根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型

1、根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 Ch.2 Ch.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間 模型模型 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 目錄(1/1) 目目 錄錄 q 概述概述 q 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 q 2.2 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 q 2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 q 2.4 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型 q 2.5 傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣 q 2.6 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 q 2.7 Mat

2、lab問(wèn)題問(wèn)題 q 本章小結(jié)本章小結(jié) 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型( (1/2) 2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型間模型 q 本節(jié)討論由描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階本節(jié)討論由描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階 常微分方程與傳遞函數(shù)常微分方程與傳遞函數(shù),通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 這樣的問(wèn)題稱為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。這樣的問(wèn)題稱為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。 這種變換過(guò)程的原則是這種變換

3、過(guò)程的原則是,不管狀態(tài)變量如何選擇不管狀態(tài)變量如何選擇,應(yīng)保應(yīng)保 持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型( (2/2) q 本節(jié)的內(nèi)容為：本節(jié)的內(nèi)容為： 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型(

4、1/1) 2.3.1 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 q 本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系 統(tǒng)的狀態(tài)空間模型統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,分別討論分別討論 由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和 由含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的由含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的 微分方程建立狀態(tài)空間模型。微分方程建立狀態(tài)空間模型。 q 本節(jié)關(guān)鍵問(wèn)題本節(jié)關(guān)鍵問(wèn)題: 如何選擇狀態(tài)變量如何選擇狀態(tài)變量 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變 關(guān)鍵喔關(guān)鍵喔! 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不

5、包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(1/9) 1. 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) q 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為,不包含不包含 有輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為有輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為 y(n)+a1y(n-1)+any=bu 其中其中y和和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入分別為系統(tǒng)的輸出和輸入;n為系統(tǒng)的階次。為系統(tǒng)的階次。 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系 統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型

6、-狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 AB CD xxu yxu 本節(jié)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。本節(jié)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(2/9) q 由微分方程理論知由微分方程理論知,若初始時(shí)刻若初始時(shí)刻t0的初值的初值y(t0),y(t0),y(n- 1)(t0)已知 已知,則對(duì)給定的輸入則對(duì)給定的輸入u(t),微分方程微分方程(2-6)有唯一解有唯一解,也即也即 系統(tǒng)在系統(tǒng)在t t0的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)都被唯一確定。的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)都被唯一確定。 因此因此,選擇狀態(tài)變量為如下相變量選擇狀態(tài)變量為如下相變

7、量 x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t) 可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性?？赏耆虅澫到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 取輸出取輸出y和和y的各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)(也稱相變量也稱相變量)為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量,物理物理 意義明確意義明確,易于接受。易于接受。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(3/9) q 將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程,有如下有如下 狀態(tài)方程狀態(tài)方程 12 1 11 . . nn nnn xx xx xa xa xbu 和輸出方程和輸

8、出方程 y=x1 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(4/9) q 將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有 121 01000 00100 000010 1000 nnn aaaab xxu yx 12 . , n x xxuy xuy其中和。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(5/9) q 該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為: : 其中其中 AB C xxu yx 0.01 0 . 0 -.- 1.00 . 0.

9、10 11 C b B aaa A nn 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(6/9) q 上述式子清楚說(shuō)明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣上述式子清楚說(shuō)明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣A與微分方與微分方 程程(2-6)中的系數(shù)中的系數(shù)a1, a2, an之間之間,輸入矩陣輸入矩陣B與方程與方程(2-6)中中 系數(shù)系數(shù)b之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 通常將上述取輸出通常將上述取輸出y和和y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相 變量。變量。 q 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式

10、,該矩陣的最該矩陣的最 后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系,前前n-1行為行為1 個(gè)個(gè)n-1維的零向量與維的零向量與(n-1) (n-1)的單位矩陣。的單位矩陣。 該類矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)該類矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài) 空間分析方法中是一類重要的矩陣空間分析方法中是一類重要的矩陣,這在后面的章節(jié)中這在后面的章節(jié)中 可以看到。可以看到。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(7/9) q 上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型

11、的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 b u -a1 1 -a2 2 -an-1 -an n x u xn xn-1 x2 x1 y 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(8/9)-例例2-1 q 例例2-1 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”+6y”+11y+6y=6u q 解解 本例中本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=6 因此因此, ,當(dāng)選擇輸出當(dāng)選擇輸出y及其及其1階與階與2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí)階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí),由由 式式(2-11)和和(2-12)可得狀態(tài)空間

12、模型如下可得狀態(tài)空間模型如下 0100 0010 61166 100 xxu yx 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(9/9)-例例2-1 其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 6 -6 1 -11 2 -6 3 x u x3 x2 x1 y 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(1/11) 2. 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) q 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方

13、程的一般表達(dá)式為程的一般表達(dá)式為 y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu 本小節(jié)所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系本小節(jié)所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系 統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 AB CD xxu yxu 建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量? 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(2/11) q 若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量, ,即即 x1(t)=

14、y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t) 則可得如下?tīng)顟B(tài)方程則可得如下?tīng)顟B(tài)方程 121 ( ) 110 . . nn n nnnn xxxx xa xa xb ub u 根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件,要求輸入要求輸入u(t)為為 分段連續(xù)分段連續(xù),而上述狀態(tài)方程中輸入而上述狀態(tài)方程中輸入u的各階導(dǎo)數(shù)可能不連的各階導(dǎo)數(shù)可能不連 續(xù)續(xù),從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。 因此因此,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn),即不能直接即不能直接 將

15、輸出將輸出y的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(3/11) q 為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù)為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù),通常通常, 可利用輸出可利用輸出y和輸入和輸入u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來(lái)組以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來(lái)組 成狀態(tài)變量成狀態(tài)變量,其原則是其原則是: 使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出u的各階導(dǎo)數(shù)。的各階導(dǎo)數(shù)。 基于這種思路選擇狀態(tài)變量的方法很多基于這種思路選擇狀態(tài)變量的方法很多,下面先介紹一下面先介紹一 種種,其他的方法將在后續(xù)章節(jié)中

16、陸續(xù)介紹。其他的方法將在后續(xù)章節(jié)中陸續(xù)介紹。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(4/11) q 根據(jù)上述原則根據(jù)上述原則, ,選擇狀態(tài)變量如下選擇狀態(tài)變量如下 )1( 021 )1( 0123 012 01 n nn n n uuuyx uuuyx uuyx uyx 其中其中 i(i=0,1,n)為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(5/11) 因此因此,有有 1021 21032 (1)(1) 12301 ( )( ) 120 (1)( )(1

17、) 101 ( ) 120 nn nnnnn nn nnn nnn n n nnn xyuxu xyuuxu xyuuuxu xyuuu a ya yb ubu b uuuu 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(6/11) 若待定系數(shù)若待定系數(shù) i(i=0,1,n)滿足如下關(guān)系式滿足如下關(guān)系式 0=b0 1=b1-a1 0 2=b2-a1 1-a2 0 n =bn-a1 n-1-an 0 即即 i(i=0,1,n)滿足如下方程組滿足如下方程組 nnnnn b b b b aaa aa a 2 1 0 2 1 0 21 12 1 1

18、01 001 0001 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(7/11) 1 2 1 121 0 0100 0010 00001 1000 n nnnn aaaa xxu yxu 12 . , n x xxuy xuy其中和。 則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(8/11) q 上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)

19、構(gòu)圖如下圖所示 u -a1 -an-1 -an n x xn x1 n u n-1 1 1n x x2 y 0 1 x 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(9/11)-例例2-2 q 例例2-2 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24u q 解解 本例中本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此因此, ,有有 0=b0=0 1=b1-a1 0=2 2=b2-a1 1-a2 0 =4 3=b3-a1 2

20、-a2 1-a3 0 =-12 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(10/11)-例例2-2 因此因此,當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時(shí)當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時(shí) 0102 0014 48512 100 xxu yx 即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 uuyuuuyx uyuuyx yuyx 24 2 0123 012 01 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(11/11)-例例2-2 其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示 u -5 -8 -4 3 x x3 x1 -1

21、2 u 4 2 2 x x2 y 1 x 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(1/6) 2.3.2 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 q 下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的 狀態(tài)空間模型。狀態(tài)空間模型。 關(guān)鍵問(wèn)題關(guān)鍵問(wèn)題: 1. 如何選擇狀態(tài)變量如何選擇狀態(tài)變量 2. 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變 喔喔,關(guān)鍵關(guān)鍵! 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 線性定常微分方程 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由

22、傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(2/6) q 由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法 同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。 類似地類似地,本節(jié)討論的由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法本節(jié)討論的由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法 亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。 傳遞函數(shù) 機(jī)理方法流程圖、公式 建立狀態(tài)空間模型方法 對(duì)線性定常系統(tǒng) 拉氏變換 根據(jù)系

23、統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(3/6) q 實(shí)際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式階次小于或等于其分母實(shí)際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式階次小于或等于其分母 多項(xiàng)式階次多項(xiàng)式階次,此時(shí)稱該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。此時(shí)稱該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。 而分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次時(shí)而分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次時(shí),則稱為嚴(yán)格真則稱為嚴(yán)格真 有理傳遞函數(shù)。有理傳遞函數(shù)。 q 本節(jié)討論描述本節(jié)討論描述單輸入單輸出單輸入單輸出(SISO)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng) 態(tài)行為的如下傳遞函數(shù)態(tài)行為的如下傳遞函數(shù) 1 01 0 1

24、01 . ( )(0) . nn n nn n b sb sb G sa a sa sa 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(4/6) 對(duì)上述傳遞函數(shù)對(duì)上述傳遞函數(shù),由長(zhǎng)除法由長(zhǎng)除法,有有 1 01 1 01 1 110000 0 1 010 . ( ) . /./ . ( ) nn n nn n n nn nn n b sb sb G s a sa sa ba b asba b a b a sa saa G sd 其中其中 0 0 00 0 1 1 1 1 . . )( a abb b a a a a b d asas bsb sG

25、ii i i i n nn n n 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(5/6) 本節(jié)所要研究的是建立該傳遞函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的本節(jié)所要研究的是建立該傳遞函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 (A,B,C,D)。 q 上述常數(shù)項(xiàng)上述常數(shù)項(xiàng)d即為狀態(tài)空間模型即為狀態(tài)空間模型 (A,B,C,D)中的直聯(lián)矩陣中的直聯(lián)矩陣D; 嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)G(s)對(duì)應(yīng)可建立對(duì)應(yīng)可建立 (A,B,C,D)中的中的 (A,B,C)。 即即 S G(s) (A,B,C) d D 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 由傳遞函數(shù)

26、建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(6/6) q 下面分傳遞函數(shù)下面分傳遞函數(shù) 極點(diǎn)互異和極點(diǎn)互異和 有重極點(diǎn)有重極點(diǎn) 兩種情況討論如何建立狀態(tài)空間模型。兩種情況討論如何建立狀態(tài)空間模型。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(1/8) 1. 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換 q 對(duì)于傳遞函數(shù)對(duì)于傳遞函數(shù)G(s),其特征方程為其特征方程為 sn+a1sn-1+an=0 若其特征方程的若其特征方程的n個(gè)特征根個(gè)特征根s1,s2,sn互異互異,則用部分分式法可將則用部分分式法可將 G(s)表示為表示為如下并聯(lián)分解如

27、下并聯(lián)分解 其中其中k1,k2,kn為待定系數(shù)為待定系數(shù),其計(jì)算公式為其計(jì)算公式為 1 112 1212 . ( ). ( - )( - ).( - )- n nn nn b sbkkk G s s ss ss ss ss ss s i ssii sssGk )-)( 自己推導(dǎo)自己推導(dǎo) 一下一下,行嗎行嗎 ? 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(2/8) q 下面以下面以k1計(jì)算式的推導(dǎo)過(guò)程為例說(shuō)明的計(jì)算式的推導(dǎo)過(guò)程為例說(shuō)明的ki的計(jì)算式。的計(jì)算式。 將將G(s)的乘以的乘以s-s1,有有 因此因此,由于特征根由于特征根s1,s2,sn

28、互異，有互異，有 )-( - . - )-)( 1 2 2 11 ss ss k ss k ksssG n n 1 )-)( 11ss sssGk q 下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。 第第2項(xiàng)將項(xiàng)將s1 代入為代入為0。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(3/8) q 考慮到考慮到, ,輸出輸出y(t)和輸入和輸入u(t)的拉氏變換滿足的拉氏變換滿足 因此因此, ,若選擇狀態(tài)變量若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其使其拉氏變換滿足拉氏變換滿足 則則,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為經(jīng)

29、反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )( - .)( - )( - )()()( 2 2 1 1 sU ss k sU ss k sU ss k sUsGsY n n nisU ss sX i i ,.,2 , 1)( - 1 )( 1,2,., iii xs xuin 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(4/8) q 相應(yīng)地相應(yīng)地, ,系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為的拉氏變換為 Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s) 因此因此, ,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k1x1+k2x2+knxn

30、 q 整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型 1 2 12 0.01 0.01 . 00.1 . n n s s s kkk xxu yx 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(5/8) q 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè) 重要特征重要特征,即即A為對(duì)角線矩陣。為對(duì)角線矩陣。 u xn x1 k1 k2 kn y x2 1 s-s1 1 s-s2 1 s-sn 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A具有上述對(duì)角線具有上述對(duì)角線 形式

31、的狀態(tài)空間模型即為形式的狀態(tài)空間模型即為 下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂 對(duì)角線規(guī)范形。對(duì)角線規(guī)范形。 事實(shí)上事實(shí)上,由推導(dǎo)可知由推導(dǎo)可知,對(duì)角線對(duì)角線 規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換 為為n個(gè)一階子系統(tǒng)個(gè)一階子系統(tǒng)(慣性環(huán)慣性環(huán) 節(jié)節(jié))的并聯(lián)的并聯(lián),如右圖所示。如右圖所示。 圖圖2-11 對(duì)角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖對(duì)角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(6/8)-例例2-3 q 例例2-3 用部分分式法將例用部分分式法將例2-1中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù) 變換為狀態(tài)

32、空間模型變換為狀態(tài)空間模型 32 2 ( ) 6116 G s sss 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(7/8) q 解解 由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 s3+6s2+11s+6 可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為 s1=-1 s2=-2 s3=-3 于是有于是有 3 3 2 2 1 1 )( ss k ss k ss k sG 其中其中 11 22 33 ( )(1)1 ( )(2)2 ( )(3)1 s s s kG s s kG s s kG s s 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換傳遞函數(shù)

33、中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(8/8) q 故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)分式并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié) 的輸出的輸出, 可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型 1001 0201 0031 121 xxu yx q 將上述結(jié)果與例將上述結(jié)果與例2-1的結(jié)果相比較可知的結(jié)果相比較可知,即使對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)即使對(duì)同一個(gè)系統(tǒng),采采 用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法,將得到不同的狀態(tài)空間模將得到不同的狀態(tài)空間模 型。型。 即即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。狀態(tài)空間模型不具有唯一性。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)

34、的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(1/13) 2. 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 q 當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時(shí)當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時(shí),傳遞函數(shù)不能分解成如式傳遞函數(shù)不能分解成如式 n n ss k ss k ss k sG - . - )( 2 2 1 1 的情況的情況,亦得不到如式亦得不到如式(2-26)所示的狀態(tài)方程。所示的狀態(tài)方程。 q 不失一般性不失一般性,為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法,以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有6 個(gè)根個(gè)根,其值分別為其值分別為s1,s1,s1,s4,s5,s5,即即s1為為3重極點(diǎn)重極點(diǎn),s5為為2重極點(diǎn)。重極點(diǎn)。 相

35、應(yīng)地相應(yīng)地,用部分分式法可將所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為用部分分式法可將所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(2/13) 其中其中kij為待定系數(shù)為待定系數(shù), ,其計(jì)算公式為其計(jì)算公式為 5 52 2 5 51 4 41 1 13 2 1 12 3 1 11 2 54 3 1 54 5 1 -)-(-)-()-( )-)(-()-( . )( ss k ss k ss k ss k ss k ss k ssssss bsbsb sG ljsssG sj k i ss l i j j ij ,.,2 , 1)-)( d d

36、 )!1-( 1 1 - 1 - 會(huì)推導(dǎo)嗎會(huì)推導(dǎo)嗎? 嘗試一下嘗試一下 其中其中l(wèi)為極點(diǎn)為極點(diǎn)si的重?cái)?shù)。的重?cái)?shù)。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(3/13) q 下面以系數(shù)下面以系數(shù)k13的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例來(lái)說(shuō)明的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例來(lái)說(shuō)明kij的計(jì)算式的計(jì)算式 將將G(s)的乘以的乘以(s-s1)3 ,有有 32 111121131 3515241 1 2 455 ( )( - )( - )( - ) ( - ) -( - )- G s s skks sks s kkk s s s ss ss s 1 2 3 131 2 1 d

37、 ( )( - ) 2!d s s kG s s s s 第第2項(xiàng)將項(xiàng)將s1 代入為代入為0。 對(duì)等式兩邊求對(duì)等式兩邊求2次導(dǎo)數(shù)后次導(dǎo)數(shù)后 22 33515241 1131 222 455 dd ( )( - )2( - ) dd-( - )- kkk G s s sks s sss ss ss s 因此，有因此，有 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(4/13) q 下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。 q 如何選擇狀態(tài)變量如何選擇狀態(tài)變量? 考慮到考慮到, ,輸出輸出y(t

38、)和輸入和輸入u(t)的拉氏變換滿足的拉氏變換滿足 )( - )( )-( )( - )( - )( )-( )( )-( )()()( 5 52 2 5 51 4 41 1 13 2 1 12 3 1 11 sU ss k sU ss k sU ss k sU ss k sU ss k sU ss k sUsGsY 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(5/13) q 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量xi(t)使其使其拉氏變換滿足拉氏變換滿足 )( - 1 )()( )-( 1 )( )( - 1 )( )( - 1 )()( )-( 1 )(

39、)( )-( 1 )( 5 6 2 5 5 4 4 1 3 2 1 2 3 1 1 sU ss sXsU ss sX sU ss sX sU ss sXsU ss sXsU ss sX 則有則有 )( - 1 )( )-( 1 - 1 )( 2 1 2 11 1 sX ss sU ssss sX 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(6/13) 即有即有 則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為 12233 111 4 4 566 55 111 ( )( )( )( )( )( ) - 1 ( )( ) - 11 ( )(

40、 )( )( ) - X sXsXsXsXsU s s ss ss s XsU s s s XsXsXsU s s ss s 11122123313 444 5556656 xs xxxs xxxs xu xs xu xs xxxs xu 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(7/13) q 相應(yīng)地相應(yīng)地, ,系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為的拉氏變換為 Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s) 經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k

41、11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(8/13) q 因此因此, ,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型 1 1 1 4 5 5 111213415152 10 10 1 1 10 1 s s s s s s kkkkkk xxu yx 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(9/13) q 上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)

42、矩陣有一個(gè) 重要特征重要特征,即即A為為塊塊對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣,且每個(gè)矩陣方塊為只有一個(gè)重特且每個(gè)矩陣方塊為只有一個(gè)重特 征值的特定矩陣塊征值的特定矩陣塊(約旦塊約旦塊)。 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A具有上述特定塊對(duì)角形式的狀態(tài)空間模型即具有上述特定塊對(duì)角形式的狀態(tài)空間模型即 為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂約旦規(guī)范形。為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂約旦規(guī)范形。 事實(shí)上事實(shí)上, 約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個(gè)子系統(tǒng)約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個(gè)子系統(tǒng)(慣性環(huán)慣性環(huán) 節(jié)節(jié))的串的串-并聯(lián)。并聯(lián)。 如下圖所示。如下圖所示。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(10/13) 1 s-s1 x3

43、x6 x5 x4 x2 x1 k11 k12 k13 k41 k52 k51 u y 1 s-s5 1 s-s5 1 s-s4 1 s-s1 1 s-s1 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(11/13)-例例2-4 q 例例2-4 用部分分式法將例用部分分式法將例2-2中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù) 變換為狀態(tài)空間模型變換為狀態(tài)空間模型 485 24142 )( 23 2 sss ss sG 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(12/13) q 解解 由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 s3+5

44、s2+8s+4 可求得系統(tǒng)有二重極點(diǎn)s1=-2和單極點(diǎn)s2=-1,于是有 3 31 1 12 2 1 11 )( )( ss k ss k ss k sG 其中 12)1)( 10)2)( d d 4)2)( 131 2 2 12 2 2 11 s s s ssGk ssG s k ssGk 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(13/13) q 故故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式串分式串-并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán) 節(jié)的輸出節(jié)的輸出, ,可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型 q 將上述結(jié)果與例將上

45、述結(jié)果與例2-2的結(jié)果相比較可知的結(jié)果相比較可知,可再次驗(yàn)證可再次驗(yàn)證“狀態(tài)空狀態(tài)空 間模型不具有唯一性間模型不具有唯一性”。 2100 0201 0011 41012 xxu yx 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(1/5) 2.3.3 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng) q 下面下面,以雙輸入雙輸出的三階系統(tǒng)為例介紹由描述以雙輸入雙輸出的三階系統(tǒng)為例介紹由描述MIMO系系 統(tǒng)的高階微分方程組如何建立狀態(tài)空間模型。統(tǒng)的高階微分方程組如何建立狀態(tài)空間模型。 設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為 2414232 23121122111

46、 ubyayay ubububyayay q 同同SISO系統(tǒng)一樣系統(tǒng)一樣,該系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。該系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。 下面采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法下面采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法,按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解方法來(lái)建按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解方法來(lái)建 立狀態(tài)空間模型。立狀態(tài)空間模型。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(2/5) 因此因此,該系統(tǒng)的方程也可表示為該系統(tǒng)的方程也可表示為 2414232 23121122111 ubyayay ubububyayay 對(duì)每一個(gè)方程積分對(duì)每一個(gè)方程積分,直至消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)為止。直至消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)為止。 為此為此,有有 2 1111

47、 1222132 2 111 1213222 2324142 ()d ()d()d () ya ybua yb ub ut a ybutb ub ua yt ya ya yb u dt 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(3/5) 故可得模擬結(jié)構(gòu)圖故可得模擬結(jié)構(gòu)圖,如圖如圖2-13所示。所示。 圖圖2-13 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(4/5) 取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量,如圖如圖2-13所示。所示。 則式則式(2-33)的一種

48、狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為的一種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為 相應(yīng)地輸出方程為相應(yīng)地輸出方程為 2433143 2312322 112111 ubxaxax ububxax ubxxax 11 23 yx yx 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng)多輸入多輸出線性系統(tǒng)(5/5) 因此因此,該雙輸入雙輸出系統(tǒng)的矩陣形式狀態(tài)空間模型為該雙輸入雙輸出系統(tǒng)的矩陣形式狀態(tài)空間模型為 1111 1 22223 2 34334 1 1 2 2 3 100 00 00 100 001 xaxb u xaxbb u xaaxb x y x y x 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(1/

49、10) 2.3.4 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) q 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)多變量、存在嚴(yán)重非線性的非自治不穩(wěn)定倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)多變量、存在嚴(yán)重非線性的非自治不穩(wěn)定 性系統(tǒng)性系統(tǒng),經(jīng)常被用來(lái)研究和比較各種控制方法的性能。經(jīng)常被用來(lái)研究和比較各種控制方法的性能。 其結(jié)構(gòu)和飛機(jī)著陸、火箭飛行及機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)等有其結(jié)構(gòu)和飛機(jī)著陸、火箭飛行及機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)等有 很多相似之處很多相似之處,因而對(duì)倒立擺系統(tǒng)平衡的控制方法在航空因而對(duì)倒立擺系統(tǒng)平衡的控制方法在航空 及機(jī)器人等領(lǐng)域有著廣泛的用途及機(jī)器人等領(lǐng)域有著廣泛的用途,人們對(duì)倒立擺控制的研人們對(duì)倒立擺控制的研 究也越來(lái)越感興趣。究也越來(lái)越感興趣。 下面通過(guò)一個(gè)一級(jí)

50、倒立擺的例子下面通過(guò)一個(gè)一級(jí)倒立擺的例子,來(lái)簡(jiǎn)述對(duì)非線性系統(tǒng)來(lái)來(lái)簡(jiǎn)述對(duì)非線性系統(tǒng)來(lái) 說(shuō)說(shuō),如何通過(guò)描述其動(dòng)力學(xué)模型的常微分方程建立狀態(tài)空如何通過(guò)描述其動(dòng)力學(xué)模型的常微分方程建立狀態(tài)空 間模型。間模型。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(2/10) q 圖圖2-14為某一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖。為某一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖。 圖圖2-14 一級(jí)倒立擺示意圖一級(jí)倒立擺示意圖 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(3/10) 圖中所示的帶輪小車可以前圖中所示的帶輪小車可以前 后移動(dòng)來(lái)平衡一根桿后移動(dòng)來(lái)平衡一根桿,此桿此桿 由其底部的一個(gè)支點(diǎn)來(lái)支撐。由其底部

51、的一個(gè)支點(diǎn)來(lái)支撐。 該系統(tǒng)中還有一個(gè)電機(jī)該系統(tǒng)中還有一個(gè)電機(jī),一一 根連接電機(jī)與小車的皮帶和根連接電機(jī)與小車的皮帶和 一些滑輪。一些滑輪。 還有一些傳感器還有一些傳感器,用來(lái)測(cè)量小車的速度、位置、桿底部與用來(lái)測(cè)量小車的速度、位置、桿底部與 鉛垂線所成的角度及其微分。鉛垂線所成的角度及其微分。 其控制任務(wù)是由電機(jī)通過(guò)皮帶施加合適的力其控制任務(wù)是由電機(jī)通過(guò)皮帶施加合適的力f給小車從而給小車從而 使桿不倒使桿不倒,并使小車不超過(guò)左右邊界。并使小車不超過(guò)左右邊界。 一級(jí)倒立擺有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度一級(jí)倒立擺有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度,一個(gè)沿水平方向運(yùn)動(dòng)一個(gè)沿水平方向運(yùn)動(dòng),另另 一個(gè)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空 間模型 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)(4/10) q 解解 通過(guò)對(duì)滑輪小車和擺竿的受通過(guò)對(duì)滑輪小車和擺竿的受 力分析和推導(dǎo)力分析和推導(dǎo),且忽略交流電機(jī)且忽略交流電機(jī) 的動(dòng)特性并且假