初中應(yīng)用題的解題技巧

1、初中應(yīng)用題的解題技巧應(yīng)用問(wèn)題的解題技巧（三課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：應(yīng)用問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容它與現(xiàn)實(shí)生活有一定的聯(lián)系，它通過(guò)量與量的關(guān)系以及圖形之間的度量關(guān)系，形成數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)用問(wèn)題涉及較多的知識(shí)面，要求學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，在具體問(wèn)題中，從量的關(guān)系分析入手，設(shè)定未知數(shù)，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系列出方程，獲得方程的解，并代入原問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證這一系列的解題程序，要求對(duì)問(wèn)題要深入的理解和分析，并進(jìn)行嚴(yán)密的推理，因此對(duì)發(fā)展創(chuàng)造性思維有重要意義重點(diǎn)：解應(yīng)用問(wèn)題的技能和技巧1直接設(shè)未知元在全面透徹地理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上，根據(jù)題中求什么就設(shè)什么是未知數(shù)，或要求幾個(gè)量，可直接設(shè)出其中一個(gè)為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫作直接設(shè)未知元法

2、例1 某校初中一年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參加的人數(shù)是未參加人數(shù)的3倍，如果該年級(jí)學(xué)生減少6人，未參加的學(xué)生增加6人，那么參加與未參加競(jìng)賽的人數(shù)之比是21求參加競(jìng)賽的與未參加竟賽的人數(shù)及初中一年級(jí)的人數(shù)分析 本例中要求三個(gè)量，即參賽人數(shù)、未參賽人數(shù)，以及初中一年級(jí)人數(shù)由已知條件易知，可直接設(shè)未參賽人數(shù)為x，那么參賽人數(shù)便是3x于是全年級(jí)共有(x+3x)人由已知，全年級(jí)人數(shù)減少6人，即(x+3x)-6， 而未參加人數(shù)增加6人時(shí)，則參加人數(shù)是未參加人數(shù)的2倍，從而總?cè)藬?shù)為(x+6)+2(x+6)由，自然可列出方程解 設(shè)未參加的學(xué)生有x人，則根據(jù)分析，兩式應(yīng)該相等，所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+

3、3x)-6，所以x+6+2x+12=4x-6，所以 3x+18=4x-6，所以 x=24(人)所以未參加競(jìng)賽的學(xué)生有24人，參加競(jìng)賽的小學(xué)生有324=72(人)全年級(jí)有學(xué)生424=96(人)說(shuō)明 本例若按所求量次序設(shè)參加人數(shù)為x人，則未參加人數(shù)為例2 一工人在定期內(nèi)要制造出一定數(shù)量的同樣零件，若他每天多做做多少個(gè)零件？定期是多少天？ 分析 若直接設(shè)這個(gè)工人要做x個(gè)零件，定期為y天，則他每天做另一方面，如果他每天少做5個(gè)，則要增加3天工期，因此，顯然，將此兩式聯(lián)立，解出x，y即可解 設(shè)工人要做x個(gè)零件，定期為y天，則他每天做x/y個(gè)，依分析有方程組整理得2+得將x=50y代入得y=27， x=5

4、0y=1350，答 工人要做1350個(gè)零件，定期為27天例3 一隊(duì)旅客乘坐汽車(chē)，要求每輛汽車(chē)的旅客人數(shù)相等起初每輛汽車(chē)乘了22人，結(jié)果剩下1人未上車(chē)；如果有一輛汽車(chē)空著開(kāi)走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車(chē)上已知每輛汽車(chē)最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車(chē)？有多少名旅客？解 設(shè)起初有汽車(chē)m輛，開(kāi)走一輛空車(chē)后，平均每輛車(chē)所乘旅客為n人由于m2，n32，依題意有22m+1=n(m-1)所以因?yàn)閚為自然數(shù)，所以23/m-1為整數(shù)，因此m-1=1，或m-1=23，即 m=2或m=24.當(dāng) m=2時(shí)，n=45(不合題意，舍去)；當(dāng)m=24時(shí)，n=23(符合題意)所以旅客人數(shù)為：n(m-1)=23(

5、24-1)=529(人)答 起初有汽車(chē)24輛，有乘客529人注意 解方程后所得結(jié)果必須代入原題檢驗(yàn)根的合理性，并根據(jù)情況做具體討論2間接設(shè)元如果對(duì)某些題目直接設(shè)元不易求解，便可將并不是直接要求的某個(gè)量設(shè)為未知數(shù)，從而使得問(wèn)題變得容易解答，我們稱(chēng)這種設(shè)未知數(shù)的方法為間接設(shè)元法例4 若進(jìn)貨價(jià)降低8，而售出價(jià)不變，那么利潤(rùn)可由目前的p增加到(p+10)，求p分析 本題若直接設(shè)未知元為x，則不易列方程，為此，可間接設(shè)元，設(shè)進(jìn)貨價(jià)為x，則下降后的進(jìn)貨價(jià)為0.92x由于售出價(jià)不變，它可用以下方程式表示：x(1+p)=0.92x1+(10+p)解 設(shè)原進(jìn)貨價(jià)為x，則下降8后的進(jìn)貨價(jià)為0.92x根據(jù)題意售貨價(jià)

6、不變，故有以下方程x(1+0.01p)=0.92x1+0.01(p+10)，約去x得1+0.01p=0.921+0.01(p+10)，所以1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092，所以(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1，即 0.0008p=0.012，所以 p=15答 原利潤(rùn)為15例5 甲乙兩人沿著圓形跑道勻速跑步，它們分別從直徑AB兩端同時(shí)相向起跑第一次相遇時(shí)離A點(diǎn)100米，第二次相遇時(shí)離B點(diǎn)60米，求圓形跑道的總長(zhǎng)分析與解 如圖176，設(shè)圓形跑道總長(zhǎng)為2S，又設(shè)甲乙的速度分別為V，V，再設(shè)第一次在C點(diǎn)相遇，則第二次相遇有以下兩種情況：(1)甲乙第二次相遇在B

7、點(diǎn)下方D處，此時(shí)有方程組化簡(jiǎn)得由，得解此方程得S=0(舍去)，S=240所以2S=480米經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D處，則有方程組解此方程組得S=0(舍去)，S=360所以2S=720米經(jīng)檢驗(yàn)也是方程的解這樣，兩人可能在D點(diǎn)處相遇，也可能在D點(diǎn)處相遇，故圓形跑道總長(zhǎng)為480米或720米3設(shè)輔助元有時(shí)為了解題方便，可設(shè)某些量為輔助量，參與列方程和運(yùn)算，最后把這些輔助量約去，得出要求的值例6 從兩個(gè)重量分別為m千克和n千克，且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上，切下重量相等的兩塊，把所切下的每一塊和另一種剩余的合金加在一起熔煉后，兩者含銅百分?jǐn)?shù)相等，問(wèn)切下的重量是多少千克？分析與解 設(shè)

8、切下的重量是x千克，并設(shè)重m千克的銅合金中含銅的百分?jǐn)?shù)為q1，重n千克的銅合金中含銅的百分?jǐn)?shù)為q2，則切下的兩塊中分別含銅xq1和xq2，而混合熔煉后所得兩塊合金中分別含銅xq1+(n-x)q2和xq2+(m-x)q1故依題意有方程解此方程得答 切下的重量為mn/m+n(千克)例7 甲乙兩郵遞員分別從A，B兩地同時(shí)以勻速相向而行，甲比乙多走了18千米(km)，相遇后甲走4.5小時(shí)到達(dá)B地，乙走8小時(shí)到A地，求A，B兩地的距離解 設(shè)甲速為a千米/小時(shí)，乙速為b千米/小時(shí)，A，B兩地的距離為2S，依題意有所以所以 S-9/S+9=3/4，所以 S=63(千米)， 2S=126(千米)答 A，B兩地

9、相距126千米練習(xí)二十一1已知甲、乙、丙三人甲單獨(dú)做一件工作的時(shí)間是乙丙兩人合作做這件工作所用時(shí)間的a倍，乙獨(dú)做這件工作是甲丙兩人合作做這件工作的b倍求丙單獨(dú)做這件工作是甲乙兩人合作做這件工作所需時(shí)間的幾倍？2有甲乙兩容量均為20升(L)的容器，甲容器內(nèi)裝滿純酒精，而乙為空容器自甲內(nèi)倒出若干酒精于乙內(nèi)，再將乙其余部分注滿水，將此混合溶液注滿甲容器，最后自甲容器回注入乙容器62/3升，則兩容器內(nèi)所含純酒精量相等，問(wèn)第一次自甲容器倒出多少酒精？3某人騎自行車(chē)從A地先以每小時(shí)12千米的速度下坡后，再以每小時(shí)15千米的速度走平路到B地，共用了55分鐘回來(lái)時(shí)他以每小時(shí)8千米的速度通過(guò)平路后，以每小時(shí)4千米的速度上坡，從B地到A地共用了11/2小