d cdab / 變形前： 變形后：變形后：dcbacdab/ 2 拉壓桿橫截面上的應(yīng)力

7、 (2)作出假設(shè):橫截面在變形前后均保持為一平面平面假設(shè) 橫截面上每一點的軸向變形相等。 2 拉壓桿橫截面上的應(yīng)力 (3)理論分析 橫截面上應(yīng)力為均勻分布，以表示。 FF FN=F F F 根據(jù)靜力平衡條件： 即 A FN AAddFF A N A FN 的適用條件: 只適用于軸向拉伸與壓縮桿件，即桿端處力的合 力作用線與桿件的軸線重合。 只適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面。 (4) 實驗驗證 圣維南原理:力作用于桿端的分布方式的不同，只影響桿 端局部范圍的應(yīng)力分布，影響區(qū)的軸向范圍約離桿端12個 桿的橫向尺寸。 FF FXF F 斜截面上的正應(yīng)力；斜截面上的切應(yīng)力 n cosp cos A

8、 FN 2 cos sincos sinp 2sin 2 1 p FFF 3 拉(壓)桿斜截面上的應(yīng)力 p A FN A cos A 討論： 軸向拉壓桿件的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫 截面上。 軸向拉壓桿件的最大切應(yīng)力發(fā)生在與 桿軸線成450截面上。 在平行于桿軸線的截面上、均為零。 0 0) 1 max 0 45)2 2 1 max 0 90) 30 0 90 0 0 90 0 45 2 1 min F 0 45 0 45 0 45 0 45 切應(yīng)力互等定理 20KN 20KN40KN40KN 3 32 21 1 20kN 40kNMPa10 11 0 22 MPa20 33 FNAB FNBC M

9、Pa A F AB NAB AB 3 .28 MPa A F BC NBC BC 8 . 4 FFNAB 0 30sin NBCNAB FF 0 30cos C d A B F a 0 30 F DB C A aa a FNAB 02aFaF ABN FFNAB2 MPa A FNAB 150 20kN 18kN D E C 30 O B A 4m4m1m FNBC 以AB桿為研究對像0 A m05189 NAB F kNFNBC10 以CDE為研究對像 FNCD 0 E m 04208830sin 0 NBCNCD FF kNFNCD40 BC NBC BC A F CD NCD CD A

10、F 實驗： 設(shè)一懸掛在墻上的彈簧秤，施加初拉 力將其鉤在不變形的凸緣上。 若在彈簧的下端施加砝碼，當(dāng)所加砝 碼小于初拉力時，彈簧秤的讀數(shù)將保 持不變；當(dāng)所加砝碼大于初拉力時， 則下端的鉤子與凸緣脫開，彈簧秤的 讀數(shù)將等于所加砝碼的重量。 實際上，在所加砝碼小于初拉力時， 鉤子與凸緣間的作用力將隨所加砝碼 的重量而變化。凸緣對鉤子的反作用 力與砝碼重量之和，即等于彈簧秤所 受的初拉力。 在一剛性板的孔中裝置一螺栓,旋緊螺栓使其產(chǎn)生預(yù)拉力F0,然后, 在下面的螺母上施加外力F.假設(shè)螺栓始終處于彈性范圍,且不考慮加 力用的槽鋼的變形.試分析加力過程中螺栓內(nèi)力的變化. F F 長為b、內(nèi)徑d=200m

11、m、壁厚=5mm的薄壁圓環(huán)，承受p=2MPa的內(nèi) 壓力作用，如圖a所示。試求圓環(huán)徑向截面上的拉應(yīng)力。 b P P d d sin) 2 ( 0 d d pbFR 22 pbdF F R N A FN MPaPa m mPa 401040 )105(2 )2 . 0)(102( 6 3 6 b P P d d N F N F y mnd R Fd n m d pbd 0 sin 2 pbd d dd d22 pd b pbd 三 拉壓桿的強(qiáng)度條件 ()極限應(yīng)力 1) 材料的強(qiáng)度遭到破壞時的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力。 2) 極限應(yīng)力通過材料的力學(xué)性能試驗測定。 3) 塑性材料的極限應(yīng)力 4) 脆性材料的極

12、限應(yīng)力 b s ()安全系數(shù)n ) 對材料的極限應(yīng)力打一個折扣,這個折扣通常用 一個大于的系數(shù)來表達(dá),這個系數(shù)稱為安全系數(shù)。 ) 為什么要引入安全系數(shù) 準(zhǔn)確性 簡化過程和計算方法的精確性 材料的均勻性構(gòu)件的重要性 ) 安全系數(shù)的大致范圍 8 . 14 . 1 5 . 22 . 1 : s n 5 . 32 32 : b n ()容許應(yīng)力 ) 將極限應(yīng)力作適當(dāng)降低(即除以n),規(guī)定出桿件安全工 作的最大應(yīng)力為設(shè)計依據(jù)。這種應(yīng)力稱為容許應(yīng)力。 ) 容許應(yīng)力的確定 (n1) ) 塑性材料 ) 脆性材料 n n n n s n n b ()強(qiáng)度條件 ) 受載構(gòu)件安全與危險兩種狀態(tài)的轉(zhuǎn)化條件稱為強(qiáng)度條件

13、。 ) 拉（壓）桿的強(qiáng)度條件 ) 強(qiáng)度條件的意義，安全與經(jīng)濟(jì)的統(tǒng)一。 A FN 工作應(yīng)力 ()強(qiáng)度條件解決的三類問題： ) 強(qiáng)度校核 ) 截面設(shè)計 ) 確定容許荷載 1 2 C B A 1.5m 2m F 圖示結(jié)構(gòu)，鋼桿1：圓形截面，直徑d=16 mm,許用應(yīng) 力 ；桿2：方形截面，邊長 a=100 mm, ,(1)當(dāng)作用在B點的載荷 F=2 噸時，校核強(qiáng) 度；(2)求在B點處所 能 承受的許用載荷。 MPa150 1 MPa5 .4 2 解：解： 一般步驟：一般步驟： 外力外力內(nèi)力內(nèi)力 應(yīng)力應(yīng)力 利用強(qiáng)度條利用強(qiáng)度條 件校核強(qiáng)度件校核強(qiáng)度 F 1 1、計算各桿軸力、計算各桿軸力 1N F 2

14、N F 2 2N F 1 1N F sin cos 21 2 NN N FF FF , 4 3 1 （拉）FFN 解得解得 1 2 C B A 1.5m 2mF （壓）FFN 4 5 2 B 2、F=2 噸時，校核強(qiáng)度 1桿：桿： 2 3 1 1 1 4 8.9102 4 3 d A FN MPa8 .76 1 2桿：桿： 2 3 2 2 2 8.9102 4 5 aA FN MPa5 .2 2 因此結(jié)構(gòu)安全。 3、F 未知，求許可載荷F 各桿的許可內(nèi)力為 11max, 1 AFN 62 10150 4 d KN15.30 22max,2 AFN 62 105.4 a KN45 兩桿分別達(dá)到許

15、可內(nèi)力時所對應(yīng)的載荷 max,1max 3 4 N FFKN2.4015.30 3 4 1桿 max,2max 5 4 N FFKN3645 5 4 2桿： 確定結(jié)構(gòu)的許可載荷為 KNF36 分析討論： 和 是兩個不同的概念。因為結(jié)構(gòu)中各桿 并不同時達(dá)到危險狀態(tài)，所以其許可載荷是由最先 達(dá)到許可內(nèi)力的那根桿的強(qiáng)度決定。 F N F 圓截面等直桿沿軸向受力如圖示，材料為 鑄鐵，抗拉許用應(yīng)力 60Mpa，抗壓許用 應(yīng)力 120MPa，設(shè)計橫截面直徑。 c t 20KN20KN30KN30KN 20KN 30KN t d 4 1020 2 1 3 mmd t 6 .20 10204 3 1 mmd6

16、 .20 1 c d 4 1030 2 2 3 mmd c 8 .17 10304 3 2 mmd8 .17 2 mmd21 圖示石柱橋墩，壓力F=1000kN，石料重度g=25kN/m3，許用 應(yīng)力=1MPa。試比較下列三種情況下所需石料面積（1）等截 面石柱；（2）三段等長度的階梯石柱；（3）等強(qiáng)度石柱（柱的 每個截面的應(yīng)力都等于許用應(yīng)力） 15m F 5m F 5m5m F 采用等截面石柱 gAlFFN A FN A gAlF gl A F gl F A mmNmN N 15/1025/101 101000 3326 3 2 6 . 1 m AlV 1 mm156 . 1 2 3 24m

17、 15m F N F 采用三段等長度階梯石柱 111 lgAFFN 22112 lgAlgAFFN 3322113 lgAlgAlgAFFN 1 1 gl F A mmNmN N 5/1025/101 101000 3326 3 2 14. 1m 2 11 2 gl lgAF A mmNmN mmmNN 5/1025/101 514. 1/1025101000 3326 2333 2 31. 1m 3 2211 3 gl lgAlgAF A mmNmN mmmNmmmNN 5/1025/101 531. 1/1025514. 1/1025101000 3326 2332333 13212 lA

18、AAVmmmm549. 131. 141. 1 222 3 7 .19 m 5m F 5m5m 1N F 2 49. 1m 2N F 3N F 采用等強(qiáng)度石柱 xA xF x N dxxgAxAxdAxA dxxgAxdA dx g xA xdA x g AxA exp 0 A0：橋墩頂端截面的面積 F A 0 26 3 /101 101000 mN N 2 1m gl AlAexp 0 26 33 2 /101 15/1025 exp1 mN mmN m 2 45. 1m GFlFN 3 gVG lA GF FlAG 3 V g G g FlA 33 326 /1025 10100045.

19、1101 mN NmPa 3 18m 18:7 .19:24 這種設(shè)計使得各截面的正應(yīng) 力均達(dá)到許用應(yīng)力，使材料 得到充分利用。 F x dx dxxgA)( 圖示三角形托架，AC為剛性桿，BD為斜撐桿，荷載F可沿水平梁移動 。為使斜撐桿重量為最輕，問斜撐桿與梁之間夾角應(yīng)取何值？不考 慮BD桿的穩(wěn)定。 l h A D B F C 設(shè)F的作用線到A點的距離為x x 取ABC桿為研究對象 FNBD 0 A m0sinhctgFFx NBD cosh Fx FNBD Lx cos max h FL FNBD BD桿： NBD BD F A cosh FL BDBDBD LAV sincos h h

20、FL 2sin 2FL 0 45 min V 一縱向變形虎克定律 二橫向變形泊松比 三剛度條件 四變形和位移的概念 五節(jié)點位移圖繪制及位移計算 一縱向變形虎克定律 1 線變形反映桿的總變形，但無法說明桿的變形程度 l FF 1 l 縱向的絕對變形lllD 1 2 線應(yīng)變反映桿單位長度的變形，即反映桿的變形 程度。 縱向的相對變形（軸向線變形） l lD A Fl l D 引入比例常數(shù)E,則 EA Fl l D EA lF N （虎克定律） E表示材料彈性性質(zhì)的一個常數(shù)，稱為拉壓彈 性模量，亦稱楊氏模量。單位：Mpa、Gpa. 例如一般鋼材: E=200GPa。 3 虎克定律 實驗證明： E 虎

21、克定律另一形式： 虎克定律的適用條件： （1）材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即（ 稱為比例極限）； p p （2）在計算桿件的伸長Dl 時，l長度內(nèi)其 均應(yīng)為常數(shù)，否則應(yīng)分段計算或進(jìn)行積分。例如 AEF N , DlEA,EA桿件的抗拉壓剛度 O 3F4F2F BC D 1） 3 3 1 1 2 2 (OB段、段、BC段、段、 CD段長度均為段長度均為l.) 應(yīng)分段計算總變形。應(yīng)分段計算總變形。 D n i ii iNi AE lF l 1 即即 CDBCoB llllDDDD O 3F4F2F BC D 1） 3 3 1 1 2 2 (OB段、段、BC段、段、 CD段長度均為段長度均為l.) 3

22、3 2 2 1 1 EA lF EA lF EA lF NNN EA Fl AE Fl AE Fl2 )2( )( )2( 3 EA Fl3 2） 考慮自重的混凝土的變形?？紤]自重的混凝土的變形。 q D l N EA dxxF l )( b 1 b 橫向絕對變形橫向絕對變形bbbD 1 橫向相對變形橫向相對變形 b bb b b D 1 泊松比泊松比 實驗結(jié)果表明：實驗結(jié)果表明： - 或 l FF 1 l 拉(壓)桿的剛度條件 根據(jù)剛度條件，可以進(jìn)行剛度校核、截面設(shè)計及 確定許可載荷等問題的解決。 llDD許可變形 1變形構(gòu)件受外力作用后要發(fā)生形狀和尺寸的改變。 2位移變形后構(gòu)件上的點、線、

23、面發(fā)生的位置改變。 3變形和位移的關(guān)系產(chǎn)生位移的原因是構(gòu)件的變形, 構(gòu)件變形的結(jié)果引起構(gòu)件上點、線、面的位移。 桁架的節(jié)點位移 桁架的變形通常以節(jié)點位移表示。 1 2 C B A 1.5m 2m F 求節(jié)點B的位移。 F B 1N F 2N F 解： 1、利用平衡條件求內(nèi)力 1 2 B A C 1 B 1 lD B B 90 2、沿桿件方向繪出變形 注意：變形必須與內(nèi)力一致。 拉力伸長；壓力縮短 3、以垂線代替圓弧，交 點即為節(jié)點新位置。 4、根據(jù)幾何關(guān)系求出 水平位移（ ）和 垂直位移（ ）。 1 BB 1 B B 2 lD 2 B 11 lBB H DD 1 2 B A C 1 B 1 l

24、D 2 B 2 lD B 90 1.5m 2m 11 11 AE lF N 1 BB V D F D FBFB 1 FBBD tg ll l cos sin 21 2 DD D mm5223.0 mm157.1 已知已知 ,10,210 21 GPaEGPaE 3 4 5.1 2 tg tg ll 12 sin D D Bbe acd A ae. 因各條縱向纖維的應(yīng)變相等，所以上邊纖維長，伸長量也大。 F BC A LL F EA FL LAB B Dd d EA FL BC d dd d B1 C1 D F C A L L a B 22 剛桿 1. 已知 a LCDD aLCD D aLCD

25、 B d d22D 2. 已知EA EA aF L NCD CD D 0 A m 0 2 LFF L NCD FFNCD2 EA Fa LCD B 4 2Dd d NCD F A C F B 12 A 0X FNAC FNAB 0sinsin NABNAC FF 0Y 0coscosFFF NABNAC cos2 F FF NABNAC cos2EA FL EA LF LL NAC ACAB DD A AC LD AB LD A AA A d d cos AC LD 2 cos2EA FL 06265 3 30cos1025 4 10101.22 210100 mm3.1 A D F B a L/2L/2 C B1 C 1 C 11 2CCBB B d d 1 CC cos CC cos CD LD 0 A m CD FLLF cos 2 1 cos 2F FNCD EA LF L CDNCD CD D 2 cos 2 EA aF d d 3 cos 4 E