立體幾何解題方法技巧

1、專題六立體幾何解題方法技巧一、內(nèi)容提要：立體幾何需要我們?nèi)ソ鉀Q的問題概括起來就是三個(gè)方面，證明位置關(guān)系、求距離和求 角；具體內(nèi)容見下表：立 體 幾 何提 要主要內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容位置 關(guān)系兩條異面直線相互垂直、直線與平面平仃、直 線與平面斜交、直線與平面垂直、兩個(gè)平面斜交、 兩個(gè)平面相互垂直兩條異面直線相互垂直、直線 與平面平行、直線與平面垂 直、兩個(gè)平面相互垂直距離兩條異面直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到 平面的距離、兩個(gè)平面的距離兩條異面直線的距離、點(diǎn)到平 面的距離角 度兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、 二面角兩條異面直線所成的角、 直線 和平面所成的角、二面角二、主要解題方法：（一

2、）位置關(guān)系1、兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為90o；證明兩條異面直線的方向量相互垂直2、直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；0證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；0證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。3、直線和平面垂直證明方法：0證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，0證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直；0證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直證明方法：0證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為900； 0證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面； 0證明兩個(gè)平面的法向量相

3、互垂直。（二）求距離求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到 平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。1、兩條異面直線的距離求法：如果知道兩條 異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)度，線段長(zhǎng)度的求法也可以用向量來幫助解決，求線段AB的長(zhǎng)度，可以利用2 2AB = （AM MN NB）來幫助解決，但是前提條件是我們要知道 | ABn|AM,MN, NB的模和每?jī)蓚€(gè)向量所成的角。 利用公式d（其中A B|n|分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)，n為這兩條異面直線的法向量）2、點(diǎn)到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫

4、出來。色等體積法。向量法，利用公d I AB n |.式d（其中a為已知點(diǎn)，b為這個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，n這個(gè)平面的法向量）|n|（三）求角1、兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得； 色通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異 面直線所成角得范圍是（0,，向量所成的角范圍是0,二,如果求出的是鈍角，要2注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。2、直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。向量法，先求直線的方向量于KJI平面的法向量所成的角 a，那么所要求的角為 一-或:-223、平面與平面所成的角求

5、法：“一找二證三求”， 找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個(gè)角 是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。通過射影面積來求S射影cos(在其中一個(gè)平面內(nèi)找出一個(gè)三角形，然后找這個(gè)三角形在另外一個(gè)平面的S原射影，那么這個(gè)三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cos a，注意到我們要求的角為a或n - a ); 向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為a，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為 a或n a。我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時(shí)候，注意到向量知識(shí)的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點(diǎn)的坐標(biāo)，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時(shí)求

6、距離、角的時(shí)候也可以用向量，運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，就用傳統(tǒng)的 方法了！三、注意的問題：1、我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候， 傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運(yùn)用自如。2、我們?nèi)绻峭ㄟ^解三 角形去求角、距離的時(shí)候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“/a是我們所要求的角”、“線段AB的長(zhǎng)度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。3、 用向量來求兩條異面直線所成角時(shí)，若求出COS a = X,則這兩條異面直線所成的角為a=a rccos|x|4、在求直線與平面所成的角的時(shí)候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方JIJT

7、向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，22就用，若求出的鈍角，就用2 25、求平面與平面所成角的時(shí)，若用第 、種方法，先要去判斷這個(gè)二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、已知三棱錐 PABC中PB丄底面 ABC Z BCA = 90 ,PB=BC=CA= E是 PC的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 PA上，且 3PF=FA.(1) 求證：平面PACL PBC(2) 求平面BEF與底面ABC所成角(用一個(gè)反三角函數(shù)值表示)2、如圖，四棱錐 P ABCD勺底面是正方形，PA丄底面 ABCD PA=AD=2點(diǎn)M N分別在棱PDPC上，且 PCL

8、平面 AMN.(1) 求證：AML PD(2) 求二面角 P AM- N的大?。?3) 求直線CD與平面AMN所成角的大小3、如圖，平面 ABC丄平面 ABEF ABCD是正方形,1ABEF是矩形，且 AF AD = a, G是2EF的中點(diǎn),(1 )求證平面 AGC_平面 BGCB4、如圖，在正方體(2 )求GB與平面AGC所成角的正弦值 (3 )求二面角 B- AC G的大小.ABCD -B1C1D1中，E是棱A的中點(diǎn)，H為平面EDB今內(nèi)一點(diǎn)，H6 =2m,2m ,m (m ：0)。(1) 證明HG _平面EDB ;(2) 求BC1與平面EDB所成的角；(3) 若正方體的棱長(zhǎng)為 a，求三棱錐

9、A - EDB的體積。h 證明(l)j TPB 丄底面 ABC,二 PB 丄 AC, KZBCA=90=AC丄平面PBC交AC二平面PAG 二平面PAC丄平面PBC(2)設(shè)FE的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于M 連MB,則MB為平面BEF與平面ABC的交線在平面PCA中，由已知E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)昱PA的四等分點(diǎn)，:.MC=2屁=丄4取BC的中點(diǎn)H,則EH FE,.EH丄底面ABC過H作HO丄MB于O由三垂線定理.EO丄出KJZEOH為平面BzF與底而ABC所成二面角的平面角丿51在 Rt BCM 中,HOa，在 Rt EHO 中，.EHa102eh廠.tan EOH5HO即平面BEF與底面ABC所成

10、二面角的大小為 arctan 5若利用面積射影法，指出 HDB是厶EFB在底面ABC上的射影，并計(jì)算出其面積1 2 6 2S射影 _a 7分 計(jì)算出S efb - a16 16COSTS射影S.EFB即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為 arccos62、( 1)證明： ABCD是正方形， CDLAD,/ PAL底面 ABCD： PAL CD. CDL平面 PAD/ A叱平面 PAD, CDLAM./ PCL平面 AMN： PC! AM. AML平面 PCD. AML PD.(2)解：T AML平面 PCD(已證). AML PM AML NM. / PMN為二面角P-AM-N的平面角.

11、/ PNL平面 AMN： PNL NM.在直角 PCD 中，CD=2, PD=2. 2 , PC=2 . 3./ PA=AD AML PD z.M 為 PD的中點(diǎn)，PMPD=J22由 Rt PMN Rt PCD 得 MN 二CD PM .PC.cos(PMN)MNPMCDPC=23pMn 二arccosP2 333即二面角P AM- N的大小為arccos 解：延長(zhǎng)門h CD交于點(diǎn)區(qū)字PC丄平面AMX, ,XE為CE在平面AMN內(nèi)的射影 幾ZCEX說CD (CE)與平在AIN所成的魚 LCD丄FD ENPN, -ZCEN=ZMPN.在 RtAPXIX 中,宇冊(cè)厶MP,*)=Tv =T/ 創(chuàng)P.

12、v - (0:-)Z.VP.V= arc sinLCD2平面ANN所咸的第的大小Ttjarcsm3、( 1)證明：正方形 ABC氐CB _ AB 面ABCL_面ABEF且交于AB, CBL面 ABEF / AG GB 面 ABEF CBLAG CBL BG又AD=2a, AF= a , ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn), AG=BG=2a , AB=23, AB2=aG+bG,. AGLBG v CGH BG=B. AGL平面 CBG 而 AG 面AGC 故平面AGC_平面BGC(2)解：如圖，由(I)知面 AGCL面BGC且交于 GC在平面 BGC內(nèi)作BHLGC垂足 為H,貝U BHL平面 AGCBGH是GB與平面 AGC所成的角亠出BC BG BC BG23廠在 Rt CBG 中 BHa 又 BG= 2a ,CGJBC2 +BG23 sin . BGHBH . 6BG（3）由（叮知，BH丄面AGC作BQL AC 垂足為 O,連結(jié)HQ貝U HQL AC乙BOH為二面角B AC-G的平面角在Rt ABC中，B 2a在 Rt BOH中, sin . BQH 二聖 -.BOH = arcsin 6BQ 33即二面角B- A