數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

1、第五章第五章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 - -樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布 研研究究對對象象的的全全體體 一、總體一、總體(population) ；統(tǒng)計總體統(tǒng)計總體以及取這些值的可能性以及取這些值的可能性 的全體的全體研究對象某個指標取值研究對象某個指標取值 )( , 及及其其分分布布；可可以以視視總總體體為為隨隨機機變變量量 .表表示示總總體體用用隨隨機機變變量量 X ),( 2 NX例如：總體例如：總體 二、樣本二、樣本(sample) ).size)(sample ,),( , 21 也稱為樣本容量也稱為樣本容量大小大小 稱為樣本稱為樣本其中其中稱為一個樣本稱為一個樣本 記

2、為記為取的一些個體取的一些個體從總體中按一定規(guī)則抽從總體中按一定規(guī)則抽 nXXX n 不放回抽樣不放回抽樣 有放回抽樣有放回抽樣 有代表性有代表性規(guī)則規(guī)則: 是總體分布是總體分布)(),(, 21 xFxFiidXXX n )(),( ),( 1 21 21 n i in n xFxxxF XXX 的分布函數(shù)：的分布函數(shù)： . ,(0,1),1 21 的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度 寫出該總體樣本寫出該總體樣本：總體：總體例例 n XXXNX 三、統(tǒng)計量三、統(tǒng)計量(statistic) .),(, , 21 的函數(shù)的函數(shù)即統(tǒng)計量是樣本即統(tǒng)計量是樣本一種加工一種加工 而對樣本的而對樣本的的某一特性

3、的某一特性統(tǒng)計量是為了刻畫總體統(tǒng)計量是為了刻畫總體 n XXX 常見統(tǒng)計量常見統(tǒng)計量 n i i X n X 1 1 樣本均值樣本均值 n i i n i i XnX n XX n S 1 22 1 2 2 )( 1 1 1 1 樣本方差樣本方差 n i i XX n SS 1 2 2 1 1 樣本標準差樣本標準差 5.2抽樣分布抽樣分布 n i i X 1 22 定義定義5.2設(shè)設(shè)X1，X2，Xn相互獨立同服從標準正相互獨立同服從標準正 態(tài)分布態(tài)分布N(0,1)，則稱隨機變量，則稱隨機變量 服從自由度為服從自由度為n的的分布，記為分布，記為 2 )( 22 n 其他其他0 0 2 2 1 )

4、( 22 1 2 xex n xf xn n 分布的概率分布密度為分布的概率分布密度為)( 2 n 一、一、 分布分布 2 )( )(),( )1( 21 22 2 2 1 2 2 2 12 22 21 22 1 2 nn nn 則則 相互獨立相互獨立與與且且若若 分布的可加性分布的可加性 分布具有以下性質(zhì)分布具有以下性質(zhì): )( 2 n nDnEn2)(,)(),( )2( 2222 2 則有則有若若 分布的數(shù)學期望和方差分布的數(shù)學期望和方差 ).()()( )( ),(),10( 22 22 22 或分位點或分位點分位數(shù)分位數(shù)分布的上分布的上為為的數(shù)的數(shù) 稱滿足條件稱滿足條件設(shè)設(shè)對于給定的

5、正數(shù)對于給定的正數(shù) nn nP n zZP 其中其中ZN(0,1)。 標準正態(tài)分布的分位數(shù)也類似定義，標準正態(tài)分布的標準正態(tài)分布的分位數(shù)也類似定義，標準正態(tài)分布的 上上分位數(shù)記為分位數(shù)記為,它滿足它滿足 z 對不同的對不同的分布的上分布的上分位數(shù)分位數(shù)已制已制 成表格，可以查用。成表格，可以查用。 )(, 2 nn )( 2 n )(xf x O )( 2 n 二、二、t分布分布 定義定義5.3設(shè)設(shè)XN(0,1),Y,且且X與與Y相互獨立，相互獨立， 則稱隨機變量則稱隨機變量 n Y X T 服從自由度為服從自由度為n的的t分布，記為分布，記為Tt(n)。 )( 2 n t(n)分布的概率密度

6、函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為 t n t n n n tf n n )1( ) 2 ( ) 2 1 ( )( 2 12 t(n)分布的概率密度函數(shù)分布的概率密度函數(shù)關(guān)于關(guān)于t=0單峰對稱單峰對稱 )(tfn )(tf t O )(正正態(tài)態(tài) 1 n 10 n 當當n很大時很大時t(n)分布接近于標準分布接近于標準 正態(tài)分布，利用正態(tài)分布，利用函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 可以證明可以證明 e t tfn n 2 2 2 1 )(lim 當當n較小時，較小時，t(n)分布與分布與N(0,1)分布之間有較大差異。分布之間有較大差異。 t(n)分布的上分布的上分位數(shù)記為分位數(shù)記為， 即即滿足滿足 )(nt )(

7、nt )(ntTP )(, 10(ntT t分布的上分布的上分位數(shù)可由附表查得。分位數(shù)可由附表查得。 當當n45時，有時，有 znt )( t O)(nt )(tfn 定義定義5.4設(shè)設(shè)且且X與與Y相互獨立，相互獨立， 則稱隨機變量則稱隨機變量 )(),( 2 2 1 2 nYnX 2 1 / / nY nX F 服從自由度為服從自由度為(n1,n2)的的F分布，記為分布，記為FF(n1,n2) 其他其他0 0)1()( ) 2 () 2 ( ) 22 ( )( 2 2 1 1 2 2 1 2 1 21 21 211 xx n n x n n n n nn nn xf nnn F 三、三、F分

8、布分布 F(n1,n2)分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為 若若FF(n1,n2)，則，則 ),( 1 12 nnF F ),(, 10(),( 2121 nnFFnnFFP 的上的上分位數(shù)記為分位數(shù)記為，即它滿足，即它滿足),( 21 nnF ),( 21 nnF )(xfF x O ),( 21 nnF 若若FF(n1,n2),則則),( 1 12 nnF F ),( 11 1 ),( 11 ),(1 211 211 211 nnFF P nnFF PnnFFP ),( 11 211 nnFF P于是于是 ),( ),( 1 12 211 nnF nnF 所以所以 ),( 1 ),(

9、 12 211 nnF nnF 即即 ),( 1 ),( 12 211 nnF nnF F分布的上分布的上分位點有如下的性質(zhì)：分位點有如下的性質(zhì)： 例例5.4查表求下列概率表達式的臨界值查表求下列概率表達式的臨界值w. 05. 0)8()3( 05. 0)8()2( 95. 0)8()1( 2 wtP wtP wP 5.3正態(tài)總體的常用抽樣分布正態(tài)總體的常用抽樣分布 一、單個正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的分布一、單個正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的分布 1 . 5定定理理 則有則有方差方差分別為樣本均值與樣本分別為樣本均值與樣本 的樣本的樣本為來自總體為來自總體設(shè)設(shè) , ,),(, 2 2 21 SX NXXX n ),()1( 2 n NX )1( )1( )2( 2 2 2 n Sn )1( / )3( nt nS X N(0,1) /n X 即，即， 相相互互獨獨立立與與 2 )4(SX 二、兩個正態(tài)總體的樣本均值差和樣本方差比的分布二、兩個正態(tài)總體的樣本均值差和樣本方差比的分布 3 . 5定定理理 ,)( 1 1 ,)( 1 1 , 11 ,),(),( , 11 12 21 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 11 21 2 22 2 11 2121 則有則有 和