一階線性微分方程及全微分方程

1、一階線性微分方程及全微分方程 )()(xQyxP dx dy 1.一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: , 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為. 上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng) 三、線性方程三、線性方程 例如例如, 2 xy dx dy ,sin 2 ttx dt dx , 32 xyyy, 1cos yy 線性的線性的; 非線性的非線性的. 一階線性微分方程及全微分方程 . 0)( yxP dx dy ,)(dxxP y dy ,)( dxxP y dy ,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為. )( dxxP Cey 1

2、. 線性齊次方程線性齊次方程 一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法 (使用分離變量法使用分離變量法) 一階線性微分方程及全微分方程 2. 線性非齊次方程線性非齊次方程 ).()(xQyxP dx dy 討論討論,)( )( dxxP y xQ y dy 兩邊積分兩邊積分,)( )( ln dxxPdx y xQ y ),( )( xvdx y xQ 為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxPxvy . )()( dxxPxv eey即即 非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式 與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比: ( ) ( ) v x Cu xe 一階線性微分方程及全微分方程 常數(shù)變易法常數(shù)

3、變易法 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. . 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換. ),()(xyxu原原未未知知函函數(shù)數(shù)新新未未知知函函數(shù)數(shù) 作變換作變換 dxxP exuy )( )( ,)()()( )()( dxxPdxxP exPxuexuy 一階線性微分方程及全微分方程 代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()( )( CdxexQxu dxxP ),()( )( xQexu dxxP 積分得積分得 一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxP eCdxexQy )()

4、( )( dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )( 對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次 方程通解方程通解 非齊次方程特解非齊次方程特解 一階線性微分方程及全微分方程 . sin1 的通解的通解求方程求方程 x x y x y , 1 )( x xP , sin )( x x xQ Cdxe x x e dx x dx x 11 sin Cdxe x x e xxlnln sin 解解:這是一階線性微分方程這是一階線性微分方程 例例1 1 )( , )()( CdxexQey dxxPdxxP 可得其通解為由公式 Cxdx x sin 1 .cos 1 Cx x 一階線性微分方程及全微分方程

5、 例例2 2 如圖所示，平行與如圖所示，平行與 軸的動(dòng)直線被曲軸的動(dòng)直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之 長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 . y )(xfy )0( 3 xxy )(xf ,)()( 23 0 yxdxxf x x yxydx 0 3 , 兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,3 2 xyy 解解 解此微分方程解此微分方程 x y ox P Q 3 xy )(xfy 一階線性微分方程及全微分方程 dxexCey dxdx 2 3 , 663 2 xxCe x , 0| 0 x y由由, 6 C得得 所求曲線為所求曲線為).222(3 2 xx

6、ey x 2 3xyy 一階線性微分方程及全微分方程 13. 2 . 5256例P 一階線性微分方程及全微分方程 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 n yxQyxP dx dy )()( )1 , 0( n 方程為線性微分方程方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程. 2、伯努利方程、伯努利方程 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n 解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程. 一階線性微分方程及全微分方程 , 1 n yz 令令，則則 dx dy yn dx dz n )1( ),()( 1

7、xQyxP dx dy y nn ),()1()()1(xQnzxPn dx dz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得 n yz 1 ，得，得兩端除以兩端除以 n y 代入上式代入上式 . )1)( )()1()()1( 1 CdxenxQe zy dxxPndxxPn n 一階線性微分方程及全微分方程 . 4 2 的通解的通解求方程求方程yxy xdx dy , 41 2 xy xdx dy y ,yz 令令 , 4 2 2 xz xdx dz , 2 2 C x xz解解得得 . 2 2 4 C x xy即即 解解，得，得兩端除以兩端除以 n y 例例 3 一階線性微分方程及全

8、微分方程 例例4 4 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程: : ;22. 1 2 2x xexyyy 解解 , 2 1 1 2 yxexyy x , 2)1(1 yyz 令令 ,2 dx dy y dx dz 則則 ,2 2 x xexz dx dz 222 Cdxexeez xdx x xdx 所求通解為所求通解為). 2 ( 2 2 2 C x ey x 一階線性微分方程及全微分方程 ; )(sin 1 . 2 2 x y xyxdx dy 解解 ,xyz 令令, dx dy xy dx dz 則則 , sin 1 ) )(sin 1 ( 22 zx y xyx

9、xy dx dz ,42sin2Cxzz 分離變量法得分離變量法得 ,代回代回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cxxyxy 一階線性微分方程及全微分方程 ; 1 . 3 yxdx dy 解解,uyx 令令, 1 dx du dx dy 則則 代入原式代入原式, 1 1 udx du 分離變量法得分離變量法得 ,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為 ,)1ln(Cyxy 1 1 yeCx y 或或 另解另解 . yx dy dx 方程變形為方程變形為 一階線性微分方程及全微分方程 小結(jié)小結(jié) 1.齊次方程齊次方程 2.線性非齊次方程線性非齊次方程 3.伯

10、努利方程伯努利方程 )( x y fy ;xuy 令令 ;)( )( dxxP exuy令令 ; 1 zy n 令令 一階線性微分方程及全微分方程 思考題思考題 求微分方程求微分方程 的通解的通解. yxyy y y sin2sincos cos 一階線性微分方程及全微分方程 思考題解答思考題解答 y yxyy dy dx cos sin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxy dy dx Cdyeyex yycoslncosln 2sin Cdy y yy y cos cossin2 cos .cos2cosyCy 一階線性微分方程及全微分方程 一、求下列微分方程的通解

11、一、求下列微分方程的通解: : 1 1、 x exyy sin cos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6( 2 y dx dy xy. . 二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、4,5cot 2 cos x x yexy dx dy ； 2 2、. 0,1 32 1 3 2 x yy x x dx dy 練練 習(xí)習(xí) 題題 一階線性微分方程及全微分方程 三三、設(shè)設(shè)有有一一質(zhì)質(zhì)的的量量為為 m質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)作作直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)從從速速度度等等于于零零 的的時(shí)時(shí)刻刻起起,有有一一個(gè)個(gè)與與運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向一一致致,大

12、大小小與與時(shí)時(shí)間間成成正正 比比(比比例例 1 k系系數(shù)數(shù)為為)的的力力作作用用于于它它,此此外外還還受受 一一與與速速度度成成正正比比(比比例例 2 k系系數(shù)數(shù)為為)的的阻阻力力作作用用,求求質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的速速度度與與時(shí)時(shí)間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系 . 四四、 求求下下列列伯伯努努利利方方程程的的通通解解: 1、 2 1 2 1 2 1 yxy x y ； 2、0)ln1( 3 dxxxyyxdy. 一階線性微分方程及全微分方程 五、五、 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的 方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: : 1 1、1 1

13、yxdx dy ； 2 2、1cossin2sin)1(sin2 22 xxxyxyy； 3 3、 x y xyxdx dy )(sin 1 2 . . 六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,0 10,2 )( x x xg, ,試求一連續(xù)函數(shù)試求一連續(xù)函數(shù))(xyy , ,滿滿 足條件足條件 0)0( y , ,且在區(qū)間且在區(qū)間 ),0 滿足上述方程滿足上述方程 . . 一階線性微分方程及全微分方程 練習(xí)題答案練習(xí)題答案 一、一、1 1、 x eCxy sin )( ； 2 2、Cyyx 2 lnln2； 3 3、 23 2 1 yCyx . . 二、二、1 1

14、、15sin cos x exy； 2 2、 1 1 33 2 2 x exxy. . 三、三、)1( 0 2 2 1 2 1 t m k e k mk t k k v . . 四、四、1 1、 Cxxy ； 2 2、) 3 2 (ln 3 2 3 2 2 xxC y x . . 一階線性微分方程及全微分方程 五五、1 1、Cxyx 2)( 2 ； 2 2、 Cx xy 1 sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. . 六六、 1,)1(2 10, )1(2 )( xee xe xyy x x . . 一階線性微分方程及全微分方程 四四.全微分方程及其求法全微分方程及其求法 1.1

15、.定義定義: : 0),(),( dyyxQdxyxP 則則 dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式 例如例如, 0 ydyxdx),( 2 1 ),( 22 yxyxu 稱為稱為 全微分方程全微分方程 或恰當(dāng)方程或恰當(dāng)方程 ,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程. . x Q y P 全微分方程全微分方程 一階線性微分方程及全微分方程 2.2.解法解法: : 0),(),( dyyxQdxyxP 應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān). x Q y P 通解為通解為 00 0 ( , )( ,)( , ) xy xy u x

16、 yP x y dxQ x y dy 00 0 (, )( , ), yx yx Q xy dyP x y dx ;),(Cyxu 全微分方程全微分方程 一階線性微分方程及全微分方程 . 0)3()3( 2323 的的通通解解 求求方方程程 dyyxydxxyx 解解,6 x Q xy y P 是全微分方程是全微分方程, yx dyyxdxyxyxu 0 3 0 23 )3(),( . 42 3 4 4 22 4 C y yx x 原方程的通解為原方程的通解為 , 42 3 4 4 22 4 y yx x 例例1 1 一階線性微分方程及全微分方程 .0 32 4 22 3 的的通通解解求求方方

17、程程 dy y xy dx y x 解解, 6 4 x Q y x y P 是全微分方程是全微分方程, 將左端重新組合將左端重新組合 ) 32 ( 1 4 2 32 dy y x dx y x dy y )() 1 ( 3 2 y x d y d . 1 3 2 C y x y 原方程的通解為原方程的通解為 ), 1 ( 3 2 y x y d 例例2 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法. 一階線性微分方程及全微分方程 .0)1(2 22 的通解的通解 dyyxdxyxx 解解 將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有 例例3 求微分方程求微分方程 , 022 22 dyyxdxyxx

18、xdx , 0)()( 2222 dyyxxdyxxd , 0)()( 222 yxdyxxd 原方程的通解為原方程的通解為.)( 3 2 2 3 22 Cyxx 一階線性微分方程及全微分方程 2、積分因子法、積分因子法 定義定義: : 0),( yx 連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)，使使方方程程 0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成成為為全全 微微分分方方程程. .則則稱稱),(yx 為為方方程程的的積積分分因因子子. . 問題問題: 如何求方程的積分因子如何求方程的積分因子? 就不是全微分方程則當(dāng) 全微分方程 dyyxQdxyxP x Q y P x Q y P ),(),

19、(, . 一階線性微分方程及全微分方程 1.1.公式法公式法: : , )()( x Q y P x Q x Q y P y P ，兩兩邊邊同同除除 x Q y P y P x Q lnln 求解不容易求解不容易 特殊地特殊地: ;.有關(guān)時(shí)有關(guān)時(shí)只與只與當(dāng)當(dāng)xa , 0 y , dx d x 一階線性微分方程及全微分方程 ;.有有關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)只只與與當(dāng)當(dāng)yb )( 1ln x Q y P Qdx d )(xf .)( )( dxxf ex , 0 x , dy d y )( 1ln y P x Q Pdy d )(yg .)( )( dyyg ey 一階線性微分方程及全微分方程 2.2.觀察法觀察

20、法: :憑觀察湊微分得到憑觀察湊微分得到),(yx 常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 2 22 yx dydyxdx x y d x ydxxdy 2 x y d yx ydxxdy arctan 22 xyd xy ydxxdy ln )ln( 2 1 22 22 yxd yx ydyxdx yx yx d yx ydxxdy ln 2 1 22 一階線性微分方程及全微分方程 可選用的積分因子有可選用的積分因子有 ., 1 , 1 , 1 , 1 2222222 等等 x y y x yxyxxyx .0)()3( 22 的通解的通解 求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy 解解, 1 )( 1 xx Q y P Q dx x ex 1 )( .x 例例4 則原方程為則原方程為 , 0)()3( 2322 dyyxxdx