圓錐曲線解題小技巧[青苗教育]

1、1、巧設(shè)方程、巧設(shè)方程 2、巧用定義、巧用定義 3、設(shè)而不求、設(shè)而不求 4、換元法、換元法 5、參數(shù)法、參數(shù)法 6、點(diǎn)差法、點(diǎn)差法 1、巧設(shè)方程、巧設(shè)方程 （1）與橢圓）與橢圓 有公共焦點(diǎn)的橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓 方程可設(shè)為：方程可設(shè)為： )0, 0( 1 22 nm n y m x 1 22 kn y km x 訓(xùn)練題訓(xùn)練題1、過點(diǎn)、過點(diǎn) 且與橢圓且與橢圓 有公共焦點(diǎn)有公共焦點(diǎn) 的橢圓方程是的橢圓方程是 1 95 22 yx )3 ,5(A 1 539535 22 yx 1、巧設(shè)方程、巧設(shè)方程 （2）與雙曲線）與雙曲線 有公共焦點(diǎn)的雙曲線有公共焦點(diǎn)的雙曲線 方程可設(shè)為：方程可設(shè)為： )0( 1

2、 22 mn n y m x )0( 1 22 mn kn y km x 訓(xùn)練題訓(xùn)練題2、過點(diǎn)、過點(diǎn) 且與雙曲線且與雙曲線 有公共焦點(diǎn)有公共焦點(diǎn) 的雙曲線方程是的雙曲線方程是 1 95 22 yx 1 14314314 22 yx )3 ,5(A 1、巧設(shè)方程、巧設(shè)方程 （3）與雙曲線）與雙曲線 有漸近線的雙曲線有漸近線的雙曲線 方程可設(shè)為：方程可設(shè)為： )0( 1 22 mn n y m x )0( 22 mnk n y m x 訓(xùn)練題訓(xùn)練題3、過點(diǎn)、過點(diǎn) 且與雙曲線且與雙曲線 有公共有公共 漸近線的雙曲線方程是漸近線的雙曲線方程是 1 95 22 yx 1 1810 22 yx )33 ,

3、5(A 1、巧設(shè)方程、巧設(shè)方程 （4）已知漸近線方程為）已知漸近線方程為 雙曲線雙曲線 的的 方程可設(shè)為：方程可設(shè)為： )0( 222 kkxmy )0(mmxy 訓(xùn)練題訓(xùn)練題4、過點(diǎn)、過點(diǎn) 且漸近線方程為且漸近線方程為 的雙曲的雙曲 線方程是線方程是 xy3 )33 ,5(A 1 124 22 yx 1、巧設(shè)方程、巧設(shè)方程 （5）經(jīng)過兩點(diǎn)，但不知道焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)）經(jīng)過兩點(diǎn)，但不知道焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn) 方程可設(shè)為：方程可設(shè)為： )0( 1 22 mnnymx)0( 1 22 mnnymx 訓(xùn)練題訓(xùn)練題5、已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且、已知雙曲線的

4、中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且 經(jīng)過兩點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn) ，求此雙曲線的方程。，求此雙曲線的方程。 )24 , 6(),2,6( 21 PP 1 44 22 yx 2、巧用定義、巧用定義 圓錐曲線的問題中，如果涉及到焦半徑，就應(yīng)該想到定義圓錐曲線的問題中，如果涉及到焦半徑，就應(yīng)該想到定義 訓(xùn)練題：訓(xùn)練題： 1、已知、已知 為橢圓為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 的直的直 線交橢圓于線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若 ，則，則|AB|= 21,F F1 925 22 yx 1 F 12| 22 BFAF 2、已知、已知 為橢圓為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在橢圓上，則在橢圓上，則 的最大值

5、是，的最大值是，最小值是最小值是 21,F F )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x | 21 PFPF 8 2 a 2 b 3、已知、已知 為雙曲線為雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線在雙曲線 上，若上，若 ， 則則 的面積為的面積為 21,F F1 12 2 2 y x 2、巧用定義、巧用定義 2:3|:| 21 PFPF 21F PF 12 4、已知、已知 為雙曲線為雙曲線 的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在雙曲線的右支上，且在雙曲線的右支上，且 ， 則則 此雙曲線的離心率此雙曲線的離心率 的最大值是的最大值是 21,F F )0, 0( 1 2 2 2 2 ba

6、 b y a x |4| 21 PFPF e 3 5 5、已知、已知 為雙曲線為雙曲線 的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) 是是 定點(diǎn)，點(diǎn)定點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則在雙曲線的右支上，則 的最小值是的最小值是 21,F F 1 124 22 yx )4 , 1 (A | 1 PAPF 9 2、巧用定義、巧用定義 6、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)P在拋物線在拋物線 上，那么點(diǎn)上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q(2,-1)的距離的距離 與點(diǎn)與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 xy4 2 ) 1, 4 1 ( 7、如果、如果 是拋物線是拋物線 上的點(diǎn)，它們的橫坐上

7、的點(diǎn)，它們的橫坐 標(biāo)依次為標(biāo)依次為 ，成等差數(shù)列，且，成等差數(shù)列，且 ， 若若F是拋物線的焦點(diǎn)，則是拋物線的焦點(diǎn)，則 n PPP, 21 xy4 2 n xxx, 21 45 921 xxx | 5F P 6 3、設(shè)而不求、設(shè)而不求 訓(xùn)練題：訓(xùn)練題： 1、已知拋物線方程為、已知拋物線方程為 ，直線，直線 過拋物線的焦點(diǎn)過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長為且被拋物線截得的弦長為3，求，求 的值。的值。 )0)(1(2 2 pxpymyxl: p 4 3 p 直線直線 與圓錐曲線交于兩點(diǎn)與圓錐曲線交于兩點(diǎn) ， 則：則： bkxy ),(),( 2211 yxByxA 4)(1 (| 21 2 2

8、1 2 xxxxkAB 2、已知橢圓、已知橢圓 ，過左焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為作傾斜角為 的直線交的直線交 橢圓于橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦AB的長。的長。 1 9 2 2 y x 6 2 4、點(diǎn)差法：、點(diǎn)差法： 訓(xùn)練題：訓(xùn)練題： 1、橢圓、橢圓 的一條弦被點(diǎn)的一條弦被點(diǎn)A(4,2)平分，則該弦所在平分，則該弦所在 的直線方程是的直線方程是 1 936 22 yx 082yx 2、正方形、正方形ABCD中，一條邊中，一條邊AB在直線在直線 上，另外兩上，另外兩 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)C、D在拋物線在拋物線 上，求正方形的面積。上，求正方形的面積。 4 xy xy 2 18或或50 5、換元法：、

9、換元法： 訓(xùn)練題：訓(xùn)練題： 1、在橢圓、在橢圓 上求一點(diǎn)，使它到該橢圓的右焦點(diǎn)的距上求一點(diǎn)，使它到該橢圓的右焦點(diǎn)的距 離最小。離最小。 1 936 22 yx 2、已知橢圓、已知橢圓 ，過左焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為作傾斜角為 的直線交的直線交 橢圓于橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦AB的長。的長。 1 9 2 2 y x 6 2 （6，0） 6、參數(shù)法（函數(shù)的思想）：、參數(shù)法（函數(shù)的思想）： 例、已知例、已知 為橢圓為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在橢圓上，則在橢圓上，則 的最大值是，的最大值是，最小值是最小值是 21,F F)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x | 21

10、 PFPF 2 a 2 b 6、參數(shù)法（函數(shù)的思想）：、參數(shù)法（函數(shù)的思想）： 訓(xùn)練題：訓(xùn)練題： 1、（、（09福建高考）已知直線福建高考）已知直線 經(jīng)過橢圓經(jīng)過橢圓C： 的左頂點(diǎn)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)D，橢圓，橢圓C的右頂點(diǎn)為的右頂點(diǎn)為 B，點(diǎn)，點(diǎn)S是橢圓是橢圓C上位于上位于 軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線與直線 分別交于分別交于M、N兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， （1）求橢圓）求橢圓C的方程；的方程； （2）求線段）求線段MN的長度的最小值；的長度的最小值； （3）當(dāng)線段）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓的長度最小時(shí)，在橢圓C是否存在這樣的點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)T， 使得使得 TSB的

11、面積為的面積為 ，若存在，確定點(diǎn)，若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，的個(gè)數(shù)，若不存在， 說明理由。說明理由。 022yx )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x x 3 10 :xl 5 1 解析：解析： （1） 1 14 22 yx （2）設(shè)直線）設(shè)直線AS的方程為的方程為)0)(2(kxky ) 3 1 , 3 10 (), 41 4 , 41 82 ( 22 2 k N k k k k S 3 8 3 1 3 16 | k k MN 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取得等號(hào)。時(shí)，取得等號(hào)。 k k 3 1 3 16 （3）|MN|最小時(shí)，最小時(shí)， 4 1 k 5 24 |), 5 4 ,

12、 5 6 (, 02:BSSyxBS TSB的面積為的面積為 5 1 點(diǎn)點(diǎn)T到直線到直線SB的距離為的距離為 4 2 T就是與就是與SB平行且到平行且到SB的距離為的距離為 的直線與橢圓的交點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn) 4 2 6、參數(shù)法（函數(shù)的思想）：、參數(shù)法（函數(shù)的思想）： 訓(xùn)練題：訓(xùn)練題： 2、已知、已知 為雙曲線為雙曲線 的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在雙曲線的右支上，且在雙曲線的右支上，且 ， 則則 此雙曲線的離心率此雙曲線的離心率 的最大值是的最大值是 21,F F )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x |4| 21 PFPF e 3 5 選擇：選擇： 為參數(shù)為參數(shù) 2

13、1 cosPFF 3. . 若橢圓若橢圓 的離心率為的離心率為 ，則雙，則雙 曲線曲線 的離心率是的離心率是 4 4 拋物線拋物線 的準(zhǔn)線方程為的準(zhǔn)線方程為 5. 5. 拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y y軸上，其上一軸上，其上一 點(diǎn)點(diǎn)P(P(m，1)1)到焦點(diǎn)距離為到焦點(diǎn)距離為5 5，則拋物線方程為，則拋物線方程為 01 2 2 2 2 ba b y a x 2 3 1 2 2 2 2 b y a x 2 6 1 xy 2 5 2 3 y yx16 2 22 1 94 xy kk 14k 例題講解 例例1.1. 根據(jù)下列條件判斷方程根據(jù)下列條件判斷方程 表表 示什么曲線：示

14、什么曲線： 2 49k 1 925 22 yx 例例2.2. 已知點(diǎn)已知點(diǎn)P是橢圓是橢圓 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，F(xiàn)1 1和和F2 2 是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)， 0 1212 0 1212 1212 190 , 260 , 3, FPFFPF FPFFPF FPFFPF 若求的面積； 若求的面積； 若求的面積 變式1. 1 916 22 yx 若將橢圓改為雙曲線若將橢圓改為雙曲線 呢？呢？ 變式變式2.2.已知已知F1 1，F(xiàn)2 2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓為橢圓 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，F(xiàn)1 1MF2 26060. . (1)(1)求橢圓離心率的范圍；求橢圓離心率的范圍； (2)(2)

15、求證求證F1 1PF2 2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)的面積只與橢圓的短軸長有關(guān). . 例例3.3.已知圓已知圓C1 1的方程為的方程為: : 橢圓橢圓C2 2的方程為的方程為: : C2 2的離心率為的離心率為 ，若，若C1 1與與C2 2相交于相交于A，B 兩點(diǎn)，且線段兩點(diǎn)，且線段AB恰好為圓恰好為圓C1 1的直徑，求直線的直徑，求直線 AB的方程和橢圓的方程和橢圓C2 2的方程的方程. . 22 20 (2)(1) 3 xy 22 22 1(0) xy ab ab 2 2 4 2 -2 -4 -55 B A 例例4. (1)4. (1)已知?jiǎng)訄A已知?jiǎng)訄AA過定圓過定圓B： 的圓心，且與定圓的

16、圓心，且與定圓C： 相內(nèi)切，相內(nèi)切， 求求ABC面積的最大值面積的最大值 （2 2）在（）在（1 1）的條件下，給定點(diǎn)）的條件下，給定點(diǎn)P(-2,2), (-2,2), 求求 的最小值的最小值 （3 3）在（）在（2 2）的條件下求）的條件下求| |PA| | |AB| |的最小值的最小值 22 670 xyx 22 6910 xyx 5 3 PAAB 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 1. 方程方程 表示橢圓，則表示橢圓，則 的取值范圍是的取值范圍是 2拋物線拋物線y22x上到直線上到直線xy30的的 距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為_. 1 (,1 ) 2 22 1 3 sin(2) 4 xy Z

17、 8 , 8 5 kkk 4 4設(shè)直線設(shè)直線 ，定點(diǎn)，定點(diǎn)A ，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到到 直線直線l的距離為的距離為d d，且，且 求動(dòng)點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)P的的 軌跡方程軌跡方程 6 37 :xl )0 , 3( 2 3| d PA 1 4 1 ) 2 3 ( 2 2 y x 3. 橢圓橢圓 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F1和和F2，點(diǎn)，點(diǎn)P在在 橢圓上，如果線段橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在的中點(diǎn)在y軸上，那么軸上，那么 |PF1|是是|PF2|的的 倍倍 1 312 22 yx 7 鞏固練習(xí) 課后作業(yè) 2 1 1 1如果方程如果方程 表示雙曲線，則實(shí)數(shù)表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是的取值范圍是 1 -21- 22 m y m x 2.2.一個(gè)橢圓的離心率一個(gè)橢圓的離心率是是 ，準(zhǔn)線方程是，準(zhǔn)線方程是x4 4，對(duì)，對(duì) 應(yīng)的焦點(diǎn)應(yīng)的焦點(diǎn)F(2,0)(2,0)，則橢圓的方程，則橢圓的方程_. _. 3 3過拋物線過拋物線y2 24 4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A( (x1 1, ,y