續(xù)概率與理論分布

1、續(xù)概率與理論分布 續(xù)前 （概率與理論分布） 續(xù)概率與理論分布 第三節(jié)第三節(jié) 抽樣分布抽樣分布 續(xù)概率與理論分布 統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)很重要的內(nèi)容是研究總體和樣本的關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)很重要的內(nèi)容是研究總體和樣本的關(guān) 系，這種關(guān)系可以從兩個(gè)方面來進(jìn)行研究：系，這種關(guān)系可以從兩個(gè)方面來進(jìn)行研究： 一個(gè)方向：從樣本到總體，即從特殊到一般，從局一個(gè)方向：從樣本到總體，即從特殊到一般，從局 部到全體（歸納），這是統(tǒng)計(jì)推斷的過程部到全體（歸納），這是統(tǒng)計(jì)推斷的過程 一個(gè)方向：從總體到樣本，即從一般到特殊，從全一個(gè)方向：從總體到樣本，即從一般到特殊，從全 體到局部（演繹），這就是抽樣分布研究體到局部（演繹），這就是抽樣分

2、布研究 續(xù)概率與理論分布 抽樣分布（演繹的過程）抽樣分布（演繹的過程） 總體總體 樣本樣本 統(tǒng)計(jì)推斷（歸納的過程）統(tǒng)計(jì)推斷（歸納的過程） 而抽樣分布的研究，又是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)：而抽樣分布的研究，又是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)： 抽樣分布抽樣分布 統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷 研究抽樣分布，其實(shí)質(zhì)就是研究統(tǒng)計(jì)量的研究抽樣分布，其實(shí)質(zhì)就是研究統(tǒng)計(jì)量的分布分布，其，其 目的就是為了更好地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)目的就是為了更好地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷推斷；因?yàn)樵诮y(tǒng)計(jì)；因?yàn)樵诮y(tǒng)計(jì) 推斷的過程中需要知道統(tǒng)計(jì)量的推斷的過程中需要知道統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律分布規(guī)律 續(xù)概率與理論分布 一、抽樣的概念一、抽樣的概念 總體往往是無限的、未知的、抽象的，只能通過樣總體往

3、往是無限的、未知的、抽象的，只能通過樣 本來進(jìn)行估計(jì)和推斷，因此必須研究抽樣分布本來進(jìn)行估計(jì)和推斷，因此必須研究抽樣分布 和和2 2是描述總體特征的兩個(gè)參數(shù)，而是描述總體特征的兩個(gè)參數(shù)，而 和和s2 2 是 是 樣本的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量；因此研究總體和樣本的關(guān)系，樣本的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量；因此研究總體和樣本的關(guān)系， 其實(shí)質(zhì)就是研究其實(shí)質(zhì)就是研究與與 、2 2 與 與 s2 的關(guān)系的關(guān)系 對(duì)于總體來講，對(duì)于總體來講，和和2 2是常量，而總體中的樣本不是常量，而總體中的樣本不 止一個(gè)，且每一樣本的止一個(gè)，且每一樣本的 不會(huì)相等，也不會(huì)剛好不會(huì)相等，也不會(huì)剛好 等于等于，因此，因此 也也是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 x x

4、 x x 續(xù)概率與理論分布 同樣，每一樣本的同樣，每一樣本的 s2 也不會(huì)相等，且不等于也不會(huì)相等，且不等于2 2， 因此，因此，s2 2 也是隨機(jī)變量 也是隨機(jī)變量 續(xù)概率與理論分布 抽樣分布示意圖抽樣分布示意圖 X1 X2 Xk 原總體原總體 樣本樣本1 樣本樣本2 樣本樣本k 新總體新總體 續(xù)概率與理論分布 而而 與與間的差異稱為間的差異稱為隨機(jī)抽樣誤差隨機(jī)抽樣誤差（簡(jiǎn)稱抽樣誤（簡(jiǎn)稱抽樣誤 差差 random sampling error ） 從一個(gè)總體中按一定的樣本容量從一個(gè)總體中按一定的樣本容量n 隨機(jī)地抽出所有隨機(jī)地抽出所有 可能的樣本，得到一系列的可能的樣本，得到一系列的 ，由這

5、些，由這些 所形成的所形成的 分布就稱為樣本平均數(shù)分布就稱為樣本平均數(shù) 的隨機(jī)抽樣分布，簡(jiǎn)稱的隨機(jī)抽樣分布，簡(jiǎn)稱 為平均數(shù)的抽樣分布為平均數(shù)的抽樣分布（sampling distribution） 抽樣分復(fù)置（放回）抽樣和不復(fù)置（不放回）抽樣抽樣分復(fù)置（放回）抽樣和不復(fù)置（不放回）抽樣 兩種兩種 復(fù)置（放回）抽樣復(fù)置（放回）抽樣 不復(fù)置（不放回）抽樣不復(fù)置（不放回）抽樣 x xx x 續(xù)概率與理論分布 當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量 n 與總體容量與總體容量N 相比很?。ㄈ缦啾群苄。ㄈ?，因此當(dāng)自由度，因此當(dāng)自由度不是很大不是很大 時(shí)，時(shí)，t 分布曲線較之標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線為分布曲線較之標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線為

6、離散離散，t 分分 布曲線的頂峰恒布曲線的頂峰恒低于低于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線，而兩尾則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線，而兩尾則 恒恒略高略高 當(dāng)當(dāng) 大時(shí)，大時(shí)， ，t 分布曲線就分布曲線就趨向于趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布曲線分布曲線 當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量 ， ，t 分布的方差為分布的方差為 1，t 分分 布曲線即布曲線即重合于重合于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線 2 1 2 n 2 續(xù)概率與理論分布 續(xù)概率與理論分布 u-分布與分布與t-分布的區(qū)別：分布的區(qū)別： 當(dāng)總體方差為已知：當(dāng)總體方差為已知： 當(dāng)總體方差雖未知，但樣本很大時(shí)：當(dāng)總體方差雖未知，但樣本很大時(shí)： 當(dāng)總體方差未知，且樣本又不大時(shí)：當(dāng)總體方差

7、未知，且樣本又不大時(shí)： 這里，要注意兩個(gè)這里，要注意兩個(gè) 的區(qū)別的區(qū)別 x x u x x u s x x t s x s 續(xù)概率與理論分布 六、六、 分布（分布（chi-square distribution） 從一個(gè)已知平均值為從一個(gè)已知平均值為，方差為，方差為2 2的總體中進(jìn)行獨(dú)的總體中進(jìn)行獨(dú) 立的抽樣，得隨機(jī)變量立的抽樣，得隨機(jī)變量 x，其標(biāo)準(zhǔn)離差為，其標(biāo)準(zhǔn)離差為 連續(xù)連續(xù) n 次獨(dú)立抽樣，可得次獨(dú)立抽樣，可得 n 個(gè)相互獨(dú)個(gè)相互獨(dú) 立的隨機(jī)變量立的隨機(jī)變量 x，即可得，即可得 n 個(gè)個(gè) ui， 這這 n 個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差 ui ，求其平方之和，即，求其平方之和

8、，即 可得到一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量可得到一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量 2 0,1 x uN 2 22222 12 2 . i ni x uuuu 2 續(xù)概率與理論分布 用樣本來計(jì)算時(shí)，可由用樣本來計(jì)算時(shí)，可由 來估計(jì)來估計(jì) 而由于而由于 可得可得 ， 即即 即即 由此可知，由此可知， 是是 n-1個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差，具有自個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差，具有自 由度由度 n-1 2 xx 2 x 2 2 1 xx s n 2 2 1xxns 2 2 2 22 1xxns 2 2 12 1 n ns 2 續(xù)概率與理論分布 在一個(gè)正態(tài)總體中按一定的樣本量在一個(gè)正態(tài)總體中按一定的樣本量 n 進(jìn)行抽樣，每一進(jìn)行抽樣，每一 樣本均有

9、樣本均有 n 個(gè)個(gè) xi，即可得，即可得 n個(gè)個(gè) ui，因此每一樣本都，因此每一樣本都 有一個(gè)有一個(gè) 值，將所有可能的樣本（容量為值，將所有可能的樣本（容量為 n）均抽出）均抽出 來，所得到的來，所得到的 值就組成了一個(gè)分布，這一分布就值就組成了一個(gè)分布，這一分布就 稱為自由度為稱為自由度為 n-1 的的 分布，其概率密度函數(shù)分布，其概率密度函數(shù) 為：為： 分布是由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布產(chǎn)生的，是連續(xù)型隨機(jī)變量分布是由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布產(chǎn)生的，是連續(xù)型隨機(jī)變量 的一個(gè)分布形式，且具有概率密度函數(shù)的一個(gè)分布形式，且具有概率密度函數(shù) 2 2 f 2 1 2 2 2 2 2 2 2 fe 2 2 2 續(xù)概率與理論分

10、布 分布具有以下特點(diǎn)：分布具有以下特點(diǎn)： 1、 分布的取值范圍為分布的取值范圍為 0，+），無負(fù)值），無負(fù)值 2、 分布的平均值為分布的平均值為 ，方差為，方差為 3、 分布的形狀決定于自由度分布的形狀決定于自由度（df），當(dāng)），當(dāng)1 1 時(shí)，曲線呈反時(shí)，曲線呈反 J 型，型，1 時(shí)，曲線嚴(yán)重左偏；隨時(shí)，曲線嚴(yán)重左偏；隨 著著 的增大，曲線漸趨對(duì)稱，當(dāng)?shù)脑龃?，曲線漸趨對(duì)稱，當(dāng)30， 分布分布 向正態(tài)分布漸近向正態(tài)分布漸近 2 2 2 2 2 2 2 2 2 續(xù)概率與理論分布 分布還可定義為觀察次數(shù)與理論次數(shù)間的符合程分布還可定義為觀察次數(shù)與理論次數(shù)間的符合程 度度 即即 因此，因此， 分布可以

11、用來進(jìn)行次數(shù)資料的假設(shè)性檢驗(yàn)，分布可以用來進(jìn)行次數(shù)資料的假設(shè)性檢驗(yàn)， 這在遺傳學(xué)研究和規(guī)范化研究中用處很大這在遺傳學(xué)研究和規(guī)范化研究中用處很大 2 2 2 2ii i OE E 2 2 1 ii n i OE E 續(xù)概率與理論分布 續(xù)概率與理論分布 七、七、F分布（分布（Fdistribution） 對(duì)于一個(gè)平均值為對(duì)于一個(gè)平均值為，方差為，方差為2 2 的正態(tài)總體，獨(dú)立 的正態(tài)總體，獨(dú)立 地抽取自由度分別為地抽取自由度分別為1 = n1-1 、2 = n2-1 的兩個(gè)樣的兩個(gè)樣 本本 這兩個(gè)樣本的平均值和方差分別為這兩個(gè)樣本的平均值和方差分別為 、 和和 、 則有則有 、 這兩個(gè)這兩個(gè)2 2

12、 變量除以各自的自由度后的比值，被定義變量除以各自的自由度后的比值，被定義 為為F統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量： 1 x 2 x 2 1 s 2 2 s 2 112 1 2 1ns 2 222 2 2 1ns 2 2 11 1 2 2 1 11 222 2222 2 2 2 1 11 1 11 ns nns F nss nn 續(xù)概率與理論分布 即即F值是值是方差同質(zhì)總體中所抽自由度為方差同質(zhì)總體中所抽自由度為1 1和和2 2的兩的兩 個(gè)樣本均方個(gè)樣本均方 和和 的比值的比值 在一個(gè)正態(tài)總體中獨(dú)立地抽出所有可能的具有自由在一個(gè)正態(tài)總體中獨(dú)立地抽出所有可能的具有自由 度為度為1 1和和2 2的樣本，并計(jì)算的樣本

13、，并計(jì)算F（1 1, ,2 2）值，由）值，由 這一系列這一系列F值所構(gòu)成的分布稱為值所構(gòu)成的分布稱為F分布分布 2 1 s 2 2 s 續(xù)概率與理論分布 F分布的概率密度函數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立的分布的概率密度函數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立的 2 2 變量的聯(lián)合變量的聯(lián)合 密度函數(shù)：密度函數(shù)： F分布是隨兩個(gè)自由度分布是隨兩個(gè)自由度1 1、2 2 的不同而異的一簇曲 的不同而異的一簇曲 線線 F值的取值范圍為值的取值范圍為 00，+ +） 1 12 12 1 122 22 12 12 2 12 2 22 F f F F 續(xù)概率與理論分布 由于構(gòu)成由于構(gòu)成 F 值的值的 和和 都是正態(tài)總體中都是正態(tài)總體中 的無偏估的無

14、偏估 計(jì)量，因此計(jì)量，因此 F 分布的平均值為分布的平均值為 方差為方差為 F 分布的每一條曲線都有兩個(gè)自由度，且這兩個(gè)自分布的每一條曲線都有兩個(gè)自由度，且這兩個(gè)自 由度其位次不能任意掉換由度其位次不能任意掉換 F 值分子上的自由度為第一自由度值分子上的自由度為第一自由度df1 F 值分母上的自由度為第二自由度值分母上的自由度為第二自由度df2 在一個(gè)正態(tài)總體中抽取兩個(gè)樣本均方，比較其顯著在一個(gè)正態(tài)總體中抽取兩個(gè)樣本均方，比較其顯著 性時(shí)，總是將較大的均方作為分子，這個(gè)均方所性時(shí)，總是將較大的均方作為分子，這個(gè)均方所 具有的自由度作為第一自由度具有的自由度作為第一自由度 2 1 s 2 2 s 2 1 F 2 2122 2 122 22 24 續(xù)概率與理論分布 較小的較小的均方作為分母，其所具有的自由度作為第二均方作為分母，其所具有的自由度作為第二 自由度自由度 在方差分析中，總是將在方差分析中，總是將組間均方組間均方作為分子，因?yàn)橐蛔鳛榉肿?，因?yàn)橐?般來說，組間均方總是般來說，組間均方總是被比較的對(duì)象被比較的對(duì)象，且也總是，且也總是 大均方，因此組間均方的自由度就是第一自由度大均方，因此組間均方的自由度就是第一自由度 df1 而