第八章 應力狀態(tài)分析和強度理論材料力學

1、第第 八八 章章 應力狀態(tài)分析和強度理論 1.一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài) 桿件中不同橫截面上的內力一般不相同，同一橫截面上不同點桿件中不同橫截面上的內力一般不相同，同一橫截面上不同點 的應力一般不相同，同一點不同方位的截面上的應力一般不相同的應力一般不相同，同一點不同方位的截面上的應力一般不相同 這種應力情況即為點的應力狀態(tài)。這種應力情況即為點的應力狀態(tài)。 2.用單元體表示點的應力狀態(tài)用單元體表示點的應力狀態(tài) 應力狀態(tài)概述應力狀態(tài)概述 3.基本變形中點的應力狀態(tài)初步分析基本變形中點的應力狀態(tài)初步分析 (1) 軸向拉伸和壓縮：軸向拉伸和壓縮： (2) 扭轉扭轉： (3) 彎曲：彎曲： 4.主平

2、面和主應力主平面和主應力 剪應力為零的平面為主平面；主平面上的正應力稱主應力，剪應力為零的平面為主平面；主平面上的正應力稱主應力， 按代數(shù)值大小順序排列分別是按代數(shù)值大小順序排列分別是1、2 和和3 5.應力狀態(tài)的分類應力狀態(tài)的分類 單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不為零；單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不為零； 二向應力狀態(tài)：只有二個主應力不為零；二向應力狀態(tài)：只有二個主應力不為零； 三向應力狀態(tài)：三個主應力均不為零；三向應力狀態(tài)：三個主應力均不為零； 1.應力分量及其符號的規(guī)定應力分量及其符號的規(guī)定 正應力規(guī)定與截面外法線正應力規(guī)定與截面外法線 方向一致為正，反之為負；方向一致為正，反之為負； 剪

3、應力規(guī)定對單元體內任剪應力規(guī)定對單元體內任 一點的矩順時針為正，反一點的矩順時針為正，反 之為負；之為負； 2 2 二向應力狀態(tài)分析二向應力狀態(tài)分析 2.斜截面上的應力斜截面上的應力 列出平衡方程：列出平衡方程： 由剪應力互等定理由剪應力互等定理 整理得：整理得： 由上面兩式可得：由上面兩式可得： 這是關于這是關于和和的圓方程；的圓方程； 圓心坐標是圓心坐標是半徑是半徑是 3.應力圓應力圓 以橫坐標表示正應力，縱坐標表示剪應力，畫出二向應力狀態(tài)的應力圓以橫坐標表示正應力，縱坐標表示剪應力，畫出二向應力狀態(tài)的應力圓 4.應力圓與單元體之間的對應關系應力圓與單元體之間的對應關系 (1)應力圓上的每

4、一點對應單元體上互成應力圓上的每一點對應單元體上互成1800的二個面上的應力狀態(tài)；的二個面上的應力狀態(tài)； (2)應力圓上的點按某一方向轉動應力圓上的點按某一方向轉動2角度，單元體上的面按相同方向轉動角度，單元體上的面按相同方向轉動角度；角度； (3)應力圓與應力圓與軸的交點代表主平面上的應力；軸的交點代表主平面上的應力； (4)應力圓上代表主平面的點轉動應力圓上代表主平面的點轉動900得到剪應力極值點；單元體上主平面轉動得到剪應力極值點；單元體上主平面轉動450得到剪得到剪 應力極值平面；應力極值平面； 主應力的值主應力的值： 主應力所在截面方位：主應力所在截面方位： 剪應力的極值剪應力的極值

5、 剪應力極值平面與主平面的夾角為剪應力極值平面與主平面的夾角為450；兩個剪應力極值平面之間的夾角是；兩個剪應力極值平面之間的夾角是900 剪應力的極值所在截面方位剪應力的極值所在截面方位 4.基本變形應力狀態(tài)的應力圓基本變形應力狀態(tài)的應力圓 (1)軸向拉伸和壓縮：軸向拉伸和壓縮： (2)扭轉扭轉： (3)彎曲：彎曲： 例例1.在圖示各單元體中，試用解析法和應力圓求斜面在圖示各單元體中，試用解析法和應力圓求斜面ab上的應力。應力單位為上的應力。應力單位為MPa。 解：（解：（a） （1）應力分量）應力分量 （2）用解析法求斜截面上的應力）用解析法求斜截面上的應力 （3）應力圓）應力圓 （70、

6、0） （-70、0）600 (35,36.5) （d） （1）應力分量）應力分量 （2）用解析法求斜截面上的應力）用解析法求斜截面上的應力 （3）應力圓）應力圓 例例2 已知圖示的單元體上的應力為已知圖示的單元體上的應力為 x=80MPa,y=-40MPa,xy=-60MPa ；求主應力、；求主應力、 主平面、剪應力極值和極值平面，并在單元體上表示出來。主平面、剪應力極值和極值平面，并在單元體上表示出來。 解：解： (1)求主平面：求主平面： (2)求主應力：求主應力： 按代數(shù)值大小排列：按代數(shù)值大小排列： (3)求剪應力的極值和位置求剪應力的極值和位置 1=0+45o=67.5o，對應，對應

7、max 1.三向應力圓三向應力圓 1 3 2 應力圓上及陰影內的點與三向應力狀態(tài)單元體中某一截面相對應應力圓上及陰影內的點與三向應力狀態(tài)單元體中某一截面相對應 從此可知：從此可知： 3 3 三向應力狀態(tài)簡介三向應力狀態(tài)簡介 例例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：。試求： （1）主應力大小，主平面位置；（）主應力大小，主平面位置；（2）在單元體上給出主平面位置及主應力方向；）在單元體上給出主平面位置及主應力方向； （3）最大剪應力。）最大剪應力。 解：解： （1）應力分量）應力分量 應力圓應力圓 （2）求主平面位置和主應力大?。┣笾髌矫?/p>

8、位置和主應力大小 例例3.已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為已知應力狀態(tài)如圖所示，圖中的應力單位為MPa。試求：。試求： （1）主應力大小，主平面位置；（）主應力大小，主平面位置；（2）在單元體上給出主平面位置及主應力方向；）在單元體上給出主平面位置及主應力方向； （3）最大剪應力。）最大剪應力。 解：解： （2）求主平面位置和主應力大?。┣笾髌矫嫖恢煤椭鲬Υ笮?（3）最大剪應力）最大剪應力 例例4.薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NNm，且，且d=50mm， =2mm。試求：（試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（點在

9、指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，點主應力的大小及方向， 并用單元體表示。并用單元體表示。 解：（解：（1）A點的應力狀態(tài)點的應力狀態(tài) 屬二向應力狀態(tài)，應力分量是屬二向應力狀態(tài)，應力分量是 例例4.薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如圖所示。若拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NNm，且，且d=50mm， =2mm。試求：（試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（點在指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，點主應力的大小及方向， 并用單元體表示。并用單元體表示。 （2）斜截面的應力：）斜截面的應力： 例例4.薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉-拉伸示意圖如

10、圖所示。若拉伸示意圖如圖所示。若P=20kN，T=600NNm，且，且d=50mm， =2mm。試求：（試求：（1）A點在指定斜截面上的應力。（點在指定斜截面上的應力。（2）A點主應力的大小及方向，點主應力的大小及方向， 并用單元體表示。并用單元體表示。 （3）主方向）主方向 （4）主應力）主應力 （5）主單元體）主單元體 1.應變疊加原理應變疊加原理 各向同性材料在小變形的情況下，當應力不超過比例極限，則線應變只與正各向同性材料在小變形的情況下，當應力不超過比例極限，則線應變只與正 應力有關，剪應變只與剪應力有關，且由正應力引起的某一方向上的應變應力有關，剪應變只與剪應力有關，且由正應力引起

11、的某一方向上的應變 可以疊加；可以疊加； 2.主方向上的廣義主方向上的廣義 胡克定律胡克定律 由由1 引起三個主方向的線應變?yōu)椋阂鹑齻€主方向的線應變?yōu)椋?由由2 引起三個主方向的線應變?yōu)椋阂鹑齻€主方向的線應變?yōu)椋?由由3 引起三個主方向的線應變?yōu)椋阂鹑齻€主方向的線應變?yōu)椋?4 4 廣義胡克定律廣義胡克定律 疊加后得：疊加后得： 此即為廣義胡克定律在三個主方向上的表達式此即為廣義胡克定律在三個主方向上的表達式 3.一般形式的廣義胡克定律一般形式的廣義胡克定律 例例5 圖示鋼軸上作用一個力偶圖示鋼軸上作用一個力偶M=2500 Nm，已知，已知D=60 mm，E=210 GPa，=0.28；

12、圓軸表面上任一點與母線成圓軸表面上任一點與母線成=300方向上的正應變。方向上的正應變。 解：解： (1)取取A點的單元體，應力狀態(tài)為：點的單元體，應力狀態(tài)為： xy xy (2)求斜截面上的正應力求斜截面上的正應力 (3)計算斜截面上的應變計算斜截面上的應變 例例5. 列車通過鋼橋時用變形儀量得鋼橋橫梁列車通過鋼橋時用變形儀量得鋼橋橫梁A點的應變?yōu)辄c的應變?yōu)?x=0.0004， y= -0.00012。 試求試求A點在點在x-x和和y-y方向的正應力。設方向的正應力。設E=200GPa，=0.3。 解：根據(jù)廣義虎克定義：解：根據(jù)廣義虎克定義： 解得解得 例例6.在一體積較大的鋼塊上開一個貫通

13、的槽，其寬度和深度皆為在一體積較大的鋼塊上開一個貫通的槽，其寬度和深度皆為10mm。在槽內緊密無隙。在槽內緊密無隙 地嵌入一鋁質立方塊，尺寸為地嵌入一鋁質立方塊，尺寸為10mm10mm10mm。當鋁塊受到壓力。當鋁塊受到壓力P=6kN的作用時，的作用時， 假設鋼塊不變形，鋁的彈性模量假設鋼塊不變形，鋁的彈性模量E=70GP, =0.33。試求鋁塊的三個主應力及相應的變形。試求鋁塊的三個主應力及相應的變形。 解：（解：（1）z方向的應力方向的應力 （2）x面是自由面，面是自由面，x方向的正應力為零，即方向的正應力為零，即 （3）y方向的線應變?yōu)榱惴较虻木€應變?yōu)榱?（4）x 、y、z三個方向是主方

14、向，主應力是三個方向是主方向，主應力是 （5）三個方向的線應變和變形）三個方向的線應變和變形 1.材料因強度不足發(fā)生破壞的基本類型材料因強度不足發(fā)生破壞的基本類型 屈服破壞；屈服破壞； 斷裂破壞；斷裂破壞； 2.強度理論的提出強度理論的提出 材料發(fā)生強度破壞是由于應力、應變、應變能等某一因素引起的，與應力狀態(tài)材料發(fā)生強度破壞是由于應力、應變、應變能等某一因素引起的，與應力狀態(tài) 是簡單還是復雜沒有關系；這些假設稱為強度理論；運用強度理論，可以由是簡單還是復雜沒有關系；這些假設稱為強度理論；運用強度理論，可以由 簡單應力狀態(tài)下的實驗結果，建立復雜應力狀態(tài)的強度條件；簡單應力狀態(tài)下的實驗結果，建立復

15、雜應力狀態(tài)的強度條件； 3.四種常用的強度理論四種常用的強度理論 (1)最大拉應力理論最大拉應力理論(第一強度理論第一強度理論)： 發(fā)生斷裂破壞的主要因素是最大拉應力；通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到斷裂發(fā)生斷裂破壞的主要因素是最大拉應力；通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到斷裂 破壞的極限應力破壞的極限應力b ，由此得到許用應力：，由此得到許用應力： 它也可用于發(fā)生這種破壞形式的復雜應力狀態(tài)，強度條件是：它也可用于發(fā)生這種破壞形式的復雜應力狀態(tài)，強度條件是： 5 5 強度理論概述強度理論概述 2)最大伸長線應變理論最大伸長線應變理論(第二強度理論第二強度理論)： 發(fā)生斷裂破壞的主要因素是最大伸長線應變；在簡

16、單應力狀態(tài)下，最大伸長發(fā)生斷裂破壞的主要因素是最大伸長線應變；在簡單應力狀態(tài)下，最大伸長 線應變的極限值是：線應變的極限值是： 它是通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到，將它應用于一般應力狀態(tài)，即它是通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到，將它應用于一般應力狀態(tài)，即 強度條件為：強度條件為： (3)最大剪應力理論最大剪應力理論(第三強度理論第三強度理論)： 發(fā)生屈服破壞的主要因素是最大剪應力；簡單應力狀態(tài)下，最大剪應力的發(fā)生屈服破壞的主要因素是最大剪應力；簡單應力狀態(tài)下，最大剪應力的 極限值是：極限值是： 它是通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到，將它應用于一般應力狀態(tài)，即它是通過簡單應力狀態(tài)的實驗得到，將它應用于一般應力狀

17、態(tài)，即 強度條件為強度條件為： (4)最大形狀改變比能理論最大形狀改變比能理論(第四強度理論第四強度理論)： 發(fā)生屈服破壞的主要因素是最大形狀改變比能；發(fā)生屈服破壞的主要因素是最大形狀改變比能； 強度條件是：強度條件是： 4.四個強度理論的統(tǒng)一式：四個強度理論的統(tǒng)一式： r 稱相當應力；稱相當應力； 例例7 薄壁鍋爐的內徑薄壁鍋爐的內徑D=1060 mm，壁厚，壁厚t=25 mm，蒸氣壓力，蒸氣壓力p=2.5 MPa，材料許用應力，材料許用應力 =40 MPa；按最大剪應力理論校核鍋爐的強度。；按最大剪應力理論校核鍋爐的強度。 解：解： (1)由橫截面分離體的平衡條件由橫截面分離體的平衡條件 (2)由縱截面分離體的平衡條件由縱截面分離體的平衡條件 (3)確定主應力確定主應力 例例8.鑄鐵薄管如圖所示。若管的外徑為鑄鐵薄管如圖所示。若管的外徑為200mm，厚度，厚度 t=15mm，內壓力，內壓力p=4MPa， P=200kN。鑄鐵的抗拉許用壓力。鑄鐵的抗拉許用壓力 t=30MPa， =0.25。試用第二強度理論和第一強度。試用第二強度理論和第一強度 理論校核薄管的強度。理論校核薄管的強度。 解：（解