問題分析2.1.

1、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 - -問題前期分析問題前期分析 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型(E.A.Bendar 定義定義)： 關(guān)于部分現(xiàn)實世界為一定目的而做關(guān)于部分現(xiàn)實世界為一定目的而做 的抽象、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。的抽象、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界的一個數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定特定 對象對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)，根據(jù)特有的內(nèi) 在規(guī)律在規(guī)律,做出必要的做出必要的簡化假設(shè)簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)，運(yùn)用適當(dāng) 的數(shù)學(xué)工具建立的一個的數(shù)學(xué)工具建立的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 問題的前期分析問題的前期分析 包括：包括： 明確問題、分析條件、分析數(shù)據(jù)等。明確問題、分析條件、分析數(shù)據(jù)等。 為

2、什么問題前期分析至關(guān)重要？為什么問題前期分析至關(guān)重要？ 數(shù)學(xué)建模問題往往含混不清數(shù)學(xué)建模問題往往含混不清, ,可能的原因有可能的原因有: : * 提出問題的人未能清楚地表述問題提出問題的人未能清楚地表述問題 . * 不同領(lǐng)域的人交流出現(xiàn)故障不同領(lǐng)域的人交流出現(xiàn)故障. * *各領(lǐng)域的應(yīng)用者提出問題時各領(lǐng)域的應(yīng)用者提出問題時, ,未給出恰當(dāng)未給出恰當(dāng) 的條件的條件. . 對問題進(jìn)行充分的前期分析以前對問題進(jìn)行充分的前期分析以前,過早過早 著手決問題著手決問題,往往會陷入一些意想不到的往往會陷入一些意想不到的 陷阱陷阱,或者偏離解決問題的方向或者偏離解決問題的方向. 一一. 明確問題明確問題 例例3

3、.3.1 一家大商業(yè)印刷公司的經(jīng)理就關(guān)于應(yīng)一家大商業(yè)印刷公司的經(jīng)理就關(guān)于應(yīng) 該雇多少推銷員的問題征詢你的意見該雇多少推銷員的問題征詢你的意見. . “究竟需要做什么？究竟需要做什么？” 遇到一個新問題時遇到一個新問題時, ,首先應(yīng)問自己首先應(yīng)問自己 * 未能準(zhǔn)確理解問題未能準(zhǔn)確理解問題. 著眼點著眼點是對各類推銷隊伍的工作效果進(jìn)行是對各類推銷隊伍的工作效果進(jìn)行 分析。分析。 原問題原問題“推銷員人數(shù)問題推銷員人數(shù)問題” ” 明確為：明確為： (1) 不同規(guī)模的銷售隊伍會有什么影響；不同規(guī)模的銷售隊伍會有什么影響； (2) 怎樣從他們的銷售工作中獲取最大的收益怎樣從他們的銷售工作中獲取最大的收益

4、. . 明確了工作的目標(biāo)明確了工作的目標(biāo), 即設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài)即設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài). 為明確問題為明確問題 ,可向有關(guān)人員詢問如下問題：可向有關(guān)人員詢問如下問題： 1. 公司的規(guī)模有多大？公司的規(guī)模有多大？ 2. 該公司的推銷員的工作方式？該公司的推銷員的工作方式？ 推銷員人數(shù)推銷員人數(shù) 獲取較大的投獲取較大的投 入產(chǎn)出比。入產(chǎn)出比。 顧客顧客 地域地域 分析確定出各有關(guān)因素分析確定出各有關(guān)因素,畫出問題的層次結(jié)構(gòu)圖畫出問題的層次結(jié)構(gòu)圖 顧客容量顧客容量 市場份額市場份額 現(xiàn)有現(xiàn)有定貨量定貨量潛在潛在 轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)移 概率概率 轉(zhuǎn)變轉(zhuǎn)變 概率概率 現(xiàn)有現(xiàn)有潛在潛在 二二. 條件及數(shù)據(jù)分析條件及數(shù)據(jù)

5、分析 設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài)設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài), 著手工作還需要做著手工作還需要做 以下工作：以下工作： 1. 收集必要的資料和數(shù)據(jù)。收集必要的資料和數(shù)據(jù)。 2. 分析現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和條件分析現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和條件, ,使問題進(jìn)一步使問題進(jìn)一步 明確化明確化. . 我國淡水資源有限我國淡水資源有限. .節(jié)約用水人人有責(zé)節(jié)約用水人人有責(zé), ,洗衣洗衣 機(jī)在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額機(jī)在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額, ,目前洗衣目前洗衣 例例3.3.2 節(jié)水洗衣機(jī)問題節(jié)水洗衣機(jī)問題 機(jī)已非常普及機(jī)已非常普及, ,節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要. .假假 設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程設(shè)在放入

6、衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程 為：加水為：加水漂洗漂洗脫水脫水加水加水漂洗漂洗脫脫 水水加水加水漂洗漂洗脫水脫水( (稱稱“加水加水漂漂 洗洗脫水脫水”為運(yùn)行一輪為運(yùn)行一輪).).請為洗衣機(jī)設(shè)計一請為洗衣機(jī)設(shè)計一 種程序（包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等種程序（包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等),), 使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水 量最少量最少. .選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，對照目前選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，對照目前 常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對你的模型和結(jié)常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對你的模型和結(jié) 果出評價果出評價. . *衣服的洗凈效果指標(biāo)衣服的洗凈效果指標(biāo)

7、(包括污物和殘留洗滌包括污物和殘留洗滌 劑劑)； * *不同質(zhì)地衣物的脫水率或衣物的含水量不同質(zhì)地衣物的脫水率或衣物的含水量C； * 洗衣機(jī)的最高水位洗衣機(jī)的最高水位H、最低水位、最低水位L； * 各類污物各類污物(泥土、油膩等泥土、油膩等)和洗滌劑在水中和洗滌劑在水中 的溶解特性。的溶解特性。 怎樣收集數(shù)據(jù)和資料？怎樣收集數(shù)據(jù)和資料？ 分析：分析：題目中沒有一個數(shù)據(jù)題目中沒有一個數(shù)據(jù), ,但問題卻需要比但問題卻需要比 較多的數(shù)據(jù)及條件較多的數(shù)據(jù)及條件, ,如如 可在各類圖書館、網(wǎng)上查閱、向?qū)＜以儐?、可在各類圖書館、網(wǎng)上查閱、向?qū)＜以儐枴?通過試驗來得到通過試驗來得到。 收集數(shù)據(jù)應(yīng)列入工作計劃

8、，并注意：收集數(shù)據(jù)應(yīng)列入工作計劃，并注意： 1. 向有關(guān)人員調(diào)查情況應(yīng)事先設(shè)計好問題；向有關(guān)人員調(diào)查情況應(yīng)事先設(shè)計好問題； 2. 事先確定所需資料清單、資料來源、收集事先確定所需資料清單、資料來源、收集 方式。方式。 有條理的收集計劃可以為后期的工作有條理的收集計劃可以為后期的工作 創(chuàng)造良好的條件創(chuàng)造良好的條件 對收集到的或者現(xiàn)有的資料和數(shù)據(jù)要做對收集到的或者現(xiàn)有的資料和數(shù)據(jù)要做 仔細(xì)分析，使問題進(jìn)一步明確仔細(xì)分析，使問題進(jìn)一步明確. . 為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境, ,可再可再 生資源生資源( (如漁業(yè)、林業(yè)資源如漁業(yè)、林業(yè)資源) )的開發(fā)必須適的開發(fā)必須適

9、 度度, ,一種合理、簡化的策略是，一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持在實現(xiàn)可持 續(xù)收獲續(xù)收獲的前提下，追求的前提下，追求最大產(chǎn)量最大產(chǎn)量或或最佳效最佳效 益益. . 例例3.3.3 最優(yōu)捕魚策略最優(yōu)捕魚策略 考慮對某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分考慮對某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分 4個年齡組，稱個年齡組，稱1齡魚，齡魚，4齡魚齡魚,各年齡組每各年齡組每 條魚的平均重量（單位：條魚的平均重量（單位：g）分別為）分別為5.07、 11.55、17.86、22.99，各個年齡組的魚的自然，各個年齡組的魚的自然 死亡率均為死亡率均為0.8(1/年年),這種魚為這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵季節(jié)性集中

10、產(chǎn)卵 繁殖繁殖,平均每條平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為齡魚的產(chǎn)卵量為1.109105個個,3 齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和齡魚和1齡魚齡魚 不產(chǎn)卵，不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月個月,卵卵 孵化并成活為孵化并成活為1齡魚齡魚,成活率（成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)齡魚條數(shù)與產(chǎn) 卵總量卵總量n之比）為之比）為 1.221011/（1.221011+n） 漁業(yè)管理部門規(guī)定漁業(yè)管理部門規(guī)定,每年只允許在產(chǎn)卵孵化期每年只允許在產(chǎn)卵孵化期 前的前的8個月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)個月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè).如果每年投入的捕如果每年投入的捕 撈能力撈能力(如漁船數(shù)、下網(wǎng)次

11、數(shù)等如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等)固定不變固定不變,這這 時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正 比比,比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù).通常使用通常使用 13mm 網(wǎng)眼的拉網(wǎng)網(wǎng)眼的拉網(wǎng),這種網(wǎng)只能捕這種網(wǎng)只能捕3齡魚和齡魚和4齡齡 魚，其兩個強(qiáng)度系數(shù)之比為魚，其兩個強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42 : 1.漁業(yè)上稱漁業(yè)上稱 這種方式為固定努力捕撈這種方式為固定努力捕撈. 建立數(shù)學(xué)模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲建立數(shù)學(xué)模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲( (即每即每 年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變),), 并且在此前

12、提下得到最高的年收獲量并且在此前提下得到最高的年收獲量( (捕撈總捕撈總 重量重量) ) 漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年年, ,合合 同要求同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大 破壞破壞. .已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別 為為: :122, 29.7，10.1，3.29（109為）條），為）條）， 如果仍用固定努力量的捕撈方式如果仍用固定努力量的捕撈方式, ,該公司該公司 應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高. . 分析：分析：此題中的數(shù)據(jù)、條件特別多此題中的數(shù)據(jù)、

13、條件特別多,有的有的 難于把握難于把握, 有的會直接影響到所建模型是有的會直接影響到所建模型是 否正確否正確. 1. 捕撈強(qiáng)度系數(shù)捕撈強(qiáng)度系數(shù) q 單位時間捕撈量與魚群條數(shù)成正比時的比單位時間捕撈量與魚群條數(shù)成正比時的比 例系數(shù)例系數(shù) 可否理解為捕撈量占總魚群量的可否理解為捕撈量占總魚群量的百分率？百分率？ 否！否！ 將捕撈強(qiáng)度系數(shù)將捕撈強(qiáng)度系數(shù) q 的定義用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出的定義用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出. 設(shè)設(shè)i 齡魚在齡魚在 t ,t+t 時間段內(nèi)由捕撈產(chǎn)生時間段內(nèi)由捕撈產(chǎn)生 的變化量（捕撈量）為的變化量（捕撈量）為 )()(ttNtN ii 單位時間的捕撈量是單位時間的捕撈量是 tttNtN ii

14、 / )()( 對任何時間間隔對任何時間間隔 t都有都有 )(/ )()(tqNtttNtN iii 令令t 0 , ,得到微分方程得到微分方程 0, 1 qq dt dN N i i 或或, i i qN dt dN 2. 考慮考慮 q 是否有量綱（或單位）？是否有量綱（或單位）？ 思考：思考： 1. 此模型可與哪一個模型類比？此模型可與哪一個模型類比？ 3. 怎樣理解捕撈強(qiáng)度系數(shù)怎樣理解捕撈強(qiáng)度系數(shù)q？ 2. 自然死亡率自然死亡率r ( (0.8（1/ /年）年）) ) 是否理解為魚死亡的概率為是否理解為魚死亡的概率為0.8 ？ 不對！不對！ 類似于人口增長模型中的類似于人口增長模型中的“

15、自然（相對）自然（相對） 增長率增長率” ，理解為魚群未受其他外界影響下理解為魚群未受其他外界影響下 的的“自然增長率自然增長率”. 即單位時間內(nèi)死亡魚的數(shù)量與魚的總量之即單位時間內(nèi)死亡魚的數(shù)量與魚的總量之 比，可得描述魚群自然死亡的微分方程：比，可得描述魚群自然死亡的微分方程： ;4 , 3 , 2 , 1, 1 ir dt dN N i i 請考慮在捕撈的情況下，魚群數(shù)量請考慮在捕撈的情況下，魚群數(shù)量 變化的規(guī)律？變化的規(guī)律？ 思考：思考： 3. 成活率成活率c 的影響的影響 成活率成活率c 為為1 齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n 之比之比 c =1.221011/（1.221011+n） 設(shè)設(shè)t 年的產(chǎn)卵量為年的產(chǎn)卵量為n，則，則t + 1年的年的1 齡魚數(shù)齡魚數(shù) 目為目為 N1(t+1)= n c ) 1022. 1 1/(1022. 1 1022. 1 1022. 1 11 11 11 11 n n n 因因3、4齡魚的數(shù)量級及產(chǎn)卵量的數(shù)量級分齡魚的數(shù)量級及產(chǎn)卵量的數(shù)量級分 別是別是 109 和和1014 n1.221011 當(dāng)當(dāng) n 變動變動(即即N3(t), N4(t)變動變動)時時 N1(t+1)的反應(yīng)不敏感的反應(yīng)不敏感. 說明下一年說明下一年